2023-2024學(xué)年邢臺(tái)市一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年邢臺(tái)市一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中測(cè)試卷本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．求的值為（

）A．12 B．18 C．24 D．302．已知，則（

）A． B．2 C． D．3．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C． D．4．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．5．如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．6．已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，7．令，則當(dāng)時(shí)，a除以15所得余數(shù)為（

）A．4 B．1 C．2 D．08．設(shè)A，B，C，D為拋物線上不同的四點(diǎn)，A，D關(guān)于該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，平行于該拋物線在點(diǎn)D處的切線l.設(shè)點(diǎn)D到直線和直線的距離分別為，，已知.則（

）A． B． C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．（多選）滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)P的軌跡一定在雙曲線上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝210．身高各不相同的六位同學(xué)站成一排照相，則說(shuō)法正確的是（

）A．A、C、D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B．A與同學(xué)不相鄰，共有種站法C．A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則有兩個(gè)極值點(diǎn)B．若是的唯一極值點(diǎn)，則C．有唯一極值點(diǎn)的充要條件是D．若有三個(gè)極值點(diǎn)，，，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．“圓排列”亦稱(chēng)“循環(huán)排列”“環(huán)排列”，最早出現(xiàn)在中國(guó)《易經(jīng)》的四象八卦組合.當(dāng)A，B，C三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，其中一個(gè)排列“ABC”與該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)或幾個(gè)位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一個(gè)排列，現(xiàn)有六位同學(xué)圍成一個(gè)圓做游戲，其排列總數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．已知橢圓的方程為，過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．14．已知函數(shù)，若，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算步驟.15．已知，函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍．16．“三角垛，下廣，一面一十二個(gè)，上尖，問(wèn)：計(jì)幾何?”過(guò)去，商人們?cè)诙逊牌科抗薰捱@類(lèi)物品時(shí)，為了節(jié)省地方，常把它們壘成許多層，俗稱(chēng)“垛”，每層擺成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1層1個(gè)，第2層（）個(gè)，第3層（）個(gè)，這樣一道題目：用現(xiàn)在的話(huà)說(shuō)，其意思就是：“有一個(gè)三角垛，最底層每條邊上有12個(gè)物體，最上層只有1個(gè)尖），問(wèn)：總共有多少個(gè)物體?”(1)第12層有多少個(gè)?（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）(2)若用表示第n層的物體個(gè)數(shù)，請(qǐng)做如下計(jì)算：①的值為多少；②求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.17．已知雙曲線的右焦點(diǎn)F到其漸進(jìn)線的距離為，又P為雙曲線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足：軸，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)F點(diǎn)作直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)（A、B不與P點(diǎn)重合），且與交于Q點(diǎn)，問(wèn)：是否存在常數(shù)t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知函數(shù)(1)若，求的取值范圍；(2)若既存在極大值，又存在極小值.①求a的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．在數(shù)列中，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．(1)若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若正項(xiàng)數(shù)列為“數(shù)列”，且，，證明：．1．B【分析】利用排列數(shù)的計(jì)算方法即可得解.【詳解】.故選：B.2．A【分析】對(duì)式子進(jìn)行變形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】故選：A.3．C【分析】根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到規(guī)律，從而求出.【詳解】數(shù)列中，由，，得，同理可得，，…，所以，則.故選：C.4．B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選：B.5．C【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.6．A【分析】設(shè)出切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為且，與曲線的切點(diǎn)為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故，故選：A.7．D【分析】當(dāng)，利用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)得，結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式公式即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，故a除以15所得余數(shù)為0.故選：D.8．B【分析】設(shè)，，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，由，，可得，則有，又，得，可求的值.【詳解】由題意可設(shè)，，，.拋物線方程，即，由，所以點(diǎn)D處切線的斜率為，，，，因此，即，平行于軸，，則點(diǎn)D到直線和直線的距離相等，即.又，，所以.所以.故選：B.9．BCD【詳解】解析：因?yàn)閨PA－PB|＝5＝AB，所以點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故A不正確；設(shè)P（x，y）（x≠±2），因?yàn)閗PA·kPB＝·＝2，化簡(jiǎn)得y2＝2（x2－4），即－＝1，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故B正確；設(shè)P（x，y）（x≠±2），因?yàn)閗PA·kPB＝·＝1，化簡(jiǎn)得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故C正確；因?yàn)镻A－PB＝2＜5＝AB，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故D正確．10．ABD【分析】由定序排列即可判斷A；由插空法即可判斷B；由捆綁法即可判斷C；分類(lèi)討論的位置即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，將三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有種站法，故A正確；對(duì)于B，先排，共有種站法，A與同學(xué)插空站，有種站法，故共有種站法，故B正確；對(duì)于C，將三位同學(xué)捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有種站法，故共有種站法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)在排尾時(shí)，隨意站，則有種站法；當(dāng)不在排頭也不在排尾時(shí)，有種，有種，剩下同學(xué)隨意站有種，共有種，故A不在排頭，B不在排尾，共有種站法，故D正確；故選：ABD．11．ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)情況可判斷A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)有唯一零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為恒成立求范圍判斷B，結(jié)合B可判斷C，由題意轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可判斷D.【詳解】時(shí)，由可知，由函數(shù)，圖象，顯然方程有唯一負(fù)根，即有變號(hào)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；若是的唯一極值點(diǎn)，則恒成立，若，為增函數(shù)，時(shí)，不成立，若，則恒成立，令，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，B正確；，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)由，由可得，當(dāng)，當(dāng)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，顯然可得，所以，又，故存在使，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)3和，是的不變號(hào)零點(diǎn)，是的變號(hào)零點(diǎn)，所以3不是的極值點(diǎn)，時(shí)，有唯一極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；有三個(gè)極值點(diǎn)，，必有兩個(gè)零點(diǎn)且都不為3，不妨設(shè)，則必有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，不妨設(shè)，則單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)，故，此時(shí)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由有兩零點(diǎn)可知，即，，又，所以存在零點(diǎn)，時(shí)，，所以必存在，且，令，即，令，下面證明，令，則是增函數(shù)，又∵，時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，，即由可知，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，，，即，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中，由原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為中，為證明，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性得出，，即，是解題的關(guān)鍵.12．120【分析】由條件中所舉的3個(gè)人的“環(huán)排列”，確定“環(huán)排列”的公式，即可求解.【詳解】三位同學(xué)圍成一個(gè)圓，“”“”或“”是同一排列，其中每一個(gè)圓排列可以拆成任意一位同學(xué)為首的直線排列3個(gè).三位同學(xué)圍成一個(gè)圓的排列總數(shù)為，由此可得六位同學(xué)圍成一個(gè)圓的排列總數(shù)為.故答案為：13．10【分析】連接，，則由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，所以當(dāng)取最小值時(shí)，周長(zhǎng)最小【詳解】解：橢圓的方程為，∴，，，連接，，則由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性可得的周長(zhǎng)，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，．故答案為：1014．【分析】法1，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，求出的最小值；法2，由已知可得，換元構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.【詳解】解法l：隱零點(diǎn)處理策略函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，，得在上存在唯一的零點(diǎn)，即，于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.解法2：同構(gòu)變形依題意，，令，，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故答案為：15．（1）2；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意知切線的斜率為，求導(dǎo)代入可得，求解即可；（2）根據(jù)題意可得在上恒成立，參變分離可得，求函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率．而直線的斜率為，則，得．（2）由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，即在上恒成立．又時(shí)，，所以，所以的取值范圍是．16．(1)78(2)①；②【分析】（1）由每一層的數(shù)量規(guī)律，求第12層的數(shù)量；（2）由每一層的數(shù)量規(guī)律，求的值，再利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.【詳解】（1）第12層的物品個(gè)數(shù)為：.（2）①；②，.17．(1)(2)存在，【分析】（1）由右焦點(diǎn)F到其漸進(jìn)線的距離為可得，由軸，且可得，從而可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，先寫(xiě)出直線直線方程，并求的坐標(biāo)，然后直線與雙曲線聯(lián)立方程組，消去，得一元二次方程，進(jìn)而求的取值范圍，從而通過(guò)的計(jì)算化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，得.設(shè)，則，得，即，于是由，得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1），不妨令，且，因?yàn)檫^(guò)F點(diǎn)作直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)（A、B不與P點(diǎn)重合），所以直線的斜率存在，即直線方程為，則，因此.由聯(lián)立并化簡(jiǎn)得，令，，則，∵直線與雙曲線右支相交，，或，.存在，使得成立.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，屬于較難題.解決該問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：（1）寫(xiě)直線方程的時(shí)候要考慮斜率是否存在；（2）直線與雙曲線右支相交的時(shí)候.18．(1)(2)①；②【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，得在處取得極大值，即為的最大值，無(wú)最小值，從而可得結(jié)果；（2）①求出導(dǎo)數(shù)，依題意方程有兩個(gè)不等實(shí)根，得出且，反之，當(dāng)時(shí)和時(shí)分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得結(jié)果；②由①可知的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，將已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)變量m進(jìn)行分類(lèi)討論可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則有，令，所以在單調(diào)遞增，令，所以在單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即為的最大值，無(wú)最小值.所以.（2）.因?yàn)榇嬖跇O大值和極小值，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根.所以且.這是必要條件，下面證明充分性.令，解得或.①當(dāng)時(shí)，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增；令，解得時(shí)，所以在單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.當(dāng)時(shí)，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增；令，解得，所以在單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得極小值；當(dāng)時(shí)，取得極大值.綜上所述，a的取值范圍為.②當(dāng)時(shí)，由①可知的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，所以，.因?yàn)?，令，可得?duì)任意恒成立.由于此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，故，故，即.設(shè)，則，令（*），，（I）當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增.故，即，符合題意.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)（*）的兩根為和，且，則，，故，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，，即矛盾，不符合題意.綜上，，即，所以，故k的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)中的第②小問(wèn)關(guān)鍵是由①可知的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，將已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)變量m進(jìn)行分類(lèi)討論，從而可得結(jié)果.19．(1)數(shù)列不是“數(shù)列”(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求出即可判斷；（2）根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，化為，進(jìn)而求得，作差有，根據(jù)已知條件化為，解出，由此求出，即可求