2024年廣州中考數(shù)學終極押題密卷2含答案

2024年廣州中考數(shù)學終極押題密卷2一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在中，無理數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（3分）點A在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．﹣2 B． C．1 D．23．（3分）一組數(shù)據(jù)：2，3，3，4，若添加一個數(shù)據(jù)3，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差4．（3分）下列計算正確的是（）A．4 B． C．22 D．5．（3分）方程的解為x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．6．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝105°，則∠D的度數(shù)為（）A．105° B．75° C．90° D．不確定7．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D在小正方形的頂點處，AC與BD相交于點O，則AO的長等于（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個頂點C在反比例函數(shù)y的圖象上，若將菱形向下平移2個單位，點A恰好落在函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式為（）A．y B．y C．y D．y9．（3分）跳傘運動員小李在200米的空中測得地面上的著落點A的俯角為60°，那么此時小李離著落點A的距離是（）A．200米 B．400米 C．米 D．米10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（3，0），對稱軸為直線x＝1，給出以下結論：①abc＜0；②若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）為函數(shù)圖象上的兩點，則y1＜y2；③對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b；④若c＝2，則有b2＞4ac﹣8a；⑤若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整數(shù)根，則p的值有2個，其中正確的有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若x，y為實數(shù)，且，則x+y＝．12．（3分）分解因式：﹣3a2+6a﹣3＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，∠A＝30°，則BD＝．14．（3分）如果關于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，那么k應滿足的條件是．15．（3分）平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉30°，得到平行四邊形AB'C'D'（點B'與點B是對應點，點C'與點C是對應點，點D'與點D是對應點），點B'恰好落在BC邊上，B'C'與CD交于點E，則∠CEB'＝．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，點M為線段BD上一點，將△ADM沿AM所在直線翻折得到△AEM（點E在正方形ABCD內部），連接BE，CE，DE，若∠BAE＝2∠DCE，則DE的長為．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解一元二次方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（2）（x+1）2＝（2x﹣3）218．（4分）如圖，如圖，AD為三角形ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點O．（1）求證：AD⊥EF；（2）若∠BAC＝60°，寫出DO與AD之間的數(shù)量關系，并證明．19．（6分）已知：．（1）化簡A；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求A的值．條件①：若點P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點；條件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一個根．20．（6分）“綜合與實踐”是《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》中四大領域之一，武侯區(qū)某學校九年級開展“綜合與實踐”項目式學習，設置了“A．制作視力表”“B．猜想、證明與拓廣”“C．池塘里有多少條魚”三個項目供九年級學生選擇，每名學生只選擇其中一個項目進行學習，現(xiàn)隨機調查部分學生的選擇情況并繪制了如下表格：項目選擇人數(shù)頻率A．制作視力表4aB．猜想、證明與拓廣bcC．池塘里有多少條魚200.5請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）該校共有500名九年級學生，請估計選擇“B．猜想、證明與拓廣”項目學習的學生人數(shù)；（3）本次調查中，選擇“A．制作視力表”項目學習的四人中有三名女生和一名男生，現(xiàn)從中隨機選取兩人在全年級作匯報展示，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到一名女生和一名男生的概率．21．（8分）某環(huán)衛(wèi)公司通過政府采購的方式計劃購進一批A，B兩種型號的新能源汽車，據(jù)了解，3輛A型汽車和4輛B型汽車的進價共計115萬元；4輛A型汽車和2輛B型汽車的進價共計120萬元．（1）求A，B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元；（2）該公司計劃恰好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），并使得購進的B種型號的新能源汽車數(shù)量多于A種型號的新能源汽車數(shù)量，請試寫出該公司的采購方案．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點A（﹣4，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點D的坐標為（﹣8，0），連接AC、DC，點P為拋物線上一點，當∠OCP＝∠DCA時，求點P的坐標．23．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB上一點，過M，C，B三點的⊙O交AC于P，過點P作PD∥AB，交⊙O于點D．（1）若M是AB中點，連接MD，求證：四邊形APDM是平行四邊形；（2）連接PM，當PM＝PC，且AC＝4，tanA，求線段PD的長．24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉，交直線CD于點F．（1）當AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時，①求證：△CEF∽△CBD；②聯(lián)結BD，EF，若，求的值；（2）當∠EAF∠BAD時，延長BC交射線AF于點M，延長DC交射線AE于點N，聯(lián)結AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當△AMN是等腰三角形，求CE的長．25．（12分）拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點P（m，n）在第一象限的拋物線上，且m+n＝9，求點P的坐標；在線段PA上確定一點M，使DM平分四邊形ACDP的面積，求點M的坐標；（3）點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，連接OQ、AQ，設△AOQ的外心為H，當sin∠OQA的值最大時，請直接寫出點H的坐標．

2024年菁優(yōu)廣州中考數(shù)學終極押題密卷2參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在中，無理數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】無理數(shù)．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】運用無理數(shù)的概念進行辨別、求解．【解答】解：∵，3.5，1.3是有理數(shù)，π，0.1010010001…是無理數(shù)，故選：B．【點評】此題考查了無理數(shù)的辨別能力，關鍵是能準確理解并運用相關概念進行正確地求解．2．（3分）點A在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．﹣2 B． C．1 D．2【考點】數(shù)軸；相反數(shù)．【專題】實數(shù)；符號意識．【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義進行求解即可：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．【解答】解：由題意得，點A表示的數(shù)為2，∵2的相反數(shù)是﹣2，∴點A表示的數(shù)的相反數(shù)為﹣2．故選：A．【點評】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，相反數(shù)的定義，熟知相反數(shù)的定義是解題的關鍵．3．（3分）一組數(shù)據(jù)：2，3，3，4，若添加一個數(shù)據(jù)3，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【考點】統(tǒng)計量的選擇．【專題】統(tǒng)計與概率．【答案】D【分析】依據(jù)的定義和公式分別計算新舊兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差求解即可．【解答】解：原數(shù)據(jù)的2、3、3、4的平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，方差為[（2﹣3）2+（3﹣3）2×2+（4﹣3）2]＝0.5；新數(shù)據(jù)2、3、3、3、4的平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，方差為[（2﹣3）2+（3﹣3）2×3+（4﹣3）2]＝0.4；∴添加一個數(shù)據(jù)3，方差發(fā)生變化，故選：D．【點評】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關概念和公式是解題的關鍵．4．（3分）下列計算正確的是（）A．4 B． C．22 D．【考點】二次根式的混合運算．【專題】二次根式；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的除法、乘法及同類二次根式的運算法則、概念逐一判斷即可．【解答】解：A．22，此選項不符合題意；B．與不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；C．2與不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；D．，此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．5．（3分）方程的解為x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（2﹣3x）＝x﹣4，去括號得：6﹣9x＝x﹣4，解得：x＝1，檢驗：把x＝1代入得：（x﹣4）（2﹣3x）＝﹣3×（﹣1）＝3≠0，∴分式方程的解為x＝1．故選：A．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．6．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝105°，則∠D的度數(shù)為（）A．105° B．75° C．90° D．不確定【考點】平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】B【分析】由平行四邊形的性質進行計算，即可得到答案．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，則AB∥DC，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝105°，∴∠D＝180°﹣105°＝75°；故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質進行計算．7．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D在小正方形的頂點處，AC與BD相交于點O，則AO的長等于（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理．【專題】網(wǎng)格型；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：連接AB，CD，如圖，由網(wǎng)格圖可知：AG＝2，BG＝1，DH＝4，CH＝2，∴2，AG，CD2，∵∠AGB＝∠CHD＝90°，∴△AGB∽△CHD，∴∠BAG＝∠DCH．∵AE∥CF，∴∠GAC＝∠HCA，∴∠BAO＝∠DCO．∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∴AOOC，∴AOAC．∵AC，∴AO．故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，本題是網(wǎng)格題目，利用網(wǎng)格線的特征，熟練應用平行線的性質和勾股定理是解題的關鍵．8．（3分）如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個頂點C在反比例函數(shù)y的圖象上，若將菱形向下平移2個單位，點A恰好落在函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式為（）A．y B．y C．y D．y【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；菱形的性質；坐標與圖形變化﹣平移．【答案】A【分析】過點C作CD⊥x軸于D，設菱形的邊長為a，根據(jù)菱形的性質和三角函數(shù)分別表示出C，以及點A向下平移2個單位的點，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到方程組求解即可．【解答】解：過點C作CD⊥x軸于D，設菱形的邊長為a，在Rt△CDO中，OD＝a?cos60°a，CD＝a?sin60°a，則C（a，a），點A向下平移2個單位的點為（a﹣a，a﹣2），即（a，a﹣2），則，解得．故反比例函數(shù)解析式為y．故選：A．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、坐標與圖形性質、菱形的性質、平移的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．9．（3分）跳傘運動員小李在200米的空中測得地面上的著落點A的俯角為60°，那么此時小李離著落點A的距離是（）A．200米 B．400米 C．米 D．米【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】應用題；解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．【答案】D【分析】已知直角三角形的一個銳角和直角邊求斜邊，運用三角函數(shù)定義解答．【解答】解：根據(jù)題意，此時小李離著落點A的距離是，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣﹣仰角俯角問題，要求學生能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形．10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（3，0），對稱軸為直線x＝1，給出以下結論：①abc＜0；②若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）為函數(shù)圖象上的兩點，則y1＜y2；③對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b；④若c＝2，則有b2＞4ac﹣8a；⑤若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整數(shù)根，則p的值有2個，其中正確的有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與x軸的交點；根的判別式．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質；推理能力．【答案】C【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：∵拋物線開口向下，a＜0；∵拋物線的對稱軸為直線x1＞0，∴b＞0；∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；∵M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在對稱軸右側，n2+1＜n2+2，∴y1＞y2，故②錯誤；∴當x＝1時，y最大，即對于任意實數(shù)t有a+b+c≥at2+bt+c，∴at2+bt≤a+b，故③正確；∵b＞0，∴b2＞0，若c＝2，則4ac﹣8a＝8a﹣8a＝0，∴b2＞4ac﹣8a，故④正確；∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點是（3，0），∴拋物線與x軸的另個交點是（﹣1，0），把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，∵拋物線的對稱軸為直線x1，∴b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝0，解得，c＝﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），∴頂點坐標為（1，﹣4a），由圖象得當0＜y≤﹣4a時，﹣1＜x＜3，其中x為整數(shù)時，x＝0，1，2，又∵x＝0與x＝2時，關于直線x＝1軸對稱當x＝1時，直線y＝p恰好過拋物線頂點．所以p值可以有2個．故⑤正確；故選：C．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、x軸上點的坐標特點等知識是解答此題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若x，y為實數(shù)，且，則x+y＝2026．【考點】二次根式有意義的條件．【專題】二次根式；運算能力．【答案】2026．【分析】根據(jù)二次根式（a≥0）可得：x﹣4≥0且4﹣x≥0，從而可得：x＝4，進而可得y＝2022，然后把x，y的值代入式子中，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：x﹣4≥0且4﹣x≥0，解得：x＝4，∴當x＝4時，y＝2022，∴x+y＝4+2022＝2026，故答案為：2026．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式（a≥0）是解題的關鍵．12．（3分）分解因式：﹣3a2+6a﹣3＝﹣3（a﹣1）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】因式分解；運算能力．【答案】﹣3（a+1）2．【分析】先提取公因式﹣3，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：﹣3a2+6a﹣3，＝﹣3（a2﹣2a+1），＝﹣3（a﹣1）2．故答案為：﹣3（a+1）2．【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，∠A＝30°，則BD＝1．【考點】含30度角的直角三角形．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】1．【分析】求出∠BCD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出BCAB＝2，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出BDBC，即可得出結論．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，所以BCAB＝2，∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CD是高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∴BDBC＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了三角形內角和定理和含30°角的直角三角形的性質，能根據(jù)含30°角的直角三角形的性質得出BCAB和BDBC是解此題的關鍵．14．（3分）如果關于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，那么k應滿足的條件是k≥﹣4且k≠0．【考點】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】判別式法；一元二次方程及應用；運算能力．【答案】k≥﹣4且k≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣1）≥0，求出解集即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根∴k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣1）＝16+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．故答案為：k≥﹣4且k≠0．【點評】本題考查了一元二次方程的定義、解一元一次不等式和根的判別式，能熟記根的判別式的內容是解此題的關鍵．15．（3分）平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉30°，得到平行四邊形AB'C'D'（點B'與點B是對應點，點C'與點C是對應點，點D'與點D是對應點），點B'恰好落在BC邊上，B'C'與CD交于點E，則∠CEB'＝45°．【考點】旋轉的性質；平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】45°．【分析】根據(jù)旋轉的性質和平行四邊形的性質，可以求得∠EB′C和∠C的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內角和即可得到∠CEB'的度數(shù)．【解答】解：∵平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉30°，得到平行四邊形AB'C'D'，點B'恰好落在BC邊上，B'C'與CD交于點E，∴∠BAB′＝30°，AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′，∴∠B＝∠AB′B＝75°，∴∠AB′C′＝75°，∠C＝105°，∴∠EB′C＝30°，∴∠CEB′＝180°﹣∠C﹣∠EB′C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，故答案為：45°．【點評】本題考查旋轉的性質、平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是求出∠EB′C和∠C的度數(shù)．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，點M為線段BD上一點，將△ADM沿AM所在直線翻折得到△AEM（點E在正方形ABCD內部），連接BE，CE，DE，若∠BAE＝2∠DCE，則DE的長為2．【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．【專題】幾何綜合題；壓軸題；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力．【答案】2．【分析】設AE與BD交于點G，延長AM交DE于點N，過點C作CF⊥DE延長線于點F，證明△AGB∽△MGE，可得∠BAG＝∠GME，設∠DCE＝α，可得∠GME＝2α，證明∠DEC＝180°﹣α﹣（45°﹣α）＝135°，可得∠FEC＝180°﹣135°＝45°，證明△EFC是等腰直角三角形，然后證明△ADN≌△DCF，可得DN＝CF，所以DN＝NE＝CF＝EF，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，設AE與BD交于點G，延長AM交DE于點N，過點C作CF⊥DE延長線于點F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC＝AB＝10，∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠ADB＝45°＝∠ABD，∵將△ADM沿AM所在直線翻折得到△AEM，∴DM＝EM，AD＝AE，AN⊥DE，DN＝EN，∠AEM＝∠ADB＝∠BDC＝45°，∴∠ABG＝∠GEM＝45°，∵∠AGB＝∠MGE，∴△AGB∽△MGE，∴∠BAG＝∠GME，∵∠BAE＝2∠DCE，∴∠GME＝2∠DCE，設∠DCE＝α，∴∠GME＝2α，∵DM＝EM，∴∠MDE＝∠MED，∴∠GME＝2∠MDE，∴∠MDE＝∠DCE＝α，∴∠EDC＝∠BDC﹣∠MDE＝45°﹣α，∴∠DEC＝180°﹣α﹣（45°﹣α）＝135°，∴∠FEC＝180°﹣135°＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC，∵∠ADC＝∠DFC＝∠AND＝90°，∴∠ADN＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，∵AD＝DC，∴△ADN≌△DCF，∴DN＝CF，∴DN＝NR＝CF，∵EF＝CF，∴DN＝NE＝CF＝EF，∴DF＝3CF，在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，∴（3CF）2+CF2＝102，∴CF，∴DE＝2CF＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，解決本題的關鍵是得到△AGB∽△MGE．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解一元二次方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（2）（x+1）2＝（2x﹣3）2【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】計算題；一元二次方程及應用．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）兩邊直接開平方法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2、b＝﹣5、c＝1，∴△＝25﹣4×2×1＝17＞0，則x，即x1，x2；（2）∵（x+1）2＝（2x﹣3）2，∴x+1＝2x﹣3或x+1＝3﹣2x，解得：x1＝4或x2．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，以及公式法，熟練掌握各種解法是解本題的關鍵．18．（4分）如圖，如圖，AD為三角形ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點O．（1）求證：AD⊥EF；（2）若∠BAC＝60°，寫出DO與AD之間的數(shù)量關系，并證明．【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）見解析（2）DOAD，理由見解析．【分析】（1）由AD為△ABC的角平分線，得到DE＝DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE＝AF，從而可以得到AD垂直平分EF，然后即可推出結論；（2）由已知推出∠EAD＝30°，得到AD＝2DE，在△DEO中，由∠DEO＝30°推出DE＝2DO，即可推出結論．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠DFA＝90°，∴∠DEF＝∠DFE∴∠DEA﹣∠DEF＝∠DFA﹣∠DFE，即∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵DE＝DF，AE＝AF，∴點D、點A在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF，∴AD⊥EF．（2）解：DOAD．理由：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝30°，∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，∵AD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DEO＝30°，∴DE＝2DO，∴AD＝4DO，即DOAD．【點評】本題主要考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質等知識點，解此題的關鍵是證明AE＝AF和DE＝DF；證明AD＝2DE和DE＝2DO．題目比較典型，綜合性強．19．（6分）已知：．（1）化簡A；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求A的值．條件①：若點P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點；條件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一個根．【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；分式的化簡求值；一元二次方程的解．【專題】分式；一元二次方程及應用；反比例函數(shù)及其應用；運算能力．【答案】（1）A；（2）A．【分析】（1）利用分式的減法法則化簡即可；（2）①由點P在反比例函數(shù)圖象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出結論；②a是方程x2+x＝8﹣x的一個根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出結論．【解答】解：（1）；（2）①點P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點，∴a（a+2）＝8，∴A；②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一個根，∴a2+a＝8﹣a，∴a（a+2）＝8，∴A；【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元一次方程的解，分式的運算，把分式化簡是解題的關鍵．20．（6分）“綜合與實踐”是《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》中四大領域之一，武侯區(qū)某學校九年級開展“綜合與實踐”項目式學習，設置了“A．制作視力表”“B．猜想、證明與拓廣”“C．池塘里有多少條魚”三個項目供九年級學生選擇，每名學生只選擇其中一個項目進行學習，現(xiàn)隨機調查部分學生的選擇情況并繪制了如下表格：項目選擇人數(shù)頻率A．制作視力表4aB．猜想、證明與拓廣bcC．池塘里有多少條魚200.5請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）填空：a＝0.1，b＝16，c＝0.4；（2）該校共有500名九年級學生，請估計選擇“B．猜想、證明與拓廣”項目學習的學生人數(shù)；（3）本次調查中，選擇“A．制作視力表”項目學習的四人中有三名女生和一名男生，現(xiàn)從中隨機選取兩人在全年級作匯報展示，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到一名女生和一名男生的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力．【答案】（1）0.1；16；0.4．（2）約200人．（3）．【分析】（1）用表格中C項目的人數(shù)除以頻率可得調查的學生人數(shù)，用A項目的人數(shù)除以調查的學生人數(shù)可得a的值，用調查的學生人數(shù)分別減去A，C項目的人數(shù)，可得b的值，用b的值除以調查的學生人數(shù)可得c的值．（2）根據(jù)用樣本估計總體，用500乘以c的值，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及恰好選到一名女生和一名男生的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）調查的學生人數(shù)為20÷0.5＝40（人），∴a＝4÷40＝0.1，b＝40﹣4﹣20＝16，c＝16÷40＝0.4．故答案為：0.1；16；0.4．（2）500×0.4＝200（人）．∴估計選擇“B．猜想、證明與拓廣”項目學習的學生人數(shù)約200人．（3）列表如下：女女女男女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）男（男，女）（男，女）（男，女）共有12種等可能的結果，其中恰好選到一名女生和一名男生的結果有6種，∴恰好選到一名女生和一名男生的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關鍵．21．（8分）某環(huán)衛(wèi)公司通過政府采購的方式計劃購進一批A，B兩種型號的新能源汽車，據(jù)了解，3輛A型汽車和4輛B型汽車的進價共計115萬元；4輛A型汽車和2輛B型汽車的進價共計120萬元．（1）求A，B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元；（2）該公司計劃恰好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），并使得購進的B種型號的新能源汽車數(shù)量多于A種型號的新能源汽車數(shù)量，請試寫出該公司的采購方案．【考點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用．【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；應用意識．【答案】（1）A型汽車進價為25萬元/輛，B型汽車進價為10萬元/輛；（2）該公司有兩種購買方案，方案1：購進A型汽車2輛，B型汽車15輛；方案2：購進A型汽車4輛，B型汽車10輛．【分析】（1）設A型汽車進價為x萬元/輛，B型汽車進價為y萬元/輛，根據(jù)“3輛A型汽車和4輛B型汽車的進價共計115萬元；4輛A型汽車和2輛B型汽車的進價共計120萬元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購進A型汽車m輛，則購進B型汽車（20m）輛，根據(jù)購進的B種型號的新能源汽車數(shù)量多于A種型號的新能源汽車數(shù)量，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再結合m、（20m）均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【解答】解：（1）設A型汽車進價為x萬元/輛，B型汽車進價為y萬元/輛，依題意得：，解得：．答：A型汽車進價為25萬元/輛，B型汽車進價為10萬元/輛．（2）設購進A型汽車m輛，則購進B型汽車（20m）輛，依題意得：20m＞m，解得：m．又∵m、（20m）均為正整數(shù)，∴m＝2或m＝4．當m＝2時，20m＝15；當m＝4時，20m＝10．∴該公司有兩種購買方案，方案1：購進A型汽車2輛，B型汽車15輛；方案2：購進A型汽車4輛，B型汽車10輛．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點A（﹣4，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點D的坐標為（﹣8，0），連接AC、DC，點P為拋物線上一點，當∠OCP＝∠DCA時，求點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）yx2+x﹣4，頂點坐標為（﹣1，）；（2）P（4，8）或P（﹣8，20）．【分析】（1）將A（﹣4，0）和B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4即可求解；（2）過D作DE⊥AC交CA延長線于E，求出DE、CE的長可得tan∠DCA，根據(jù)∠OCP＝∠DCA，則tan∠OCP＝tan∠DCA，分P在y軸右側和左側兩種情況分別計算．【解答】解：（1）將A（﹣4，0）和B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴拋物線yx2+x﹣4，∵yx2+x﹣4（x+1）2，∴頂點坐標為（﹣1，）；（2）過D作DE⊥AC交CA延長線于M，∵拋物線yx2+x﹣4，當x＝0時，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵A（﹣4，0），∴OA＝OC＝4，∴AC＝4，∠CAO＝45°，∵D（﹣8，0），∴AD＝4，∴DM＝AM＝sin45°×AD＝sin45°×4＝2，∴CM＝AC+AM＝426，∴tan∠DCA，①當P在y軸右側時，如圖：設P（m，m2+m﹣4），∴PE＝m，ECm2+m﹣4+4m2+m，∵∠OCP＝∠DCA，∴tan∠OCP＝tan∠DCA，∴，解得m1＝4，m2＝0（舍），∴P（4，8），②當P在y軸左側時，如圖：設P（m，m2+m﹣4），∴PE＝﹣m，ECm2+m﹣4+4m2+m，同理可得：，解得m1＝﹣8，m2＝0（舍），∴P（﹣8，20），綜上所述：P（4，8）或P（﹣8，20）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)值、以及角的存在性等知識，由兩個角相等，則這兩個角的正切值也相等進行轉化，是解決問題的關鍵．23．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB上一點，過M，C，B三點的⊙O交AC于P，過點P作PD∥AB，交⊙O于點D．（1）若M是AB中點，連接MD，求證：四邊形APDM是平行四邊形；（2）連接PM，當PM＝PC，且AC＝4，tanA，求線段PD的長．【考點】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；勾股定理；平行四邊形的判定與性質；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關概念及性質；解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接CM，PB，DM，證∠BMP＝90°，BP為⊙O的直徑，證MD為⊙O的直徑，由直角三角形的性質得出CMAB＝BM，則，得出DM垂直平分BC，則PC∥MD，即可得出結論；（2）連接BD、CD、BP，由圓周角定理得出∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，則四邊形PDBM為矩形，則PM＝BD，證PC＝BD，證Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），得出PD＝BC，在Rt△ACB中，由三角函數(shù)定義求出BC即可．【解答】（1）證明：連接CM，PB，DM，如圖1所示：∵∠C＝90°，四邊形BCPM為圓內接四邊形，∴∠C+∠BMP＝180°，∴∠BMP＝90°，BP為⊙O的直徑，又∵PD∥AB，∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，∴MD為⊙O的直徑，∵∠C＝90°，M為AB的中點，∴CMAB＝BM，∴，又∵MD為⊙O的直徑，∴DM垂直平分BC，∴PC∥MD，∴四邊形APDM為平行四邊形；（2）解：連接BD、CD、BP，如圖2所示：∵MD和BP均為⊙O的直徑，∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，∴四邊形PDBM為矩形，∴PM＝BD，∵PM＝PC，∴PC＝BD，在Rt△BPD和Rt△PBC中，，∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），∴PD＝BC，在Rt△ACB中，AC＝4，tanA，∴BC＝4tanA＝2，∴PD＝BC＝2．【點評】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握圓周角定理和矩形的判定與性質是解題的關鍵．24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉，交直線CD于點F．（1）當AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時，①求證：△CEF∽△CBD；②聯(lián)結BD，EF，若，求的值；（2）當∠EAF∠BAD時，延長BC交射線AF于點M，延長DC交射線AE于點N，聯(lián)結AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當△AMN是等腰三角形，求CE的長．【考點】相似形綜合題．【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）或2或．【分析】（1）①證明△ABE≌△ADF（ASA），由全等三角形的性質得出BE＝DF，證出∠CEF＝∠CBD，由相似三角形的判定即可得出結論；②連接AC，證△CEF∽△CBD，得出，設EC＝2a，則AB＝BC＝5a，BE＝3a，由勾股定理得AE＝4a，再證△AEF∽△BAC，由相似三角形的性質得出，即可求解；（2）證△MAC∽△ANC，得，分三種情況：①當AM＝AN時，則△ANC≌△MAC，得CN＝AC＝2，證△CEN∽△BEA，由相似三角形的性質得出，則CEBC；②當NA＝NM時，則∠NMA＝∠NAM，證△ANM∽△ABC，由相似三角形的性質得出，則CN＝2AC＝4＝AB，得△CEN≌△BEA（AAS），則CE＝BEBC＝2；③當MA＝MN時，則∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，證△AMN∽△ABC，由相似三角形的性質得出2，則CNAC＝1，進而求解即可．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，∵∠EAF＝∠ABC，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，∴CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠CBD＝∠CDB，∠ECF＝∠BCD，∴∠CEF＝∠CBD，∴△CEF∽△CBD；②解：連接AC，如圖1所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，由①知，△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴，設EC＝2a，則AB＝BC＝5a，BE＝3a，∴AE4a，∵，∠EAF＝∠ABC，∴△AEF∽△BAC，∴，∴；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC∠BAD，∵∠EAF∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ANC，∴∠ANC＝∠CAM，同理：∠AMC＝∠NAC，∴△MAC∽△ANC，∴，△AMN是等腰三角形有三種情況：①當AM＝AN時，如圖2所示：∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，∴△ANC≌△MAC（ASA），∴CN＝AC＝2，∵AB∥CN，∴△CEN∽△BEA，∴，∵BC＝AB＝4，∴CEBC；②當NA＝NM時，如圖3所示：則∠NMA＝∠NAM，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，∴△ANM∽△ABC，∴，∴，∴CN＝2AC＝4＝AB，∴△CEN≌△BEA（AAS），∴CE＝BEBC＝2；③當MA＝MN時，如圖4所示：則∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，∴△AMN∽△ABC，∴2，∴CNAC＝1，∵△CEN∽△BEA，∴，∴CEBC；綜上所述，當CE為或2或時，△AMN是等腰三角形．【點評】本題是相似形綜合題，考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握菱形的性質和等腰三角形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵．25．（12分）拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點P（m，n）在第一象限的拋物線上，且m+n＝9，求點P的坐標；在線段PA上確定一點M，使DM平分四邊形ACDP的面積，求點M的坐標；（3）點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，連接OQ、AQ，設△AOQ的外心為H，當sin∠OQA的值最大時，請直接寫出點H的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質；圓的有關概念及性質；與圓有關的位置關系；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點M的坐標為（，）；（3）H（，）或H（，）．【分析】（1）設y＝a（x﹣1）2﹣4，再將A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，即可求解；（2）由m+n＝9可得點P（4，5），可得S四邊形ACDP＝S△AEP+S△AOC+S△OCD+S△OED＝16，根據(jù)S△PDMS四邊形ACDP＝8即可求解；（3）作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AGAO，進而可得H在AO的垂直平分線上運動，根據(jù)題意當sin∠OQA最大轉化為求當AH取得最小值時，sin∠OQA最大，進而根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，即可求得AH，運用勾股定理求得HG，即可求得點H的坐標，根據(jù)對稱性求得另一個坐標．【解答】解：（1）∵頂點D的坐標為（1，﹣4），設y＝a（x﹣1）2﹣4，將A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵點P（m，n），則n＝m2﹣2m﹣3，而m+n＝9，解得：m＝﹣3或4，∵點P（m，n）在第一象限的拋物線上，∴點P（4，5）；∵頂點D的坐標為（1，﹣4）．∴直線PD的解析式為y＝3x﹣7，∴E（，0），∵點A（﹣1，0），P（4，5），∴直線PD的解析式為y＝x+1，∴F（1，2），∵y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），∴S四邊形ACDP＝S△AEP+S△AOC+S△OCD+S△OED（1）×51×31×34＝16，∵點M在線段PA上，DM平分四邊形ACDP的面積，設M（t，t+1），∴S△PDMDF×（4﹣t）S四邊形ACDP＝8，∴（2+4）（4﹣t）＝8，解得t，∴點M的坐標為（，）；（3）如圖，作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AG＝GO，∵AH＝HO，∴H在AO的垂直平分線上運動，依題意，當sin∠OQA最大時，即∠OQA最大時，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO＝2∠AHG＝2∠OQA，即當sin∠AHG最大時，sin∠OQA最大，∵AGAO，∴sin∠OQA＝sin∠AHG，則當AH取得最小值時，sin∠OQA最大，∵AH＝HQ，即當HQ⊥直線x＝1時，AH取得最小值，此時HQ＝1﹣（），∴AH，在Rt△AHG中，HG，∴H（，），根據(jù)對稱性，則存在H（，），綜上所述，H（，）或H（，）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的外心，垂徑定理，三角函數(shù)定義，拋物線與三角形面積計算，拋物線與圓的綜合等，運用轉化思想是解題的關鍵．

考點卡片1．數(shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．2．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關，有奇數(shù)個“﹣”號結果為負，有偶數(shù)個“﹣”號，結果為正．（4）規(guī)律方法總結：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．3．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結構的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．4．提公因式法與公式法的綜合運用先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．5．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．6．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．學習要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．7．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．8．二元一次方程組的應用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設元的方法：直接設元與間接設元．當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數(shù)，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．9．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．10．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．11．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．12．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結論反過來也成立．13．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．14．一元一次不等式的應用（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．15．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．16．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．17．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（，）．①拋物線是關于對稱軸x成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x．18．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．19．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．20．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．21．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE22．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．24．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．25．平行四邊形的判定與性質平行四邊形的判定與性質的作用平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．26．菱形的性質（1）菱形的性質①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積ab．（a、b是兩條對角線的長度）27．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．28．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．29．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條