2023-2024學年邢臺市一中高二數(shù)學下學期期中測試卷附答案解析

-2024學年邢臺市一中高二數(shù)學下學期期中測試卷本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．求的值為（

）A．12 B．18 C．24 D．302．已知，則（

）A． B．2 C． D．3．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C． D．4．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．5．如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線C的左支交于點A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．6．已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，7．令，則當時，a除以15所得余數(shù)為（

）A．4 B．1 C．2 D．08．設A，B，C，D為拋物線上不同的四點，A，D關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點D處的切線l.設點D到直線和直線的距離分別為，，已知.則（

）A． B． C．1 D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．（多選）滿足下列條件的點P的軌跡一定在雙曲線上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝210．身高各不相同的六位同學站成一排照相，則說法正確的是（

）A．A、C、D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B．A與同學不相鄰，共有種站法C．A、C、D三位同學必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法11．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．若，則有兩個極值點B．若是的唯一極值點，則C．有唯一極值點的充要條件是D．若有三個極值點，，，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．“圓排列”亦稱“循環(huán)排列”“環(huán)排列”，最早出現(xiàn)在中國《易經(jīng)》的四象八卦組合.當A，B，C三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“ABC”與該排列旋轉一個或幾個位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一個排列，現(xiàn)有六位同學圍成一個圓做游戲，其排列總數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為．14．已知函數(shù)，若，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.15．已知，函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，求的取值范圍．16．“三角垛，下廣，一面一十二個，上尖，問：計幾何?”過去，商人們在堆放瓶瓶罐罐這類物品時，為了節(jié)省地方，常把它們壘成許多層，俗稱“垛”，每層擺成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1層1個，第2層（）個，第3層（）個，這樣一道題目：用現(xiàn)在的話說，其意思就是：“有一個三角垛，最底層每條邊上有12個物體，最上層只有1個尖），問：總共有多少個物體?”(1)第12層有多少個?（寫出計算過程）(2)若用表示第n層的物體個數(shù)，請做如下計算：①的值為多少；②求數(shù)列的前2024項和.17．已知雙曲線的右焦點F到其漸進線的距離為，又P為雙曲線上一點，且滿足：軸，且.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過F點作直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點（A、B不與P點重合），且與交于Q點，問：是否存在常數(shù)t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由.18．已知函數(shù)(1)若，求的取值范圍；(2)若既存在極大值，又存在極小值.①求a的取值范圍；②當時，分別為的極大值點和極小值點，且，求實數(shù)k的取值范圍.19．在數(shù)列中，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．(1)若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，請說明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；(3)若正項數(shù)列為“數(shù)列”，且，，證明：．1．B【分析】利用排列數(shù)的計算方法即可得解.【詳解】.故選：B.2．A【分析】對式子進行變形，結合導數(shù)的定義即可求解.【詳解】故選：A.3．C【分析】根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項，即可得到規(guī)律，從而求出.【詳解】數(shù)列中，由，，得，同理可得，，…，所以，則.故選：C.4．B【分析】利用等比數(shù)列的性質，結合對數(shù)的運算法則即可得解.【詳解】因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選：B.5．C【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C【點睛】易錯點睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應注意其區(qū)別與聯(lián)系.6．A【分析】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數(shù)相等建立方程，解出即可.【詳解】設直線與曲線的切點為且，與曲線的切點為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故，故選：A.7．D【分析】當，利用二項式定理化簡得，結合二項式的展開式公式即可求解.【詳解】，當時，故a除以15所得余數(shù)為0.故選：D.8．B【分析】設，，，，由導數(shù)的幾何意義求得，由，，可得，則有，又，得，可求的值.【詳解】由題意可設，，，.拋物線方程，即，由，所以點D處切線的斜率為，，，，因此，即，平行于軸，，則點D到直線和直線的距離相等，即.又，，所以.所以.故選：B.9．BCD【詳解】解析：因為|PA－PB|＝5＝AB，所以點P的軌跡是兩條射線，故A不正確；設P（x，y）（x≠±2），因為kPA·kPB＝·＝2，化簡得y2＝2（x2－4），即－＝1，此時P的軌跡在雙曲線上，故B正確；設P（x，y）（x≠±2），因為kPA·kPB＝·＝1，化簡得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此時P的軌跡在雙曲線上，故C正確；因為PA－PB＝2＜5＝AB，此時P的軌跡在雙曲線上，故D正確．10．ABD【分析】由定序排列即可判斷A；由插空法即可判斷B；由捆綁法即可判斷C；分類討論的位置即可判斷D．【詳解】對于A，將三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有種站法，故A正確；對于B，先排，共有種站法，A與同學插空站，有種站法，故共有種站法，故B正確；對于C，將三位同學捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有種站法，故共有種站法，故C錯誤；對于D，當在排尾時，隨意站，則有種站法；當不在排頭也不在排尾時，有種，有種，剩下同學隨意站有種，共有種，故A不在排頭，B不在排尾，共有種站法，故D正確；故選：ABD．11．ABD【分析】根據(jù)導數(shù)的零點情況可判斷A，根據(jù)導數(shù)有唯一零點，轉化為恒成立求范圍判斷B，結合B可判斷C，由題意轉化為，構造函數(shù)利用函數(shù)單調性證明即可判斷D.【詳解】時，由可知，由函數(shù)，圖象，顯然方程有唯一負根，即有變號零點，所以有兩個變號零點，所以函數(shù)有兩個極值點，故A正確；若是的唯一極值點，則恒成立，若，為增函數(shù)，時，不成立，若，則恒成立，令，當時，，在單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以當時，，所以，B正確；，即當時，，此時由，由可得，當，當，所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，顯然可得，所以，又，故存在使，所以函數(shù)有兩個零點3和，是的不變號零點，是的變號零點，所以3不是的極值點，時，有唯一極值點，C錯誤；有三個極值點，，必有兩個零點且都不為3，不妨設，則必有兩個不同零點，，不妨設，則單調遞增，且有唯一零點，故，此時零點，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，由有兩零點可知，即，，又，所以存在零點，時，，所以必存在，且，令，即，令，下面證明，令，則是增函數(shù)，又∵，時，，即.當時，，即由可知，當時，，在單調遞減，，，，即，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：D選項中，由原問題可轉化為有兩個零點，轉化為中，為證明，構造函數(shù)，由函數(shù)的單調性得出，，即，是解題的關鍵.12．120【分析】由條件中所舉的3個人的“環(huán)排列”，確定“環(huán)排列”的公式，即可求解.【詳解】三位同學圍成一個圓，“”“”或“”是同一排列，其中每一個圓排列可以拆成任意一位同學為首的直線排列3個.三位同學圍成一個圓的排列總數(shù)為，由此可得六位同學圍成一個圓的排列總數(shù)為.故答案為：13．10【分析】連接，，則由橢圓的中心對稱性將的周長轉化為，所以當取最小值時，周長最小【詳解】解：橢圓的方程為，∴，，，連接，，則由橢圓的中心對稱性可得的周長，當AB位于短軸的端點時，取最小值，最小值為，．故答案為：1014．【分析】法1，利用導數(shù)探討函數(shù)單調性，求出的最小值；法2，由已知可得，換元構造函數(shù)并利用導數(shù)求出最小值即可.【詳解】解法l：隱零點處理策略函數(shù)的定義域為，求導得，令，求導得，函數(shù)在上單調遞增，由，，得在上存在唯一的零點，即，于是當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.解法2：同構變形依題意，，令，，設，求導得，當時，，當，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以的最小值為.故答案為：15．（1）2；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意知切線的斜率為，求導代入可得，求解即可；（2）根據(jù)題意可得在上恒成立，參變分離可得，求函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）因為，所以曲線在點處的切線斜率．而直線的斜率為，則，得．（2）由在上單調遞減，得在上恒成立，即在上恒成立．又時，，所以，所以的取值范圍是．16．(1)78(2)①；②【分析】（1）由每一層的數(shù)量規(guī)律，求第12層的數(shù)量；（2）由每一層的數(shù)量規(guī)律，求的值，再利用裂項相消求數(shù)列的前2024項和.【詳解】（1）第12層的物品個數(shù)為：.（2）①；②，.17．(1)(2)存在，【分析】（1）由右焦點F到其漸進線的距離為可得，由軸，且可得，從而可得雙曲線的標準方程；（2）根據(jù)題意，先寫出直線直線方程，并求的坐標，然后直線與雙曲線聯(lián)立方程組，消去，得一元二次方程，進而求的取值范圍，從而通過的計算化簡可得結論.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，右焦點到漸近線的距離，得.設，則，得，即，于是由，得雙曲線標準方程為：.（2）由（1），不妨令，且，因為過F點作直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點（A、B不與P點重合），所以直線的斜率存在，即直線方程為，則，因此.由聯(lián)立并化簡得，令，，則，∵直線與雙曲線右支相交，，或，.存在，使得成立.【點睛】易錯點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于較難題.解決該問題應該注意的事項：（1）寫直線方程的時候要考慮斜率是否存在；（2）直線與雙曲線右支相交的時候.18．(1)(2)①；②【分析】（1）利用導數(shù)求出在單調遞增，在單調遞減，得在處取得極大值，即為的最大值，無最小值，從而可得結果；（2）①求出導數(shù)，依題意方程有兩個不等實根，得出且，反之，當時和時分別求出函數(shù)的單調區(qū)間可得結果；②由①可知的極大值點為，極小值點為，將已知條件轉化為恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)對變量m進行分類討論可得結果.【詳解】（1）當時，，則有，令，所以在單調遞增，令，所以在單調遞減，所以在處取得極大值，即為的最大值，無最小值.所以.（2）.因為存在極大值和極小值，所以方程有兩個不等實根.所以且.這是必要條件，下面證明充分性.令，解得或.①當時，，令，解得或，所以在和上單調遞增；令，解得時，所以在單調遞減.故當時，取得極大值；當時，取得極小值.當時，，令，解得或，所以在和上單調遞增；令，解得，所以在單調遞減.故當時，取得極小值；當時，取得極大值.綜上所述，a的取值范圍為.②當時，由①可知的極大值點為，極小值點為，所以，.因為，令，可得對任意恒成立.由于此時在上單調遞減，所以，故，故，即.設，則，令（*），，（I）當時，，故，在上單調遞增.故，即，符合題意.（Ⅱ）當時，，設（*）的兩根為和，且，則，，故，則當時，，單調遞減.故當時，，即矛盾，不符合題意.綜上，，即，所以，故k的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題第（2）問中的第②小問關鍵是由①可知的極大值點為，極小值點為，將已知條件轉化為恒成立，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)對變量m進行分類討論，從而可得結果.19．(1)數(shù)列不是“數(shù)列”(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求出即可判斷；（2）根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，化為，進而求得，作差有，根據(jù)已知條件化為，解出，由此求出，即可求