山東省日照市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2021級高三上學(xué)期校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出兩集合，再求兩集合的并集即可【詳解】由，得，所以，由，得，所以，所以.故選：D2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及對應(yīng)角終邊上點(diǎn)求目標(biāo)式的函數(shù)值即可.【詳解】.故選：D3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇偶性和單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即為奇函?shù)，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤，對于選項(xiàng)C：偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項(xiàng)D：是偶函數(shù)，注意到，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：C.4.命題“，”為真命題的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把特稱命題為真命題轉(zhuǎn)化為對有解，分離參數(shù)，求解函數(shù)最值即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”為真命題，所以對有解，即對有解，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，即，故命題“，”為真命題的充要條件是.故選：A5.垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存?投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率與時(shí)間（月）近似地滿足關(guān)系（其中為正常數(shù)），經(jīng)過5個(gè)月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過10個(gè)月，這種垃圾的分解率為，那么這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（）個(gè)月.（參考數(shù)據(jù)：）A.20 B.27 C.32 D.40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和的兩組值求出，再根據(jù)求出即可得解.【詳解】依題意得，解得，，則，這種垃圾完全分解，即分解率為，即，所以，所以，所以.故選：B6.已知等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，且，則的最小值為（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得，然后用表示，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由得，解得或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，令，則，令得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的最小值為.故選：B7.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同，且在上有極小值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)有，討論、，結(jié)合對稱中心求參數(shù)，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)及極值的定義確定的值.【詳解】由題意，函數(shù)與最小正周期相同，則，且.當(dāng)時(shí)，的一個(gè)對稱中心為，也是的一個(gè)對稱中心，所以，所以，，又，所以，故，，，有極大值，無極小值，不合題意，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)對稱中心為，也是的一個(gè)對稱中心，所以，所以，，又，所以，故，，，無極大值，有極小值，符合題意.故選：D.8.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由已知得，構(gòu)造，結(jié)合的單調(diào)性知，故將化為，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可.【詳解】∵，∴即，設(shè)，則，且，所以在上，單調(diào)遞增，正實(shí)數(shù)，，∴，即，所以等價(jià)于，即，∴，設(shè)，∴，∴，設(shè)，，所以單調(diào)遞減，且，所以在上，，，單調(diào)遞增，在上，，，單調(diào)遞減，所以，即最大值為0，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解關(guān)鍵是將變形為，利用同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性知，即，從而將用表示，將目標(biāo)函數(shù)化為的函數(shù)后再求最值.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性可判斷A；舉反例可判斷B；利用基本不等式可判斷C,D.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)均為單調(diào)增函數(shù)，，故A正確；由，取，可得，故B錯誤；由可得，當(dāng)且僅當(dāng)即取等號，C錯誤；由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，但，等號取不到，故D正確，故選：AD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）．A.函數(shù)的最小正周期為B.為函數(shù)圖像的一條對稱軸C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】利用兩角和的余弦展開式，正余弦二倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及圖像逐項(xiàng)分析.詳解】由題意得：，所以，?！嗟淖钚≌芷?，故A錯誤；，故B正確；∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；令，即，因?yàn)?，所以令，則，所以選項(xiàng)D的問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，如圖所示：觀察可知，有2個(gè)零點(diǎn)，故D錯誤．故選：BC．11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)只有兩個(gè)極值點(diǎn)B.若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為C.方程共有4個(gè)實(shí)根D.若關(guān)于的不等式的解集內(nèi)恰有兩個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值并畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)交點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】A：對求導(dǎo)得：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，在處取得極小值，在處取得極大值，對；B：由上分析，曲線及直線，如下圖，由圖知：當(dāng)或時(shí)，直線與有2個(gè)交點(diǎn)，所以有且只有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為或，錯；C：由得：，解得，令且，由圖有兩解分別為，，所以或，而，則，則有兩解；又，由圖知也有兩解，綜上：方程共有4個(gè)根，對；D：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，，，記，，，所以，對.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并畫出圖象，利用函數(shù)的交點(diǎn)研究方程的根、不等式的解集.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到，進(jìn)而得到，為奇函數(shù)，A錯誤；B選項(xiàng)，由為偶函數(shù)得到關(guān)于對稱，所以；C選項(xiàng)，由結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得到，C正確；D選項(xiàng)，推導(dǎo)出的一個(gè)周期為6，利用關(guān)系式得到，結(jié)合函數(shù)周期得到.【詳解】對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對稱，所以，故B正確；對于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個(gè)周期為6，因?yàn)椋?，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，所以由，故答案為：14.已知函數(shù)的極小值為2，則______【答案】【解析】【分析】求函數(shù)的極小值的表達(dá)式，列方程求.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，故的極小值為，由已知可得，所以．故答案為：.15.若是奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,由,可得,所以且,所以,解得,所以的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，又,即,解得,此時(shí),則，所以，符合題意.所以.故答案為：.16.在中，，為中點(diǎn)，，，則邊的長為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所設(shè)參數(shù)，結(jié)合三角形性質(zhì)確定的長度.【詳解】設(shè)，，在和中，，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又，即，整理得：，②聯(lián)立①②得，，即，解得或，三角形ADC中的三邊關(guān)系知：，故，所以.故答案為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)余弦定理可得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，即可求出，進(jìn)而求出的周長.【詳解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長為.18.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前21項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）由，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由題設(shè)有，解得，，所以.【小問2詳解】由題設(shè)，.所以數(shù)列的前21項(xiàng)和為211.19.設(shè)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動點(diǎn)，例如的“不動點(diǎn)”滿足，即的“不動點(diǎn)”是.設(shè)函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的不動點(diǎn)；（2）若函數(shù)在上不存在不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不動點(diǎn)為1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)“不動點(diǎn)”定義，令，結(jié)合指數(shù)方程的解法求不動點(diǎn)；（2）問題化為在上無解，令，，進(jìn)一步有在區(qū)間上無解，右側(cè)構(gòu)造函數(shù)求值域，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由“不動點(diǎn)”定義知：當(dāng)時(shí)，，所以，則或（舍去），所以，所以函數(shù)在上的不動點(diǎn)為1.【小問2詳解】根據(jù)已知，得在上無解，所以在上無解，令，，所以，即在上無解，所以在上無解，設(shè)，在上單調(diào)遞增，故所以或，可得或，又在上恒成立，所以在上恒成立，則，則.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.為美化校園，某學(xué)校將一個(gè)半圓形的空地改造為花園.如圖所示，為圓心，半徑為米，點(diǎn)，，都在半圓弧上，設(shè)，，且.（1）若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀線路，由線段，，三部分組成，則當(dāng)取何值時(shí)，參觀線路最長？（2）若在花園內(nèi)的扇形和四邊形內(nèi)種滿杜鵑花，則當(dāng)取何值時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大？【答案】（1）當(dāng)時(shí)，參觀路線最長（2）當(dāng)時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)用表示出，，，應(yīng)用倍角余弦公式、換元法及二次函數(shù)性質(zhì)求參觀路線的最大長度對應(yīng)的取值；（2）利用扇形、三角形面積公式用表示出扇形、、的面積，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求種植總面積最大對應(yīng)的取值.【小問1詳解】如下圖，連接，則，在中，，即，同理可得，且，所以參觀路線的長度，令，即.當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)，即時(shí)，參觀路線最長.【小問2詳解】由題知：扇形的面積，的面積，的面積，所以杜鵑花的種植總面積，，令得或（舍），因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大.21.已知數(shù)列和滿足，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得、，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式即可；（2）由題設(shè)得，根據(jù)等比數(shù)列定義寫出的通項(xiàng)公式，綜合應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.【小問1詳解】由題設(shè)得，，所以.又，，故，，，，所以，，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為16，公比為8的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由題設(shè)，又，，，，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為8的等比數(shù)列，故，因?yàn)?，所?22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，作出其大致圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.（2）分三種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立考慮函數(shù)最值情況或利用單調(diào)性求解不等式，從而求得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由，得,設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，據(jù)此可畫出大致圖象如圖，所以（i）當(dāng)或時(shí)，無零點(diǎn)：（ii）當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；（iii)當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，即恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由可得，則，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減