小升初專題列方程解應(yīng)用題

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列方程解應(yīng)用題一、列簡易方程解應(yīng)用題10x+1，從而有3〔105+x〕=10x+1，7x＝299999，x＝42857。答：這個六位數(shù)為142857。說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：示出來，這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用“整體〞設(shè)元的方法很有特色?！?〕是善于分析問題中的數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；〔2〕是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。例2有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分分析：這是一道“追及又相遇〞的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了〔650-x〕秒，于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得2.6x-1.4x=2.6〔650-x〕+1.4〔650-x〕。解得x＝500。推知隊伍長為〔2.6-1.4〕×500=600〔米〕。答：隊伍長為600米說明：在設(shè)未知數(shù)時，有兩種方法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對于較難的應(yīng)用題，恰中選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。例3鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用分析：此題屬于追及問題，行人的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒?；疖嚨能嚿黹L度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為〔x-1〕×22或〔x-3解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得〔x-1〕×22=〔x-3〕×26。解得x=14。所以火車的車身長為〔14-1〕×22=286〔米〕。答：這列火車的車身總長為286米例4如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線〞追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環(huán)行〞追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方3×90=270〔米〕，故有72x＝65x+270。由于正方形邊長為90米可以推算出這時甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。例5一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅梢抑良资悄嫠旭?。船在靜水中的速度為8千米/時，平時逆行與順行所用的時間比為2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9分析：這是流水中的行程問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度。解答此題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距x千米，原來水流速度為a千米/時根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹?∶1，即〔8-a〕∶〔8＋a〕＝1∶2，再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a千米/時，則有解得x=20。答：甲、乙兩港相距20千米例6某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時才能出發(fā)，為了趕火車，6時55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時，學(xué)校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車屢次往返，故時間來不及，只能乘車與步行同時進(jìn)展。如果步行每小時能走趕到火車站，每人步行時間應(yīng)該一樣，乘車時間也一樣。設(shè)每人步行x時，客車能否在115分鐘完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千米/時，汽車速度為解得x＝1.5〔時〕，即每人步行90分，乘車25分。三批人5時同時出發(fā)，第一批人乘25分鐘車到達(dá)A點(diǎn)，下車步行；客車從A立即返回，在B點(diǎn)遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點(diǎn)遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢必須計算。次返回的時間是20分，同樣可計算客車第二次返回的時間也應(yīng)是20分，所以當(dāng)客車與第三批人相遇時，客車已用25×2＋20×2=90〔分〕，還有115-90=25〔分〕，正好可把第三批人按時送到。因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗算不能省掉，因為這關(guān)系到第三批人是否可以按時到車站的問題。通過計算知第三批人正巧可乘車25分，按時到達(dá)。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時到達(dá)目的地。二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對于數(shù)量關(guān)系對比復(fù)雜或條件較少的應(yīng)用題，列方程時，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求〞的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。例7某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運(yùn)動，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得由①②，得將③代入①，得說明：此題引入v1，v2兩個未知量作參數(shù)，計算時這兩個參數(shù)被消去，即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。此題的解法很多，可參考本叢書《五年級數(shù)學(xué)活動課》第26講。例8整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完，那么有多少頭牛分析：此題中牧場原有草量是多少每天能生長草量多少每頭牛一天吃草量多少假設(shè)這三個量用參數(shù)a，b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x，則可列出三個方程。假設(shè)能消去a，b，c，便可解決問題。解：設(shè)整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內(nèi)能把牧場上的草吃完，則有②-①，得36b=120C。④③-②，得96xc=1800c＋36b。⑤將④代入⑤，得96xc＝1800c+120c。解得x=20。答：有20頭牛。例9從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得①＋②，得將y=210－x代入①式，得解得x＝140。答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140三、列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時會出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)多于所列方程的個數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時，只需要其中一些或個別解。例10六〔1〕班舉行一次數(shù)學(xué)測驗，采用5級計分制〔5分最高，4分次之，以此類推〕。男生的平均成績?yōu)?分，女生的平均成績?yōu)?.25分，而全班的平均成績?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗解：設(shè)該班有x個男生和y個女生，于是有4x+3.25y=3.6〔x+y〕，化簡后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生在大于30小于50的自然數(shù)中，只有45可被15整除，所以推知x＝21，y=24。答：該班有21個男生和24個女生。例11小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次解：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗〔10-x-y〕次。根據(jù)得61分可列方程9x+5y+2〔10-x-y〕=61，化簡后得7x=41－3y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解；假設(shè)y=2，7x=35，解得x=5。答：小明至多套中小雞5次。例12某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制〔每套為一件上衣和一條褲子〕。問：7天中這4個小組最多可縫制多少套衣服分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn)，應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率上下，在配套下安排生產(chǎn)。我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數(shù)最多。一般情況，設(shè)A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這的效率高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x天，生產(chǎn)褲子〔7-x〕天，乙組生產(chǎn)上衣y天，生產(chǎn)褲子〔7-y〕天，則4個組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為6×7＋8x+9y〔件〕和11×7＋10〔7－