江西省鷹潭市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

鷹潭市2024屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共4頁.時(shí)間120分鐘.滿分

150分.

第I卷選擇題

單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂在答題卡上.

z(l+i)=|l+A/3i|

1.若復(fù)數(shù)z滿足,7?I,貝了=()

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的模公式及復(fù)數(shù)除法法則即可得解.

【詳解】因?yàn)椴?/p>

所以由z(l—i)=|l+6i],得2=二二2(；：)]+i

IIl-i(l-i)(l+i)

故選：B.

2.己知集合4={工|必—5x<6},集合5={x|行a},若貝匹的取值范圍為()

A.(6,+oo)B.[6,+co)C.(-oo,-l)D.(-co,l]

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合A及%A，根據(jù)集合的包含關(guān)系求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳={x|X?-5尤K6}={尤|尤2—5尤一6<0}={x|—1K尤?6},

44={%,<一1或%>6},

因?yàn)榧?={x|x?a},所以a>6,

故選：A.

3.南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾(FlorenceNightingale)設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)

扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國知識付費(fèi)用戶數(shù)量(單位：億

人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法正確的是（）

A.2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量先增加后減少

B.2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多

C.2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

【答案】D

【解析】

【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項(xiàng)，即可得解.

【詳解】對于A,由圖可知，2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加，故A錯(cuò)誤；

對于BC,知識付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：

2016年，0.96-0.48=0.48；2017年，1.88-0.96=0.92；

2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；

2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；

2022年，5.27—4.77=0.5；

則知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，

知識付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故BC錯(cuò)誤；

對于D,由5.27>10x0.48,

則2022年知識付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍，故D正確.

故選：D.

4.設(shè)。、〃是兩條不同的直線，a、尸是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若。///?,alia,則M/aB.若。，少，aLa,bL（3,則

C.若。J_〃，a±/3,則a//aD.若。_L〃，alia,則a，，

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷ACD,利用空間向量判斷線面位置關(guān)系，從而

判斷B,由此得解.

【詳解】對于A,若allb,alia,則有可能故A錯(cuò)誤；

對于B,若a，1，b1j3,則直線。力的方向向量。力分別為平面萬法向量，

ii.c

又aLb，即。_LZn所以。工尸，故B正確；

對于C,若。，，，a±j3,則有可能autz,故C錯(cuò)誤；

對于D,若alia,則有可能。＜=尸，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

5.某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從800名職工中抽取了一個(gè)容量為80的樣

本.其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159,男女人數(shù)之比為

5:3,則單位職工體重的方差為（）

A.166B,167C.168D.169

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式即可得解.

【詳解】依題意，單位職工平均體重為-x=564+13x56=61,

88

則單位職工體重的方差為S2=1+（64-61）1-1--^159+（56-61）J=169.

故選：D.

cosf6^+—|cos23

6.已知Oe［。,2］，tan［e+4）——3tan6,I2）_二（）

友sin［9+：］

133

A.——B.--C.3D.-

255

【答案】D

【解析】

【分析】利用正切的和差公式化簡求得tan。=3,再利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與三角恒等變換，結(jié)合正余弦

的齊次式法即可得解.

【詳解】因?yàn)閠an［，+巴］=_?tan，，所以則史史=_2tan8,

I4j31—tan。3

又0,],即tan6>0,解得tan6=3,

所以^

cos0+—cors20-sind(cos26*-sin26)

=-sin6(cos6-sin。)

sin0+cos6

-sin0cos61+sin261-tan61+tan20-3+323

sin261+cos20tan20+132+15

故選：D.

22

7.已知橢圓E：x+Jl（a〉》〉0）的左焦點(diǎn)為產(chǎn)，如圖，過點(diǎn)尸作傾斜角為60°的直線與橢圓E交

—a7bT

于A,3兩點(diǎn)，M為線段A5的中點(diǎn)，若53Ml=|0尸|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓E的離心率為（)

邪B20。?半

亍

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出加點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)差法求得二，進(jìn)而可得橢圓離心率.

a

【詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)為歹（―c,0），怛叫=m。-=+,

過M作MM'Lx軸，垂足為W,由NM&W'=60。,

文，則M9V3、

----c,—c

1010

107

設(shè)，則有:=tan600=73,—9%+%—6

''-C,-C，

210210

噂+小++A-兩式相減得也「+也「"

1

則有4=-"4M2=-年'/

a(^+x2)(x1-x2)_?c3

5

所以

故選：B.

8.在滿足2<毛<上,球=短的實(shí)數(shù)對(4y)(z.=l,2,3,…中，使得%+%++%T<20%成

立的正整數(shù)”的最大值為()

A.22B.23C.30D.31

【答案】C

【解析】

InxIny.i

【分析】由球=力得一匚=-~],構(gòu)造函數(shù)/(x)='n(rxN2),利用導(dǎo)數(shù)求得外力的單調(diào)性，求

得％的取值范圍，結(jié)合不等式的知識即可得解.

In%.Iny.

【詳解】因2<xz.<x，球'二y;，所以一

設(shè)/■(x)=g(x22),貝ir(x)=kl^,

XX

令/<x)>0,則2c無<e,令/'(尤)<0,則%〉e,

所以/(九)在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

因?yàn)椤?)=/(4)=殍,2<蒼<加/(%)=/(%),

所以2<%<e<%<4,

所以X+%++K-i>e(〃—1)，又先<4，20yn<80,

on

要使得％+K++”_1<20%成立，只需e(八一1)<80,即〃<1+—土30.4,

e

所以正整數(shù)九的最大值為30.

故選：C.

Inx.Iny.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由域=短變換得—=一上，從而得以構(gòu)造函數(shù)

X-

/(x)=—(x>2),由此得解.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目的要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖所示，已知角生，的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A3,

M為線段AB的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)C,貝U(

|叫

B.=cos^^

一上一一/a+B.a+(3

點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜。$2，sin2

a+BB-a.a+B.B-a

D.點(diǎn)A/的坐標(biāo)為|cos------cos------,sin......-sin-------

2222

【答案】ABC

【解析】

【分析】由角的定義求解可判斷A；由圓的性質(zhì)及角的定義求解可判斷B；由三角函數(shù)定義求解可判斷

C；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及三角函數(shù)定義，結(jié)合角的變換、兩角和與差的余弦公式求解可判斷D.

JT

【詳解】對于A：因?yàn)镼<a<13<-,所以NAO5=〃—。，正確；

對于B：依題意”為線段A5的中點(diǎn)，則則NAOM=U-,

2

又|Q4|=1,所以QM=|OHCOSNAOM=COS2^,正確；

對于C：/為線段AB的中點(diǎn)，射線O河與單位圓交于點(diǎn)C,則C為A3的中點(diǎn)，

所以+,

22

又|OC|=1,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（cosWAsing3,正確；

%=g(無A+%B)=g(cosa+cos/7)=g(a+Ba—0、(a+B

對于D：COSI———l+cosl--^―

1ccBoc—BccB.cc—BccBcc—B.ccB.oc—B

=—cos----cos------sin-----sin----+cos----cos----+sin----sin...-

222222222

1a+Ba-Ba+Ba-B

=-?2cos----cos------=cos-----cos-----

22222

sin工+

%I2冒+可駕

1.ctBcc—Bct-\-B.cc—(3.ctBOL—BccB.oc—B

=—sin----cos----+cos----sin----+sin----cos------cos----sin...-

222222222

1..a/3oc—B.ctBa—B

=--2sin----cos----=sin----cos...-

22222

-a+BB-a.a+BP-oc\…

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為cos"cos",sm"cos",錯(cuò)誤.

[2222)

故選：ABC

10.一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,S為_A5c的面積，且。=2,

ABAC=2A/35,下列選項(xiàng)正確的是（）

AA=i

B.若6=2,則—ABC只有一解

C.若，ABC為銳角三角形，則〃取值范圍是(24,4]

D.若。為邊上的中點(diǎn)，則AD的最大值為2+6

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積公式及三角形面積公式可判定A,直接解三角形可判定B,利用角的范圍結(jié)合

正弦定理可判定C,利用平面向量中線的性質(zhì)及數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理、基本不等式可判定D.

【詳解】對于A,因?yàn)锳8.AC=2gs,所以灰?cosA=2Gx1bcsinA,則tanA=3,

23

因?yàn)锳e(O,7i),所以A=$,故A正確；

6

jr2冗

對于B,因?yàn)椤?2=〃，則3=A=—,C=—,故A5C只有一解，故B正確；

63

對于C,若為銳角三角形，則Cejo,^

71

0<B<

2jrjr

則<,則一＜3〈一，BPsinBG

32

0<7T-巴-2

由正弦定理可知：b=Z&=4sin3e（2j^4）,故C錯(cuò)誤;

sinA'，

對于D,若。為邊上的中點(diǎn)，則AD=g（AB+AC）,

所以AO?=:（癡+2AB.AC+AC?）=；（b2+c2+&c）

由余弦定理知CT^b2+c2-2bccosA^b~+c2-￡bc=4，得/+c?=用be+4，

又人2+=Mbc+4＞2bc，所以6cW--忑=4A+8,

當(dāng)且僅當(dāng)人=0=應(yīng)+痛時(shí)取得等號,

2[1]1—I

所以A。=—僅2+°2+屏4=—（4+2屜。＜—4+2^X（46+8）=7+46,

444--

即|AD|wg+4百=2+5故D正確.

故選：ABD.

jr

11.直四棱柱ABC?！狝耳G2的所有棱長都為4,點(diǎn)P在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),

且滿足|剛+歸。|=8,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.點(diǎn)尸的軌跡的長度為兀.

B.直線AP與平面瓦所成的角為定值.

C.點(diǎn)P到平面ADXBX的距離的最小值為漢H.

7

D./科?PC1的最小值為-2.

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示|可|+|尸q=8,化簡后得點(diǎn)尸的軌跡方程，得軌跡長度判斷A；向量

法求線面角判斷B,向量法求點(diǎn)到平面距離，結(jié)合點(diǎn)P的軌跡得最小值判斷C；坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，結(jié)合

點(diǎn)尸的軌跡最小值判斷D.

【詳解】直四棱柱ABC。-A4CR的所有棱長都為4,則底面A3CD為菱形，

7T

又ZBAD=-,則ZXABD和△CBD都是等邊三角形，

3

設(shè)5。與AC相交于點(diǎn)。，由BDLAC,以。為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過。垂直于底面的直

線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有A(2指,0,0),5(0,2,0)，4-26,0,0),。(0,—2,0),

4(2A/3,0,4),(0,2,4),C,(-273,0,4),(0,-2,4),

點(diǎn)P在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)P(0,y,z),-2<y<2,0<z<4,

由I尸山+|尸。|=8,有J(2@2+y2+z2+卜@2+y2+z2=8，

即y2+z2=4(-2<y<2,0<z<2),

所以點(diǎn)尸的軌跡為yOz平面內(nèi)，以。為圓心，2為半徑的半圓弧，

所以點(diǎn)尸的軌跡的長度為2兀，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

平面內(nèi)的法向量為加=(1,0,0),AP=^-2y/3,y,z),

AP-ir\2J3J

直線AP與平面BDD^所成的角為氏則sin8=——\=

AP||m|J12+/+Z22

冗7T

又由，e0,-,則

_2J3

所以直線AP與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確；

AB1=(-273,2,4),4^卜2石,—2,4),設(shè)平面AD內(nèi)的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

AB]?〃=_2迅工+2y+4z=0_/

則有《廠，令龍=2,得y=0,z=G，n—I2,0,v3I,

ADX-n--203X-2y+4z=0

lAP-nl1-273X2+A/3Z|1-473+

所以點(diǎn)P到平面AD^的距離d==/2㈣2=----布一，

0<z<2,所以z=2時(shí)，d=N+2，=2,

^7

所以點(diǎn)尸到平面A。耳的距離的最小值為2叵，C選項(xiàng)正確；

7

PA=(26-y,4-z),pq=/2百,—y,4—z),

PA?PG=-12+y2+(z—4『，其幾何意義為點(diǎn)P(y,z)到點(diǎn)(0,4)距離的平方減12,

由/+z2=4,點(diǎn)p(%z)到點(diǎn)(0,4)距離最小值為4—2=2,

/弭?PG的最小值為2?-12=-8,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

空間幾何體中的相關(guān)問題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)線面的位置關(guān)系，圖形中的角度和距離

等，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.

第II卷非選擇題

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.。：一：)的展開式中上的系數(shù)為______.

%-/x

【答案】-12

【解析】

【分析】由題意得的展開式通項(xiàng),令廠—4=1，求出廠回代到通項(xiàng)公式中去即可求解.

%y

1辛裕八(2%一丁)61yl屆開個(gè),國幣斗,

【詳解】-~J的展開式通項(xiàng)為

4r4

=。6(2：(-V)=晨26fx-y-,(0<r<6,reN*)，

xyxy\)

由題意令廠一4=1，解得r=5,

所以-的展開式中)的系數(shù)為C，26T(_1)5=_6X2=—12.

x2/X6一

故答案為：-12.

13.已知拋物線尤2=16》的焦點(diǎn)為尸，P是。上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)產(chǎn)作直線丁=左(1—4)+4的垂線，垂足為

Q，則|PQ|+|尸產(chǎn)|的最小值為.

【答案】6

【解析】

【分析】先分析得Q的軌跡，再利用拋物線的定義，結(jié)合圓的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】如圖所示，易知網(wǎng)0,4),直線丁=左"—4)+4過定點(diǎn)。(4,4),

因?yàn)槭?，。。，所?在以ED為直徑的圓上，

不妨設(shè)其圓心為E(2,4),顯然半徑|EQ|=2,

分別過瓦？作準(zhǔn)線了=-4的垂線近0,/>6,垂足為M,G,|EM|=8

結(jié)合拋物線定義有歸。|+歸耳=|PQ|+|P6>|PE|-|Ee|+|PG|>\EM\-\E^6,

當(dāng)且僅當(dāng)Q、P均在線段EM上時(shí)取得等號.

故答案為：6.

14.已知函數(shù)〃尤)，g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),且/■(x)+g'(x)-8=0,

2023

〃x—2)—g'(6—%)—8=0,若g(x)為偶函數(shù)，求.

n=\

【答案】16184

【解析】

【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與g(x)的奇偶性判斷g")的奇偶性，進(jìn)而推得g")與/⑺的周期性，再利

用賦值法求得了(2),/(4),/⑴+/(3)的值，從而得解.

【詳解】因?yàn)間(x)是偶函數(shù)，貝ijg(—x)=g(x),

兩邊求導(dǎo)得—g'(—x)=g'(x),所以g'㈤是奇函數(shù),故g'(0)=0,

由/(x)+g'(x)—8=0n/(x—2)+g'(x—2)—8=0n/(x—2)=8—g'(x—2),

代入了(九一2)—g'(6—%)—8=0,得8—g'(x—2)—g'(6—x)—8=0,

貝ijg—2)+g'(6—x)=0,所以g'(x+4)+g'(—x)=0,

又g'O)是奇函數(shù)，所以g'(x+4)=-g'(-x)=g'(x),

所以g'a)是周期函數(shù)，且周期為4,

又/(x)+g'(九)—8=0,可知/a)也是以4為周期的周期函數(shù)，

令x=4,得/(4)+g'(4)—8=/(4)+g'(0)—8=0,故*4)=8,

而g<2)=g'(2—4)=g'(—2)=—g'(2)所以g<2)=0,

令x=2,得/(2)+g<2)-8=0,則/⑵=8,

而八l)+g'⑴-8=0,/⑶+g'(3)—8=0,

又gQ)=g'(T)=-g'(l)，則/(1)+又3)=16,

2023

Zf⑺=505[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+f(X)+/(2)+/(3)

n=l

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案為：16184.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對稱性與周期性：

(1)若〃x+a)+/(-x+Z?)=c,則函數(shù)/(尤)關(guān)于中心對稱；

(2)若/(x+a)=/(—x+E),則函數(shù)/(%)關(guān)于x=對稱；

(3)若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)/(%)的周期為2a；

(4)若/(x+a)=—〃力,則函數(shù)〃尤)的周期為2a.

四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

C1

15.設(shè)S”為數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為[、公差為§的等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)令“二(2"，"",7；為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)積，證明：Tn<6-'.

Sn

2

【答案】(1)an=n

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列定義可得"，再利用熊與禽的關(guān)系即可得解；

(2)由S”與a“可得以，從而利用累乘法得到7；,進(jìn)而得證.

【小問1詳解】

C1

因?yàn)?"是首項(xiàng)為:、公差為一的等差數(shù)列,

/+1）J23

11/nI

故~/---r=—?—（n—l）=-I—

乂“（77+l）23、736

即S「9/〃+l）=〃（2〃+?（〃+l）,

byo

當(dāng)〃上2時(shí)，S.「（2〃T）5T）,

6

故sr-"⑵］（Y）n（2n—l）（n—l）

o6~

〃（2/+3〃+1-2〃2+3〃-1）2

—6~n’

3x2

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=Sx—........=1,符合上式,

6

故an=".

【小問2詳解】

由…2,$/（2〃+1）（〃+1）,

"6

故“也￥6（2n-l）n26（2〃一1）〃

j76x1x16x3x26x5x36（2〃-1）〃6"

A"='2"=3x2'5x37x4（2?+l）（n+l）=（2n+l）（n+l）>

因?yàn)椋?〃+l）（〃+l）?3x2=6,故7；q=6"T.

16.如圖1,已知正三角形ABC邊長為6,其中AD=2Z>5，AE=2EC>現(xiàn)沿著DE翻折，將點(diǎn)A翻

折到點(diǎn)A處，使得平面A5C,平面。BC,M為4C中點(diǎn)，如圖2.

圖1圖2

(1)求異面直線AO與石川所成角的余弦值;

(2)求平面43c與平面DEM夾角的余弦值.

【答案】(1)上亞1

88

⑵叵

7

【解析】

【分析】(1)設(shè)。為BC的中點(diǎn)，結(jié)合圖形翻折的性質(zhì)推出40,平面。3C,從而建立空間直角坐標(biāo)

系，求得相關(guān)線段長與相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間角的向量求法即可得解；

(2)分別求出平面4BC與平面DEM的法向量，根據(jù)空間角的向量法即可得解.

小問1詳解】

取的中點(diǎn)為O,DE的中點(diǎn)為。，連接40,A'O',OO',

因?yàn)檎切蜛BC中，AD=2DB，AE=2EC

2

所以DE//3C,DE=-BC,則四邊形DECB為等腰梯形，

3

i^OO'±DE,OO'±BC；

由翻折性質(zhì)可得AE=AD，幺'EC=ZA'DB,EC=DB,

則.AECM.AD3，A'C=A'5。是BC的中點(diǎn)，.?.A'OLNC,

平面ABC±平面DBC,平面48。1平面DBC=BC,40u平面A'BC,

.?.AO,平面。BC,又OO'u平面。3C,..AO,OO'

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)以O(shè)COO',O4所在直線為羽％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則一ADE為正三角形，邊長為4,則AO'LDE,

..AO'=2收OC=OB=3,OO'=6

在，400,中，由勾股定理得0A=4(26丫一(布丫=3，

二4(0,0,3),0卜2,6,0)閭2,忘0)03,0,0),“&,()]

則AfD=^—2,A/3,—3^,EM=f——A/3,—j,

ADEM13A/22

:.cos(ArD,EM)=

88

異面直線所成角的取值范圍為0,3

???異面直線AD與EM所成角的余弦值為上亞1.

88

【小問2詳解】

由⑴得可―2,后0）,E（2,73,0）,MQ,0,|

.■.DE=（4,O,O）,DM=K-V3,|1

易得平面43c的一個(gè)法向量為加=（0,1,0）,

設(shè)平面DEM的法向量為5=（羽y,z）,

4x=0

DE?〃二0

則〈即《令2=2,則〃=儀,百,2）,

DM?〃二0后y+|z=Q

6二后

/.|cos(m,n)|=m〃

m|-|n

平面A'BC與平面DEM夾角的余弦值為衛(wèi)-/TT.

7

17.2024年春晚為觀眾帶來了一場精彩紛呈的視覺盛宴，同時(shí)，也是傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技完美融合的展現(xiàn).

魔術(shù)師劉謙為大家呈現(xiàn)了一個(gè)精妙絕倫的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》，小明深受啟發(fā)，在家嘗試對這個(gè)魔術(shù)進(jìn)行

改良，小明準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅

色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2,3,4.乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3,小明用左右手

分別從甲、乙兩袋中取球.

(1)若左右手各取一球，求兩只手中所取球顏色不同的概率；

(2)若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球(左

右手完成各取兩球?yàn)閮纱稳∏?的成功取法次數(shù)的隨機(jī)變量X,求X的分布列.

【答案】(1)1

(2)分布列見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用古典概型及對立事件的概率公式即可得解；

(2)求出X的可能取值，再求出各個(gè)值對應(yīng)的概率，求出分布列即可得解.

【小問1詳解】

記事件A為“兩手所取的球不同色”，事件A是兩手所取球顏色相同，

則p(l)=2X3+3X3+4X3=工，所以P(A)=x_P(I)=2.

9x933

【小問2詳解】

依題意，X的可能取值為01,2,

5

左手所取的兩球顏色相同的概率為c；+c；+C

18

右手所取的兩球顏色相同的概率為c+c+c

-cj4

p（X=0）=（l-^）（l-1）=13313

一x—

18424

p（x=i）=Ax（1_l）+（1_A）xl=2_

18418418

p（X=2）=—x-=—

18472

所以X的分布列為:

X012

1375

p

2418五

18.已知在平面直角坐標(biāo)系中，4：y=2x,Z2：y=-2x,平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,過P作。P〃/2交

乙于。，EP〃/1交4于E,平行四邊形ODPE面積恒為1.

（1）求點(diǎn)尸的軌跡方程并說明它是什么圖形；

（2）記P軌跡為曲線c,當(dāng)P在y軸右側(cè)且不在X軸上時(shí)，在y軸右側(cè)的c上一點(diǎn)。滿足

尤軸平分NPGQ,且PQ不與X軸垂直或PG是C的一條切線，求P。與乙，4圍成的三角形的面積最小

值.

22

【答案】（1）爐―匕=1或匕—丁=1,圖形為兩組雙曲線

44

32

⑵——

9

【解析】

聯(lián)立直線的方程可得點(diǎn)石［，+；為，與+~］，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形

【分析】（1）

面積公式即可化簡得軌跡方程，

2

（2）根據(jù)。滿足x軸平分NPGQ,確定尸在C：爐一21=1上，即可聯(lián)立直線直線與雙曲線方程，利

4

用相切可得直線方程為尸。：x=g，利用斜率之和可得直線尸。恒過定點(diǎn)即可設(shè)直線方程為

x=my+^^<m<^,聯(lián)立直線間的方程可得坐標(biāo)，即可由面積公式求解.

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)P（/，%）

則直線PZ）的方程為y-y0=-2（x-x0）,

%0,1

聯(lián)立卜一%=—"A%）,解得<x=萬/°

,即點(diǎn)E“0+1V%+丫

萬+“。丁X。

A

yC十+八r（）

直線OP的方程為yox-xoy=0,

點(diǎn)E到直線0P的距離為d="Q+Z：］4年|

且QH=J%：+y；，

X

因此，SODPE=2SOPE=\OP\-d=^~^°^=V則4-x；=i或嫣一￥

,2,2

因此P：I2-^=1或爐=1,圖形為兩組雙曲線.

【小問2詳解】

由題，X軸平分NPG。，若尸在上—必=1上，則由于G在漸近線y=2左下方,GP無法與雙曲線相切

4

且在y軸右側(cè)最多一個(gè)交點(diǎn)，

故由對稱性，PQ與左軸垂直，故舍去,

X|X）J

設(shè)。（石，乂），則PG與QG斜率和為o,33—

^~4X0~4

若PQ斜率不存在時(shí)，由題，則PG與C相切，設(shè)PG：y^k\x--

￡=1聯(lián)立得（4一左2）%2+|左2%一^左2—4=0,

與C：x2

由相切，令判別式為0,即：左,+4（4—左42+4]=0,解得左2=巧,

3k2

此時(shí)X=2i,所以PQ：x=-

°一2(左2_4)33

一為-Q3

P。斜率存在時(shí)，由33,得為為+%%=4(%+%)，則

V4x。-4

2、(,2、

41-五￥-41-九才4

IaI,3(…-才)=*「%)'

%%+玉)%3(%+%)

%=X

整理得4—4,故PQ恒過定點(diǎn)且其斜率的絕對值大于漸近線的斜率,

'-3%一

設(shè)PQ：x=mj+14l,與4交于M,與4交于N,

3

4

xm

N=yN+-

2X

yN=-N

QQ

聯(lián)立解得'“二:rk，y=--―

3—omNom+3

則=當(dāng)且僅當(dāng)加=0,即P。斜率不存在時(shí)取等，

2333-12m339

故面積的最小值為J32

9

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何

特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可

首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.

19.設(shè)A是由機(jī)X幾個(gè)實(shí)數(shù)組成的相行”列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變該

行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”.

（1）數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)

數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）：

123-7

-2101

表1

（2）數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均

為非負(fù)整數(shù)，求擎契。的所有可能值：

a1—ci-a1

2-a1-a2a—2a2

表2

（3）對由機(jī)X幾個(gè)實(shí)數(shù)組成的施行〃列的任意一個(gè)數(shù)表A,能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每

行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)？請說明理由.

【答案】（1）答案見解析；

（2）。=0或。=—1

（3）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中一次“操作”的含義，將原數(shù)表改變第4