高考數(shù)學（文）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義第10章概率第1講隨機事件的概率

第1講隨機事件的概率板塊一知識梳理·自主學習[必備知識]考點1概率1．在相同條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．我們把這個常數(shù)叫做隨機事件A的概率，記作P(A)．2．頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值．3．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．考點2事件的關(guān)系與運算[必會結(jié)論]1．從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．2．概率加法公式的推廣當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[考點自測]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“下周六會下雨”是隨機事件．()(2)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．()(3)隨機事件和隨機試驗是一回事．()(4)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()(5)兩個事件的和事件是指兩個事件同時發(fā)生．()(6)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2．[2015·湖北高考]我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石B．169石C．338石D．1365石答案B解析由題意可知這批米內(nèi)夾谷為eq\f(28,254)×1534≈169(石)，故選B.3．[課本改編]一袋中裝有大小相同，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的8個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)答案D解析從8個球中有放回的每次取一個球，取2次共有8×8＝64種取法．兩個球的編號和不小于15，則兩球號碼可以為(7,8)，(8,7)，(8,8)三種可能，其概率為P＝eq\f(3,64).4．[2018·寧夏檢測]抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則事件A的對立事件為()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n個”的反面是“至多有n－1個”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的對立事件為“至多有1件次品”．5．[2018·云南質(zhì)檢]在2,0,1,8這組數(shù)據(jù)中，隨機取出三個不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案C解析分析題意可知，共有(0,1,2)，(0,2,8)，(1,2,8)，(0,1,8)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝eq\f(1,2).6．[2018·湖南長沙模擬]同時擲3枚硬幣，至少有1枚正面向上的概率是()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,8)答案A解析由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是將1枚硬幣連續(xù)拋擲三次，共有23＝8種結(jié)果，滿足條件的事件的對立事件是3枚硬幣都是背面向上，有1種結(jié)果，所以至少一枚正面向上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故選A.板塊二典例探究·考向突破考向事件的概念例1從6件正品與3件次品中任取3件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種情況：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事件但不是對立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種情況，它與“全是次品”既不是互斥事件也不是對立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2種情況；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2種情況，它們既是互斥事件也是對立事件．觸類旁通事件間關(guān)系的判斷方法對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．【變式訓練1】[2018·湖北十市聯(lián)考]從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”答案D解析A中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系．考向隨機事件的概率與頻率例2[2017·全國卷Ⅲ]某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.觸類旁通概率和頻率的關(guān)系概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率．【變式訓練2】[2016·全國卷Ⅱ]某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”．求P(A)的估計值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．解(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.考向互斥事件、對立事件的概率命題角度1互斥事件的概率例3[2018·洛陽模擬]經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？解記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.命題角度2對立事件的概率例4[2018·揚州模擬]某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).觸類旁通求復雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率求和，運用互斥事件的概率求和公式計算．(2)間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運用逆向思維，特別是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便．核心規(guī)律1.對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．2.若某一事件包含的基本事件較多，而它的對立事件包含的基本事件較少，則可用“正難則反”思想求解．滿分策略1.正確認識互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件．2.需準確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義．3.正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录?，切忌盲目代入概率加法公?板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考易錯警示系列12——隨機事件概率求解中的易誤點[2018·湖南模擬]某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．錯因分析解答本題有以下幾點容易失分：①不能讀懂表格，無法估計所種作物的平均年收獲量；②不能將概率問題轉(zhuǎn)化為頻率來進行估計；③不能正確地把所求事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，導致計算錯誤．解(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株．列表如下：Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為eq\f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f(102＋192＋270＋126,15)＝eq\f(690,15)＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq\f(2,15)，P(Y＝48)＝eq\f(4,15).故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq\f(2,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(2,5).答題啟示用互斥事件和對立事件的概率公式解題，關(guān)鍵是弄清所求事件是由哪些事件組成的，它們之間有什么關(guān)系，一般地較為復雜的事件都可視為若干互斥事件的和事件，從而可用概率加法公式求解，而含有至少、至多等詞語時，事件往往較復雜，可考慮用對立事件的概率公式求解.跟蹤訓練根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率是0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率是0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨立．(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中一種的概率；(2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．解記A表示事件：該車主購買甲種保險；B表示事件：該車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種；D表示事件：該車主甲、乙兩種保險都不購買．(1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因為D與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達標]1．在5張卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡答案A解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，故選A.2．[2018·南通模擬]從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③答案C解析從9個數(shù)字中取兩個數(shù)有三種取法：一奇一偶，兩奇，兩偶，故只有③中兩事件是對立事件．3．[2018·陜西模擬]從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析如圖，從A，B，C，D，O這5個點中任取2個，共有(A，B)，(A，C)，……，(D，O)10種取法，滿足兩點間的距離不小于正方形邊長的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).4．有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)答案C解析將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)有12,13,20,21,30,31，共6個，兩位數(shù)為奇數(shù)的有13,21,31，共3個，故所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5．從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案A解析從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取3個不同的數(shù)的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10個，取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3個，故所求概率P＝eq\f(3,10).選A.6．[2018·銀川模擬]已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙勝的概率為eq\f(1,3)，則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以甲勝的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).設(shè)“甲不輸”為事件A，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())或設(shè)“甲不輸”為事件A，則A可看作是“乙勝”的對立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1()).7．[2018·陜西模擬]對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其為二等品的概率是()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45答案D解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[25,30)上的頻率為1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，則二等品的頻率為0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件為二等品的概率約為0.45.故選D.8．[2018·溫州十校聯(lián)考]記一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為A.若A是不超過5的奇數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為1的概率為________．答案eq\f(2,9)解析根據(jù)題意，個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)且不超過5的兩位數(shù)有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9個，其中個位是1的有21,41，共2個，因此所求的概率為eq\f(2,9).9．[2018·吉林模擬]從分別寫有0,1,2,3,4的五張卡片中取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出一張卡片．則兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率是________．答案eq\f(1,5)解析從0,1,2,3,4五張卡片中取出兩張卡片的結(jié)果有25種，數(shù)字之和恰好等于4的結(jié)果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以數(shù)字和恰好等于4的概率是P＝eq\f(1,5).10．一根繩子長為6米，繩子上有5個節(jié)點將繩子6等分，現(xiàn)從5個節(jié)點中隨機選一個將繩子剪斷，則所得的兩段繩長均不小于2米的概率為________．答案eq\f(3,5)解析隨機選一個節(jié)點將繩子剪斷共有5種情況，分別為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．滿足兩段繩長均不小于2米的為(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3種情況．所以所求概率為eq\f(3,5).[B級知能提升]1．在運動會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號相連的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,10)D.eq\f(2,5)答案A解析從1,2,3,4,5中任取三個數(shù)的結(jié)果有10種，其中選出的火炬手的編號相連的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴選出的火炬手的編號相連的概率為P＝eq\f(3,10).2．[2018·合肥一模]某城市有連接8個小區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H和市中心O的整齊方格形道路網(wǎng)，每個小方格均為正方形，如圖所示．某人從道路網(wǎng)中隨機地選擇一條最短路徑，由小區(qū)A前往小區(qū)H，則他經(jīng)過市中心O的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)答案B解析由題意知，此人從小區(qū)A前往小區(qū)H的所有最短路徑為：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6條．記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4個，所以P(M)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，即他經(jīng)過市中心O的概率為eq\f(2,3).3．[2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研]在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,0<x≤3，,y>\f(1,x)))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點)中任取3個點，則該3點恰能作為一個三角形的3個頂點的概率為________．答案eq\f(9,10)解析不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5個，從中任取3個點，有10種取法，其中共線的3點不能構(gòu)成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1種，即能夠作為三角形3個頂點的情況有9種，故所求概率是eq\f(9,10).4．[2018·寧波模擬]一盒中裝有各色球共12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機取出1個球，求：(1)取出1個球是紅球或黑球的概率；(2)取出1個球是紅球、黑球或白球的概率．解記事件A1＝{任取1個球為紅球}，A2＝{任取1個球為黑球}，A3＝{任取1個球為白球}，A4＝{任取1個球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12)，解法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)根據(jù)題意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可知，(1)取出1個球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(