2024年高考數(shù)學(xué) 函數(shù)的概念與性質(zhì)（解析版）

函數(shù)的概念與性質(zhì)

目錄一覽

2023真題展現(xiàn)

考向一函數(shù)的奇偶性

考向二函數(shù)單調(diào)性

考向三指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)大小比較

真題考查解讀

近年真題對比

考向一.函數(shù)的最值及其幾何意義

考向二.函數(shù)奇偶性

考向三抽象函數(shù)及其應(yīng)用

考點四指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)大小比較

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

十三種題型60題

易錯易混速記/二級結(jié)論速記

2。23年真題展現(xiàn)

考向一函數(shù)的奇偶性

1.(2023?新高考n?第4題)若F(x)=(x+a)1%%十1為偶函數(shù),則H=()

1

A.-1B.0C.-D.1

【答案】B

解：由當(dāng)?AO,得x>[或廣

2x4-122

由fQx)是偶函數(shù)，

???廣(-x)=(x),

得(-x+a)力矢=(x+a)In/言

口口/\12%+1/\1/2x—1、1/、[2x-l/、12x—1

即(-x+a)In---=(-In(--)一1=(.x-a)In--=(田H)In-—,

2x—12x+12x+1Zx+1

??x~3,9-a'='a,

得a=0.

考向二函數(shù)單調(diào)性

2.(2023?新高考I?第4題)設(shè)函數(shù)/(x)=2、a-G在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+°°)

【答案】D.

解：設(shè)t=x(x-a)=x2-ax,對稱軸為了=包，拋物線開口向上，

2

,?)=2,是/的增函數(shù)，

，要使/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

貝卜=/-"在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

即至21,即心2,

2

故實數(shù)a的取值范圍是[2,+8).

考向三指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)大小比較

3.(2023?新高考I?第10題)(多選)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義

聲壓級4=20Xlg^,其中常數(shù)00(”>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/加聲壓級/力

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10加處測得實際聲壓分別為小，P2,P3,則（）

A.pi2p2B.p2>10P3C.p3=lOOpoD.piWlOO22

【答案】ACD

Pi9

解：由題意得，60^20/g-<90,lOOOpo^i<105p0,

p25

50W20%W60,10個0與2〈100卯0，

,P3

20篇；=40,23=100”，

可得Pi》P2,4正確；

22《1切3=1000”），3錯誤;

,3=10卯0,c正確;

95

PTWlO2j9o~100X102y2Q^100/?2,piWlOOp2，。正確.

￥

真題考查解讀

m-￡

【命題意圖】

考查函數(shù)的性質(zhì)：對稱性、周期性、單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推導(dǎo)與計算素養(yǎng).

【考查要點】

函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考?？疾榈臒狳c之一.考查函數(shù)的定義域、值域、圖象，函數(shù)的對稱性、周期性、

單調(diào)性.

【得分要點】

一.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

（1）如果函數(shù)/（X）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個X,都有/（-X）=-/（》），那么函數(shù)

f（X）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0,0）對稱.

（2）如果函數(shù)/'（X）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有/（-x）=/（x）,那么函數(shù)了

（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱.

函數(shù)的單調(diào)性

判斷函數(shù)的單調(diào)性，有四種方法：定義法；導(dǎo)數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)遵

循“同增異減”；證明方法有定義法；導(dǎo)數(shù)法.

單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“U”聯(lián)

結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié).

設(shè)任意為，^2G［a,6］且再王/2，那么

①f（x］）f（X］）（x）在［a,6］上是增函數(shù)；

xl-x2

f（X）-f（x）

———---—J-＜在［a,6］上是減函數(shù).

xl-x2

②（為-茲）"（xi）-f（質(zhì)）］＞O=f（x）在［a,6］上是增函數(shù)；

（西-茲）［/（JTI）-f（x2）］＜0oF（x）在［a,右］上是減函數(shù).

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，定義求解求解一般包括端點值，導(dǎo)數(shù)一般是開區(qū)間.

三、指對塞函數(shù)的大小比較

方法一：運用函數(shù)的單調(diào)性比較

1.對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大?。?/p>

2.有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)單調(diào)性對稱性，以用于比較大小.

方法二：因為幕指對函數(shù)的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1（或者-1）比較大小.

方法三：尋找中間變量是屬于難點，可以適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)積累規(guī)律

1.估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間

2.可以對區(qū)間使用二分法（或者利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值

方法四：作差法、作商法

1.一般情況下，作差或者做商，可處理底數(shù)不一樣的的對數(shù)比大小

2.作差或者做商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧和方法解

方法五：利用對數(shù)運算分離常數(shù)比大小

這是對數(shù)值所獨有的技巧，類似于分式型的分離常數(shù)，借助此法可以把較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為某一單調(diào)區(qū)

間，或者某種具有單調(diào)性的形式，以利于比較大小

方法六：構(gòu)造函數(shù)

學(xué)習(xí)和積累”構(gòu)造函數(shù)比大小"，要先從此處入手，通過這個函數(shù)，學(xué)習(xí)觀察，歸納，總結(jié)"同構(gòu)"規(guī)律，還

要進一步總結(jié)"異構(gòu)"規(guī)律，為后續(xù)積累更復(fù)雜的"構(gòu)造函數(shù)”能力做訓(xùn)練.

構(gòu)造函數(shù)，.觀察總結(jié)"同構(gòu)"規(guī)律，許多時候，三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被刻意的隱藏了“同構(gòu)"規(guī)

律，所以可以優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的兩個數(shù)規(guī)律.

方法七：放縮法

1、對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)

2、指數(shù)和累函數(shù)結(jié)合來放縮。

3、利用均值不等式等不等關(guān)系放縮

方法八："數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)(主要是整數(shù)多一

些)，那么可以以該"整數(shù)"為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系，2021年全國卷乙卷第12題即是此思維.

『近年真題對比』

考向一.函數(shù)的最值及其幾何意義

1.(2021?新高考I)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2阮r的最小值為

【答案】1

【解答】解：法一、函數(shù)f(x)=|2x-1|-2/內(nèi)的定義域為(0,+8).

當(dāng)OVx釐時，f(x)=|2x-1|-21nx=-2x+l-21nx.

限2

此時函數(shù)/'(x)在(0,會上為減函數(shù),

當(dāng)■時，f(x)=|2x-1|-1lnx=1x-1-llnx,

則，(x)=2上=2(x-1),

XX

當(dāng)xe(X1)時，/G)<o,f(x)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)在(1,+8)時，f(%)>o,f(%)單調(diào)遞增，

,：f(x)在(0,+8)上是連續(xù)函數(shù)，

...當(dāng)XC(0,1)時，f3單調(diào)遞減，當(dāng)xe(1,+8)時，/(X)單調(diào)遞增.

.,.當(dāng)x=l時/(x)取得最小值為/(1)=2X1-1-2Znl=l.

故答案為：1.

法二、令g(x)=|2x-1|,h(x)=2lnx,

分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，/(x)濘(1)=1,

則數(shù)/(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1.

考向二.函數(shù)奇偶性

2.(2021?新高考II)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)：.

①/■(肛肛)=/(無1)/(必)；②當(dāng)xe(0,+8)時，f(x)>0；③f(x)是奇函數(shù).

【答案】/(x)=/..

解/'(X)=x2時，f(X]乂2)=(X[X?)2=X1(X1)f(X?)；當(dāng)在(。，+°°時，

2x>0；f(x)=2x是奇函數(shù).

故答案為：

另解：基函數(shù)/(x)=K(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/(x)=x2即可.

3.(2021?新高考I)已知函數(shù)/(x)=x3(a-2x-2-是偶函數(shù)，貝|a=.

【答案】1

解：函數(shù)/(x)=x3(a*2J-2-x)是偶函數(shù)，

y=xi為R上的奇函數(shù)，

故y=a?2x-2r也為R上的奇函數(shù)，

所以弘=0=。?2。-2°=。-1=0,

所以a=l.

法二：因為函數(shù)/(x)=/Qa'2x-2-x)是偶函數(shù)，

所以/(-x)=/(x),

即--((z?2*x-2x)=x3(。.2工-2-工)，

即/(。?2》-2一工)+/(°?2-X-2X)=0,

即(a-1)(2x+2-x)x3=0,

所以a—1.

4.(2021?新高考H)已知函數(shù)/(x)的定義域為R(/(x)不恒為0),/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為

奇函數(shù)，貝I()

A./(--1)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

2

【答案】B

【解答】解：???函數(shù)，(日2)為偶函數(shù)，

：.f(2+x)=f(2-x),

V/(2x+l)為奇函數(shù)，

：.f(1-2x)=-f(2x+l),

用x替換上式中2x+l,得/(2-無)=-/(x),

：.f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即/(x)=f(x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

V/(2x+l)為奇函數(shù)，

：.f(1-2x)=-/(2尤+1),即/(2x+l)H/(-2x+l)=0,

用x替換上式中2x+l,可得，f(x)+/(2-x)=0,

'.f(x)關(guān)于(1,0)對稱，

又■⑴=o,

：.f(-1)=-f(2+1)=-/(i)=o.

考向三抽象函數(shù)及其應(yīng)用

5.(2022?新高考H)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(工力)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,

22

則￡f(k)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

解：令y=l,則/(x+1)4/(x-1)=f(x),即/(x+1)=f(x)-/(x-1),

：.f(x+2)=/(x+l)-f(x),f(x+3)=/(x+2)-f(x+1),

：.f(x+3)=-f(x),則/(x+6)=-f(x+3)=f(x),

：.f(x)的周期為6,

令x=l,y=0得/(I)=/(1)X/(0),解得/(0)=2,

又/(x+1)=/(x)-/(x-1),

：.f(2)=/(1)-f(0)=-1,

f(3)=/(2)⑴=-2,

/■⑷=/(3)-/(2)=-1,

/(5)=f(4)-/(3)=1,

/⑹=/(5)-/(4)=2,

6

???￡f(k)=1-121+1+2=0,

k=l

22

￡f(k)=3X0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=/⑴+f⑵+f⑶+f(4)=-3.

k=l

考向四指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)大小比較

6.(2022?新高考I)設(shè)a=0.1e°i,6=工c=-勿0.9,則()

9

A.a<b<cB.c〈b〈aC.D.a〈c〈b

【答案】C

解：構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx+—,x>0,

x

則/(x)=工一x>0,

T2

AX

當(dāng)/(x)=0時，x=\,

OVxVl時，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

x>l時，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

：.f(X)在X=1處取最小值/(I)=1,

(x>0且xWl),

x

：.ln0.9>l-1=-A,；.-/HO.9<A,：.c<b；

0.999

v-/no.9=z?12.>i-A.=A.,

910109

.?.O.leol<X：.a<b；

9

設(shè)g(x)—xe^+ln(1-x)(0<x<l),

mr|./、/、1_(x2-l)ex+l

x

則g'(x)=(X+l)e^?-------------，

X-lX-l

令h(x)=e^(x2-1)+1,h'(x)=e^(x2+2x-1),

當(dāng)0<又<加-1時，h'(x)<0,函數(shù)"(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)加-l〈x<l時，h'(x)>0,函數(shù)人(X)單調(diào)遞增,

,：h(0)=0,；.當(dāng)時，h(x)<0,

當(dāng)0<x<&-1時，g'(x)>0,g(x)=xec+ln(1-x)單調(diào)遞增，

：.g(0.1)>g(0)=0,/.O,le0^-ln0.9,：.a>c,

7.(2021?新高考II)已知q=log52,b=log83,c=—f則下列判斷正確的是()

2

A.c〈b〈aB.b〈a〈cC.a〈c〈bD.a〈b〈c

【答案】C

22

［解答］解：V10§52<log55loggS^loggS卷，

?\a<c<b,

命題規(guī)律解密

從近三年的新高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇

題、填空題。主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，預(yù)測2024高考仍將以函數(shù)的單調(diào)性,

奇偶性、幕指對函數(shù)比較大小為主要考點,重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力.

名校模擬探源

一.函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間（共3小題）

1.（2023?海淀區(qū)校級三模）下列函數(shù)中，在區(qū)間（-8,0）上是減函數(shù)的是（）

X

A.y=x3B.y=（y）~

C.y=log[（-x）D.y—x~1

~2

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4y=/,是幕函數(shù)，在R上為增函數(shù)，不符合題意；

對于8,了=（1）r=23是指數(shù)函數(shù)，在R上為增函數(shù)，不符合題意；

2

對于C,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，y=log]（-X）在區(qū)間（-8,0）上是遞增，不符合題意；

~2

對于。，夕=x7=工，是反比例函數(shù)，在區(qū)間（-8,0）上是減函數(shù)，符合題意.

X

故選：D.

若幕函數(shù)/（X）的圖象過點（冬，1）,則函數(shù)g（x）=f的遞減區(qū)間

2.（2023?揚中市校級模擬）

為（

A.(0,2)B.(-8,0)和(2,+8)

C.(-2,0)D.(-8,o)U(2,+8)

【解答】解：設(shè)暴函數(shù)/(x)=x%它的圖象過點(華，1),

C^~)a=JL,a=2；

22

'.f(x)=/；

令g'(x)<0,即x(2-x)<0,解得：x>2或x<0,

故g(x)在遞減區(qū)間是(-8,0)和(2,+8),

故選：B.

3.（2023?浦東新區(qū)校級三模）定義在區(qū)間［1,+8）上的函數(shù)/（無）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，/（x）

在區(qū)間［2左-1,2網(wǎng)上嚴格增，在區(qū)間［2左，2左+1］上嚴格減，人為正整數(shù).給出下列四個結(jié)論：

①若丁（2左）｝為嚴格增數(shù)列，則/（x）存在最大值；

②若?。?左+1）｝為嚴格增數(shù)列，則/（x）存在最小值；

②若/（2左）/（2H1）>0,且/（2左）存在最小值，則/（x）|存在最小值；

①若/（2左）/（2K1）<0,且/（2左）-/（2H1）存在最大值，則/（x）|存在最大值.

其中所有錯誤結(jié)論的序號有.

【解答】解：對于①，由條件知，函數(shù)/（無）在區(qū)間［2左-1,2月上單調(diào)遞增，

在區(qū)間［2匕2左+1上單調(diào)遞減，k=l,2,那么在區(qū)間［2左-1,2k+l］,函數(shù)的最大值是/（2左），

若數(shù)列｛/（2左）｝為遞增數(shù)列，則函數(shù)/（x）不存在最大值，所以①錯誤；

對于②，由條件知，函數(shù)［G）在區(qū)間［2人-1,2網(wǎng)上單調(diào)遞增，在區(qū)間［2匕2科1］上單調(diào)遞減，

若｛/'（2/+。）｝為遞增數(shù)列，那么在區(qū)間［2人-1,2上+1］的最小值是7（2左-1）,且/（2左+。）為遞增數(shù)列,

所以函數(shù)/（x）在區(qū)間［1,+8）的最小值是/（I）,所以②正確；

',、1

f（2k）=2k-k-

對于③，若/（2左）/（2右4）>0,取，，髭N*,

f（2k+l）福

則/（2左）H/（2K1）=2k,存在最小值，

但此時|/（龍）|的最小值是8（2人+1）尸工的最小值，函數(shù)單調(diào)遞減，無最小值，所以③錯誤;

k

f(2k)=23

2

對于④，若/（2左）/（2左+1）<0,取，,則/(2左)-/<2R1)=2恒成立,

f(2k+l)

2K

則[(2左)-f(2^+1)有最大值，但l/(x)I的最大值是-(2后)1=2-々的最大值，

2k

函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值，所以④錯誤.

故答案為：①③④.

二.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷(共6小題)

4.(2023?西城區(qū)校級三模)在下列四個函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有()

A.f(x)=tanxB.f(x)=|x|C.f(x)=2XD.f(x)=x2

【解答】解/：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，y=tanx在定義域(-^_+kK,方-+k兀)(蛇Z)上單調(diào)，

不符合題意；

B：f(x)=慟在定義域R上不單調(diào)，不符合題意；

C：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，/G)=2》在R上單調(diào)遞增，符合題意；

。：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)；于3=/在定義域R上不單調(diào)，不符合題意.

故選：C.

5.(2023?龍華區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)是(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且/(/(x)-x-log2x)=5,

則/(x)在[1,8]上的值域為()

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【解答】解：由題意設(shè)/(x)-x-log2X=m,則/(x)=x+log2x+m,且/(%)=5,

所以"z+log2/M+加=5,即log2〃?=5-2/〃，解得機=2,

所以/(x)=x+log2x+2,x￡[l,8],

因為函數(shù)>=Y，y=log2X都為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)/(x)在[1,8]上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x=l時，f(x)附加=1+0+2=3,當(dāng)x=8時，f(x)=8+3+2=13,

所以函數(shù)/(x)的值域為[3,13],

故選：D.

6.(2023?西寧模擬)已知函數(shù)f(x)=[1。*/'X>1,對任意xi》X2，都有三史蟲>0成

ax-2,x<1xi-x2

立，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2]C.(0,1]D.(1,2)

【解答】解：因為對任意xiWx2,都有1>o成立,

xl-x2

所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

卜>1

因為f(x)=「°居產(chǎn)X>1,所以，a〉°

ax-2,x<llogl>a-2

La

解得1VQW2,故4,C,。錯誤.

故選：B.

7.（2023?景德鎮(zhèn)模擬）已知定義域為R的函數(shù)/（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，對任意實數(shù)冽，〃均滿足

ex1f(1-x),x<C1

(m)+e2mf(H-m)=emf(")，且當(dāng)x>0時，f(x)>0.若g(x)=<

f(x-l),

則下列判斷正確的是（）

A.g(1)>g(0)B.g(3)<g(-1)C.g(2)<g(-1)D.g(3)>g(-2)

【解答】解：已知對任意實數(shù)m,n均滿足enf(m)+e2fnf(〃-m)=emf(〃)，

可得f(m)+f(n-m)—f(n)

emen-men

不妨設(shè)h(x)上共，

e

因為當(dāng)x>0時，/(x)>0,

所以h(x)>0,

滿足〃(機)+h(n-m)=h("),

當(dāng)n>m時，h(w-m)>0；

所以h(TM)<h(〃)，

即h(x)在R上單調(diào)遞增，

_ex-1f(1-x)?x<1

又g（X）

ef(x-l),

_(h(1-x),x<1

即g(x)

h(x-l)>x>l

所以函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于X=1對稱，且g（X）在（1,+8）上遞增,

則g(1)<g(0),故選項/錯誤；g(3)=g(-1),故選項B錯誤；

g(2)<g(-1),故選項C正確；g(3)<g(-2),故選項。錯誤.

故選：C.

8.(2023?駐馬店二模)已知/(x)是定義域為R的單調(diào)遞增的函數(shù)，VweN,f(n)eN,且/(/("))=

3",則/(28)=.

【解答】解：因為V〃6N,/(?)6N,且/(7?(〃))=3"，所以，/(/(0))=0,

因為/(0)GN,若/(0)=0,則/■(/(()))=/(0)=0,合乎題意，

若［(0)21,則/(7(0))2/(1)>/(0)>1,這與/(/(0))=0矛盾，故/(0)=0,

所以，/(1)>/(0)=0,因為/(I)GN,則/(I)21,

因為/(/(I))=3,若/(I)=1,則/(/(I))=/(1)=1,這與/(/(I))=3矛盾，

若/'(1)=2,則/(/(I))=/(2)=3>/(1),合乎題意，

若/⑴23,則/(/(I))》/(3)>/(1)23,即/(/(I))>3,矛盾，故/(I)=2.

因為/(7(2))—f(3)—6,所以/(7(3))—f(6)—9,

所以，6=/(3)</(4)</(5)</(6)=9,于是/(4)=7,f(5)=8.

因為f（4））=/(7)=12,所以/(/(7))(12)=21,

因為）=/(9)=18,18=/(9)</(10)</(11)</(12)=21,

所以/(10)=19,/(11)=20.

因為)=/(18)=27,/(/(10))=/(19)=30,

所以)=/(27)=54,/(/(19))=/(30)=57,

所以，54=/(27)</(28)</(29)</(30)=57,所以/(28)=55,f(29)=56.

故答案為：55.

9.（2023?楊浦區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）=3、-，設(shè)廝（，=1、2、3）為實數(shù)，Mxi+x2+x3=0,給出

1+3X

下列結(jié)論：①若修?工2.%3>0,則f(Xi)+f(xj+f(X、)<去②若?%2?%3<。，則

1Z32

f（X［）+f（X2）+f（X3）-則（

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯誤

【解答】解：令函數(shù)g（x）=f（x）［=^—--=■3-1.=1-^-

21+3X22（1+3*）21+3X

可得函數(shù)g（X）為單調(diào)遞增函數(shù)，

?“，in（2）

所以函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點（0,0）對稱，如圖（1）所示，

①中，因為工1+工2+%3=0，且%1%2,3>0，則％3=~（%1+%2），不妨設(shè)Xi<0,工2<0，、3>。，

f（X+X）

則點/（X1+X2,/（X1+X2））,此時直線CM的方程為y=-------iX，

xl+x2

g“〈史”X]，g（、2）〈史詈4

可得則

xl+x2xl+x2

zs,g（X1+X2）,g（X[+X2）

g⑶）+g（X2）<FTX「x/x2*2=g區(qū)+*2），

可得g（%1）+g（%2）~g（修+工2）〈°，又由g（%3）=g[一（X1+X2）]—"g（X1+X2）

所以g（Xl）+g（%2）+g（%3）<0，即f（X1）A+f（X2）-^~+f（X?）A<0，

即f（X]）+f（X2）+f（叼）所以①正確；

②中，若XyX2'X^<0,不妨設(shè)Xi-X2,X3>0,則X1=-（X2+X3），不妨設(shè)%1<0,工2>0，％3>。，

f（X+X）

則點2（右+叼，/（M+4）），此時直線08的方程為了=--------^-x，

X2+X3

-、S（X9+Xq）、g（X9+Xo）

可侍g（x2）>----------X2'g（x?）>-----------X3>

zX2+X3zJx2+x3J

rt-g（X9+Xq）g（XQ+XQ）

d:

則g⑶）+g（X3）>----三~~-X2----------X3=g（X2+X3），

++

40X2X34X2X3o乙J

可得g（X2）+g（%3）-g（X2+X3）>0,

又由g（%1）=g[-（X2+X3）]=-g（X2+X3），

所以g（Xl）+g（%2）+g（%3）>。，

即f（X]）A+f（X2）-^-+f（X3）A>0，

即f（X]）+f（X2）+f（X?）所以②正確.

故選：C.

三.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（共4小題）

10.（2023?紹興二模）下列函數(shù)在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=（x-2）~B.v=―C.y=sin（x-2）D.y—cos（x-2）

x-2

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4y=（x-2）2,是開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為x=2,在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，不符

合題意；

對于2,>=」_,在區(qū)間（0,2）上為減函數(shù)，不符合題意；

x-2

對于C,設(shè)f=x-2,貝i]y=sinf,由于0<x<2,則-2<t<0,y=cosf在區(qū)間（-2,0）先減后增，貝！1y

=sin（x-2）在區(qū)間（0,2）不是增函數(shù)，不符合題意；

對于。，設(shè)f=x-2,則》=35/，由于0Vx<2,則-2<f<0,y=cost在區(qū)間（-2,0）上為增函數(shù),

則了=85（X-2）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

（多選）n.（2023?渝中區(qū)校級模擬）若f（x）=e-x二（x€R>其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列命題

正確的是（）

A./（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增

B.f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減

C.f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱

D./（x）的圖象關(guān)于點（0,0）中心對稱

【解答】解：/（-X）=y（x）,則/?（?。┦桥己瘮?shù)，圖象關(guān)于y軸即x=0對稱，C項正確，。項錯誤:

設(shè)“nl-x2,其在（0,+8）上單調(diào)減，y=e"在"6R上單調(diào)增，

則函數(shù)f（x）=e1-X'（x€R）,在（°，+8）上單調(diào)減，B項正確，A錯誤.

故選：BC.

3

12.（2023?濟寧一模）若函數(shù)/（x）=loga（ax-x）（a>0且aWl）在區(qū)間（0,I）內(nèi)單調(diào)遞增，則a

的取值范圍是（）

A.[3,+8)B.(1,3]C.(0,y)D.[y,1)

【解答】解：令-g(x)=ax-x3,則g1(x)=a-3x2,

當(dāng)a>l時，y=log*為增函數(shù)，且函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，

\>1

所以，明4°,解得心3,

伶1

此時g（x）在（0,1）上遞增，則g（x）>g（0）=0恒成立，

當(dāng)0<a<l時，y=log小為減函數(shù)，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增,

所以,有<°，無解,

0<a<1

綜上所述，。的取值范圍是［3,+8）.

故選：A.

13.(2023?安康一模)已知函數(shù)f(x)=log2(ax2+4x+5>

(1)若/(I)=3,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)0,使函數(shù)/(x)的最小值為0?若存在，求出。的值；若不存在，請說明理由.

【解答】解：⑴⑴=3,."+9=23,即。=-i,f(x)=10g2(,x2+4x+5),

由--+4工+5>0,x2-4x-5—(x-5)(x+1)<0,

解得.?.函數(shù)/(x)的定義域為(7,5),

?函數(shù)t=-/+4x+5在(-1,2)上單調(diào)遞增，在(2,5)上單調(diào)遞減，

又,.,y=log2t在(0,+°°)上為增函數(shù)，

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,5).

(2)設(shè)存在實數(shù)a,使函數(shù)/(x)的最小值為0,h(尤)=a/+4x+5,

?.?函數(shù)/(x)的最小值為0,...函數(shù)%(x)的最小值為1,所以。>0①，且20V16=]②,

聯(lián)立①②解得：a=l,

...存在實數(shù)a=l,使函數(shù)/(x)的最小值為0.

四.函數(shù)的最值及其幾何意義(共9小題)

14.(2023?興慶區(qū)校級模擬)已知實數(shù)x,>滿足2/-5加-了=0,〃?/，則/*2+y2_2mx+2my+2m2的

最小值為()

【解答]解：Vx2+y2-2mx+2iny+2m2=7(x-m)2+(y+m)2表示動點尸(％，V)到定點(冽，一

m)的距離，

又因為(m,-m)在直線x+y=0上，

求y=2/-5阮v(x>0)與直線x+y=0平行的切線，該切線與直線x+y=0間的距離即為

V+y^-2mx+2iny+2m^的取小值?

由歹=2/-5歷x求導(dǎo)得，yr=4x-

2

令-<y=-i1,?6BP尸F(xiàn)4Vx----------1,BP4X+X-5=0,

解得X=1(負值舍去)，

所以切點(1,2),

又切點(1,2)到直線無切=0的距離d=

V22

所以動點P(X,y)到定點(如-m)的最小距離為現(xiàn)%,

2

所以Yx2+y2-21nx+2iry+21rl2的最小值為考2,

故選：B.

15.(2023?鄭州模擬)已知函數(shù)［(x)=a(3-x)+借的圖象過點(0,1)與(3,卷)，則函數(shù)/⑴

在區(qū)間［1,4］上的最大值為()

A.3B.7C.5.D.8

2345

'3a=l二1

【解答】解:由題意可得，3b、9，解得

R7,b=3

“-X)亮=】

-3V1

二+3(X+1)-3X=」T3=-x2-2x-l+9=-x2-2x+8=Yx+4)(x-2)

3(x+1)23(x+l)23(x+l)23(x+l)23(x+l)2

當(dāng)xe［l,2)時，f(x)>0,當(dāng)尤e(2,4］時，f(x)<0,

：.f(x)在［1,2)上單調(diào)遞增，在(2,4］上單調(diào)遞減，

f?)皿=￡⑵=1-1"將=孑

故選：B.

16.(2023?蘆溪縣校級一模)關(guān)于“函數(shù)/(x)=_2'?二2一的最大、最小值與數(shù)列冊=一2n-2_的最大、

nX+11r-nn+l1r-

最小項”，下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)無最大、最小值,數(shù)列｛念｝有最大、最小項

B.函數(shù)/(%)無最大、最小值，數(shù)列｛劭｝無最大、最小項

C.函數(shù)/G)有最大、最小值，數(shù)列｛劭｝有最大、最小項

D.函數(shù)/G)有最大、最小值，數(shù)列｛念｝無最大、最小項

nX_151111

2仁2—工2乂-2—1一22—12

【解答】解：函數(shù)/G)(11

2X+1-1522*322*有22、考

乙乙乙

11

9

令g(x)=1+-------—

15

2

由2》-」互#0,解得x#log2」互，所以函數(shù)的定義域為｛x|xWlog,」互｝,

222

因為2'-為_>-型且義_力0,所以一e(-8,-2)u(0,+8),

222x_1515

?“2

11

則---G(-8,-JJL)U(0,+8),

9X,1515

乙2

則g(x)e(-8,_生)u(1,+8),所以函數(shù)/(x)無最大、最小值;

又?在（-8,0）,（0,+8）上單調(diào)遞減，了=28-」立在定義域上單調(diào)遞增,

x2

所以/（X）在（-8,log2」互），（log2」立，+8）上單調(diào)遞減，

22

且當(dāng)X>log2」^時，f（x）>0,

2

因為2<log2為■<log28=3,

2

2n-2

對于數(shù)列an

2n+1-15

則。1=0>。2=-2，的=6>。4>。5>…>0，且時?！?gt;0,

7

所以數(shù)列｛即｝有最小項。2=-2,有最大項的=6.