專題13 三角形基礎(chǔ)（講義）（原卷版）

專題13三角形基礎(chǔ)核心知識(shí)點(diǎn)精講理解三角形的概念；理解掌握三角形中的主要線段；理解掌握三角形的穩(wěn)定性并能理解其在生活中的應(yīng)用；掌握三角形的特性與表示；理解掌握三角形的分類方法；掌握三角形的三邊關(guān)系定理及推論；理解掌握三角形的內(nèi)角和定理及推論；理解掌握三角形面積的計(jì)算方法。考點(diǎn)1三角形中的主要線段（1）三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。（2）三角形中的主要線段（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）?？键c(diǎn)2三角形的穩(wěn)定性、特性與表示、分類1.三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。2.三角形的特性與表示三角形有下面三個(gè)特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。3.三角形的分類三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形?？键c(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系定理及推論（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系?？键c(diǎn)4三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角?？键c(diǎn)5三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．考點(diǎn)6三角形的面積三角形的面積=×底×高【題型1：三角形中的主要線段】【典例1】（2022?臺(tái)山市模擬）如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長(zhǎng)為22，AB比AC長(zhǎng)3，則△ACD的周長(zhǎng)為．1．（2023?佛山模擬）如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定2．（2022?新會(huì)區(qū)校級(jí)三模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．3．（2022?乳源縣三模）如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周長(zhǎng)為20，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．17 B．23 C．25 D．284．（2023?潮南區(qū)模擬）如果線段AO和線段BO分別是△MNO邊MN上的中線和高，那么下列判斷正確的是（）A．AO＞BO B．AO≥BO C．AO＜BO D．AO≤BO【題型2：三角形的穩(wěn)定性】【典例2】（2022?廣東）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．三角形 B．平行四邊形 C．長(zhǎng)方形 D．正方形1．（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（）A．平行四邊形 B．三角形 C．長(zhǎng)方形 D．正方形2．（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）要使下面的木架不變形，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，以增加使用梯子時(shí)的安全性，這樣做蘊(yùn)含的道理是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．三角形具有穩(wěn)定性 C．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線 D．垂線段最短【題型3：三角形的三邊關(guān)系定理及推理】【典例4】（2023?禪城區(qū)三模）如果一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)分別等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)可能是20嗎？．（填“可能”或“不可能”）1．（2023?蓬江區(qū)校級(jí)三模）在下列長(zhǎng)度的各組線段中，能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，52．（2023?茂南區(qū)三模）從長(zhǎng)度為1、3、5、7的四條線段中，任意取出三條線段，能圍成三角形的是（）A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，73.（2023?增城區(qū)一模）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則下列數(shù)據(jù)中能作為第三邊長(zhǎng)的是（）A．13 B．6 C．5 D．4【題型4：三角形的內(nèi)角和定理及推論】【典例4】（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，能利用圖中作法：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，證明三角形內(nèi)角和是180°的原理是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等1．（2022?東莞市校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，若∠BDE＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．（2023?廣東模擬）一副三角板按如圖所示放置，∠C＝30°，∠E＝45°，則∠EDC的大小為（）A．80° B．75° C．70° D．60°3．（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，則∠ADC＝110°．4．（2023?惠州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E．求∠BDE的度數(shù)．【題型5：三角形的外角性質(zhì)】【典例5】（2023?韶關(guān)一模）將一副三角板按如圖方式重疊，則∠1的度數(shù)為．1．（2023?越秀區(qū)校級(jí)一模）將一副直角三角板按圖放置，使含30°的三角板的短直角邊和含45°的三角板的一條直角邊重合，則∠1度數(shù)的為（）A．60° B．70° C．75° D．80°2．（2023?河源一模）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數(shù)是（）A．75° B．105° C．115° D．100°3．（2023?南山區(qū)校級(jí)一模）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數(shù)是（）A．75° B．105° C．115° D．100°【題型6：三角形的面積】【典例6】（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則陰影部分的面積為1631．（2023?梅州一模）如圖，△ABC的面積為30，BD＝2CD，E為AB的中點(diǎn)，則△ADE的面積等于（）A．15 B．12 C．10 D．92．（2022?中山市一模）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A．3+22 B．1+2 C．22 D3．（2023?福田區(qū)校級(jí)二模）10個(gè)全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點(diǎn)P、X、Y是小正方形的頂點(diǎn)，Q是邊XY一點(diǎn)．若線段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分，則XQQYA．12 B．23 C．25 一．選擇題（共10小題）1．用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．2．木工師傅要做一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度分別為13和8的木條，則第三根木條的長(zhǎng)度可以是（）A．5 B．20 C．21 D．233．已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是5和9，則此三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．4 B．10 C．15 D．204．如圖，∠CBD是△ABC的一個(gè)外角，∠CBD＝80°，∠A＝45°，則∠C＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°5．如圖三個(gè)完全一樣的梯形中，陰影部分的面積相比（）A．甲的最大 B．乙的最大 C．丙的最大 D．一樣大6．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形7．下列各組線段中，不能組成三角形的是（）A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，10 D．2，3，38．若長(zhǎng)度分別為x，2，5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則x的值可能是（）A．1 B．2 C．5 D．79．如圖，兩根竹竿AB和BD斜靠在墻上，量得∠CAB，∠CDB的度數(shù)分別為38°和26°，那么∠ABD的度數(shù)為（）A．10° B．11° C．12° D．13°10．以下列各組線段的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，能組成三角形的是（）A．2、3、4 B．1、3、2 C．3、4、8 D．5、6、12二．填空題（共5小題）11．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝64°，∠F＝°．12．西雙版納大橋是云南省境內(nèi)一座橋梁，位于西雙版納州府景洪市，跨越潤(rùn)滄江，是西雙版納十大標(biāo)志性建筑之一，如圖，西雙版納大橋中的斜拉索、索塔和橋面構(gòu)成了一個(gè)三角形，這樣使其更穩(wěn)固，其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是．13．如圖是一個(gè)四邊形木架ABCD．（1）加上木條BD后，木架不易變形，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．（2）若∠A＝∠C，BD平分∠ABC，且AB＝5，CD＝12，則四邊形木架的周長(zhǎng)為．14．將一副常規(guī)三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1＝°．15．如圖，在△ABC中，∠A＝89°，∠B＝40°，則∠ACD＝°．三．解答題（共3小題）16．如圖，AD，BE分別是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的長(zhǎng)．17．已知某三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，第三邊是方程x2﹣10x+25＝0的根，判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由．18．已知，三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，OA＝a，頂點(diǎn)B在第一象限，且點(diǎn)B到兩坐標(biāo)軸的距離均為b，頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OC＝c，其中a，b，c滿足：（a﹣1）2+|b﹣2|+c-a-b=（1）則a＝，b＝，c＝；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作直線BM∥AC，與x軸交于點(diǎn)D．①求三角形ABC的面積和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)E是線段OD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是射線DB上一點(diǎn)，設(shè)∠ACO＝α，若∠AEF＝7α，∠EFD＝kα﹣90°，請(qǐng)直接寫出k的值．

一．選擇題（共5小題）1．如圖，若CD是△ABC的中線，AB＝20，則BD＝（）A．12 B．10 C．16 D．82．如圖，分別過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°3．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4，6，則第三邊長(zhǎng)的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝36°，∠ACB＝62°，BE平分∠ABC，點(diǎn)D為BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF⊥AC于點(diǎn)F，則∠BDF的度數(shù)為（）A．8° B．12° C．13° D．15°5．如圖，AB∥CD，∠A＝∠BCD，點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，連接BM，延長(zhǎng)BM、CD交于點(diǎn)P．點(diǎn)N是邊BC上一點(diǎn)，連接MN，使得∠NMC＝∠MCN，作∠NMP的平分線MQ交CP于點(diǎn)Q．若∠CMQ＝α，則∠AMP的度數(shù)用含α的式子表示為（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．45°+α D．90°+α二．填空題（共3小題）6．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高線．若∠B＝48°，∠C＝70°，則∠DAE＝°．7．一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2：5：3，這個(gè)三角形是三角形．8．如圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)，則格點(diǎn)四邊形ABCD（四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上）的面積為．三．解答題（共3小題）9．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，CE是AB邊上的高，若∠DCE＝10°，∠B＝70°，求∠A的度數(shù)．10．如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作∠ODB＝∠AOB，交BC于點(diǎn)D，△ABC的外角∠ACE的角平