第3.3講冪函數(shù)-新高一數(shù)學寶典（人教A版2019）

第三章函數(shù)的概念和性質(zhì)第3.3講冪函數(shù)一、學習目標1.通過具體實例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等)．二、重點難點1、冪函數(shù)的概念2、冪函數(shù)的圖像3、冪函數(shù)的性質(zhì)4、冪函數(shù)的綜合應用三、核心知識1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當α為奇數(shù)時，y＝xα為奇函數(shù)；當α為偶數(shù)時，y＝xα為偶函數(shù)．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n)．零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當b＝0時是偶函數(shù)，當b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減三、核心例題題型1冪函數(shù)的概念1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，中指數(shù)上有變量，所以此函數(shù)不是冪函數(shù)，所以A錯誤，對于B，是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)，所以B錯誤，對于C，是冪函數(shù)，所以C正確，對于D，是一次函數(shù)，不是冪函數(shù)，所以D錯誤，故選：C2．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意設，是常數(shù)，∵函數(shù)圖象過點，即，∴解得，則.∴.故選：A.3．若函數(shù)為冪函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)的定義域為RC．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，，解得，A錯誤；，其定義域為，B錯誤；，函數(shù)是偶函數(shù)，C錯誤函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.故選:D.4．冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，代入點得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.5．已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】由冪函數(shù)的圖像過點，可得，解得，所以，函數(shù)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值.故選：題型2冪函數(shù)的圖像6．右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個值，相應的曲線對應的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【詳解】函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，對應的圖象為；對應的圖象為一條過原點的直線，對應的圖象為；對應的圖象為拋物線，對應的圖象應為；在第一象限內(nèi)的圖象是；所以與曲線對應的n依次為2，1，，.故選：B7．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】設冪函數(shù)為，則，，得，得，所以，定義域為，所以排除AD，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除B，故選：C8．冪函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以是奇函數(shù)，排除BC；又因為A中函數(shù)定義域為R，所以A不合題意，故選：D.9．已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且【答案】D【詳解】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定，又因為p與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，故選：D.10．已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.題型3冪函數(shù)的性質(zhì)11．以下函數(shù)中，在上單調(diào)遞減且是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】A選項，在R上單調(diào)遞減，且，故是奇函數(shù)，滿足要求，A正確；B選項，定義域為R，且，故為偶函數(shù)，B錯誤；C選項，定義域為R，且，故為偶函數(shù)，C錯誤；D選項，在上單調(diào)遞增，D錯誤.故選：A12．已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．故選：B13．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，的定義域為，因為定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以A錯誤，對于B，的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上遞增，所以B錯誤，對于C，的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上單調(diào)遞減，所以C正確，對于D，的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以D錯誤，故選：C14．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因為函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，由得，又，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：．題型4冪函數(shù)的綜合應用16．已知冪函數(shù)的圖象過點，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設冪函數(shù)，其圖象過點，所以，解得，所以.因為，所以為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以可化為，可得，解得，所以的取值范圍為.故選:C.17．已知是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于函數(shù)是減函數(shù)，所以，解得.故選：A.18．若,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解:由題知構(gòu)造,由冪函數(shù)性質(zhì)可知單調(diào)遞增,,,,綜上:.故選:D19．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為，由，則，又，所以.故選：D20．冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，，在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當時，，在上單調(diào)遞增，滿足題意，所以，且是偶函數(shù)，由于，所以，解得或，故選：D.當堂達標一、單選題1．已知是冪函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】D【詳解】由題意可知，解得，此時.故選：D2．下列函數(shù)中，即是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A選項：函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯；B選項：函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，單調(diào)遞增，故B正確；C選項：，所以函數(shù)非奇非偶，故C錯.D選項：定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)非奇非偶，故D錯.故選：B.3．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A． B． C．3 D．或3【答案】B【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得或，又在上單調(diào)遞減，所以，故選：B.4．已知冪函數(shù)的圖像不過原點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2C．－2 D．1或2【答案】A【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，解得或．當時，，圖像不過原點，符合題意；當時，，圖像過原點，不符合題意．故選：A．5．設，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．6．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】設，函數(shù)圖像經(jīng)過，可得，解得，所以.故選：D.7．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）A．－2 B．－3 C．－4 D．－5【答案】D【詳解】設冪函數(shù)，因為過點，所以，解得，.則函數(shù)，因為函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以單調(diào)遞增，則當時，.故選：D.8．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可知函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù).當時，，此時單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則由，可得，所以，即，故實數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和D．若冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則【答案】CD【詳解】A選項，設，將代入，，即，解得，故解析式為，A錯誤；B選項，因為，所以在上單調(diào)遞減，又定義域為，，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，B錯誤；C選項，因為，所以，，故冪函數(shù)始終經(jīng)過點和，C正確；D選項，由題意得，解得或，當時，為偶函數(shù)，滿足圖像關(guān)于軸對稱，當時，為奇函數(shù)，不滿足圖像關(guān)于軸對稱，舍去，其中恒成立，故，又在上單調(diào)遞增，故，D正確.故選：CD10．已知冪函數(shù)，則（

）A．B．的定義域為C．D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像【答案】BC【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，所以，所以，故A選項錯誤；由可知其定義域為，故B選項正確；為奇函數(shù)，所以，故C選項正確；將的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，故D選項錯誤；故選：BC.三、填空題11．已知冪函數(shù)，當時，隨的增大而減小，則實數(shù)的值為．【答案】2【詳解】∵是冪函數(shù)，∴，即，∴或．當時，，是冪函數(shù)，且滿足當時，隨的增大而減?。划敃r，，是冪函數(shù)，但不滿足當時，隨的增大而減小，故舍去．∴實數(shù)的值為2．故答案為：212．若＜，則實數(shù)m的取值范圍．【答案】【詳解】因為冪函數(shù)的定義域是{x|}，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則原不等式等價于，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.四、解答題13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，對于偶函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求當時，函數(shù)的解析式；【詳解】（1）設，代入點，得，解得，所以.（2）因為，當時，，設，則，又因為是R上的偶函數(shù)，所以，即當時，.14．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故.（2）解：由（1）可知，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，即當