河北省張家口市高三上學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)（文）試題

全國卷高三入學(xué)摸底聯(lián)合考試文科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，，則A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由題意首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由并集的定義可得：，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查并集運(yùn)算、交集運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生計(jì)算求解能力.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡所求表達(dá)式，由此求出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，原式，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.若（，且），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)分成兩種情況，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得.綜上所述，的取值范圍是，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4.執(zhí)行如圖程序框圖，則輸出的等于()A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】依據(jù)流程圖可知，程序運(yùn)行如下：首先初始化數(shù)據(jù)：，第一次循環(huán)：，執(zhí)行：，第二次循環(huán)：，執(zhí)行：，第三次循環(huán)：，執(zhí)行：，第四次循環(huán)：，此時(shí)跳出循環(huán)，輸出.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)．5.如圖，面積為的平行四邊形，對(duì)角線，與交于點(diǎn)，某指數(shù)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，則A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：設(shè)點(diǎn)A（0，m）,則由已知可得，C()E()B()．又因點(diǎn)E、B在指數(shù)函數(shù)圖像上，所以,兩式相除得，∴．故選A．考點(diǎn)：已知圖像上點(diǎn)求函數(shù)解析式．【方法點(diǎn)睛】本題是通過四邊形的面積求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入指數(shù)函數(shù)的解析式中，求出a的值即可．思路簡單，難點(diǎn)在于解關(guān)于m,a的方程組，注意消元技巧．6.給甲、乙、丙三人打，若打的順序是任意的，則第一個(gè)打給甲的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，打的順序是任意的，打給甲乙丙三人的概率都相等均為，從而可得到正確的選項(xiàng)．【詳解】∵打的順序是任意的，打給甲、乙、丙三人的概率都相等，∴第一個(gè)打給甲的概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．7.設(shè)非零向量、、、滿足||=||=||，+=，則向量、間的夾角為（）A.150° B.120° C.60° D.30°【答案】B【解析】【詳解】,,,,,故選B.8.在區(qū)域中，若滿足的區(qū)域面積占面積的，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出區(qū)域，以及，根據(jù)的區(qū)域面積占面積的列方程，解方程求得的值.【詳解】畫出區(qū)域如下圖所示，其中.當(dāng)時(shí)，由得，由圖像可知滿足的區(qū)域面積占面積不小于,不合題意.當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)直線交直線于，由，得，代入得，將代入，解得，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式組組成區(qū)域的畫法，考查兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)問題求解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.16 B.(10＋)π C.4＋(5＋)π D.6＋(5＋)π【答案】C【解析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個(gè)相同的半圓錐與一個(gè)半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù).10.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第五天走的路程為（）A.48里 B.24里 C.12里 D.6里【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式列方程，求得首項(xiàng)的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)第一天走，公比，所以，解得，所以.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查中國古典數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓的中心為原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足且，則橢圓的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選：B．點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡不存在．12.已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸求得，由此對(duì)分離常數(shù)，即，利用構(gòu)造函數(shù)法求得的最大值，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，故，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏虾愠闪?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值為，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實(shí)數(shù)的值是_______．【答案】4【解析】【詳解】由，則切線斜率，則過的切線方程為:，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，又所成三角形面積為2，可得，所以,故答案為4.14.設(shè)，，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】利用乘“”法化簡所求表達(dá)式，再利用基本不等式求得最小值.【詳解】依題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查“1”的代換，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題15.2019年7月15日，某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格911銷售量11865可知，銷售量與價(jià)格之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，且，則其中的______.【答案】10【解析】【分析】計(jì)算，代入回歸直線方程，與結(jié)合，求解出的值.【詳解】依題意，代入回歸直線方程得①，根據(jù)題意②，解①②組成的方程組得，故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.16.已知數(shù)列滿足，，且，若函數(shù)，記，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為______.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)題目所給數(shù)列遞推關(guān)系式，證得數(shù)列解析式，并證得，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由已知可得，數(shù)列為等差數(shù)列，，∴.∵，∴.∵，∴，即數(shù)列的前9項(xiàng)和為9.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查三角函數(shù)降冪公式、二倍角公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主）.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下50歲以上總計(jì)（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析.參考公式和數(shù)據(jù)：，.2.072【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有，詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表.（2）計(jì)算，由此判斷有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān).【詳解】（1）列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下481250歲以上16218總計(jì)201030（2）因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．【點(diǎn)睛】本小題主要考查填寫列聯(lián)表，考查的計(jì)算以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18.在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，且滿足.（1）判斷的形狀；（2）若，，為角的平分線，求的長.【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡已知條件，求得，由此判斷也即三角形為直角三角形.（2）根據(jù)勾股定理求得和,由此求得，根據(jù)正弦定理列方程，解方程求得的長.【詳解】（1）由，得，∴，∴，∴.故為直角三角形．（2）由（1）知，又，，∴，，.由正弦定理得，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和與差的余弦公式，考查勾股定理，考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點(diǎn)．已知，，，.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)由題意結(jié)合三棱錐的體積公式可得三棱錐的體積為；(2)取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．結(jié)合余弦定理計(jì)算可得異面直線BC與AD所成角的余弦值為.詳解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱錐P-ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.(2)取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的體積公式，異面直線所成的角等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是在第一象限上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.（1）若直線的斜率為，求的離心率；（2）若直線在軸上的截距為2，且，求，.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，化簡后求得橢圓離心率.（2）根據(jù)平行線分線段成比例得到，結(jié)合，得.由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合解方程組，求得的值.【詳解】（1）根據(jù)及題設(shè)知，由，得，即.將代入，解得，（舍去）．故的離心率為.（2）由題意，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，軸，所以直線與軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故，即.①由，得.設(shè)，由題意知，則即代入的方程，得.②將①及代入②得，解得，，故，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓方程的求法，主要是方程的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21.已知函數(shù)在處取得極值．確定a的值；若，討論的單調(diào)性．【答案】（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)．【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)，綜上所知：和函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，和是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程.【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)就根據(jù)，以及，將方程中的相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程；(2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到k所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果.詳解：（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為．（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓．由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有