2023-2024學年天津市五區(qū)縣中考數(shù)學模試卷含解析

2023-2024學年天津市五區(qū)縣達標名校中考數(shù)學模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，AABC為鈍角三角形，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△AB，C,連接BB。若AU〃BB。

2.已知函數(shù)y=（A-l）x2-4x+4的圖象與x軸只有一個交點，則左的取值范圍是（）

A.右2且時1B.M2且到1

C.k=2D.左=2或1

3.一元二次方程mx2+m--=0有兩個相等實數(shù)根，則m的值為（）

X2

A.0B.0或-2C.-2D.2

4.若=則3（二1二+2）（二的值為（）

A.-6B.6C.18D.30

-工的絕對值是（

5.)

4

1

A.-4B.—c.4D.0.4

4

6.下列運算正確的是（)

A.5a+2b=5(a+b)B.a+a2=a3

C.2a3*3a2=6a5D.(a3)2=a5

_A

7.不等式組〔的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-0<0

%—m>2

8.若關于X的不等式組。?無解，則機的取值范圍（）

A.m>3B.m<3C.m<3D.m>3

9.如果a—匕=2,那么匕二土十巴心的值為（）

aa

A.1B.2C.-1D.-2

10.如圖，AZ>是。。的弦，過點。作AO的垂線，垂足為點C,交。。于點F,過點A作。。的切線，交。尸的延長

線于點E.若CO=1,AD=2y[3,則圖中陰影部分的面積為

B.2y/3--n

C.4后|■兀D.2上f

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，在正方形ABCD中，4BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連接BD、DP,BD

與CF相交于點H,給出下列結(jié)論：

①BE=2AE；?ADFP^ABPH；?APFD^APDB；(4)DP2=PH?PC

其中正確的是（填序號）

12.若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是.

%—4>—3

13.不等式組“c的解集為—.

[4%>2

14.當0<x<3時，直線丁=。與拋物線y=（x-l）2-3有交點，則a的取值范圍是.

15.如圖，_ABC的頂點落在兩條平行線上，點D、E、F分別是_ABC三邊中點，平行線間的距離是8,BC=6,

移動點A,當CD=BD時，EF的長度是.

E,D

CFB

16.觀察以下一列數(shù)：3,I，I，3*…則第20個數(shù)是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖，在AABC中，ZC=90°,NBAC的平分線交BC于點D,點O在AB上，以點O為圓心，OA為

半徑的圓恰好經(jīng)過點D,分別交AC、AB于點E.F.試判斷直線BC與。O的位置關系，并說明理由；若BD=2-,

BF=2,求。O的半徑.

h—

18.（8分）小明遇到這樣一個問題：已知：——=1.求證：b2-4ac>0.

a

經(jīng)過思考，小明的證明過程如下：

b—c

V-------=1,Z?-c=a.；.a—b+c=0.接下來，小明想：若把x=-l帶入一元二次方程ar?+法+。=。（“wo）,

a

恰好得到a—b+c=0.這說明一元二次方程依2+法+°=o有根，且一個根是k=-1.所以，根據(jù)一元二次方程根的判

別式的知識易證：b2-4ac>0.

根據(jù)上面的解題經(jīng)驗，小明模仿上面的題目自己編了一道類似的題目：

4a+c

已知：^^=-2.求證：〃》4ac.請你參考上面的方法，寫出小明所編題目的證明過程.

b

19.（8分）北京時間2019年3月10日0時28分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭，成功將中星6c

衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星進入預定軌道.如圖，火星從地面C處發(fā)射，當火箭達到A點時，從位于地面雷達站。處測得

的距離是6版，仰角為42.4°；1秒后火箭到達3點，測得的仰角為45.5°.（參考數(shù)據(jù)：sin42.4。沏.67,cos42.4。沏.74,

tan42.4%0.905,sin45.5°~0.71,cos45.5°~0.70,tan45.5%1.02）求發(fā)射臺與雷達站之間的距離CD；求這枚火箭從A到3

的平均速度是多少（結(jié)果精確到0.0D?

20.(8分)在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a/0)的圖象經(jīng)過A(0,4),B(2,0),C(-2,0)

三點.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)在x軸上有一點D(-4,0),將二次函數(shù)的圖象沿射線DA方向平移，使圖象再次經(jīng)過點B.

①求平移后圖象頂點E的坐標；

②直接寫出此二次函數(shù)的圖象在A,B兩點之間(含A,B兩點)的曲線部分在平移過程中所掃過的面積.

21.(8分)如圖，在△ABC中，ABAC,AE是N5AC的平分線，NABC的平分線3M交AE于點點。在A3

上，以點。為圓心，08的長為半徑的圓經(jīng)過點“，交于點G,交A3于點尸.

(1)求證：AE為。。的切線；

(2)當5c=4,AC=6時，求。。的半徑；

(3)在(2)的條件下，求線段8G的長.

22.(10分)已知：如圖，口ABCD中，BD是對角線，AE_LBD于E,CF_LBD于F.求證:

D

F

BE=DF.

BAdZ-------------------

23.(12分)【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD±,ZEAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關系.

小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至4ADG,通過證明^AEF^AAGF；從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.

【類比引申】

(1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上，ZEAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給

你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關系，并證明；

【聯(lián)想拓展】

(2)如圖3,如圖，ZBAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上，且NEAF=45。，若BE=3,EF=5,求CF的長.

52m-4I

24.先化簡，再求值：(m+2-=^)-----------，其中m=-—.

m-23-m2

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、D

【解析】

已知AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/BAB，=NCAC=120。，AB=ABS根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得NAB，B=L(180°-120°)=30°,再由AC〃BB，，可得

2

NC，AB，=NAB，B=30。，所以NCAB，=NCACJNC，AB，=120O-30°=90°.故選D.

2、D

【解析】

當k+l=O時，函數(shù)為一次函數(shù)必與X軸有一個交點；當k+1用時，函數(shù)為二次函數(shù)，根據(jù)條件可知其判別式為0,可

求得k的值.

【詳解】

當k-l=0,即k=l時，函數(shù)為y=-4x+4,與x軸只有一個交點；

當k-l#),即k丹時，由函數(shù)與x軸只有一個交點可知，

/.△=(-4)2-4(k-1)x4=0,

解得k=2,

綜上可知k的值為1或2,

故選D.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)與x軸的交點，掌握二次函數(shù)與x軸只有一個交點的條件是解題的關鍵，解決本題時注意考慮一次

函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況.

3^C

【解析】

由方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別式等于0,求出m的值，經(jīng)檢驗即可得到滿足題意m的值.

【詳解】

?.?一元二次方程"優(yōu)1+加l1=0有兩個相等實數(shù)根，

2

/.△=/n1-4/nx(--)=/n1+lm=0,

2

解得：機=0或m=-1,

經(jīng)檢驗m=0不合題意，

則機=-1.

故選C.

【點睛】

此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個相

等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.

4、B

【解析】

試題分析：即31+知=4,...原式=3(二；-4二+4)—6(二；一/>3二：-12匚+/2—6二：+6

=-51--二二Yf二；一二.-12+18=1.故選B.

考點：整式的混合運算一化簡求值；整體思想；條件求值.

5、B

【解析】

直接用絕對值的意義求解.

【詳解】

-'的絕對值是

44

故選B.

【點睛】

此題是絕對值題，掌握絕對值的意義是解本題的關鍵.

6、C

【解析】

直接利用合并同類項法則以及單項式乘以單項式、塞的乘方運算法則分別化簡得出答案.

【詳解】

A、5a+2b,無法計算，故此選項錯誤；

B、a+a2,無法計算，故此選項錯誤；

C、2a3?3a2=6a5,故此選項正確；

D、(a3)2=a6,故此選項錯誤.

故選C.

【點睛】

此題主要考查了合并同類項以及單項式乘以單項式、塞的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

7、D

【解析】

試題分析：2>S,由①得：X>1,由②得：xV2,在數(shù)軸上表示不等式的解集是：故選D.

7一一6<0一

考點：1.在數(shù)軸上表示不等式的解集；2.解一元一次不等式組.

8、C

【解析】

根據(jù)“大大小小找不著”可得不等式2+m>2m-l,即可得出m的取值范圍.

【詳解】

x-m>2①

x-2m<-l?9

由①得：x>2+m,

由②得：x<2m-1,

???不等式組無解，

/.2+m>2m-1,

m<3,

故選C.

【點睛】

考查了解不等式組，根據(jù)求不等式的無解，遵循“大大小小解不了”原則得出是解題關鍵.

9、D

【解析】

先對原分式進行化簡，再尋找化簡結(jié)果與已知之間的關系即可得出答案.

【詳解】

b1-a2a+b(b+a)(b-a)a

-----------+--------=--------------------x---------b1-a

aaaa+b

a—b=2

b—ci——(a—Z?)——2

故選：D.

【點睛】

本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關鍵.

10、B

【解析】

由S陰影=SAOAE-S扇形OAF,分別求出SAOAE、S扇形OAF即可；

【詳解】

連接OA,OD

VOF1AD,

.,.AC=CD=V3,

在RtAOAC中，由tan/AOC=也知，ZAOC=60°,

則NDOA=120°,OA=2,

，R3OAE中，ZAOE=60°,OA=2

2

AE=26,SS?=SAOAE-S扇形OAF=一x2x26義兀x2=2A/3--".

23603

故選B.

【點睛】

考查了切線的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應的直角三角形中，是解答此題的關鍵要證某線是

圓的切線，對于切線的判定：已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11>①②④

【解析】

由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

VABPC是等邊三角形，

；.BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,

在正方形ABCD中，

VAB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°

/.ZABE=ZDCF=30o,

.,.BE=2AE；故①正確；

,/PC=CD,ZPCD=30°,

；.NPDC=75。，

，NFDP=15°,

VZDBA=45°,

，NPBD=15。，

/.ZFDP=ZPBD,

VZDFP=ZBPC=60°,

.,.△DFP^ABPH；故②正確；

,/ZFDP=ZPBD=15O,ZADB=45°,

.\ZPDB=30°,而NDFP=60°,

:.ZPFD/ZPDB,

二APFD與4PDB不會相似；故③錯誤；

,/ZPDH=ZPCD=30o,ZDPH=ZDPC,

/.△DPH^ACPD,

.DPPH

??=9

PCDP

/.DP2=PH?PC,故④正確；

故答案是：①②④.

【點睛】

本題考查的正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理.

12、m<l.

【解析】

試題分析：由題意知，△=4-4mK）,二!!!/：!.故答案為mWL

考點：根的判別式.

13、x>l

【解析】

分別解出兩不等式的解集再求其公共解.

【詳解】

%-4>-3@

[4x>2②

由①得：x>l

由②得：x>L

2

%—4>—3

...不等式組4“0的解集是x>L

4%>2

【點睛】

求不等式的解集須遵循以下原則：同大取較大，同小取較小.小大大小中間找，大大小小解不了.

14、-3<a<l

【解析】

直線產(chǎn)。與拋物線y=（六1）2一3有交點，則可化為一元二次方程組利用根的判別式進行計算.

【詳解】

解:法一：y=。與拋物線丁=(片1)2-3有交點

則有a=(X-1)2-3,整理得爐-2個2-4=0

A=Z?2-4?C=4+4(2+a)>0

解得a>-3,

0<x<3,對稱軸x=L

y=(3-l)2-3=l

:.a<l

法二：由題意可知，

?.?拋物線的頂點為(1,-3),而0<尤<3

二拋物線y的取值為-3<y<l

y=a,則直線y與X軸平行，

.??要使直線產(chǎn)”與拋物線y=(X-1)2-3有交點，

.??拋物線y的取值為即為a的取值范圍，

A-3<a<l

故答案為：—3WaWl

【點睛】

考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及交點的問題，此類問題，通?？苫癁橐辉畏匠?，利用根的判別式或根與系數(shù)的關系進

行計算.

15、1

【解析】

過點D作DHLBC于點H,根等腰三角形的性質(zhì)求得BD的長度，繼而得到AB=2BD,結(jié)合三角形中位線定理求

得EF的長度即可.

【詳解】

解：如圖，過點D作DHLBC于點H,

過點D作DHLBC于點H,BC=6,

.-.BH=CH=3.

又平行線間的距離是8,點D是AB的中點，

.-.DH=4,

，在直角BDH中，由勾股定理知，BD=VDH2+BH2=742+32=5-

二點D是AB的中點，

.-.AB=2BD=10.

又點E、F分別是AC、BC的中點,

.?.EF是ABC的中位線，

.'.EF=-AB=5.

2

故答案是：L

【點睛】

考查了三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)求得DH的長度.

41

16、---

400

【解析】

觀察已知數(shù)列得到一般性規(guī)律，寫出第20個數(shù)即可.

【詳解】

2〃+141

解：觀察數(shù)列得：第"個數(shù)為丁’則第20個數(shù)是加

41

故答案為一？?

400

【點睛】

本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解答本題的關鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17、（1）相切，理由見解析；（1）1.

【解析】

（1）求出OD〃AC,得至（JODLBC,根據(jù)切線的判定得出即可;

⑴根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

【詳解】

⑴直線BC與。O的位置關系是相切，

理由是：連接OD,

VOA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

VAD平分NCAB,

/.ZOAD=ZCAD,

/.ZODA=ZCAD,

/.OD/7AC,

；NC=90。，

.,.ZODB=90°,即OD_LBC,

VOD為半徑，

二直線BC與。O的位置關系是相切；

⑴設。O的半徑為R,

貝!IOD=OF=R,

在R3BDO中，由勾股定理得：OB;=BD;+OD-，

即(R+1);=(1,1):+R:,

解得:R=l,

即。O的半徑是1.

【點睛】

此題考查切線的判定，勾股定理，解題關鍵在于求出ODLBC.

18、證明見解析

【解析】

4(7+C

解：V---------二-2,:.Aa+c——2b.4Q+2Z?+C=0.

b

???%=2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

**?b2-4ac>0,**?b2>4ac-

19、(I)發(fā)射臺與雷達站之間的距離CD約為4.44切i；(II)這枚火箭從A到3的平均速度大約是Q5Um/s.

【解析】

(I)在RtAACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，利用NADC的余弦值解直角三角形即可;(II)在RtABCD和RtAACD

中，利用NBDC的正切值求出BC的長，利用NADC的正弦值求出AC的長，進而可得AB的長，即可得答案.

【詳解】

CD

(1)在尺九40)中，DA=6km,ZADC=42A°,cos^ADC=一加.74,

AD

CD-AD-cosNADC=6xcos42.4°~4.44(km).

答：發(fā)射臺與雷達站之間的距離CO約為4.44k”.

(II)在Rt.BCD中，CD=4.44km,NBDC=455°,fan/BDC=器，

BC=CD-tanNBDC=4.44xto?45.5°?4.44x1.02=4.5288(km).

AC

在Rt.ACD中，sin/ADC=----,

AD

AC=AD-sin^ADC=6xs譏42.4°?4.02(km).

:.AB=BC-AC=4.5288-4.02=0.5088?0.51(km).

答：這枚火箭從A到3的平均速度大約是Q5Um/s.

【點睛】

本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關鍵.

20、(1)y=-x2+4；(2)①E(5,9)；②1.

【解析】

(1)待定系數(shù)法即可解題，

(2)①求出直線DA的解析式，根據(jù)頂點E在直線DA上，設出E的坐標，帶入即可求解；②AB掃過的面積是平行四

邊形ABGE,根據(jù)S四邊形ABGE=S矩彩IOKH-SAAOB-SAAEI-SAEHG-SAGBK,求出點B(2,0),G(7,5),A(0,4),E

(5,9),根據(jù)坐標幾何含義即可解題.

【詳解】

解：⑴VA(0,4),B(2,0),C(-2,0)

二次函數(shù)的圖象的頂點為A(0,4),

???設二次函數(shù)表達式為y=ax?+4,

將B(2,0)代入，得4a+4=0,

解得，a=-1,

...二次函數(shù)表達式y(tǒng)=-x?+4；

(2)①設直線DA：y=kx+b(k/0),

fZ>=4

將A(0,4),D(-4,0)代入，得《，，

-Ak+b=0

k=l

解得,'b=4

直線DA：y=x+4,

由題意可知，平移后的拋物線的頂點E在直線DA上，

，設頂點E(m,m+4),

二平移后的拋物線表達式為y=-(x-m)2+m+4,

又?.?平移后的拋物線過點B(2,0),

將其代入得,-(2-m)2+m+4=0,

解得，mi=5,m2=0(不合題意，舍去)，

頂點E(5,9),

②如圖，連接AB,過點B作BL〃AD交平移后的拋物線于點G,連結(jié)EG,

?*.四邊形ABGE的面積就是圖象A,B兩點間的部分掃過的面積，

過點G作GKLx軸于點K,過點E作EI，y軸于點L直線ELGK交于點H.

由點A(0,4)平移至點E(5,9),可知點B先向右平移5個單位，再向上平移5個單位至點G.

VB(2,0),.,.點G(7,5),

；.GK=5,OB=2,OK=7,

/.BK=OK-OB=7-2=5,

VA(0,4),E(5,9),

.\AI=9-4=5,EI=5,

.?.EH=7-5=2,HG=9-5=4,

?""S四邊形ABGE=S矩彩IOKH-SAAOB-SAAEI-SAEHG-SAGBK

=7x9-----x2x4-----x5x5-----x2x4-----x5x5

2222

=63-8-25

=1

答：圖象A,B兩點間的部分掃過的面積為1.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖形和性質(zhì),二次函數(shù)的實際應用，難度較大,建立面積之間的等量關系是

解題關鍵.

3

21、(1)證明見解析；(2)-；(3)1.

2

【解析】

(1)連接OM,如圖1,先證明OM〃BC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷AEJ_BC,則OMLAE,然后根據(jù)切線的

判定定理得到AE為。O的切線；

(2)設。O的半徑為r,利用等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE=^BC=2,再證明△AOMsaABE,則利用相似比得到

2

立=?,然后解關于r的方程即可；

26

31

(3)作OHLBE于H,如圖，易得四邊形OHEM為矩形，則HE=OM=—,所以BH=BE-HE=—,再根據(jù)垂徑定理

22

得到BH=HG=L所以BG=L

2

【詳解】

解：(1)證明：連接OM,如圖1,

?；BM是NABC的平分線,

AZOBM=ZCBM,

VOB=OM,

.\ZOBM=ZOMB,

/.ZCBM=ZOMB,

/.OM//BC,

；AB=AC,AE是NBAC的平分線,

/.AE±BC,

/.OM±AE,

.?.AE為。O的切線；

(2)解：設。O的半徑為r,

VAB=AC=6,AE是NBAC的平分線,

1

ABE=CE=-BC=2,

2

VOM//BE,

/.△AOM^AABE,

OMAOr6-r3

/.----=——，即an一=-----解得片大，

BEAB262

3

即設。O的半徑為不；

2

(3)解：作OHJ_BE于H,如圖,

VOM1EM,ME±BE,

二四邊形OHEM為矩形，

3

.?.HE=OM=-,

2

31

:.BH=BE-HE=2,

22

VOH±BG,

1

，BH=HG=一,

2

/.BG=2BH=1.

22、(1)證明：?；ABCD是平行四邊形

/.AB=CD

AB#CD

/.ZABE=ZCDF

X*.'AE±BD,CF±BD

ZAEB=ZCFD=；?:

/.△ABE^ACDF

/.BE=DF

【解析】

證明:在口ABCD中

VAB/7CD

/.ZABE=ZCDF..........................................................................................4分

VAE±BDCF1BD

:.ZAEB=ZCFD=90°..................................................................................5分

VAB=CD

/.△ABE^ACDF.............................................................