2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元速記-空間向量與立體幾何（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第一章空間向量與立體幾何（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.能夠理解空間向量的概念，運(yùn)算、背景和作用；

2.能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力；

3.能夠掌握空間向量基本定理，體會(huì)其作用，并能簡單應(yīng)用；

4.能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡單的實(shí)際問題，體會(huì)用向量解決一類問題的思路.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

一、空間向量的有關(guān)概念

1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模;

如空間中的位移速度、力等.

2、幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為o的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量Z長度相等而方向相反的向量，稱為Z的相反向量，記為-￡

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

二、空間向量的有關(guān)定理

1、共線向量定理：

對空間任意兩個(gè)向量￡花（6彳。），之痛的充要條件是存在實(shí)數(shù)X,使￡=%小

（1）共線向量定理推論：如果/為經(jīng)過點(diǎn)/平行于已知非零向量2的直線，那么對于空間任一點(diǎn)。，點(diǎn)尸在

直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)人使而=厲+￡①,若在I上取AB=cf則①可以化作：麗=厲+tAB

/vx

/

A

(2)拓展(高頻考點(diǎn))：對于直線外任意點(diǎn)。，空間中三點(diǎn)p,48共線的充要條件是麗=203+〃方，

其中2+〃=1

2、共面向量定理

如果兩個(gè)向量不共線，那么向量方與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使

p=xa+yb

(1)空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)尸位于平面48c內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使方=丫荏+了方.

或者等價(jià)于：對空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)尸位于平面45c內(nèi)(P,48,C四點(diǎn)共面)的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)對(x,y),使赤=E+x赤+該式稱為空間平面48C的向量表示式，由此可知，空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

(2)拓展

對于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)P,C,48共面(其中c,43不共線)的充要條件是9=x0S+yE+z無(其

中x+y+z=1).

3、空間向量基本定理

如果向量三個(gè)向量a,不共面，那么對空間任意向量0,存在有序?qū)崝?shù)組使得p=xa+yb+zc.

三、空間向量的數(shù)量積

1、空間兩個(gè)向量的夾角

(1)定義：己知兩個(gè)非零向量Z),在空間任取一點(diǎn)。，作厲=a,OB=b<則么N/O8叫做向量ZI

的夾角，記

(2)范圍：<(z,Z>>G[0,^].

特別地，(1)如果<a,否>=會(huì)，那么向量a,B互相垂直，記作￡_1_幾

(2)由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為〃，故<Z,B〉=O(或

<a,b〉=萬)0￡//否為非零向量).

⑶零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定6與任何向量Z都是共線的，即0||Z.兩非零向量的夾角是

唯一確定的.

(3)拓展(異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別)

若兩個(gè)向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為

一一H

(1)向量夾角的范圍是Q?a,b><兀,異面直線的夾角。的范圍是0<。<萬，

一一71

(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，3=<a,b>；當(dāng)兩向量的夾角為萬時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為

鈍角時(shí)，6=n-<a,b>.

2、空間向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量b,則⑷|B|cos<〉叫做￡，B的數(shù)量積，記作鼠3；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>■規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

3、向量￡的投影

3.1.如圖(1),在空間，向量￡向向量B投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面a

__-?-?-?-?_

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量g共線的向量3c=|a|cos<a,b〉方向量)稱為向量￡在

向量加上的投影向量.類似地，可以將向量￡向直線/投影(如圖(2)).

3.2.如圖(3),向量￡向平面月投影，就是分別由向量￡的起點(diǎn)Z和終點(diǎn)8作平面夕的垂線，垂足分別為H,

B',得到定爐，向量7方稱為向量￡在平面，上的投影向量.這時(shí)，向量雙的夾角就是向量￡所

在直線與平面力所成的角.

(1)(2)(3)

4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量B的數(shù)量積等于￡的長度與B在￡方向上的投影

|b|cos<a,b>的乘積或等于B的長度|B|與￡在刃方向上的投影|a|cos<aj)>的乘積.

5、數(shù)量積的運(yùn)算：

(1),2G7?.

⑵￡%="￡(交換律).

(3)a?@+c)=+(分配律).

四、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)￡=(4,%,%)，務(wù)=也,瓦,bj,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示:

數(shù)量積

a-b=+462+4363

共線(平行)

a1=g

ZIIw6)01=痛0,E

a2=讓2(aR)

a3=勸3

垂直

Qa-b=0<^apx+a^b2+a3b3=0(均為非零向量)

模|Q=J|Q2=J/=+的2+42,即Q=J]

夾角一一a-bab+ab+a3b3

C0S<a^>=|a||b|肥+Wxx+,2取2+吱+6；

五、直線的方向向量和平面的法向量

1、直線的方向向量

如圖①是直線/的方向向量，在直線/上取方=>設(shè)尸是直線/上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線/上的充要條

件是存在實(shí)數(shù)L使得,即在

2、平面法向量的概念

如圖，若直線/J_a,取直線I的方向向量￡,我們稱￡為平面a的法向量；過點(diǎn)/且以￡為法向量

的平面完全確定，可以表示為集合{0|a?4P=0}.

a

3、平面的法向量的求法

求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:

設(shè)向量：設(shè)平面a的法向量為n=(x9y9z)

選向量：選取兩不共線向量彳瓦衣

n-AB=0

列方程組：由一—,列出方程組

ri-AC=0

nAB=0

解方程組：解方程組――.

n-AC=0

賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取±1）

得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.

六、空間位置關(guān)系的向量表示

設(shè)屋元分別是直線4,4的方向向量，晨區(qū)分別是平面d￡的法向量.

1/ux1/u2<=>3AGR,使得ux=AU2

線線平行

注：此處不考慮線線重合的情況.但用向量方法證明線線平行時(shí)，必須說明兩直線不重合

線面平行/]〃ao[_L，=I?成=0注：證明線面平行時(shí)，必須說明直線不在平面內(nèi)；

-?-kULLU

a//，=〃]//%?3AGR,使得nx=An2

面面平行

注:證明面面平行時(shí)，必須說明兩個(gè)平面不重合.

線線垂直I1-L1?%_L虱2%?〃2=0

線面垂直4J_a=%//々=￡R,使得%=助1

面面垂直a_L，0々_1_%o%%=0

七、向量法求空間角

1、異面直線所成角

設(shè)異面直線4和所成角為。，其方向向量分別為1，則異面直線所成角向量求法：

—*—*Z/?V——

?cos<w,v>=—~;（2）COS=|COS<u,v>|

|MIM

2、直線和平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為平面a的一個(gè)法向量為直線/與平面a所成的角為。，則①

一一CI,YI一—

cos<a,n>=—~—；②sin，=|cos<〉].

I?hI

3、平面與平面所成角（二面角）

（1）如圖①，AB,CD是二面角a-/一夕的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=<方,國〉.

整i

a

（2）如圖②③，片,0分別是二面角。-/-萬的兩個(gè)半平面見，的法向量，則二面角的大小。滿足:

①COS<>=」上

.l?ih21

②cos6=+cos<nl,n2>

若二面角為銳二面角（取正），則（：05，=|（：05<〃1，〃2〉1；

若二面角為頓二面角（取負(fù)），則cosd=—|cos<〃1，〃2>1；

（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是

鈍二面角.）

八、向量法求距離

（1）點(diǎn)到直線的距離

己知直線/的單位方向向量為；，/是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)尸到直線/的距離為

（2）兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線/，加之間的距離，可在其中一條直線/上任取一點(diǎn)P則兩條平行直線間的距離就等于尸到

直線加的距離.

（3）求點(diǎn)面距

①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離.

即：點(diǎn)/到平面a的距離d=|—4P-?=n|=|「AP,一n|=JIA~P=一,nI,其中Qda,力是平面a的一個(gè)法向量.

l?ll?I1?1

(4)線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解

直線。與平面a之間的距離：d」其中萬是平面a的一個(gè)法向量.

?

兩平行平面名尸之間的距離：d=^rA,其中五是平面a的一個(gè)法向量.

n

重要題型

題型一空間關(guān)系的證明

【例1】如圖，正方形4DEB與梯形4BCD所在的平面互相垂直，2AB=2AD=CD=4,ADLCD,AB!/CD,

W為CE的中點(diǎn).

⑴求證：氏W//平面/DEF；

(2)求證：BC，平面BDE.

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)通過中位線得到線線平行，利用判定定理可證或利用法向量證明線面平行;

（2）利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，結(jié)合線面垂直的判定可證或利用直線的方向向量與平面的法向量

平行可證.

【詳解】（1）解法一：證明：取中點(diǎn)N,連結(jié)/N,MN,

由三角形中位線性質(zhì)可得〃N〃C。且〃N,

2

又因?yàn)?B//CD且,所以MN"AB且MN=AB,

2

所以是平行四邊形，所以BM//AN,

又4Nu平面4DE/，^知仁平面/^所，所以BM7/平面4DE/.

解法二：證明：因?yàn)槠矫?DEF_L平面4BC7）,平面40￡尸（"|平面48CD=40,DE1AD,

所以平面48c。，又DCu平面4BCD,所以。EJ.DC.

如圖，以。為原點(diǎn)，以方，DC-DE的方向分別為x軸、＞軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則

3（2,2,0）,C（0,4,0）,0（0,0,0）,E（0,0,2）,Af（0,2,1）.

因?yàn)辂?=（-2,0,1）,易知7=（0,1,0）為平面4D昉的一個(gè)法向量.

因此麗7萬=0，所以而;_L7.

又9W＜Z平面4DEF,所以8M//平面/DEF.

（2）解法一：證明：因?yàn)?。=2&，BC=2也，CD=4,

所以+=。＞2,所以3D_L8C.

因?yàn)槠矫鍭DEF1平面ABCD,平面ADEFA平面ABCD=4D,DE1AD,

所以DEI平面/BCD,又BCu平面48cD,所以。E_L8C.

又BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,所以平面BDE.

解法二：由(1)可得麗=(2,2,0),瓦=(0,0,2),BC=(-2,2,0).

設(shè)平面3DE的一個(gè)法向量流=(x,y,z),則

n-DB=2x+2y=0

取x=l,得＞=-Lz=0,

h-DE=2z=0

所以力=(L-1,0)是平面以必的一個(gè)法向量.

因此而=-2人所以平面8DE.

反思總結(jié)

證明平行、垂直關(guān)系的方法可以運(yùn)用傳統(tǒng)方法也可以運(yùn)用空間向量。

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法：

(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可。

(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明平面內(nèi)存在一個(gè)向量與直線的

方向向量是共線向量;③利用共面向量定理，即證明平面內(nèi)存在兩個(gè)不共線向量來線性表示直線的方向向量。

(3)證明面面平行的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行的問題。

(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直。

(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。

(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題。

鞏固訓(xùn)練:

1.如圖，四棱錐尸-48CD中，側(cè)面E4D為等邊三角形，線段4D的中點(diǎn)為O且尸。上底面48cD,

1兀

AB=BC=-AD^\,NBAD=NABC一,E是尸。的中點(diǎn).證明：CE〃平面P48.

22

【答案】證明見解析

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出CE的方向向量和平面尸N8的法向量即可證明.

TT

【詳解】因?yàn)樵诘酌?8CD內(nèi)，ZBAD=ZABC=-,所以8C〃4D,

連接0C,因?yàn)?。?的中點(diǎn)，BC=\AD,所以8c=/。，

所以四邊形/BC。是平行四邊形，所以O(shè)C〃AB,

7T

又因?yàn)镹84D=—,所以O(shè)CLAD,

2

因?yàn)槭酌?8CD,。。,/。匚底面48。。，所以尸O_LOC,尸。J_4D,

所以以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)CQDQP為x,%z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)閭?cè)面刃。為等邊三角形，AB=BC=\AD=\,

2

所以/（0,-1,0）,5（1,-1,0）,C（l,0,0）,P（0,0,G）,￡＞（0,1,0）,

（1反、

因?yàn)镋是尸。的中點(diǎn),所以E。，5，?

I221

設(shè)平面尸48的法向量為〃=（x,y,z）,則

ABn=x=0?，-//—\

--.L，令Z=1,得〃=（。,一6,1）,

APn=y+y]3z=0'7

因?yàn)?0-=0,所以C￡_L〃，

22

又因?yàn)镃EU平面尸/B,所以CE〃平面尸48.

2.如圖所示,正四棱/a。。-4AGA的底面邊長1，側(cè)棱長%中點(diǎn)為E,CG中點(diǎn)為尸.求證:平面瓦加//

平面片〃尸.

【答案】證明見解析

【分析】以A為原點(diǎn)，AB,AD,幺4所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證。后//尸耳,

同理3。〃耳2,再結(jié)合面面平行判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】以A為原點(diǎn)，AB.AD,44所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

■>

則3(1,0,0),￡>(0,1,0),￡(0,0,2),即1,0,4),^(0,1,4),川(1,1,2),

DE=FBt=(0,-1,2),：.DE!!FBX,同理8?！ㄅc"，

???DEu平面4A尸，方4(=平面耳。尸，，。石//平面42尸,

平面耳，尸，u平面尸，.18?！ㄆ矫娑?，尸,

又DEcBD=D,DE,BDu平面BDE

???平面BDE與平面B}DXF平行.

3.如圖，在正方體/BCD—中，M,N分別為/B,81c的中點(diǎn).證明:

（1）平面420〃平面4cn；

（2）皿_1平面4助.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，禾I」用平面43。和平面2c2的法向量來證明平面&8Z）〃平面

（2）通過直線九w的方向向量和平面4夕。的法向量來證明MV，平面48。.

【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2,則。（0,0,0）,4（2,0,2）,3（2,2,0）,瓦（2,2,2）,C（0,2,0）,A（0,0,2）.

設(shè)平面的法向量為用=（x,y,z）,

V^4=（2,0,2）,麗=（2,2,0）,函=（2,2,0）,5^=（0,2,-2）,

m-DA=2x+2z=0

<*.<__.,???令x=-1則機(jī)

m-DB=2x+2y=0

設(shè)平面4Cn的法向量為〃=（a,6,c）,

n?D]B]=2a+2b=0

<?,?令Q=—1,貝lj〃=（-1,1,1）,

'n-Dfi=2b-2c=0

LL1

??mlln，

.??平面4成）〃平面耳CQ.

(2)'：M,N分別為4。的中點(diǎn)，2V(1,2,1),

/.JW=(-1,1,1),J.MNUm，

MV_L平面43Z).

題型二利用空間向量求線面角

【例2】如圖，已知正三棱柱/8C-44C中，點(diǎn)E,F分別為棱84,4G的中點(diǎn).

(1)若過4瓦/三點(diǎn)的平面，交棱于點(diǎn)P,求出的值；

(2)若三棱柱所有棱長均為2,求4E與平面AEF所成角的正弦值.

【答案】⑴2

⑵姮

10

【分析】(1)延長4下交CG延長線于點(diǎn)。，連接"交5c于點(diǎn)P,然后結(jié)合三角形的中位線定理可求得結(jié)

果；

(2)解法一：取ZC中點(diǎn)。連接。民。/，以。為原點(diǎn)，。4。用。/為x,%z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量求解，解法二：設(shè)點(diǎn)4到平面NE廠的距離為〃，連接用產(chǎn)，易證用尸，平面NCG4,然后利

用等體積法求出〃，設(shè)與平面/跖所成角為0,則sino=々可得答案.

【詳解】（1）延長4尸交CG延長線于點(diǎn)。，連接。石交4G于點(diǎn)P,連接班則過4瓦戶三點(diǎn)的截面就是

平面四邊形/瓦下,

因?yàn)槭?cl中點(diǎn)，c/〃/C且GF=：/c,

所以G尸是的一條中位線,

所以。q〃8E且8E=；QG，

所以*2;

（2）解法一：取NC中點(diǎn)。連接。民。尸，因?yàn)檎庵?8C-4MG，/為4G的中點(diǎn)，OF與三棱柱的側(cè)

棱平行，所以。4。5。尸兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，。4。5。尸為》//軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示,

所以/（l,0,0）,E（0,JJ』）,F（0,0,2），4（l,0,2）,

所以章=(-1,若,-1),亞=卜1,行,1)

=(-1,0,2),

n-AE=Q

設(shè)平面4EF的法向量方=(x/,z),貝卜

n-AF=0

-x+6y+z=0

-x+2z=0

同一

令x=2,貝!Jy=—,z=1,所以〃二

3

設(shè)與平面/.所成角為e,則

-2+1-1叵

祠R「

&E與平面AEF所成角的正弦值為叵；

10

解法二：設(shè)點(diǎn)4到平面NE廳的距離為〃，連接用/，

因?yàn)?4=4G，尸是4G中點(diǎn)，所以87，4G，

因?yàn)槠矫?4G，4bu平面44G，所以尸，

因?yàn)?GnAAX=4,4G,44]<=平面/CG4,所以用尸，平面ACC^,

因?yàn)榈冗吶切?8￡的邊長為2,所以4尸=6,

所以￡尸=A/3+T=2,AE=AF=^2+12=5，

所以等腰三角形NEF的底邊E尸上的高為Vm=2,

11

所以的面積為y2x2=2,又“&F的面積為/x2xl=l,

因?yàn)闉?,=3"8尸，所以2/Z=5得〃=[,又4￡=5

設(shè)AXE與平面AEF所成角為。，

故4￡平面NE廳所成角的正弦值為匯

10

反思總結(jié)

根據(jù)圖形與已知條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系

設(shè)直線48與平面a所稱的角為仇需求出平面

a的法向量n和直線45的方向向量比才

\AB\'\n|

利用sinj=|cos＜彳才,,直線和平面所成角的

范圍是[0,%],即可得出直線和平面所成的角

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面48co為矩形，尸/J_平面/2。,/%=/。=拒48,點(diǎn)M是尸。的中

(1)證明：AM1PC；

(2)設(shè)/C的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),且ON=Q4,求直線/N與平面/CM所成角的正

弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得，由面面垂直的性質(zhì)可得CD_L平面尸40,則

所以由線面垂直的判定可得平面尸CD,從而可得結(jié)論；

(2)以尸所在直線分別為x/，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)證明：因?yàn)槭?=4D,點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，所以

因?yàn)镻/_L平面Z3CD,尸Zu平面尸，所以平面P4D_L平面/BCD,

因?yàn)樗倪呅?8c。為矩形，所以CD_LND,

因?yàn)槠矫鍼ADc平面ABCD=4D,CDu平面ABCD,

所以CD_L平面尸4D,所以CD_L/M,

因?yàn)镻DcCD=D,尸2CDu平面尸CD,

所以平面尸CD,

因?yàn)镻Cu平面尸CD,所以/M_LPC.

(2)解：由題意可得N3,ND,4P兩兩垂直，

設(shè)48=1,如圖，以48,/。,4P所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則/(0,0,0),5(1,0,0),C(l,V2,0),D(0,41,0),P(0,0,行)，

、

因?yàn)辄c(diǎn)河是尸。的中點(diǎn)，所以M。，芋，芋，

7

一.(也必

所以，就二(1,國)

\/

A,;一V2V2

AM?n=—yH-----z=0

設(shè)平面ZCM的法向量為〃=(x,y,z),貝卜22

AC-n=x+yfly=0

令》=-1可得%=萬*=1,所以平面/CM的一個(gè)法向量〃=

正=(1,及，一后)，設(shè)N(XN，〉N，ZN),麗=癡=(4仇一應(yīng)W<2<1),

BP(xjV,y7V,zjV-V2)=(2,V2A,^2A),所以N(2,低，也一四).

又o(士立,o],ON=OA=—,

(22J2

所以（彳——+V22——+（y/2—五九）2=:’

2

化簡得5萬一72+2=0,解得4=(或2=1(舍去).

’227230

所以款=

設(shè)直線NN與平面/CM所成的角為0,則

372

n-ANV15

sin。=

7o-

A/2+T+TX

所以直線NN與平面/CM所成角的正弦值為YD.

10

2.如圖四棱錐P-NBCO,點(diǎn)4民C,。在圓O上，48=/。=2,/氏4。=120,頂點(diǎn)尸在底面的射影為圓心。,

點(diǎn)E在線段尸。上.

(I)若AB"CD,PE=尢PD,當(dāng)/E〃平面尸BC時(shí)，求2的值；

(2)若ZB與CD不平行，四棱錐尸-/BCD的體積為#,2。=行，求直線尸C與平面P/8所成角的正弦值.

【答案】(1)%=；

(2)咨

【分析】(1)做輔助線構(gòu)建平面和平面尸3c平行，然后結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理來解決；

(2)通過棱錐的體積得到底面積，根據(jù)底面的數(shù)據(jù)可推出BC是直徑，然后建立空間直角坐標(biāo)系處理.

【詳解】(1)過E作E尸//PC交線段DC于萬，連接4尸.

■.■EF//PC,EFU平面尸8C,尸Cu平面尸3C,EFPBC,

又ZE〃平面尸BC,EF^AE=E,E￡/Eu平面/跖，

,平面/￡尸〃平面尸8C,

■.?平面AEFc平面ABCD=AF,

平面尸BCc平面4BCD=3C,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，；./尸//8。

XvABHCD,四邊形4BCF是平行四邊形，

CF=AB=2,而NADC=NAFD=/BCD=180°-ZBAD=60°

：.DF=AF=2,CD=4,

i^CF=-CD,得PE,PD,得2」.

222

VP-ABCD=J5po>(S為四邊形4BCD的面積)，得S=36.

由S=S?ABD+$ABCD=2x2xsinl20+S^BCD,得S^BCD=2G,

由余弦定理，5Z)2=22+22-2X2X2XCOS1200=12,貝1]5。=26，

根據(jù)正弦定理，設(shè)該四邊形的外接圓半徑為R,則2R=—坐左=4,

sml20

作直徑BC',由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，則/BCD=60°，

故C'D=2Rcos60°=2,SABC,D=^XDBXDC'=273,

根據(jù)圓的對稱性，作直徑DC"，也滿足S“BC-D=26，但此時(shí)DCHAB,

故C,C'重合，

此時(shí)8c為直徑，直徑為4,以。為原點(diǎn)，射線。氏。尸為％2軸,

過。垂直于3C的方向?yàn)閤軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則后1,0),8(0,2,0)0(0,20)尸@0,例，

所以強(qiáng)=(右,1,-血)，麗=(0,2-塢近=()-2,-,

設(shè)平面尸的法向量為克=(x/,z),則＜

令y=L則2=后,》=心，所以為=

3I3

\PC-n\

sinO=.1

設(shè)直線PC與平面尸/B所成角為e,則PC\\n\

直線尸C與平面P/8所成角的正弦值為安.

3.如圖，在四棱柱中，AAX±ABCD,ABHCD,ABLAD,AD=CD=1,AAt=AB=2,

￡為441的中點(diǎn).

(1)求四棱錐的體積;

(2)設(shè)點(diǎn)M在線段GE上，且直線與平面8CC四所成角的正弦值為:，求線段NM的長度;

【答案】(1)1

(2)|1A?|=V2

【分析】(1)證明出NC平面,CDH平面ABBXAX,可知點(diǎn)C到平面ABBXAX的距離等于ND=1,再

利用錐體的體積公式可求得四棱錐C-AEB.B的體積；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以/D、/4、所在直線為x軸、了軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

前=4屬，其中0W/W1,求出向量而的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于X的等式，結(jié)合0W/W1求

出2的值，可得出向量而的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得線段的長.

【詳解】(1)解：因?yàn)?4]，平面48cD,4Du平面/BCD,所以，ADlA^,

又因?yàn)?D1/8,441n48=/,例、48u平面所以4D_L平面.因?yàn)?B//CD,CDq

平面48及4，45匚平面/3及4，所以，co〃平面/8與4，

故點(diǎn)C到平面ABBXAX的距離等于AD=\,

=

所以，^C-AEBtB§'$四邊形/%8'*(1+2)X2]X1=1.

(2)解：由山，平面4BCD,AD1AB,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以40、、48所在直線為x軸、＞軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則1(0,0,0),5(0,0,2),C(l,0,l),￡(0,1,0),Q(1,2,1).

所以次=(0,1,0),=(1,1,1),5C=(1,O,-1),cq=(0,2,0).

設(shè)平面BCClBl的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

m-BC=x-z=0

則，取i=1,可得加=(1,0,1),

m-CC[=2y=0

設(shè)前=/1西=(九九/1),其中0WXW1,則而=次+前+

記直線AM與平面8CC圈所成角為0,

I/____\AM-m]221

則sin(9=COS(T!A/,m)\=,1——,，1,=—=-,

1'Z|\AM\-\m\J3萬+21+1?逝3

1I——.

整理可得15萬_2"1=0,解得幾=一^(舍)或％=§?所以/?=

故線段的長度為瘋42.

題型三利用空間向量求二面角

［例3］如圖，在四棱錐尸-4BCD中，依，平面/BCD,底面/BCD為直角梯形，NBAD=NABC90°,

PB=AB=BC=2AD=6,尸為尸/的中點(diǎn).

(2)求二面角P-CD-F的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵噂

42

【分析】(1)由尸8_L平面48cD,得尸8_L4D,結(jié)合AB_LAD可得4D_L平面P48,則4D_L8尸，再由等

腰三角形三線合一可得尸/_LAF,再由線面垂直的判定可得AF_L平面尸4D,從而可得

(2)由題意可證得84BC,5尸兩兩垂直，所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為x),z軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)槭?_L平面/BCD,/Du平面/BCD,所以尸5_L4D.

又NBAD=90°,所以

由尸/ri48=/,平面P4S,得4D_L平面P/B.

因?yàn)锽Bu平面尸所以

因?yàn)槭瑸槭瑓^(qū)的中點(diǎn)，PB=AB,所以尸N_LAF.

由尸=尸4NOu平面P4。，得8F_L平面產(chǎn)

因?yàn)镻Du平面尸/。，所以

（2）解：因?yàn)镻8_L平面NBCD,NB,BCu平面4BCD,所以PB_LPB_L8C,

因?yàn)镮BC,所以848C,8P兩兩垂直，

所以以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為x/，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,6）,尸（3,0,3）,C（0,6,0）,。（6,3,0）,

CF=(3,-6,3),麗=(6,-3,0),CP=(0,-6,6),

設(shè)平面CDb的法向量為冽=（xQ],zJ,

mCF=3x,-6y}+3z.=0,

則_111令再=1,得“2=(1,2,3).

mCD=6xl-3%=0,

設(shè)平面COP的法向量為〃=卜2，//2），

n-CD=6x,-3y,=0,

則一一'令x2=l,得￡=(1,2,2).

nCP=一6y2+6Z2=0,

m-n1111g

35一42

由圖可知，二面角P-C。-尸為銳角,

所以二面角P-CD-F的余弘值為口且,

42

反思總結(jié)

利用向量法確定二面角平面角大小的常用方法。

(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，結(jié)合實(shí)際圖形通過兩個(gè)平面的法向量的夾

角得到二面角的大小。

(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這

兩個(gè)向量的夾角等于二面角的平面角。

確定二面角的平面角的大小，方法有:①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角;②依據(jù)“同進(jìn)

同出互補(bǔ),一進(jìn)一出相等”求解;③在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P做另一個(gè)半平面所在平面的垂線，

若垂足在另一個(gè)半平面內(nèi)，則所求二面角為銳二面角，若垂足在另一個(gè)半平面的反向延長面上，則所求二面角

為鈍二面角。

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在三棱錐/一?中，5C=CZ)=2后,/B=NC=4D=5Z)=4,。為8。的中點(diǎn).

⑴證明：04,平面3CD；

DF

(2)點(diǎn)￡在棱上，若平面43。與平面4BE的夾角為30°,求慶的值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)在△/灰)中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得。4,OB=OD=2,OA=2也,在△BCD中,

結(jié)合勾股定理可得BCLCD,進(jìn)而得到C0_LaD,OC=2,在“OC中，根據(jù)勾股定理得到,從

而求證即可;

(2)以。為原點(diǎn)，以O(shè)C,OD,所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)

瓦=2抗(0<2<1),進(jìn)而求出平面4處與平面/3E的一個(gè)法向量，進(jìn)而列出方程求解即可.

【詳解】(1)證明：在△43。中，AB=AD=4,

因?yàn)?。是AD的中點(diǎn)，

所以6U_L3。，且OB=OD=2,OA=26

在△BCD中，因?yàn)?8。2,所以BCLCD.

因?yàn)?0=8=2后，。為的中點(diǎn)，連接CO,

所以CO_LB。，且0c=2.

在“OC中，因?yàn)镺T+oc?=/。2,所以o/_Loc.

因?yàn)?￡>cOC=O,BROCu平面BCD,

所以CM_L平面3cZ).

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C,OD,所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則/（0,0,2&）,8（0,々0）,C（2,0,0）D（）,2,0）,

所以比=（2,-2,0）,方=（0,-2廠2后）通=*2,-2式），

設(shè)反=4皮貝u詼=(24,—2尢0),AE=AD+DE=（2^2-2尢-26）,

設(shè)平面488的一個(gè)法向量為冽=(X,乂z),

m-AB=0卓~2y-26z=0

777,AE=02%x+（2-24）〉-2>/^z=0

令z=△,得>=-3,x=^-3,

71

所以加=

取平面ABD的一個(gè)法向量；=(1,0,0),

又平面，皿與平面ABE的夾角為30°,

整理得(色一3〕=36,即2=-2或|,

2

因?yàn)?<4vl,所以;l=w，

2.如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分別為尸，Q,44gC是圓柱的軸截面，正方形N3CD內(nèi)接于下底面

B

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，點(diǎn)。在平面PBC內(nèi)的射影恰好是APBC的重心；

（2）在（1）條件下，求平面尸ND與平面尸所成二面角的余弦值.

【答案】（1）當(dāng)“=6后時(shí)，。點(diǎn)在平面心。內(nèi)的射影恰好是APBC的重心.

【分析】（1）取的中點(diǎn)E,連接。證得5C/平面尸0E,過點(diǎn)。作。尸，居,得到廠,

進(jìn)而證得。尸，平面尸3C,得到尸是0在平面P3C內(nèi)的射影，結(jié)合廠恰好是APBC的重心，得至（JP￡=3EF,

在直角△P。尸中，即可求解；

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面P5C的一個(gè)法向量為何=（0,-夜,1）

和3=（0,也,1）,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）解：取BC的中點(diǎn)E,連接。E,PE,P。，

可得QEL3C,尸EL3C,且。EcPE=E,。及PEu平面尸。E,所以平面尸0E,

過點(diǎn)。作0尸，形，交PE于點(diǎn)尸，

因?yàn)?。尸u平面尸所以尸，

又BCcPE=E,5C,PEu平面尸8C,所以。尸，平面P3C,

即尸是0在平面P8C內(nèi)的射影，

因?yàn)槭『檬茿PBC的重心，所以PE=3EF,

在直角APQF中，QE=^AB=；“，QE2=EF-PE=3EF2,

所以EF=￡~a,PE=3~a,所以尸0=^^0=/4=6,解得q=6C，

所以a=60時(shí)，Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影恰好是APBC的重心.

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在的直線為x軸，DC所在的直線為V軸,

作DM//44，以DM所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則D(0,0,0),P(3A/2,3拒,6),N(60,0,0),3(6行,60,0),C(0,6亞,0),

所以耳=(60,0,0),DP=(3后,372,6),PB=(3后,372,-6),CB=(600,0),

mDA=6A/2X=0

設(shè)平面PAD的法向量為m=(x,y,z),則

mDP=3y[lx+3\lly+6z=0

取z=l,可得x=0,y=-后，所以而=(0,-0,1),

萬領(lǐng)=3缶+3伍-6c=0

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(a,b,c)則

n-CB=6y[2a=Q

取c=l,可得a=0,6=g",所以"=(0,也,1),

由圖象可得平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角為銳角,

3.如圖①所示，在RtZMLSC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,￡分別是線段/C,AB上的點(diǎn)，DEIIBC

且DE=2,將V4DE沿DE折起到的位置，使4c_LCO,如圖②.

圖①圖②

(1)若點(diǎn)N在線段/田上，且2BN=NA”求證：EN//平面4。；

(2)若M是4。的中點(diǎn)，求平面MEB與平面DEBC夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

回

4

【分析】(1)證明四邊形。ENF為平行四邊形，得出DF//NE,結(jié)合線面平行的判定證明即可；

(2)解法一：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；解法二：由幾何法得出NA/HG為平面

與平面3cDE夾角，再結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)證明：在△4cB中，過N作NF//CB交&C于點(diǎn)、F.

A.N22

因?yàn)楣?￡，所以FN=^BC,

4蘆33

2

在三角形48c中，DE=-BC,DEIIBC,

所以尸N//DE,FN=DE,

所以四邊形OENF為平行四邊形，

而以DF【/NE.又。尸u平面4a>,平面《CD,

所以EN//平面4。