山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月數(shù)學(xué)試題

“學(xué)情空間”2023年高二5月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘分值：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先整理集合，再根據(jù)集合運(yùn)算求詳解】，或，故，故選：D2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定為.故選：A.3.已知事件，若，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率的公式即可求解.【詳解】因為，所以,解得,又，所以.故選：B.4.為研究變量的相關(guān)關(guān)系，收集得到如下數(shù)據(jù)：5678998643若由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則據(jù)此計算殘差為0的樣本點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出回歸方程的樣本中心點(diǎn)，從而可求得，再根據(jù)殘差的定義可判斷.【詳解】由題意可得：，即樣本中心點(diǎn)為，可得，解得，所以，可得56789986439.27.664.42.80所以殘差為0的樣本點(diǎn)是.故選：C.5.關(guān)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三個二次之間的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理可得，且，代入所求不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：的解為，且，可得，解得，則不等式，即為，且，則，整理得，解得或，即解集為.故選：D.6.已知函數(shù)，則單調(diào)遞增的一個充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)遞增有在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，最后由充分必要性定義，即可得答案.【詳解】由且，令，要使單調(diào)遞增，即恒成立，當(dāng)時滿足題設(shè)；當(dāng)，可得，則，滿足題設(shè)；綜上，使單調(diào)遞增，則，A為充要條件，B為充分不必要條件，C、D既不充分也不必要條件.故選：B7.已知偶函數(shù)滿足對恒成立，下列正確是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，即可判斷的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，令，則，所以為偶函數(shù)，又，則當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故A正確；，即，則，即，故B錯誤；，即，則，即，故C錯誤；，即，則，即，故D錯誤；故選：A8.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用基本不等式以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，故C正確；對于選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，所以，故D錯誤；故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知某學(xué)校高二年級男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運(yùn)動的等高堆積條形圖如下，下列說法正確的是（）A.參加調(diào)查的學(xué)生中喜歡徒步的男生比喜歡徒步的女生多B.參加調(diào)查的學(xué)生中不喜歡徒步的男生比不喜歡徒步的女生少C.若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300，則能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)D.無論參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為多少，都能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)【答案】AC【解析】【分析】對AB，設(shè)該學(xué)校高二年級男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，再計算喜歡與不喜歡徒步的男生與女生人數(shù)判斷即可；對CD，計算卡方，對照表格判斷即可.【詳解】對AB，設(shè)該學(xué)校高二年級男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則學(xué)生中喜歡徒步的男生為，喜歡徒步的女生為，故A正確；不喜歡徒步的男生為，不喜歡徒步的女生為，故B錯誤；對C，若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300，則男生200人，女生100人，列聯(lián)表可得：是否喜歡徒步性別合計男生女生喜歡14040180不喜歡6060120合計200100300則，故能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故C正確；對D，設(shè)該學(xué)校高二年級男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，列聯(lián)表可得：是否喜歡徒步性別合計男生女生喜歡不喜歡合計則，不能判斷與的大小關(guān)系故不能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故D錯誤；故選：AC10.現(xiàn)有一場流水席，共有6葷4素2湯共十二道菜品在長桌上擺成一排，下列說法正確的是（）A.兩份湯相鄰的擺法共有種B.每道素菜不相鄰的擺法共有種C.若十二道菜品的順序已經(jīng)固定，現(xiàn)又上了四道主食，有種不同擺法D.兩湯不擺在首尾的擺法共有種【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用捆綁法即可判斷；對于B，利用插空法即可判斷；對于C，利用定序倍縮法即可判斷；對于D，利用分步計數(shù)原理即可判斷.【詳解】對于A，先將兩份湯捆綁在一起，看作一個整體，有種擺法；再與其余十道菜品排列在一起，有種擺法；所以兩份湯相鄰的擺法共有種，故A錯誤；對于B，先將6葷2湯共八道菜品進(jìn)行排列，有種擺法；再利用插空法將4道素菜插到上述八道菜品共9個空中，有種擺法；所以每道素菜不相鄰的擺法共有種，故B正確；對于C，先將十六道菜品進(jìn)行排列，有種擺法；其中十二道菜品的順序已經(jīng)固定，利用定序倍縮法可知有種不同擺法，故C正確；對于D，將十二道菜品看作12個空，去掉首尾兩個空還有10個空，在其中任選兩個空將兩份湯放進(jìn)去，共有種方法；再將剩余的十道菜品排列到剩余的10個空中，共有種方法；所以兩湯不擺在首尾的擺法共有種，故D正確.故選：BCD.11.某大學(xué)文學(xué)院有兩個自習(xí)室，小王同學(xué)每天晩上都會去自習(xí)室學(xué)習(xí).假設(shè)他第一天去自習(xí)室的概率為；他第二天去自習(xí)室的概率為；如果他第一天去自習(xí)室，則第二天去自習(xí)室的概率為.下列說法正確的是（）A.小王兩天都去自習(xí)室的概率為B.小王兩天都去自習(xí)室的概率為C.小王兩天去不同自習(xí)室的概率為D.如果他第二天去自習(xí)室，則第一天去自習(xí)室的概率為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及獨(dú)立事件概率公式計算即可判斷.【詳解】設(shè)小王第一天去自習(xí)室A的事件為，第二天去自習(xí)室A的事件為，設(shè)小王第一天去自習(xí)室的事件為，第二天去自習(xí)室的事件為，由題意，，，又，所以，則，所以B正確；因為，所以，所以A錯誤；設(shè)小王兩天去不同自習(xí)室的事件為C，則，所以C正確；，所以D錯誤；故選：BC12.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)（也叫圓函數(shù)）是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)．最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，從它們可以導(dǎo)出雙曲正切函數(shù)等，則下列說法正確的是（）A.B.恒成立C.，D，且，則【答案】ACD【解析】【分析】通過計算和即可判斷A；求出和的值域，即可判斷B；首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再設(shè)，，判斷出在的單調(diào)遞增，且，得出，即可判斷C；不妨設(shè)，由在上單調(diào)遞增，得出，即可判斷D．【詳解】對于A：，，，，所以，故A正確；對于B：設(shè)，則，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，所以，故B錯誤；對于C：因為，所以在上單調(diào)遞增，設(shè)，，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，，故C正確；對于D：不妨設(shè)，則，由C得，，在上單調(diào)遞增，且，又因為，即為上奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故D正確，故選：ACD．第Ⅱ卷（60分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.求函數(shù)在上的最大值_________．【答案】##【解析】【分析】由得出在上單調(diào)遞增，即可得出最大值．【詳解】，因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故答案為：．14.在的展開式中，若按的升冪進(jìn)行排列，則第3項為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，展開計算的系數(shù)即可.【詳解】由，可得按的升冪進(jìn)行排列分別為常數(shù)項，的項和的項，故第3項為含的項.其中的項為.故答案為：15.一個盒子中有個大小相同的小球，其中個紅球，個白球，從中隨機(jī)有放回的抽出個球作為樣本，用表示樣本中紅球的個數(shù)，則樣本中紅球的比例與總體中紅球的比例之差的絕對值不超過的概率為_________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)二項分布的概率公式求出，，依題意可得，從而得到或，則所求概率.【詳解】有放回摸球，每次摸到紅球的概率為，且每次試驗之間的結(jié)果是獨(dú)立的，所以，則，，又總體中紅球的比例為，則，解得，即或，所以樣本中紅球的比例與總體中紅球的比例之差的絕對值不超過的概率.故答案為：16.用紅、橙、黃、綠四種顏色給圖中的正方體展開圖的六個區(qū)域涂色，要求展開后相鄰區(qū)域的顏色以及還原回正方體后的相鄰面所涂顏色均不同，共有_________種不同的涂色方法．【答案】96【解析】【分析】依題意可得正方體三組對面中至少有兩組必須分別涂上相同的顏色，分情況分別計算即可.【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個對面，、為左右兩個對面，、為上下兩個對面，依題意，正方體三組對面中至少有兩組必須分別涂上相同的顏色，當(dāng)三組對面中有兩組顏色分別相同時，共有種不同的涂色方法；當(dāng)三組對面顏色分別相同時，共有種不同的涂色方法.綜上所述，共有72+24=96種不同的涂色方法.故答案為：96四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在二項式的展開式中，已知第2項與第8項的二項式系數(shù)相等．（1）求展開式中各項系數(shù)之和；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中的有理項．【答案】（1）0（2）（3）有理項為，，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可得，令，即可得各項系數(shù)之和；（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時，二項式系數(shù)最大，結(jié)合展開式的通項公式運(yùn)算求解；（3）結(jié)合展開式的通項公式運(yùn)算求解，令，運(yùn)算求解.【小問1詳解】依題意，由組合數(shù)的性質(zhì)得，令，得展開式中各項系數(shù)之和為.【小問2詳解】因為二項式的展開式的通項為，因為，所以二項式的展開式中二項式系數(shù)最大的項為.【小問3詳解】由（2）可得：二項式的展開式的通項為，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述：二項式展開式中的有理項為，，18.今年剛過去的4月份是“全國消費(fèi)促進(jìn)月”，各地拼起了特色經(jīng)濟(jì)”，帶動消費(fèi)復(fù)蘇、市場回暖.“小餅烤爐加蘸料，靈魂燒烤三件套”，最近，淄博燒烤在社交媒體火爆出圈，吸引全國各地的游客坐著高鐵，直奔燒烤店，而多家店鋪的營業(yè)額也在近一個月內(nèi)實(shí)現(xiàn)了成倍增長.因此某燒烤店老板考慮投入更多的人工成本，現(xiàn)有以往的服務(wù)人員增量x（單位：人）與年收益增量y單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：服務(wù)人員增量x/人234681013年收益增量y/萬元13223142505658據(jù)此，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得與的一元線性經(jīng)驗回歸方程為；模型②：由散點(diǎn)圖（如圖）的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近．對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計的量的值：，，，，其中，（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（精確到0.1）；（2）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2附：樣本的最小二乘估計公式為，，刻畫樣本回歸效果的決定系數(shù)【答案】（1）＝21.3－14.4（2）模型①的R2小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，92.1萬元．【解析】【分析】（1）令，則，然后根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式可求出模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）由表中的數(shù)據(jù)和樣本回歸效果的決定系數(shù)可判斷回歸模型②刻畫的擬合效果更好，再根據(jù)模型②的回歸方程可預(yù)測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量．【小問1詳解】令，則.由參考數(shù)據(jù)得＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，所以，模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝21.3－14.4．【小問2詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4＞79.2，即，模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好當(dāng)x＝25時，模型②的收益增量的預(yù)測值為＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(萬元)．所以預(yù)測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量為92.1萬元．19.針對“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委正在對“性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”做相關(guān)研究．現(xiàn)從本校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到下表：是否追星性別合計男生女生追星4570不追星20合計100（1）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián)？（2）根據(jù)是否追星，在樣本的女生中，按照分層抽樣的方法抽取9人作為研究小組．為了更詳細(xì)地了解情況，再從研究小組中隨機(jī)抽取4人，求抽到追星人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：下表給出了獨(dú)立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．0.0500.0250.0100.0013.84105.0246.63510.828【答案】（1）表格見解析，有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表，再計算卡方對比表格判斷即可；（2）由題意可知，可能取值為0，1，2，3，4，再求解分布列計算數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】列聯(lián)表補(bǔ)充為是否追星性別合計男性女性追星452570不追星102030合計5545100零假設(shè)性別與中學(xué)生追星無關(guān)聯(lián).，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.【小問2詳解】由題意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，4.，，，，，的分布列為0123420.某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部），需另外投入成本萬元，其中，已知每部的售價為5000元，且生產(chǎn)的當(dāng)年全部銷售完.（1）求2023年該款的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤等于收入減去成本即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以.【小問2詳解】當(dāng)時，,∴當(dāng)時，，當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.21.為提高學(xué)生運(yùn)動的積極性，某校擬在六月初進(jìn)行高二年級班級籃球賽.體育教師隨機(jī)記錄了高二三班體育委員小楊在五月份中“定點(diǎn)投籃”訓(xùn)練中的成績.小楊每天進(jìn)行投籃訓(xùn)練100次，每次投籃命中得1分，否則不得分，且每次命中結(jié)果互不影響.得到如下頻率分布直方圖．（1）①求小楊在五月份“定點(diǎn)投籃”訓(xùn)練成績樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）②若小楊在五月份“定點(diǎn)投籃”訓(xùn)練成績近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求的值；（2）為進(jìn)一步激發(fā)小楊的訓(xùn)練斗志，體育老師特安排二班體育委員小王與其進(jìn)行比賽.兩人分別連續(xù)投籃100次，小楊得分達(dá)到80分為獲勝，否則小王獲勝．若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束，記比賽的局?jǐn)?shù)為．以頻率分布直方圖中小楊獲勝的頻率作為概率