專題04 倍長中線模型（原卷版）

專題04倍長中線模型【模型說明】【例題精講】例1．（基本模型）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則點(diǎn)A到直線CD的距離是_____．例2．（綜合應(yīng)用）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．例3．（培優(yōu)應(yīng)用）已知中，（1）如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長線上，連交的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練1】如圖，中，，E是的中點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上中線BD取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【課后作業(yè)】1．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．2．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）3．如圖，在銳角中，，點(diǎn)，分別是邊，上一動點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．4．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．5．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）6．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，