2024屆高考數(shù)學(xué)專項數(shù)列不等式放縮題型分類含答案

2024屆高考數(shù)學(xué)專項數(shù)列不等式放縮題

型分類含答案

數(shù)列不等式放縮題蟄分類

(考意今析】

由函數(shù)不等式化為數(shù)列不等式的方法

力一1>Inx=>ln(l+/)<力,(x>—1)

?。?工則:工>⑺?。孩?一

rrIn+"1則:

nnnn+1n+1n

題型一:指對數(shù)不等式化為數(shù)列不等式

【精選例題】

皿_建筑師高迪曾經(jīng)說:直線屬于人類，而曲線屬于上帝，一切靈感來源于自然和幻想，靈活生動的曲線

和簡潔干練的直線，在生活中處處體現(xiàn)了幾何藝術(shù)美感,我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)

系，如由夕=Inrc在點(0,1)處的切線0=多一1寫出不等式Inrr<rr—1,進而用“十1替換力得到一

n

系列不等式，疊加后有E(九+1)<1+4+]+…+!.這些不等式同樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.運用類似

23n

方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有()

A.n!<eB.H-----1--<Inn

23n

c(i+4)(i+3)…(1+勺)<1

\n)'n7'n7D?(如(部…($ru

2已知函數(shù)/(①)=Inx—ax1,其中aRR

(1)若函數(shù)/(乃的圖象恒不在x軸上方,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵證明：1+/+T-----F^->ln(n+1),其中九eN*.

網(wǎng)］3已知函數(shù)/（劣）=ex-^-ax2-x.

（1）若/Q）在NGR上單調(diào)遞增，求。的值;

⑵證明：(1+1)(1+…(1+<e2(nGN*且rz>2).

4已知函數(shù)/（力）=-^-x2—x'lnx+t（tGR）.

（l）g（c）是fQ）的導(dǎo)函數(shù)，求g（N）的最小值；

（2）證明:對任意正整數(shù)九（九＞2）,都有（1+』）?（1+1）?（1+士）…（1+《）Ve（其中e為自然

對數(shù)的底數(shù)）

0]5已知函數(shù)/(c)=~~alnx(aGR).

(1)當(dāng)a=-L時，試確定函數(shù)/(t)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;

(2)求函數(shù)/(t)在(O,e]上的最小值；

(3)試證明：(1+e(e=2718…；nCN*).

題6已知函數(shù)/(乃=ln(x+1)-

~X-]-l

(1)求/(力)的極值；

(2)對任意的nEN*,求證：一-\---7--H----

n+1n+22n

而17已知函數(shù)/Q)=Imr—匹了.

⑴證明：/(乃＞0；

⑵證明網(wǎng)(1+5)(1+金)(1+金)…—*，八CM.

題8已知函數(shù)/Q)=aln/'a-l.

(1)若xf(x)&r一1恒成立，求Q的取值范圍；

⑵當(dāng)a=l時，證明：?+?+…+3+上萬一貴.

23n22n+224

【跟蹤訓(xùn)練】

/目1禾U用“In/<T-1”可得到許多與卅">2且nCN*)有關(guān)的結(jié)論①ln(n+l)<l+^-+4+---

+'②1rm號+/+…③(1+材1+a)…(l+4)>e，④?)”+(燈+…+%)”<

:，則結(jié)論正確的有()

e—1

A.1個B.2個C.3個D.4個

題目已知函數(shù)/(t)—ax—21n①+2(1—a)+—~—(a>0).

(1)若f(x)>0在［1,+oo)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵證明：1+。+春+……+與\>-1ln(2n+1)+/匕(九CN*).

352n—122n+1

題目已知/(/)=ln(l+x)—x.

⑴證明：/(為40；

⑵證明：心2時，1麗＜/+*+1+…+—

題目已知函數(shù)/(T)=x—1—alna;,aER.

(1)若/Q)存在極值，求a的取值范圍；

(2)若/Q)＞0,求a的值；

(3)對于任意正整數(shù)是否存在整數(shù)小，使得不等式(1+*)(1+/卜”(1+/)＜小成立？若存

在,請求出力的最小值;若不存在,請說明理由.

題目IH2)已知函數(shù)/(①)=xlnx—m(x—1)，且/Q)>0.

(1)求實數(shù)m的取值范圍；

(2)設(shè)k為整數(shù),且對任意正整數(shù)n,不等式(1+y)(l+^)---(l+^)<fc恒成立,求k的最小值；

023

(3初足證日明日：(由20茨23)產(chǎn)24<臣1<(/20福23V)?

題目JR)設(shè)函數(shù)/(rr)=d+ln(c+1).

⑴求曲線y=/3)在(0,0)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)，>0時，d+inQ+1)>?恒成立;

⑶證明：當(dāng)"CN*且">2時，ln(n+l)>…+皂”

x

題目IIO已知函數(shù)/(力)=In(劣+1)—axef0<a<1

(1)判斷函數(shù)/(力)的零點個數(shù)；

(2)證明：當(dāng)九CN,n>1時，證明：Inl+ln2+ln3+……+lnn<旦二f

題目⑸已知函數(shù)/(⑼=ln(x+1)--*+1.

(1)求函數(shù)/Q)的極值；

(2)(i)當(dāng)力>0時，/(力)>0恒成立，求正整數(shù)k的最大值;

(ii)證明：(1+1X2)(1+2X3)???[1+n(n+1)]>

題型二:三角函數(shù)不等式化為數(shù)列不等式

【精選例題】

___2

］已知函數(shù)/⑺=sinx—C2（。VnV1），g（力）—cos力—1+勺.

（1）證明：當(dāng)c>0時，g{x）>0；

（2）若/（力）>0,求Q的取值范圍；

（3）證明：—2<之sin|~——~~-1<1.

32n+3念l_k（k+l）」

2已知函數(shù)/（力）=xlnx—a（x—1）.

（1）若/（0>0,求實數(shù)a的值；

（2）已知九GN*且?1>2,求證：sin《+sin《H---l-sin—<Inn.

23Th

3已知函數(shù)/(力)=tanx+ln(l—x),xC(-多1).

(1)求/(力)的極值;

(2)求證：In71,1<tanJ+tan；H---Ftan—<lnn(n2,nEN*).

/43TV

【跟蹤訓(xùn)練】

題目已知函數(shù)/(力)=ln(l+x),g(x)=ax2+x.

(1)當(dāng)x>—1時,/(rc)<gQ),求實數(shù)a的取值范圍；

(2)已知九GN*,證明：sin—二-+sin—^――H---Hsin［一<ln2.

n+1n+22n

題目|~2^)已知函數(shù)/(6)=sinx—x+0cJ

(1)證明:對Va?E[0,+8),/(力)>0恒成立；

(2)是否存在GN*,使得ln2<sin1―+sin，H---Hsin-―-<-y成立？請說明理由.

1XJ2X4n(n+2)4

數(shù)列不等式放縮題蟄分類

(有點臺新)

由函數(shù)不等式化為數(shù)列不等式的姆

力一1>Inx=>ln(l+/)<力,(x>—1)

取:2=!則：」>ln生土”取”』嗎

nnnn+1n

題型一:指對數(shù)不等式化為數(shù)列不等式

【精選例題】

吼上建筑師高迪曾經(jīng)說:直線屬于人類，而曲線屬于上帝,一切靈感來源于自然和幻想，靈活生動的曲線

和簡潔干練的直線，在生活中處處體現(xiàn)了幾何藝術(shù)美感,我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)

系’如由"=在點(0,1)處的切線"=z一1寫出不等式lnx<x—1,進而用巨了替換刀得到一

系列不等式，疊加后有E(%+1)<1+4+]+…+!.這些不等式同樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.運用類似

2io7Tz

方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有()

B.H---1--<Inn

23n

c(i+4)(i+3)…(1+勺)<1D?(捫(部…($FU

\n)'n7、n7

【答案】BC

【詳解】令/(力)=x—l—Inc,則/'(力)=1——=———,當(dāng)/>1時，/'(1)>0,當(dāng)0V力VI時，f(x)

<0,

故/(力)=x—l—\nx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故/(1)—x—1—Inx在力=1處

取得極小值，也是最小值，/Q)min=0,故In力Wc—1,當(dāng)且僅當(dāng)力=1時等號成立，A選項：九=1時不

等式左右兩端相等，故A錯誤；B選項：將Inx^x—1中的力替換為1—劣，可得ln(l—2)41—力一

1——x,x<Z1,當(dāng)且僅當(dāng)力=0時等號成立，

令力=工彳0,可得Inf1——}<—~所以Inn—ln(n—1)>工，故ln2—Ini+ln3—ln2H---Finn

nvn7nn

—ln(n—1)>J+H---1-工，其中l(wèi)n2—Ini+ln3—ln2H---Finn—ln(n—1)=Inn—Ini=Inn,

/O77z

所以lrm>《+《+…+工，8正確；。選項：將1中的力替換為1+4,顯然1+々￡1,

23nn2n2

故ln(l+t)+ln(l+2)+…+當(dāng)九>2時，^+日，

'/)'招)\")2n22n222n4

故(1H—(1H—4)…(1+?■)Ve4成立；當(dāng)72=1時，2=164V(e3)4：z=e4顯然成立，故

\?2八n7'n7

(1+±)(1+義)…(1+勺)V/,C正確；O選項：將Inx&c-1中的力替換為四二上,其中，ne

'代)\代)'")n

N*且n>2,則hi北二^<-—,則加n皂二^<-1,故(小二！『<—,則(4y+(?y+?■?(―^『+1

nnn'n)ev27'3，vn+17

<生，又(]丫+(春丫>]><0錯誤.故選：BC.

ev27v372e

2已知函數(shù)/(尤)=Inc—acc+L其中aCR

(1)若函數(shù)/Q)的圖象恒不在立軸上方,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：1+4+]+…+工>lnS+l),其中4CN*.

【答案】⑴[1,+8)；(2)證明見解析

【詳解】(1)解：由函數(shù)/(力)的圖象恒不在x軸上方，且/(2)=Inrr—ax+1,即/(2)=\nx—ac+14

。恒成立，即0.I”7+1在(0,+8)上恒成立，令gQ)=ln"+1,Q>o),可得/(6)=_ll竽.，當(dāng)x

/x

G(0,1)時，g'O)>0;當(dāng)±e(1,+ao)時，g'(cc)<0,所以g(c)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)

遞減，所以gQ)1mx=g(l)=1,所以a>l,

即實數(shù)a的取值范圍為[1,+8).

⑵解：由⑴知，當(dāng)a=1時，/(x)=lnt-cc+lWO,即力一Inc,當(dāng)且僅當(dāng)cc=1時取等號，令2

="+1(neN*)，可得上>In"'1，所以1+11H---1-->In?+ln-|-+ln-^H---Fin止也

nnn23n123n

=ln(^-xxx---x71+】=ln(n+1),即當(dāng)九GN*時，1+4+《H---F—>ln(n+1).

123n23n

網(wǎng)]3已知函數(shù)/㈤=ex―^-ax2-x.

(1)若/Q)在力eR上單調(diào)遞增，求Q的值；

⑵證明：(1+1)(1+…(1+v/(rieN*且7i>2).

【答案】(1)1;(2)證明見解析.

xx

【詳解】(1)函數(shù)/(劣)=e―求導(dǎo)得/㈤=e—ax—1,由于函數(shù)/(力)在R上單調(diào)遞增，則f

xxx

(6)=e—ax—1>0恒成立，令九(1)=e—ax—1,則K(x)—e—a,當(dāng)Q=0時，f⑸=e“一1，當(dāng)eV

。時,『⑺V0,不滿足條件；當(dāng)0<0時，磯力)>0,月0)在斤上單調(diào)遞增，又從!)=/—0?十一1

=e,一2V0,即/'(工)V0,不滿足條件；當(dāng)a>0時，令〃(%)=0,得力=Ina,則當(dāng)力VIna時，

<0,h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>lna時，h\x)>0,h[x)單調(diào)遞增，于是當(dāng)x=lna時，h(x)取得最小值

九(Ina)=elna—alna—l=a—alna—1,

于是Zi(lna))0,即a—1—alna=0,令u{a)=a—1—alna,則u(a)=—lna,當(dāng)0VaV1時，M

(a)>0,u(a)單調(diào)遞增；Q>1時，M(Q)<0,u(a)單調(diào)遞減,則u(a)max="⑴=0,由于a—1—

alna>0恒成立，因此Q—1—alna=0,則有a=1,所以/(出)單調(diào)遞增時，Q的值為1.

(2)由(1)知，當(dāng)a=l時，^一/一1>0,即有+當(dāng)且僅當(dāng)力=0時取等號，即當(dāng)力>0時，

ln(x+1)<Lx,

因此當(dāng)nGN*且?guī)?gt;2時，ln[(l+1)(1+…(1+4)]=ln(l+1)+ln(l++???

+心力7<1十+-4十---十1--—/

而當(dāng)八>2時，」7——='v—工，所以1+5+…+」7<1+

rin(n—1)n—1n4n2

1-+X_1+???+1X=1+1-—<2,

423n—1nn

則】n[(l+D(l+]>”(1+十)]<2,所以,(l+D(l+1>“(1+,<e2.

Ml4已知函數(shù)/(力)=-^-x2—x].nx+t(tER).

(l)g(rc)是/(N)的導(dǎo)函數(shù)，求g(力)的最小值;

⑵證明:對任意正整數(shù)n(n^2)，都有(1+七),(1+,(1+W…(1+Ve(其中e為自然

對數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)0;(2)證明見解析.

【詳解】(1)由題意，f(x)=-^-x2—x\nx+t,g(x)=f⑸=x—Inx—1,力>0,g(x)=1——=

*J,令/(力)=0,解得力=1,又出G(0,1)時，g'Q)<0,力E(l,+oo)時，g\x)>0,所以g(i)在

(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)單調(diào)遞增，??.gQ)>g⑴=0,即gQ)的最小值為0.

(2)證明：由(1)得，g(/)=x—l—Inx>0,可知名—lnxf當(dāng)且僅當(dāng)力=1時等號成立，令力=1+

]

41,則_X__X>A:=2)3,4-,n..-,ln(l+^)+ln(l+^)+

fc(fc-l)

帥+今卜…+2+十)

〈(lO+OtHKO+…=即岫+9)+如(1+0)+

ln(l++…+ln(l+EVI,

'47'n7

也即+++…所以+++…

(l+」y)<e,故對任意正整數(shù)外⑺>2),都有(1+?(1+與)…(l+4)<e.

TLZD41ib

0］5已知函數(shù)/（c）~~~alnx（a€H）.

（1）當(dāng)a=—1時，試確定函數(shù)/3）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)/（①）在（0,e］上的最小值；

（3）試證明：（1+—）"+1>e（e=2718???；n€2V*）.

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間（0,1）,單調(diào)遞增區(qū)間（1,+8）;（2）答案見解析；（3）證明見解析.

【詳解】⑴當(dāng)a=-1時，/（T）=工+In必定義域為（0,+8）,求導(dǎo)得（⑸=-^~+—=三工

xXXX

當(dāng)力e（0,1）時JO）vo,當(dāng)力e（i,+oo）時，/（2）>o,即/（/）在（0,1）上遞減，在（i,+oo）遞增,

所以函數(shù)/（力）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞增區(qū)間為（l,+oo）.

（2）/6（0,e］,f（x）=——aln/,求導(dǎo)得/（i）=--1——=一些。工，當(dāng)0時，/（i）V0恒成立，

xxxx

即函數(shù)/（力）在（0,e］上單調(diào)遞減，因此/Q）min=/（e）=-1~—Q；當(dāng)QV0時，由/'（力）=0,得力=—，

當(dāng)一~^>e,即——<a<0時，/'（力）V0,函數(shù)/（力）在（0,e］上單調(diào)遞減，因此/（劣）mm=/（e）=——

aee

Q;當(dāng)0V―；即a<―；時，由f（x）V0,得cG（°「十），由f'（x）>。,得％G（一，即函數(shù)

在（。，―十）上單調(diào)遞減，在（-pe）上單調(diào)遞增，

因此/（c）min=/（—~—）=—a—aln（—,所以當(dāng)aE［一~^~,+8）時，/Q）min=工一Q,當(dāng)aG

CLCLee

（_oo,一~1~）時,/（7）min=_Q_Qln（_?）.

（3）由（1）知，當(dāng)a=—1時，/（劣）=—+\nx在力=1處取得最小值/（l）=1,即工+Inx>1,于是In%

xx

>l-^（x>0）,

GN*,令2=1+工，則有l(wèi)n（l+—）>1---^――=一^―,因此（九+l）ln（l+—）>1,即

n'n71+工n+1\n7

n

/1\n+l.,/1\n+l

In1+—）>1,所以（1+上）>e.

\n,vn7

曬6已知函數(shù)/(力)=ln(/+1)----y-

T-4-

⑴求/Q）的極值；

（2）對任意的GN*，求證：一H---H-------F*—＜ln2.

n+1n+22n

【答案】（1）極小值0,無極大值；（2）證明見解析

【詳解】（1）因為于⑸=ln（?+1）------=ln（a;+1）+一1,則f'（x）=---=

x+1x+1x+1（x+1）

,*、,，當(dāng)，e（—i,o）時，/3）＜o(jì),2e（o,+8）時，/Q）＞o,故f@）在（—1,o）上單調(diào)遞減，在

3+1）2

（o,+8）上單調(diào)遞增，故/3）在/=o處取得極小值/（o）=o,無極大值.

(2)由⑴知/㈤在(0,+8)上單調(diào)遞增，故/G(o,+oo)Ht,f(x)>f(o)=o^p:ln(T+1)>

x+1

1

令力=工得，ln(l+L)>1r，化簡得：In(烏士■，于是有：In(烏士])>，?，

n'n71+工、n)n+1\n'n-\-1

n

ln(n十2>]

n+1n+2

累加得：ln（2士L）+>------1-------------

n+1n+22n

In型=In(但(———)>---1---------1---即---1---1---1--1--—<

n\n乂吊）<2n—n+1n+22n'n+1n+22n

ln2.

幽7已知函數(shù)/（力）=Inc—2—

⑴證明：/Q）＞0；

⑵證明+++點）…（1+點）］＞1—*,九CN+.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【詳解】⑴證明：f（x）=——1=021（名＞0），令/'（"）=。恒成立，解得力=1,當(dāng)f'（R）＞0時，解

xxx

得力＞1,當(dāng)/⑺VO,解得OVcVI,此時/⑺在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增；所以

/0）在力=1取得最小值，/（力）min=/（l）=0,/（力）＞/（1）恒成立，即/（力）＞。成立.

⑵證明：由（1）可知，/（名）在（i,+oo）上單調(diào)遞增，且/（1）=0,所以/（力）＞。在/e（i,+co）恒成立，

即\nx————＞0,Inx＞———，當(dāng)nGN+時，令rc=1+3G（1,+oo），貝|工=——=1—

22

Xxnxn+l

22

n+l'xxn+l'

所以】n（l+十）士]xSp所以ln(l+F>l—/,ln(l+!)

n(n+1)n

>4一1，所以ln(l+9)+1n(T)+…+ln(l+±)>l-

3nn+1\nf

11

?x_=1—

萬十萬_口十…+十五一n+1n+1

1

即ln1+1+1+i+>1-,nETV卡.得證.

[(^)(i)(^)-(Ann+1

（18已知函數(shù)/Q）a\nx+a—1

x

⑴若時（力）<力一1恒成立，求Q的取值范圍；

（2）當(dāng)a=l時,證明：+—卜‘⑺’<弓+119

23n2271+224

【答案】（1）[0,1];（2）證明見解析

【詳解】（1）過（％）=alnx+a-1—1,可得2—alnc—Q>0.令無（①）=N—QIUN—Q,其中x>0,

則h'（x）=1——=———.①當(dāng)a=0時，h（x）=x>0,合乎題意;②當(dāng)a<0時，由基本不等式可得

xx

1

a+十二-(-a)+4一2/(一a)?1=—2,當(dāng)且僅當(dāng)a=—1時，等號成立，a2+a+1

(一a)-(一a)

a+工

G+■，當(dāng)且僅當(dāng)a——時，等號成立,所以，h1—a=ea

ia

—(a2+a+1)Ve-2--=J—1-V0,

所以，h{x}>0不恒成立，不合乎題意;③當(dāng)a>0時，H（x）=1——=———,當(dāng)0V力VQ時，h!（X）

V0,此時函數(shù)九（①）單調(diào)遞減，當(dāng)力>.時,K（X）>0,此時函數(shù)無（力）單調(diào)遞增，所以,八（G）min=八（Q）

—a—alna—a=—alna>0,可得InaW0,解得0Va&1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0,1];

（2）當(dāng)a=l時，/（c）=上些，所以/(n)Inn由（1）知：xf（x）《力一1,即Inc4力一1,所以I0*W

Xnn2x

1-X

X

令t=/，得嘩&1—劣，即2z/wi—七，所以里1—5)■當(dāng)n=2時，與1=野

nnnnn2

則尹1193，顯然呼〈;<■|■，結(jié)論成立；當(dāng)心3時，^^+且）+…

2?i+224844823n

ln2.In3..Inn71占+…々

----------------------------r***?------------&-1—e+l—+1—

2232n2

22232n2

11+上+…+11

+H-----1---------------

222323x44x5nx(n+1)

—1——1—I,——1——1—,...—?,—1—171

3445nn+1212n+1)]=

1n+119119

2n+1122n+224'

/(2),*3)^/(n)1

結(jié)論成立.因此，當(dāng)口）2時,-生■成立

2n+224雙

【跟蹤訓(xùn)練】

/目1禾U用“In/<T-1”可得到許多與卅">2且nCN*)有關(guān)的結(jié)論①ln(n+l)<l+^-+4+---

+'②1rm號+/+…③(1+材1+a)…(l+4)>e，④?)”+(燈+…+%)”<

:，則結(jié)論正確的有()

e—1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】。

【詳解】令/(c)=/一1—In/,則/'(力)=1——=———當(dāng)力>1時，/'(2)>0,當(dāng)0V/V1時，/'(%)

<0,

故/(2)=x—l—Inx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故/(2)=x—l—Inx在力=1處取

得極小值，也時最小值，/Q)min=0,故Inx&力一1,當(dāng)且僅當(dāng)力=1時，等號成立，對于①，令2=1+

:W1,所以ln(l++1=：，故ln(l++)+ln(l+H---Fln(l+<1+-yH-

+工，其中l(wèi)n(l++ln(l+H----Fln(l+工)=ln2—Ini+ln3—ln2H---Fln(n+1)—Inn=

ln(n+1)—Ini=ln(n+1),

所以ln(7i+1)V1+H---1■工，故①正確；對于②，將Incw/一1中的力替換為1—力，可得

ln(l—力)41—2—1=—xx<l,當(dāng)且僅當(dāng)x=Q時等號成立，令力=工W0,可得ln(l——)<——,

n、n)n

所以Inn—ln(n—1)>—,

n

故ln2—Ini+ln3—ln2H---Finn—ln(n—1)>+1H---1--,其中l(wèi)n2—Ini+ln3—ln2H—

23n

+lnn—ln(n—1)=Inn—Ini=Inn,所以lnn>《H----F工，故②正確；

23n

對于③，將1中的力替換為l+±,顯然1+Cwi，則InQ+Jr)Vl+占—1=C，

22222

故ln(l+4)+ln(l+1)+---+ln(l+—<^-+=―^=1一工<1,故

v2>\22'V2"222T1_X2n

12

(1+1)(1+占)…(1+—")Ve,故③錯誤;對于④，將Inc&rc-1中的力替換為W,其中ieN*,九

GN*,則-1,

nn

則就1114一九，故當(dāng)且僅當(dāng)i二九時，等號成立，則(工/+(2/+…+(2Lyveif+e2f

1

+…+e"f=￡：([-e：)=e-e^<,故④正確.故選：。

1—ee—1e—1

題目已知函數(shù)/（/）—ax—21n6+2（1—a）+———（a>0）.

（1）若/（力）>0在［1,+8）上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍；

（2）證明：1+-1_+?+.......+11>41n（2?i+1）+21（九GN*）?

352n—122n+1

【解析】解：（1）/（名）的定義域為（0,+8）,〃（/）=Q—2—="2-22—a=

XX2X2

.」一0（力一專區(qū)）

.

①當(dāng)OVaVl時，———>1,若1V力V———,則于'（x）<0,/（re）在（1,——曳）上是減函數(shù)，所以n

aa'Q/

e（1,毛包）時，f⑺</（1）=0,即/㈤>0在［1,+8）上不恒成立.

②當(dāng)a>l時，當(dāng)力>1時，/（⑼>0,/（力）在［,1+8）上是增函數(shù)，又/（1）=0,所以/（I）

a

>0.

綜上所述，所求Q的取值范圍是［1,+00）.

（2）由（1）知當(dāng)a）1時，/（力）>0在［1,+8）上恒成立.取a=1得力一21nx—^->0,所以2——

xx

21nrr.

2n+l2n-l

令力=2n+l,n￡N*,得>2In｝，即1+-----------1-------------

2n-l2n-l2n+l2n—12n-l12n+l

21n-,所以

-^>iln2-±l+X(—五匕），上式中戶1,2,3,然后幾個不等式相加，得

2n-l22n-l2V2n-1

到：

1+……3+1)+號他**).

題目|"3^|已知/（%）=ln（l+x）—x.

⑴證明：/（力）40；

（2）證明：2時，lnn<+!+4-----匕11.

2342n-1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【詳解】（1）由題意知，/（1）的定義域為（―l,+oo）,/（x）=—7------1=1「，令f（①）>0,解得一1V

力V0:令/（力）V0,解得力>0.所以/（I）在（―1,0）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以/（I）的

最大值為/（0）=0,

所以/（力）40.

（2）由（1）知ln（l+1）41,當(dāng)且僅當(dāng)力=0時等號成立，

所以ln(l+y)+ln(l+y)+ln(l+j)+-+ln(l+=嗚x1x^X-X^^

題目已知函數(shù)/（c）=x—l—a\nx,aER.

（1）若/Q）存在極值，求Q的取值范圍；

（2）若f（①）>0,求a的值；

（3）對于任意正整數(shù)71,是否存在整數(shù)m,使得不等式（1+^-）（1+（1+〈山成立？若存

在,請求出山的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】（1）（0,+8）;（2）a=l;（3）3

【詳解】（1）函數(shù)/（力）=x—1—alnx的定義域為（0,+oo）廳（x）=1——=———,當(dāng)a40時"（力）

>0恒成立，此時f（x）在（0,+OO）上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)Q>0時，令/（力）=0得N=Q,/e（0,Q）時,

f'（x）<0,xE（Q,+oo）時，/'（力）>0,所以/（力）在（O,a）上單調(diào)遞減，在（a,+oo）上單調(diào)遞增，此時

/（力）有極小值為了（Q）,無極大值.

綜上所述，若/（力）存在極值，則Q的取值范圍是（0,+8）.

（2）/（1）=0,由⑴可知，當(dāng)a40時JQ）>0恒成立,此時/（%）在（0,+oo）上單調(diào)遞增,與廣⑺>0

恒成立矛盾；當(dāng)Q>0時，由⑴可知，/（力）在（0,a）上單調(diào)遞減，在（Q,+8）上單調(diào)遞增，所以/QOmin

=/（Q）,則需/（a）>0,若a=1,則/（a）=f（l）=0，符合題意；若。VQV1,則f（a）<f（l）=0,不合題

意舍去；

若a>1,則f（a）</（1）=0,不合題意舍去.綜上所述，a=1.

（3）由（2）可知當(dāng)Q=1時f（x）=x—l—\nx>0,即In/W/一1,所以ln（x+1）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

力=0時取等號，所以ln(l+一方面,ln(l++ln(l+J)+…ln(l+))<

4H—H---1———1---V1,

2222nT

即(1+9)(1+J)…(1+專)Ve,另一方面’(1+2)(1+(1+!)>

135、°

64'

從而當(dāng)n>3時，++（1+^r）G（2,e）,因為m為正整數(shù)，且對于任意正整數(shù)ri,

（1+…（1+J7）Vm,恒成立，故m的最小值為3.

222

題目1~^1已知函數(shù)/（力）=xlnx—m（x—1），且/（力）>0.

(1)求實數(shù)巾的取值范圍;

⑵設(shè)k為整數(shù)，且對任意正整數(shù)期不等式(1+^-)(1+^)??-(1+J)Vk恒成立，求％的最小值;

(2023yo241/2023\2023

(3)證明:

V2024/eV2024/1

【答案】(1)館=1;(2)2;(3)證明見解析

【詳解】(1)法一：=x(^lnx—m+5)>0在(0,+8)上恒成立/.Inrr—m+—>0在(0,+oo)

上恒成立

設(shè)gQ)=\nx—m+也,g'(x)=——吟———尹，①當(dāng)0時，g'Q)>。恒成立?'.gQ)在

xxx2x2

(0,+oo)上單調(diào)遞增，且g⑴=0工vC(0,1)時,g⑸<0不符合題意，舍去，②當(dāng)m>0時，令g'(優(yōu))

>0,則2>771；令9'(力)V0,則0VcVm.

g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減，在(m,+oo)上單調(diào)遞增9(rr)min=g(m)=Inm—m+l>0.設(shè)以力)=

\nx—x+=-——生，令"(i)>0,則0V/V1;令〃(N)V0,則x>l.：.h(x)在(0,1)上單調(diào)遞

增，在(1,+8)上單調(diào)遞減%(n)max=〃l)=。，即當(dāng)h(m)>0時，恒=1；.館的取值范圍是：m=l.

法二：:"(I)=0,/(力)>0在(0,+8)上恒成立，是/(力)上最小值，也是極小值,."'(力)=Inx

+1—771=1—771=0,即7n=1,當(dāng)7n=1時，f(x)=xlnx—力+l,/(rc)=\nx

令FQ)>0網(wǎng)力>1;令fQ)VO,貝U0V/V1,