河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第十二周周測(cè)數(shù)學(xué)試題

高三第十二周周考數(shù)學(xué)試題命題人：一、單選題1．直線的傾斜角為（）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．不存在2．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．在直角三角形中，，，，以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積是（）A． B． C． D．4．直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確的為（）A．平面平面B．平面C．D．平面6．已知過(guò)點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．7．三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直，且，則其外接球上的點(diǎn)到平面的距離的最大值為（）A． B． C． D．8．已知三條不重合的直線,兩個(gè)不重合的平面,下列四個(gè)命題中正確的是()A．若,,且,則B．若,則C．若，,則D．若,，則9．如圖所示，三棱臺(tái)中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是（）A．三棱錐B．四棱錐C．三棱臺(tái)D．四棱臺(tái)10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)命題：①平面；②；③平面平面；④三棱錐的體積不變.則其中所有正確命題的序號(hào)是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、多選題11．如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于，任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．B．C．平面D．平面平面12．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在棱上存在點(diǎn)M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面三、填空題13．已知是兩兩不等的實(shí)數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為14．如圖，在正四面體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，則的值為_(kāi)______．15．已知四棱錐，底面為正方形，平面，，，球與四棱錐的每個(gè)面都相切，則球的半徑為_(kāi)_____．16．如圖，在四面體中，二面角的大小為，△、△都是腰長(zhǎng)為1等腰直角三角形，且，，則A，C兩點(diǎn)間的距離是________四、解答題17．如圖，在以A、B、C、D為頂點(diǎn)的多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.平面，，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和是，求證.高三第十二周周考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．不存在【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率的概念可得，即可得解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的斜率可得，所以該直線的傾斜角為鈍角.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了由直線斜率確定傾斜角的范圍，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，依題意，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成角的余弦值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3．在直角三角形中，，，，以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的定義以及圓錐的體積公式即可求出．【詳解】根據(jù)題意以及圓錐的定義可知，將該直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，底面半徑為，高為，所以其體積為.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的定義以及圓錐的體積公式的應(yīng)用，屬于容易題．4．直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】合并同類(lèi)項(xiàng)后確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由得，所以，解得，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5．如圖，在正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確的為（）A．平面平面 B．平面C． D．平面【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體中的線面關(guān)系、面面關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，易知，，平面，平面，，所以平面，又平面，從而平面平面，A正確；因?yàn)槠矫婕礊槠矫?，而點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以不能滿(mǎn)足恒成立，因此不一定垂直平面，即平面不一定成立；故B錯(cuò)；因?yàn)檎襟w中，平面，所以，所以當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有，所以C正確；因?yàn)樵谡襟w中，平面平面，而平面，所以平面，D選項(xiàng)正確；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面、面面垂直或平行關(guān)系的判定，屬于常考題型.6．已知過(guò)點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直線y＝－x＋2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)設(shè)為A(0，2)，B(2，0)，利用直線和的斜率表示可得結(jié)果.【詳解】直線y＝－x＋2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)設(shè)為A(0，2)，B(2，0)，如圖：設(shè)直線的斜率為，則，，要使兩直線的交點(diǎn)位于第一象限，只需k滿(mǎn)足：，即－<k<.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.7．三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直，且，則其外接球上的點(diǎn)到平面的距離的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】空間四個(gè)點(diǎn)在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，則PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)的球面即為的正方體的外接球,球的直徑即是正方體的對(duì)角線,長(zhǎng)為，球心O到平面ABC的距離為體對(duì)角線的,即球心O到平面ABC的距離為.其外接球上的點(diǎn)到平面ABC的距離的最大值為：.故選B.點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用求解．8．已知三條不重合的直線,兩個(gè)不重合的平面,下列四個(gè)命題中正確的是()A．若,,且,則B．若,則C．若，,,則D．若,，則【答案】A【解析】【分析】利用垂直于同一直線的兩平面平行判斷A是否正確；根據(jù)線面平行的判定定理判斷B是否正確；根據(jù)面面平行的判定定理判斷C是否正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷D是否正確.【詳解】∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，∵m⊥β，∴α∥β，A正確；∵m∥n，n?α，有可能m?α，∴B錯(cuò)誤；∵m?α，n?α，m∥β，n∥β，m、n不一定相交，∴α、β不一定平行；C錯(cuò)誤；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判斷D錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面平行與垂直關(guān)系的判定，以及平面與平面平行的判定，要特別注意定理的條件．9．如圖所示，三棱臺(tái)中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是（）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱臺(tái) D．四棱臺(tái)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)棱錐的定義和空間結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，三棱臺(tái)中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是四棱錐，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱錐的定義及其判定，其中解答中熟記棱錐的定義，以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)命題：①平面；②；③平面平面；④三棱錐的體積不變.則其中所有正確命題的序號(hào)是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】【分析】由面面平行的判定與性質(zhì)判斷①正確；由特殊點(diǎn)可以說(shuō)明②錯(cuò)誤；由線面垂直的判定及面面垂直的判定判斷③正確；利用等積法說(shuō)明④正確．【詳解】對(duì)于①，連接，，可得，，∴平面平面，從而有平面，故①正確；對(duì)于②，連接，可知是等邊三角形，三角形內(nèi)角為，所以所成角為，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，不滿(mǎn)足，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，連接，由且，可得平面，又平面，由面面垂直的判定知平面平面，故③正確；對(duì)于④，容易證明，從而平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，∴以為頂點(diǎn)，平面為底面，則三棱錐的體積不變，故④正確．∴正確命題的序號(hào)是①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查三棱錐的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、多選題11．如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于，任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A． B．C．平面 D．平面平面【答案】BD【解析】【分析】由題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及平面幾何知識(shí)可得、，再由線面垂直的判定、性質(zhì)可判斷B，由面面垂直的判定可判斷D；結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)可判斷A、C；即可得解.【詳解】因?yàn)榇怪庇谝詾橹睆降膱A所在的平面，所以，，又點(diǎn)是圓周上異于，任一點(diǎn)，所以，對(duì)于A，若，則可得平面，則，與矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、D，可知平面，所以，由平面可得平面平面，故B、D正確；對(duì)于C，由與不垂直可得平面不成立，故C錯(cuò)誤.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.12．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在棱上存在點(diǎn)M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理一一驗(yàn)證可得.【詳解】解：如圖，對(duì)于，取的中點(diǎn)，連接，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，，又，，平面，平面，故正確.對(duì)于，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故正確.對(duì)于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在中，，即，故二面角的大小為45°，故正確.對(duì)于，因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定及異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題13．已知是兩兩不等的實(shí)數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為_(kāi)________.【答案】【解析】試題分析：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，點(diǎn)兩點(diǎn)，所以直線的斜率，所以直線的傾斜角為.考點(diǎn)：直線的斜率與傾斜角.14．如圖，在正四面體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，則的值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】利用基向量表示,結(jié)合空間向量基本定理可得.【詳解】所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的基本定理，把目標(biāo)向量向基底向量靠攏是求解的主要思路.15．已知四棱錐，底面為正方形，平面，，，球與四棱錐的每個(gè)面都相切，則球的半徑為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出四棱錐的表面積，利用等體積法計(jì)算出球的半徑.【詳解】依題意底面為正方形，平面，所以，由于，所以平面，平面，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，四棱錐的表面積，則有，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體內(nèi)切球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16．如圖，在大小為45°的二面角中，四邊形，都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是________【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算以及向量模的求法即可求解.【詳解】，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算、空間向量模的求法，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題17．如圖，在以A、B、C、D為頂點(diǎn)的多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.平面，，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）記線段的中點(diǎn)M，方法一：通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；方法二：證明面面，進(jìn)而證得結(jié)論.（2）以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.分別求得法向量，通過(guò)，進(jìn)而可求得正弦值.【詳解】（1）解法1：記線段的中點(diǎn)M，連接，.，，且.四邊形為平行四邊形，，.，；，.四邊形為平行四邊形，.又面，面，面（2）以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，.令，則，.為平面的一個(gè)法向量.易得為平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的大小為，則.，即二面角的正弦值為.解法2：（1），面，面.同理，，面，面.又，面面.又面，面.（2）同解法1.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行證明，考查向量法求二面角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)恒成立.（1）證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析，；（