2024年3月貴州省高三數(shù)學(xué)第二次適應(yīng)性模擬考試卷附答案解析

2024年3月貴州省高三數(shù)學(xué)第二次適應(yīng)性模擬考試卷

（試卷滿分150分；考試時(shí)間120分鐘）2024.03

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（l+i）=i2024,其中i為虛數(shù)單位，則Z的虛部為（）

1O1D.叵

A.一5B-2C.--i

22

2.卜提+1］的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

)

A.28B.56C.70D.76

3.若數(shù)列｛（｝滿足q=2,%=3,%=也（心3且〃eN*）,則。2必的值為（）

an-2

A.3B.2C.1D.-

23

4.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有:的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)lh,這些人

近視率約為;，其余學(xué)生的近視率約為1,現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（）

A.1B.L27

C.—D.一

51658

5.在,ABC中，若A3+AC=1,G4+C年二2,貝匕ABC的面積的最大值為（）

￡1-11

A.B.-C.—D.一

6543

6.遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描

述了人類大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對(duì)新事物遺忘的循序漸進(jìn)的直觀描述，人們可以從遺忘曲

線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線對(duì)人類記憶認(rèn)知研究產(chǎn)生了重大影響.陳

同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率》與初次記憶經(jīng)過(guò)的時(shí)間》（小時(shí)）的大致

關(guān)系：yT-OSx。06若陳同學(xué)需要在明天15時(shí)考語(yǔ)文考試時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶的50%,則他復(fù)習(xí)背誦時(shí)

間需大約在（）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

22

7.如圖，已知雙曲線E:鼻-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用，鳥(niǎo)，以線段月區(qū)為直徑的圓在第

一象限交E于點(diǎn)A，A月交E的左支于點(diǎn)8,若B為線段4耳的中點(diǎn)，則E的離心率為（）

1

A.73B.2C.3D.713

i1i1i

8.若〃=—e3,Z?=—e5,c=—,則（）

563

A.b>c>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.在銳角ABC中,sinA+sinB>cosA+cosB恒成立

B.若sincr+cosa=l,則sin"a+cos〃cr=1(〃EN*)

C.將、=5畝卜-的圖象向右平移孑個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到y(tǒng)=sinx的圖象

D.若函數(shù)〃尤)=sin,尤+小(°>0)在TT7T

上單調(diào)遞增，則0<。42

66

10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A旦GR中，P為側(cè)面AORA上一點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，則下

列說(shuō)法正確的有()

A.若點(diǎn)P為AO的中點(diǎn)，則過(guò)P、。、2三點(diǎn)的截面為四邊形

B.若點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，則PQ與平面崗所成角的正弦值為巫

5

2

c.不存在點(diǎn)尸，使

D.PQ與平面AD2A所成角的正切值最小為手

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為

/,(x),g,(x),/(l-x)=6-^,(l-x),/(l-x)-^,(l+x)=6,且g(x)+g(—x)=4,

貝I()

A.g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱B.g'(x+4)=g'(x)

c.八6)=八2)D./(1)+/(3)=12

三、填空題

12.已知集合A={x|a?xW2-a}(aeR)中僅有3個(gè)整數(shù)，貝Ua的取值范圍為

13.已知定義在R上的函數(shù)滿足Vx,yeR"(x+y)=〃x)+〃y)—2024,若函數(shù)

xj2024-V

g(x)=+/(x)的最大值和最小值分別為M,m,則A/+m=

2024+x2

14.在四棱錐P—ABCD中，已知平面Q4O_L平面A5CD,A5=5O=20,AO=4,P4=PO,ZBCD=—,

4

若二面角P-鉆-。的正切值為逅，則四棱錐P-ABC0外接球的表面積為.

3

四、解答題

15.衛(wèi)生紙主要供人們生活日常衛(wèi)生之用，是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠

家為保證產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取500件進(jìn)行品質(zhì)鑒定，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)

果整理如下：

合格品優(yōu)等品

甲生產(chǎn)線250250

乙生產(chǎn)線300200

(1)根據(jù)。=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)？

(2)用頻率近似概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件進(jìn)行詳細(xì)檢測(cè)，記抽取的產(chǎn)品中優(yōu)

3

等品的件數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

2_n(ad-bcf

附:”(a+6)(c+d)(o+c)(Z?+d)，其中a=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

16.在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,Gl+cos2C=cos2A+cos2B-2sinAsinB.

⑴求角C；

(2)若c=5,0為邊A3上一點(diǎn)，ZACD=/BCD,求C。的最大值.

17.如圖，在ABC中，NAC3=90,BC=3,AC=6,。,E分別為邊AC,A8上一點(diǎn)，豆CD=2,DE11BC,

PF2

將VAOE沿DE折起到2X3的位置，使得尸C_LCOM為PB上一點(diǎn)，且:不=￡.

PB5

⑴求證：PD//平面CEF；

(2)若a為線段PD上一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，且二面角H-C尸-E的正弦值為生叵，求空的值.

7PD

18.已知橢圓E：L=l("b>0)過(guò)點(diǎn)1,與,離心率為等.

⑴求橢圓E的方程；

⑵過(guò)橢圓￡的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線/交橢圓E于點(diǎn)A,B,直線/交直線x=2于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)

產(chǎn)作y軸的垂線，垂足為。，直線AQ交無(wú)軸于C,直線8Q交x軸于D求證：點(diǎn)尸為線段C。的中點(diǎn).

4

19.已知函數(shù)/(x)=〃lnx+l-x.

⑴若/(x)KO,求實(shí)數(shù)。的值;

_./*\.Iinzin。IHT-inAZ)

(2)證明：當(dāng)〃N2(〃￡N)時(shí)，…x-^-J<1；

(3)證明:—+—d----F—<lnn(nGN*,n>2).

23ny7

答案

1.A

?2024

【分析】由“占，結(jié)合復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)式和除法公式可直接求解.

?202411-i_l-i

【詳解】由z(l+D產(chǎn)得”下

幣一(1+0(1)―石

故復(fù)數(shù)的虛部為-g.

故選：A

2.A

【分析】首先寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后確定其常數(shù)項(xiàng)即可.

【詳解】(也的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

(1Y8-4r

r

Tr+1=C^&~\-\=C；x3

令8氣-4”r=0,解得—2,

+工丫的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為C；=?=28.

x)2

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)題意依次求得?！钡那叭舾身?xiàng)，推得｛4｝為周期數(shù)列，從而得解.

5

【詳解】因?yàn)椋?2,%=3,4="(〃23且〃EN*

。〃一2'

%3a.1_〃4_1_%_2

————.a，=—=一%—=2,/——3,

所以/=—=53'

a33%〃6

所以數(shù)列｛?！埃哂兄芷谛?，且7=6,所以％020=%36*6+4=。4=3

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)事件A為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過(guò)lh"，事件B為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近

視“，

則P（A）=:,P（B|A）=|,

所以P（X）=1-P（A）=。，P（B|A）=f

J'7o

則P（B）=尸（A）P（B|A）+P（B|Z）P?=，x1+之xg=：

D23oJ

故選：C

5.D

4

【分析】設(shè)E,F分別為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形相似推出5ABe=§/邊形ACEF，由題意可得

\AE\=^,\CF\=l,確定四邊形ACM面積的最大值，即可得答案.

【詳解】設(shè)E,尸分別為的中點(diǎn)，連接石尸,

則EF〃AC,則△BE尸sVBC4,故斗舸=：5.游，

34

則S四邊形ACEF=WSA5C，故SABC=~§四邊形ACE尸

X|AB+AC|=1,|CA+CB|=2,貝lj網(wǎng)+Ac|=|2AQ=L|C4+C@1|=|2CF|=2,

6

故""口,

當(dāng)AELC尸時(shí)，四邊形AC砂面積最大，最大值為=

224

411

故.ABC的面積的最大值為耳x[=§,

故選：D

6.A

【分析】利用函數(shù)模型求出需要記憶的時(shí)間，即可推斷出考前復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間在幾點(diǎn)開(kāi)始.

50

【詳解】令1-O.6x006=0.5,/°6=3,*=5iT

6

???他在考試前半小時(shí)復(fù)習(xí)即可，

???他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在14：30,

故選：A.

7.D

【分析】由雙曲線定義得|A司=2〃+44同=忸周=。+；,忸閶=3°+；,結(jié)合勾股定理得卬關(guān)系以及GC

關(guān)系，結(jié)合離心率公式即可求解.

連接A鳥(niǎo),2鳥(niǎo)，設(shè)寓閶=2c,|M|=r,則/片A&=],

由雙曲線的定義知即H即|=2,

所以jA/^l=2a+J=a+；,怛用=3a+~,

7

22

在112A8中，由勾股定理，得|48|2+俯閶2=忸工「，即/+[+/=[3a+:

所以，=4〃或，=—2a（舍）.

在4GA耳中，由勾股定理，得|AE「+|Ag「=閨閶2,即（2a+r）2+f2=4c2,

所以g=13,所以e=J1?.

故選：D.

8.B

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

2-1-

【詳解】由題意知2。=—,2。=—e，,

53

令/（%）=土（0<x<l）,則/（力=:0,

XX。/1

io

所以/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減，XO<!<|<1,

2

（（2、”O(jiān)-1-

所以/5廣/仁）即丁>下，所以：e3〉；e5,即2a>2），所以

35

又5〃=e，=/,5。=*，又孤〉泥，所以5c>5〃,

33V27

所以，所以c>a>Z?.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)已知實(shí)數(shù)進(jìn)行變形，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

9.ABD

【分析】由誘導(dǎo)公式即可判斷A,由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計(jì)算即可判斷B,由三角函數(shù)圖像的

平移變換即可判斷C,由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷D

【詳解】對(duì)于A,由題意知巴<4+2<兀,0<巴-2<4<巴，所以sinA>sin[g-B]=COSB,同理

222（2J

sinB>cosA,所以sinA+sinB>cosA+cos5,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閟ina+coscr=l,所以(sina+cosa)?=l+2sincrcos?=1,

8

sina=1,sin。=0,

所以sinacosa=0,所以或1所以sin〃a+cosncr=1+0=1,

cos。=0cos。=1,

故B正確;

將y=sin的圖像向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，得〉=豆11的圖像，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,

O

2兀2kli7i2kn

/（尤）=sinox+己卜0＞0）的單調(diào)遞增區(qū)間為----1----,---1----(keZ),所以

3a)3a)a)

2兀<兀

兀712兀兀3a)6

U,所以《解得。V2,所以0＜。＜2,故D正確.

6'63口‘3。兀兀

,3^-6,

故選：ABD.

10.B

【分析】全程采用建系法可驗(yàn)證ABCD選項(xiàng)的正確性，由向量平行可驗(yàn)證A；由線面角的正弦公式驗(yàn)證

B,由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證C,由線面角的正弦公式可求最小值，進(jìn)而求出正切值.

如圖，以D4為X軸，DC為y軸，為Z軸，建立。-孫z空間直角坐標(biāo)系,

對(duì)于A項(xiàng)，連接P、B、Q、2四點(diǎn)，當(dāng)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，P（l,0,0）,〃（0,0,2）,B（2,2,0）,。（1,2,2）,

PB=(1,2,0),^2=(1,2,0),PB=DlQ,所以P8QR為平行四邊形，A正確;

對(duì)B,當(dāng)點(diǎn)P為AQ的中點(diǎn)，P（l,0,l）,。3=（2,2,0）,叫=（0,0,2）,

9

n?DB=0

Pg-(0,2,1),設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),貝卜

n-DDX=0

\x+y=0/、

即《八，令A(yù)％=-1,貝!Jy=i,^=（-1,1,0）,

z=0

PQn_2_叵

則PQ與平面BDD國(guó)所成角的正弦值為COSPQ-n\=向一石.0一號(hào)

故B正確;

對(duì)C,可設(shè)尸（％,0,4）,%,均e[0,2],PQ=（l-xl,2,2-zl）,

4（2,0,2）,C（0,2,0）,4?=（-2,2,-2）,P2-^C=-2（l-^）+4-2（2-z1）=2^+2z1-2,令

2%]+2Z]—2—0,

即占+4=1,顯然能取到，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,當(dāng)尸。與平面A。。A所成角的正切值最小時(shí)，尸。與平面ADRA所成角的正弦值也最小,

PQ=(1-玉,2,2-zj,設(shè)AORA的法向量為租=(。，1，0)，

則PQ與平面ADD,A所成角的正弦值為

IIP0,m2

K°SPQ-M=II=/,,，當(dāng)年=0或2,Z]=0時(shí)，

11lpe|-HJ(-j2+22+(2一了

|cosPe-m|=-p=2_=-2,由三角函數(shù)可得PQ與平面ADRA所成角的正切值最小為2不，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.BCD

【分析】先根據(jù)條件分析出g'(x)的周期性和對(duì)稱性，再得到/(元)的周期性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.

r

■f（l-x二]=6-g（l-x]兩式相減可得，（/、）（,）①

【詳解】由題意可得=6+[+:,g'l+x=Wj,

10

所以g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

由g(力+g(f)=4②，②式兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得g'(x)=g'(T),可知g'(x)是偶函數(shù)，

以1+尤替換①中的x可得g'(2+x)=-g'(—x)=-g'(x),

可得g,4+x)=-g<2+x)=g〈x),所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù),B正確；

因?yàn)?(x)=6-g'(x),可知“X)也是周期為4的周期函數(shù)，即〃x+4)=/(x),

兩邊求導(dǎo)可得/'(x+4)=/(x),所以求(6)=_f(2),C正確；

因?yàn)間<l+x)=W(l—x),令x=0,則g'(l)=—g'⑴,即g")=0,

又因?yàn)間'(x)是偶函數(shù)，所以為(—l)=g")=0,

又因?yàn)間。)是周期為4的周期函數(shù)，則g'(3)=g'(-l)=0,

―如)可得慌晨：*曝,

所以〃1)+/(3)=12,D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決這類題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)稱與周期的關(guān)系，若關(guān)于兩點(diǎn)(縱坐標(biāo)相同)或者

兩條直線(平行于y軸)對(duì)稱，則周期為這兩點(diǎn)或者這兩條直線的距離的兩倍，若關(guān)于一點(diǎn)和一直線(平

行于y軸)對(duì)稱，則周期為這點(diǎn)和這條直線的距離的四倍.

12.(—1,0]

【分析】由"|』=1可知在數(shù)軸上集合A的端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1對(duì)稱，則A中的三個(gè)整數(shù)為0』,2,建立不

等式組，解之即可求解.

【詳解】因?yàn)?+：一"=1，所以在數(shù)軸上集合A的端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1對(duì)稱，

2

從而A中的三個(gè)整數(shù)為0』,2,

所以一lva<0,且2<2—av3,解得一lva<0.

11

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(T，。]

故答案為：(-L0]

13.4048

【分析】利用賦值法可得〃(x)=/(x)-2024為奇函數(shù)，則〃x)=/?(%)+2024,令

G(x)=筆黑手+M"，根據(jù)定義法證得G(X)為奇函數(shù)，則G(X)ma、+G(尤)mm=0,結(jié)合

g(x)=G(x)+2024,即可求解.

[詳解]令x=y=0,得/(0)=2024,令'=一％則/(0)=/(力+/(_力_2024,

所以〃r)—2024=-[/(%)-2024],令g)=〃x)-2024,

所以/2(-x)=-〃(x),/z(x)為奇函數(shù)，/(x)=〃(x)+2024.

xj2024-V

令G(x)=+/z(x),

2024+1

%，2024-尤2元,2024-尤丁

貝|JG(_X)=_+/?(-%)=-[-+=-G(x)

2024+x22024+x2

即G(X)為奇函數(shù)，所以G(X)max+G(X)1nm=0.

元2J024?-尤2

而g(x)=+/z(x)+2024=G(x)+2024,

2024+x2

所以M+能=G(x)1mx+2024+G。)*+2024=4048.

故答案為：4048

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)最值和值域的常用方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；

(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值;

(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；

(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

一64萬(wàn)，64

14.-----/——71

12

【分析】分別取AD、AB的中點(diǎn)Q、R,連接尸Q,PR,QR，即可證明尸。工平面ABCD,從而得到PQ,AB,

再由ABJLQR,即可得到AB2平面PQR,從而得到乙?尺。為二面角P-AB-D的平面角，即可求出PQ,

又三棱錐尸-ABD外接球的球心。在直線PQ上，求出三棱錐P-ABD外接球的半徑，即可得到外接球的

表面積，再由A、B、C、。四點(diǎn)共圓，即可得到三棱錐尸-ABD的外接球即為四棱錐P-ABCD的外接

球，從而得解.

【詳解】分別取AD、A5的中點(diǎn)。、R,連接尸Q,PR,QR.

因?yàn)锽4=PD,所以PQ_LAD,

因?yàn)槠矫鍲4D_L平面ABC。，平面己4￡＞門(mén)平面回8=4),尸。u平面尸4。，

所以PQ工平面ABCD,AQu平面ABCD,ABu平面ABCD,所以尸。_LQR,PQ±AB,

因?yàn)锳B=BD=2A/2,AD=4,

所以AB2+BQ2=旬2,所以

因?yàn)镼,R分別為的中點(diǎn)，所以QR//BD,所以

又PQQR=Q,PQ,0Ru平面尸QR,所以至工平面PQR,

又尸Ru平面PQR,所以

所以NPRQ為二面角P-AB-D的平面角,所以tan^PRQ=,

因?yàn)槲摇?；8。=&，所以「。=竿，

所以三棱錐尸外接球的球心。在直線PQ上，由2叵＜2知0在線段尸。的延長(zhǎng)線上.

3

設(shè)OQ=d,則加+限”+加,即竿+1儲(chǔ)+22,所以1=￥，

所以三棱錐尸-4?外接球的半徑為尸。+4=孚，表面積為4兀［殍［=爭(zhēng)，

TT371

因?yàn)?BAD=—,ZBCD=一，BPZBAD+ZBCD=n,

44

所以A、B、C、。四點(diǎn)共圓，

所以三棱錐P-ABD的外接球即為四棱錐尸-ASCD的外接球，

64

故四棱錐尸-ABCD外接球的表面積為可兀.

64

故答案為：—71

13

p

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確

切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正

方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體

的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

15.(1)不能認(rèn)為

Q

(2)分布列見(jiàn)解析，F(xiàn)(X)=-

【分析】(1)補(bǔ)充2x2列聯(lián)表，計(jì)算出/的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；

(2)分析可知，隨機(jī)變量X的所有可能值為0、1、2、3、4,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概

率，可得出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可求得E(X)的值.

【詳解】(1)解：補(bǔ)充列聯(lián)表如下:

合格品優(yōu)等品總計(jì)

甲生產(chǎn)線250250500

乙生產(chǎn)線300200500

總計(jì)5504501000

零假設(shè)國(guó)：產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=飛震怒黯~甯司?！埂?

根據(jù)。=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho成立，即不能認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān).

(2)解：由樣本數(shù)據(jù)可知甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)等品的頻率分別為J、

所以估計(jì)從甲、乙兩生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取1件產(chǎn)品，其為優(yōu)等品的概率分別為J、

乙5

X的所有可能值為。、1、2、3、4,

14

233

P(X=1)=C；XxC；x—x

mi5510

p(X=2)=+C；

p(X=3)=C

22

121

尸(X=4)=x

2525

所以X的分布列為

X01234

9337J_1

P

W010WO525

Q337iiQ

所以石(X)=0x=+lx—+2x——+3x—+4x—=—.

v)100101005255

16.(1)C=]

(2)

6

【分析】(1)根據(jù)二倍角余弦公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理，余弦定理運(yùn)算求解；

(2)由2至0=5"8+5讖8,可得CD=一根據(jù)余弦定理和基本不等式可求得。+人的范圍，得解.

a+b

【詳解】(1)因?yàn)閘+cos2C=cos2A+cos23-2sinAsinB,

所以2-2sin2C=1-2sin2A+1-2sin2B-2sinAsin5,

所以sinY+sin*—sin2c=—sinAsinB,

由正弦定理，ncr+bL-cl=-ab,

由余弦定理，得cosC="一+，一.=_工,

2ab2

15

因?yàn)镃e(O,7i),所以C=,.

(2)因?yàn)閆ACD=/BCD,且S“BC=%CD+%BC?，

所以,absin^ACB=-a-CDsm^BCD+-b-CDsin^ACD,

222

nh

化簡(jiǎn)，得ab=aCD+bCD,解得CD=------,

a+b

2

由⑴，得/+/+而=25,BP(a+b)-ab=25f

由手j,得(a+6)2.(等;W25,

解得“+6V蛇（當(dāng)且僅當(dāng)°=6=型時(shí)取等號(hào)），

33

又.a+Z?>5,所以5<〃+bV-------.

3

ffuCD=—=(a+Z?r_25=a+b--,且是關(guān)于a+6的增函數(shù),

a+ba+ba+b

IOA/3255A/3

所以當(dāng)a+b=U幽時(shí),Q)

1mx-310A/3-6.

3

3

17.（1）證明見(jiàn)解析;

、PH」或當(dāng)=5

(2)-----

PD2PD14

【分析】（1）連接80交CE于點(diǎn)G,利用線面平行的判定推理即得.

（2）由已知證得直線CP,8,兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法列式計(jì)算即

得.

【詳解】（1）連接交CE于點(diǎn)G,連接尸G,由上〃8C,得粵號(hào)

CJDBC

在，樹(shù)中，由的/%'得黃=券=>|'于是DGDE2

GBBC3

則一=—=—,PD//FG,而又FGu平面CE尸，尸。<2平面CEF,

DB5PB

所以PD//平面CEF.

16

(2)由CDcP￡>=￡>,C￡>,PDu平面PCD,得￡>EJ,平面尸C￡),

又尸Cu平面尸CD,則DE_LPC,y,DEHBC,因此PC_L3C,直線CP,CD,CB兩兩垂直,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線8,C8,CP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則￡>(2,0,0),2(0,3,0),￡(2,2,0),尸(0,0,26),F(0,1,

CE=(2,2,0),C/=(0,1,笠),尸。=(2,0,—2豆),

設(shè)尸X=?PD(0<f<1),貝！］CH=CP+PH=(2/,0,-2@),

66百

rn-Cr=—y+-----z=0以_

設(shè)平面CEF的法向量m=(x,y,z),則，55，令z=l,得m=，

m-CE=2x+2y=0

e66也

n-Cr=-b-\-------c=0

設(shè)平面CF4的法向量w=(a,b,c),貝小55，左c=t,n=(v3(^—1),—v3/,t),

n-CH=2ta+2y/3(i-t)c=0

I.\I7%—3I1

設(shè)二面角"—B5的大小為。，貝！J|cos。|=|cos<m,n)\=——mn,J1二-

\m\\n\,7.,7/-67+37

icpH1PHc

解得,、或「五’所以而二或而=/

18.⑴、+/=1

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】⑴由橢圓上的點(diǎn)1,坐和離心率列方程求得。2萬(wàn)，即可得到橢圓方程;

17

（2）由題意，設(shè)直線/的方程為〉=%（了-1）化工0）,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理可得西+々=

不々=谷泳!，進(jìn)而題意求得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再由分別直線A。和直線2。的方程可得點(diǎn)c［意,。］和

點(diǎn)。（4一,。］,從而利用以上條件代入化簡(jiǎn)4+/宛的值，進(jìn)而即可得證點(diǎn)尸為線段⑺的中點(diǎn).

k

（左一,2）-yi卜一%

￡_V|

a2

【詳解】（1）由題意得a2=b2+c2

解得a2=2>b2=1.

所以橢圓E的方程是X+y2=l.

2'

（2）橢圓E的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,0）,

由題意，設(shè)直線/的方程為>=左"-1）（人工0）.

蘭2=]

+y

~2~,整理得（1+2左2）f-4左2彳+2左2_2=0.

y=

因?yàn)锳=（_飲2）2—4（1+2%2）（2左2-2）=8k2+8>0,

所以，設(shè)直線/交橢圓E于點(diǎn)4（%,另），8（%,%），

4k22k2-2

貝（I玉+尤2=尤[X,=------------彳

l+2k2一1+2公

由直線/的方程丫=左（》-1）,令x=2,解得y=左,

所以P（2,Z）,。（0,左）.

18

所以直線A。的方程為＞=上心x+左，占wo.

X1

令ko,解得x=f,所以c］盧,o］.

kf(I)

直線8。的方程為〉=互工式+3x2^0.

X2

令ko,解得x=U^,所以。［