第四節(jié)線性方程組的解結(jié)構(gòu)2011-2-16

第四節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)教學(xué)目的：1.掌握齊次與非齊次線性方程組解的性質(zhì);掌握齊次與非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).2。能正確運(yùn)用解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)原理求出方程組的通解,證明相關(guān)問題。教學(xué)方法：講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合教學(xué)過程：一、齊次線性方程組解性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)1。齊次線性方程組(1）方程組(2）矩陣形式:其中：,.2。方程組的解集──的全體解組成的集合，即.顯然,故非空。3.性質(zhì)【性質(zhì)1】若是的解,則也是的解?！拘再|(zhì)2】若是的解，為常數(shù)也是的解.4.方程組的基礎(chǔ)解系──齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系不一定惟一。但各個基礎(chǔ)解析間是等價的。其中所含向量個數(shù)是確定的。5?！径ɡ?】設(shè)，則元齊次線性方程組解集的秩為。6.方程組的解結(jié)構(gòu)──設(shè)，則有基礎(chǔ)解系；稱為方程組的通解，其中為任意常數(shù).解集為任意常數(shù).例1求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解解，得最簡同解方程組有兩個自由未知量,取為取，則【對應(yīng)有】得基礎(chǔ)解系:,那么通解為：，其中:為任意常數(shù)。若取，則得基礎(chǔ)解系。因?yàn)榕c等價,所以通解形式雖然不一樣,但都表示方程組的解.另解:取，則得基礎(chǔ)解系。的通解為，其中為任意常數(shù).例2求元齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系與通解.解取,為自由未知量，令分別為,則得是原方程組的一個基礎(chǔ)解系。通解為.例3求4元齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系解：，取為自由未知量，所以是原方程組的一個基礎(chǔ)解系，通解為。例4若，則。證明記，則可化為,從而的列向量均為的解,設(shè)為的解集,由知若，則只有解，那么,于是；若，HYPERLINK則，即,故。例5設(shè)矩陣A為型矩陣，并且，B為n階方陣，求證：如果AB=A，則B=E證明：AB=A可化為設(shè)其中則矩陣方程可化為從而，所以為齊次線性方程組的解向量又∵型矩陣，∴僅有零解=0，從而故B=E證法二：AB=A可化為，且由知為列滿秩矩陣，從而.提問：1。設(shè)的系數(shù)矩陣A的秩等于其列數(shù),則齊次線性方程組無解。(×）2．設(shè),則線性方程組的基礎(chǔ)解系中只含有4個線性無關(guān)的解．（×）3。為齊次線性方程組解，則為的解。（√）4。已知是方程組的一個基礎(chǔ)解系，是方程組的一個基礎(chǔ)解系，則下列（C）為方程組的一個基礎(chǔ)解系。A．;B.；C。；D。.二、非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1。非齊次線性方程組（1）方程組(2)矩陣形式:（）其中:，,.2。方程組的解集──的全體解組成的集合，即.3.性質(zhì)【性質(zhì)3】若是的解,則是的解.證明:,?！拘再|(zhì)4】是的解，是的解，則是的解.證明:，,。4.線性方程組的解結(jié)構(gòu)──設(shè)為的特解,又設(shè),則有基礎(chǔ)解系,且的解集為任意常數(shù)，稱為方程組的通解.提問：5.是非齊次線性方程組的解，則是對應(yīng)的解。(√)6。8個未知數(shù)，6個方程的非齊次線性方程組有解，且4，則對應(yīng)的基礎(chǔ)解系中含有2個解．（×）7。如果向量組是線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則向量組,也是的一個基礎(chǔ)解系。(√）8。如果向量組是線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則向量組,也是的一個基礎(chǔ)解系.(×）例5求解方程組：解，，有無窮解，取為自由未知量，得同解方程組:令得的特解為：，分別取得的基礎(chǔ)解系為：，故為的通解，其中:為任意常數(shù).例6設(shè)為4×5矩陣的秩,已知非齊次線性方程組有解,且,，，求的通解。解依題意知對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個解，由線性方程組解的性質(zhì)知，為對應(yīng)齊次方程組的解,且，所以為導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系,故的通解為。例7設(shè)。問為何值時，向量可以由向量組線性表示，在表達(dá)式惟一時,求其表達(dá)式.解令，則（1）當(dāng)時,可由線性表示且表示法不唯一。(2)當(dāng)時,不可由線性表示。(3）當(dāng)時,，可由惟一線性表示.表達(dá)式為.例8為何值時，下面方程組有唯一解、無窮解、無解?解若當(dāng)時,方程組無解.當(dāng),由于當(dāng)時,方程組有唯一解,其解為；⑶當(dāng)即時，,由于,此時方程組有個自由未知量且同解方程組為，所以,當(dāng)時，方程組有無窮解，其解為或;其中，是任意常數(shù).例9設(shè)矩陣，其中線性無關(guān),，向量，求方程組的通解.解依題意,所以對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含有1個解向量.由知為的非零解，也是的一個基礎(chǔ)解系；再由知為的一個解；故方程組的通解為.例10已知，證明。證因?yàn)?，所以，且；從而，且；由的列向量為方程組的解向量,所以，故.例11（07—08(一）期末考試）設(shè)A，B都是n階方陣，且。如果，試證明A的伴隨矩陣A＊為零矩陣.證明:設(shè)，則的解向量的列向量為的解，由于,所以的解空間的秩，所以.由伴隨矩陣的定義知A＊的元素由A的各個元素的代數(shù)余子式的值，所以A*的元素全為零，故A的伴隨矩陣A＊為零矩陣.另證:由矩陣的秩不等式知又,從而,所以A*的元素全為零，故A的伴隨矩陣A*為零矩陣.小結(jié):1。熟練掌握線性方程組的解性質(zhì)與解結(jié)構(gòu).求解線性方程組時一般可以用初等變換法求解，但注意變換的基本技