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文檔簡介
2023-2024學年天津市五區(qū)縣達標名校中考數(shù)學模試卷
請考生注意:
1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答
案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。
2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。
一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)
1.如圖,AABC為鈍角三角形,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△AB,C,連接BB。若AU〃BB。
2.已知函數(shù)y=(A-l)x2-4x+4的圖象與x軸只有一個交點,則左的取值范圍是()
A.右2且時1B.M2且到1
C.k=2D.左=2或1
3.一元二次方程mx2+m--=0有兩個相等實數(shù)根,則m的值為()
X2
A.0B.0或-2C.-2D.2
4.若=則3(二1二+2)(二的值為()
A.-6B.6C.18D.30
-工的絕對值是(
5.)
4
1
A.-4B.—c.4D.0.4
4
6.下列運算正確的是()
A.5a+2b=5(a+b)B.a+a2=a3
C.2a3*3a2=6a5D.(a3)2=a5
_A
7.不等式組〔的解集在數(shù)軸上表示正確的是()
-0<0
%—m>2
8.若關于X的不等式組。?無解,則機的取值范圍()
A.m>3B.m<3C.m<3D.m>3
9.如果a—匕=2,那么匕二土十巴心的值為()
aa
A.1B.2C.-1D.-2
10.如圖,AZ>是。。的弦,過點。作AO的垂線,垂足為點C,交。。于點F,過點A作。。的切線,交。尸的延長
線于點E.若CO=1,AD=2y[3,則圖中陰影部分的面積為
B.2y/3--n
C.4后|■兀D.2上f
二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)
11.如圖,在正方形ABCD中,4BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連接BD、DP,BD
與CF相交于點H,給出下列結(jié)論:
①BE=2AE;?ADFP^ABPH;?APFD^APDB;(4)DP2=PH?PC
其中正確的是(填序號)
12.若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數(shù)根,則m的取值范圍是.
%—4>—3
13.不等式組“c的解集為—.
[4%>2
14.當0<x<3時,直線丁=。與拋物線y=(x-l)2-3有交點,則a的取值范圍是.
15.如圖,_ABC的頂點落在兩條平行線上,點D、E、F分別是_ABC三邊中點,平行線間的距離是8,BC=6,
移動點A,當CD=BD時,EF的長度是.
E,D
CFB
16.觀察以下一列數(shù):3,I,I,3*…則第20個數(shù)是.
三、解答題(共8題,共72分)
17.(8分)如圖,在AABC中,ZC=90°,NBAC的平分線交BC于點D,點O在AB上,以點O為圓心,OA為
半徑的圓恰好經(jīng)過點D,分別交AC、AB于點E.F.試判斷直線BC與。O的位置關系,并說明理由;若BD=2-,
BF=2,求。O的半徑.
h—
18.(8分)小明遇到這樣一個問題:已知:——=1.求證:b2-4ac>0.
a
經(jīng)過思考,小明的證明過程如下:
b—c
V-------=1,Z?-c=a.;.a—b+c=0.接下來,小明想:若把x=-l帶入一元二次方程ar?+法+。=。(“wo),
a
恰好得到a—b+c=0.這說明一元二次方程依2+法+°=o有根,且一個根是k=-1.所以,根據(jù)一元二次方程根的判
別式的知識易證:b2-4ac>0.
根據(jù)上面的解題經(jīng)驗,小明模仿上面的題目自己編了一道類似的題目:
4a+c
已知:^^=-2.求證:〃》4ac.請你參考上面的方法,寫出小明所編題目的證明過程.
b
19.(8分)北京時間2019年3月10日0時28分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭,成功將中星6c
衛(wèi)星發(fā)射升空,衛(wèi)星進入預定軌道.如圖,火星從地面C處發(fā)射,當火箭達到A點時,從位于地面雷達站。處測得
的距離是6版,仰角為42.4°;1秒后火箭到達3點,測得的仰角為45.5°.(參考數(shù)據(jù):sin42.4。沏.67,cos42.4。沏.74,
tan42.4%0.905,sin45.5°~0.71,cos45.5°~0.70,tan45.5%1.02)求發(fā)射臺與雷達站之間的距離CD;求這枚火箭從A到3
的平均速度是多少(結(jié)果精確到0.0D?
20.(8分)在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a/0)的圖象經(jīng)過A(0,4),B(2,0),C(-2,0)
三點.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)在x軸上有一點D(-4,0),將二次函數(shù)的圖象沿射線DA方向平移,使圖象再次經(jīng)過點B.
①求平移后圖象頂點E的坐標;
②直接寫出此二次函數(shù)的圖象在A,B兩點之間(含A,B兩點)的曲線部分在平移過程中所掃過的面積.
21.(8分)如圖,在△ABC中,ABAC,AE是N5AC的平分線,NABC的平分線3M交AE于點點。在A3
上,以點。為圓心,08的長為半徑的圓經(jīng)過點“,交于點G,交A3于點尸.
(1)求證:AE為。。的切線;
(2)當5c=4,AC=6時,求。。的半徑;
(3)在(2)的條件下,求線段8G的長.
22.(10分)已知:如圖,口ABCD中,BD是對角線,AE_LBD于E,CF_LBD于F.求證:
D
F
BE=DF.
BAdZ-------------------
23.(12分)【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD±,ZEAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關系.
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至4ADG,通過證明^AEF^AAGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
【類比引申】
(1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,ZEAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給
你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關系,并證明;
【聯(lián)想拓展】
(2)如圖3,如圖,ZBAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且NEAF=45。,若BE=3,EF=5,求CF的長.
52m-4I
24.先化簡,再求值:(m+2-=^)-----------,其中m=-—.
m-23-m2
參考答案
一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)
1、D
【解析】
已知AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/BAB,=NCAC=120。,AB=ABS根據(jù)
等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得NAB,B=L(180°-120°)=30°,再由AC〃BB,,可得
2
NC,AB,=NAB,B=30。,所以NCAB,=NCACJNC,AB,=120O-30°=90°.故選D.
2、D
【解析】
當k+l=O時,函數(shù)為一次函數(shù)必與X軸有一個交點;當k+1用時,函數(shù)為二次函數(shù),根據(jù)條件可知其判別式為0,可
求得k的值.
【詳解】
當k-l=0,即k=l時,函數(shù)為y=-4x+4,與x軸只有一個交點;
當k-l#),即k丹時,由函數(shù)與x軸只有一個交點可知,
/.△=(-4)2-4(k-1)x4=0,
解得k=2,
綜上可知k的值為1或2,
故選D.
【點睛】
本題主要考查函數(shù)與x軸的交點,掌握二次函數(shù)與x軸只有一個交點的條件是解題的關鍵,解決本題時注意考慮一次
函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況.
3^C
【解析】
由方程有兩個相等的實數(shù)根,得到根的判別式等于0,求出m的值,經(jīng)檢驗即可得到滿足題意m的值.
【詳解】
?.?一元二次方程"優(yōu)1+加l1=0有兩個相等實數(shù)根,
2
/.△=/n1-4/nx(--)=/n1+lm=0,
2
解得:機=0或m=-1,
經(jīng)檢驗m=0不合題意,
則機=-1.
故選C.
【點睛】
此題考查了根的判別式,根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;根的判別式的值等于0,方程有兩個相
等的實數(shù)根;根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.
4、B
【解析】
試題分析:即31+知=4,...原式=3(二;-4二+4)—6(二;一/>3二:-12匚+/2—6二:+6
=-51--二二Yf二;一二.-12+18=1.故選B.
考點:整式的混合運算一化簡求值;整體思想;條件求值.
5、B
【解析】
直接用絕對值的意義求解.
【詳解】
-'的絕對值是
44
故選B.
【點睛】
此題是絕對值題,掌握絕對值的意義是解本題的關鍵.
6、C
【解析】
直接利用合并同類項法則以及單項式乘以單項式、塞的乘方運算法則分別化簡得出答案.
【詳解】
A、5a+2b,無法計算,故此選項錯誤;
B、a+a2,無法計算,故此選項錯誤;
C、2a3?3a2=6a5,故此選項正確;
D、(a3)2=a6,故此選項錯誤.
故選C.
【點睛】
此題主要考查了合并同類項以及單項式乘以單項式、塞的乘方運算,正確掌握運算法則是解題關鍵.
7、D
【解析】
試題分析:2>S,由①得:X>1,由②得:xV2,在數(shù)軸上表示不等式的解集是:故選D.
7一一6<0一
考點:1.在數(shù)軸上表示不等式的解集;2.解一元一次不等式組.
8、C
【解析】
根據(jù)“大大小小找不著”可得不等式2+m>2m-l,即可得出m的取值范圍.
【詳解】
x-m>2①
x-2m<-l?9
由①得:x>2+m,
由②得:x<2m-1,
???不等式組無解,
/.2+m>2m-1,
m<3,
故選C.
【點睛】
考查了解不等式組,根據(jù)求不等式的無解,遵循“大大小小解不了”原則得出是解題關鍵.
9、D
【解析】
先對原分式進行化簡,再尋找化簡結(jié)果與已知之間的關系即可得出答案.
【詳解】
b1-a2a+b(b+a)(b-a)a
-----------+--------=--------------------x---------b1-a
aaaa+b
a—b=2
b—ci——(a—Z?)——2
故選:D.
【點睛】
本題主要考查分式的化簡求值,掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關鍵.
10、B
【解析】
由S陰影=SAOAE-S扇形OAF,分別求出SAOAE、S扇形OAF即可;
【詳解】
連接OA,OD
VOF1AD,
.,.AC=CD=V3,
在RtAOAC中,由tan/AOC=也知,ZAOC=60°,
則NDOA=120°,OA=2,
,R3OAE中,ZAOE=60°,OA=2
2
AE=26,SS?=SAOAE-S扇形OAF=一x2x26義兀x2=2A/3--".
23603
故選B.
【點睛】
考查了切線的判定和性質(zhì);能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應的直角三角形中,是解答此題的關鍵要證某線是
圓的切線,對于切線的判定:已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)
11>①②④
【解析】
由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì),即可得出結(jié)論.
【詳解】
VABPC是等邊三角形,
;.BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,
在正方形ABCD中,
VAB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°
/.ZABE=ZDCF=30o,
.,.BE=2AE;故①正確;
,/PC=CD,ZPCD=30°,
;.NPDC=75。,
,NFDP=15°,
VZDBA=45°,
,NPBD=15。,
/.ZFDP=ZPBD,
VZDFP=ZBPC=60°,
.,.△DFP^ABPH;故②正確;
,/ZFDP=ZPBD=15O,ZADB=45°,
.\ZPDB=30°,而NDFP=60°,
:.ZPFD/ZPDB,
二APFD與4PDB不會相似;故③錯誤;
,/ZPDH=ZPCD=30o,ZDPH=ZDPC,
/.△DPH^ACPD,
.DPPH
??=9
PCDP
/.DP2=PH?PC,故④正確;
故答案是:①②④.
【點睛】
本題考查的正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),解答此題的關鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理.
12、m<l.
【解析】
試題分析:由題意知,△=4-4mK),二!!!/:!.故答案為mWL
考點:根的判別式.
13、x>l
【解析】
分別解出兩不等式的解集再求其公共解.
【詳解】
%-4>-3@
[4x>2②
由①得:x>l
由②得:x>L
2
%—4>—3
...不等式組4“0的解集是x>L
4%>2
【點睛】
求不等式的解集須遵循以下原則:同大取較大,同小取較小.小大大小中間找,大大小小解不了.
14、-3<a<l
【解析】
直線產(chǎn)。與拋物線y=(六1)2一3有交點,則可化為一元二次方程組利用根的判別式進行計算.
【詳解】
解:法一:y=。與拋物線丁=(片1)2-3有交點
則有a=(X-1)2-3,整理得爐-2個2-4=0
A=Z?2-4?C=4+4(2+a)>0
解得a>-3,
0<x<3,對稱軸x=L
y=(3-l)2-3=l
:.a<l
法二:由題意可知,
?.?拋物線的頂點為(1,-3),而0<尤<3
二拋物線y的取值為-3<y<l
y=a,則直線y與X軸平行,
.??要使直線產(chǎn)”與拋物線y=(X-1)2-3有交點,
.??拋物線y的取值為即為a的取值范圍,
A-3<a<l
故答案為:—3WaWl
【點睛】
考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及交點的問題,此類問題,通??苫癁橐辉畏匠?,利用根的判別式或根與系數(shù)的關系進
行計算.
15、1
【解析】
過點D作DHLBC于點H,根等腰三角形的性質(zhì)求得BD的長度,繼而得到AB=2BD,結(jié)合三角形中位線定理求
得EF的長度即可.
【詳解】
解:如圖,過點D作DHLBC于點H,
過點D作DHLBC于點H,BC=6,
.-.BH=CH=3.
又平行線間的距離是8,點D是AB的中點,
.-.DH=4,
,在直角BDH中,由勾股定理知,BD=VDH2+BH2=742+32=5-
二點D是AB的中點,
.-.AB=2BD=10.
又點E、F分別是AC、BC的中點,
.?.EF是ABC的中位線,
.'.EF=-AB=5.
2
故答案是:L
【點睛】
考查了三角形中位線定理和平行線的性質(zhì),解題的關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)求得DH的長度.
41
16、---
400
【解析】
觀察已知數(shù)列得到一般性規(guī)律,寫出第20個數(shù)即可.
【詳解】
2〃+141
解:觀察數(shù)列得:第"個數(shù)為丁’則第20個數(shù)是加
41
故答案為一??
400
【點睛】
本題考查了規(guī)律型:數(shù)字的變化類,弄清題中的規(guī)律是解答本題的關鍵.
三、解答題(共8題,共72分)
17、(1)相切,理由見解析;(1)1.
【解析】
(1)求出OD〃AC,得至(JODLBC,根據(jù)切線的判定得出即可;
⑴根據(jù)勾股定理得出方程,求出方程的解即可.
【詳解】
⑴直線BC與。O的位置關系是相切,
理由是:連接OD,
VOA=OD,
/.ZOAD=ZODA,
VAD平分NCAB,
/.ZOAD=ZCAD,
/.ZODA=ZCAD,
/.OD/7AC,
;NC=90。,
.,.ZODB=90°,即OD_LBC,
VOD為半徑,
二直線BC與。O的位置關系是相切;
⑴設。O的半徑為R,
貝!IOD=OF=R,
在R3BDO中,由勾股定理得:OB;=BD;+OD-,
即(R+1);=(1,1):+R:,
解得:R=l,
即。O的半徑是1.
【點睛】
此題考查切線的判定,勾股定理,解題關鍵在于求出ODLBC.
18、證明見解析
【解析】
4(7+C
解:V---------二-2,:.Aa+c——2b.4Q+2Z?+C=0.
b
???%=2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
**?b2-4ac>0,**?b2>4ac-
19、(I)發(fā)射臺與雷達站之間的距離CD約為4.44切i;(II)這枚火箭從A到3的平均速度大約是Q5Um/s.
【解析】
(I)在RtAACD中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,利用NADC的余弦值解直角三角形即可;(II)在RtABCD和RtAACD
中,利用NBDC的正切值求出BC的長,利用NADC的正弦值求出AC的長,進而可得AB的長,即可得答案.
【詳解】
CD
(1)在尺九40)中,DA=6km,ZADC=42A°,cos^ADC=一加.74,
AD
CD-AD-cosNADC=6xcos42.4°~4.44(km).
答:發(fā)射臺與雷達站之間的距離CO約為4.44k”.
(II)在Rt.BCD中,CD=4.44km,NBDC=455°,fan/BDC=器,
BC=CD-tanNBDC=4.44xto?45.5°?4.44x1.02=4.5288(km).
AC
在Rt.ACD中,sin/ADC=----,
AD
AC=AD-sin^ADC=6xs譏42.4°?4.02(km).
:.AB=BC-AC=4.5288-4.02=0.5088?0.51(km).
答:這枚火箭從A到3的平均速度大約是Q5Um/s.
【點睛】
本題考查解直角三角形的應用,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關鍵.
20、(1)y=-x2+4;(2)①E(5,9);②1.
【解析】
(1)待定系數(shù)法即可解題,
(2)①求出直線DA的解析式,根據(jù)頂點E在直線DA上,設出E的坐標,帶入即可求解;②AB掃過的面積是平行四
邊形ABGE,根據(jù)S四邊形ABGE=S矩彩IOKH-SAAOB-SAAEI-SAEHG-SAGBK,求出點B(2,0),G(7,5),A(0,4),E
(5,9),根據(jù)坐標幾何含義即可解題.
【詳解】
解:⑴VA(0,4),B(2,0),C(-2,0)
二次函數(shù)的圖象的頂點為A(0,4),
???設二次函數(shù)表達式為y=ax?+4,
將B(2,0)代入,得4a+4=0,
解得,a=-1,
...二次函數(shù)表達式y(tǒng)=-x?+4;
(2)①設直線DA:y=kx+b(k/0),
fZ>=4
將A(0,4),D(-4,0)代入,得《,,
-Ak+b=0
k=l
解得,'b=4
直線DA:y=x+4,
由題意可知,平移后的拋物線的頂點E在直線DA上,
,設頂點E(m,m+4),
二平移后的拋物線表達式為y=-(x-m)2+m+4,
又?.?平移后的拋物線過點B(2,0),
將其代入得,-(2-m)2+m+4=0,
解得,mi=5,m2=0(不合題意,舍去),
頂點E(5,9),
②如圖,連接AB,過點B作BL〃AD交平移后的拋物線于點G,連結(jié)EG,
?*.四邊形ABGE的面積就是圖象A,B兩點間的部分掃過的面積,
過點G作GKLx軸于點K,過點E作EI,y軸于點L直線ELGK交于點H.
由點A(0,4)平移至點E(5,9),可知點B先向右平移5個單位,再向上平移5個單位至點G.
VB(2,0),.,.點G(7,5),
;.GK=5,OB=2,OK=7,
/.BK=OK-OB=7-2=5,
VA(0,4),E(5,9),
.\AI=9-4=5,EI=5,
.?.EH=7-5=2,HG=9-5=4,
?""S四邊形ABGE=S矩彩IOKH-SAAOB-SAAEI-SAEHG-SAGBK
=7x9-----x2x4-----x5x5-----x2x4-----x5x5
2222
=63-8-25
=1
答:圖象A,B兩點間的部分掃過的面積為1.
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)解析式的求法,二次函數(shù)的圖形和性質(zhì),二次函數(shù)的實際應用,難度較大,建立面積之間的等量關系是
解題關鍵.
3
21、(1)證明見解析;(2)-;(3)1.
2
【解析】
(1)連接OM,如圖1,先證明OM〃BC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷AEJ_BC,則OMLAE,然后根據(jù)切線的
判定定理得到AE為。O的切線;
(2)設。O的半徑為r,利用等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE=^BC=2,再證明△AOMsaABE,則利用相似比得到
2
立=?,然后解關于r的方程即可;
26
31
(3)作OHLBE于H,如圖,易得四邊形OHEM為矩形,則HE=OM=—,所以BH=BE-HE=—,再根據(jù)垂徑定理
22
得到BH=HG=L所以BG=L
2
【詳解】
解:(1)證明:連接OM,如圖1,
?;BM是NABC的平分線,
AZOBM=ZCBM,
VOB=OM,
.\ZOBM=ZOMB,
/.ZCBM=ZOMB,
/.OM//BC,
;AB=AC,AE是NBAC的平分線,
/.AE±BC,
/.OM±AE,
.?.AE為。O的切線;
(2)解:設。O的半徑為r,
VAB=AC=6,AE是NBAC的平分線,
1
ABE=CE=-BC=2,
2
VOM//BE,
/.△AOM^AABE,
OMAOr6-r3
/.----=——,即an一=-----解得片大,
BEAB262
3
即設。O的半徑為不;
2
(3)解:作OHJ_BE于H,如圖,
VOM1EM,ME±BE,
二四邊形OHEM為矩形,
3
.?.HE=OM=-,
2
31
:.BH=BE-HE=2,
22
VOH±BG,
1
,BH=HG=一,
2
/.BG=2BH=1.
22、(1)證明:?;ABCD是平行四邊形
/.AB=CD
AB#CD
/.ZABE=ZCDF
X*.'AE±BD,CF±BD
ZAEB=ZCFD=;?:
/.△ABE^ACDF
/.BE=DF
【解析】
證明:在口ABCD中
VAB/7CD
/.ZABE=ZCDF..........................................................................................4分
VAE±BDCF1BD
:.ZAEB=ZCFD=90°..................................................................................5分
VAB=CD
/.△ABE^ACDF.............................................................
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