2024年廣州中考數(shù)學(xué)終極押題密卷2含答案

2024年廣州中考數(shù)學(xué)終極押題密卷2一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在中，無(wú)理數(shù)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（3分）點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．﹣2 B． C．1 D．23．（3分）一組數(shù)據(jù)：2，3，3，4，若添加一個(gè)數(shù)據(jù)3，則發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．4 B． C．22 D．5．（3分）方程的解為x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．6．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝105°，則∠D的度數(shù)為（）A．105° B．75° C．90° D．不確定7．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D在小正方形的頂點(diǎn)處，AC與BD相交于點(diǎn)O，則AO的長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y的圖象上，若將菱形向下平移2個(gè)單位，點(diǎn)A恰好落在函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式為（）A．y B．y C．y D．y9．（3分）跳傘運(yùn)動(dòng)員小李在200米的空中測(cè)得地面上的著落點(diǎn)A的俯角為60°，那么此時(shí)小李離著落點(diǎn)A的距離是（）A．200米 B．400米 C．米 D．米10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，給出以下結(jié)論：①abc＜0；②若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b；④若c＝2，則有b2＞4ac﹣8a；⑤若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整數(shù)根，則p的值有2個(gè)，其中正確的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若x，y為實(shí)數(shù)，且，則x+y＝．12．（3分）分解因式：﹣3a2+6a﹣3＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，∠A＝30°，則BD＝．14．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，那么k應(yīng)滿足的條件是．15．（3分）平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行四邊形AB'C'D'（點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C'與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D'與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn)B'恰好落在BC邊上，B'C'與CD交于點(diǎn)E，則∠CEB'＝．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，點(diǎn)M為線段BD上一點(diǎn)，將△ADM沿AM所在直線翻折得到△AEM（點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部），連接BE，CE，DE，若∠BAE＝2∠DCE，則DE的長(zhǎng)為．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解一元二次方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（2）（x+1）2＝（2x﹣3）218．（4分）如圖，如圖，AD為三角形ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)O．（1）求證：AD⊥EF；（2）若∠BAC＝60°，寫(xiě)出DO與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．19．（6分）已知：．（1）化簡(jiǎn)A；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求A的值．條件①：若點(diǎn)P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)；條件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一個(gè)根．20．（6分）“綜合與實(shí)踐”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中四大領(lǐng)域之一，武侯區(qū)某學(xué)校九年級(jí)開(kāi)展“綜合與實(shí)踐”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，設(shè)置了“A．制作視力表”“B．猜想、證明與拓廣”“C．池塘里有多少條魚(yú)”三個(gè)項(xiàng)目供九年級(jí)學(xué)生選擇，每名學(xué)生只選擇其中一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行學(xué)習(xí)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查部分學(xué)生的選擇情況并繪制了如下表格：項(xiàng)目選擇人數(shù)頻率A．制作視力表4aB．猜想、證明與拓廣bcC．池塘里有多少條魚(yú)200.5請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）該校共有500名九年級(jí)學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)選擇“B．猜想、證明與拓廣”項(xiàng)目學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)；（3）本次調(diào)查中，選擇“A．制作視力表”項(xiàng)目學(xué)習(xí)的四人中有三名女生和一名男生，現(xiàn)從中隨機(jī)選取兩人在全年級(jí)作匯報(bào)展示，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好選到一名女生和一名男生的概率．21．（8分）某環(huán)衛(wèi)公司通過(guò)政府采購(gòu)的方式計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批A，B兩種型號(hào)的新能源汽車，據(jù)了解，3輛A型汽車和4輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)115萬(wàn)元；4輛A型汽車和2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)120萬(wàn)元．（1）求A，B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬(wàn)元；（2）該公司計(jì)劃恰好用200萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買），并使得購(gòu)進(jìn)的B種型號(hào)的新能源汽車數(shù)量多于A種型號(hào)的新能源汽車數(shù)量，請(qǐng)?jiān)噷?xiě)出該公司的采購(gòu)方案．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣8，0），連接AC、DC，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)∠OCP＝∠DCA時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．23．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB上一點(diǎn)，過(guò)M，C，B三點(diǎn)的⊙O交AC于P，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交⊙O于點(diǎn)D．（1）若M是AB中點(diǎn)，連接MD，求證：四邊形APDM是平行四邊形；（2）連接PM，當(dāng)PM＝PC，且AC＝4，tanA，求線段PD的長(zhǎng)．24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時(shí)，①求證：△CEF∽△CBD；②聯(lián)結(jié)BD，EF，若，求的值；（2）當(dāng)∠EAF∠BAD時(shí)，延長(zhǎng)BC交射線AF于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交射線AE于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當(dāng)△AMN是等腰三角形，求CE的長(zhǎng)．25．（12分）拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)P（m，n）在第一象限的拋物線上，且m+n＝9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在線段PA上確定一點(diǎn)M，使DM平分四邊形ACDP的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)△AOQ的外心為H，當(dāng)sin∠OQA的值最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

2024年菁優(yōu)廣州中考數(shù)學(xué)終極押題密卷2參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在中，無(wú)理數(shù)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】無(wú)理數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】運(yùn)用無(wú)理數(shù)的概念進(jìn)行辨別、求解．【解答】解：∵，3.5，1.3是有理數(shù)，π，0.1010010001…是無(wú)理數(shù)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了無(wú)理數(shù)的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用相關(guān)概念進(jìn)行正確地求解．2．（3分）點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．﹣2 B． C．1 D．2【考點(diǎn)】數(shù)軸；相反數(shù)．【專題】實(shí)數(shù)；符號(hào)意識(shí)．【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行求解即可：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．【解答】解：由題意得，點(diǎn)A表示的數(shù)為2，∵2的相反數(shù)是﹣2，∴點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)為﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，相反數(shù)的定義，熟知相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）一組數(shù)據(jù)：2，3，3，4，若添加一個(gè)數(shù)據(jù)3，則發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇．【專題】統(tǒng)計(jì)與概率．【答案】D【分析】依據(jù)的定義和公式分別計(jì)算新舊兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差求解即可．【解答】解：原數(shù)據(jù)的2、3、3、4的平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，方差為[（2﹣3）2+（3﹣3）2×2+（4﹣3）2]＝0.5；新數(shù)據(jù)2、3、3、3、4的平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，方差為[（2﹣3）2+（3﹣3）2×3+（4﹣3）2]＝0.4；∴添加一個(gè)數(shù)據(jù)3，方差發(fā)生變化，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．4 B． C．22 D．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【專題】二次根式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的除法、乘法及同類二次根式的運(yùn)算法則、概念逐一判斷即可．【解答】解：A．22，此選項(xiàng)不符合題意；B．與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)不符合題意；C．2與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)不符合題意；D．，此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．5．（3分）方程的解為x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（2﹣3x）＝x﹣4，去括號(hào)得：6﹣9x＝x﹣4，解得：x＝1，檢驗(yàn)：把x＝1代入得：（x﹣4）（2﹣3x）＝﹣3×（﹣1）＝3≠0，∴分式方程的解為x＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．6．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠A＝105°，則∠D的度數(shù)為（）A．105° B．75° C．90° D．不確定【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，則AB∥DC，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝105°，∴∠D＝180°﹣105°＝75°；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．7．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D在小正方形的頂點(diǎn)處，AC與BD相交于點(diǎn)O，則AO的長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】網(wǎng)格型；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：連接AB，CD，如圖，由網(wǎng)格圖可知：AG＝2，BG＝1，DH＝4，CH＝2，∴2，AG，CD2，∵∠AGB＝∠CHD＝90°，∴△AGB∽△CHD，∴∠BAG＝∠DCH．∵AE∥CF，∴∠GAC＝∠HCA，∴∠BAO＝∠DCO．∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∴AOOC，∴AOAC．∵AC，∴AO．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題是網(wǎng)格題目，利用網(wǎng)格線的特征，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y的圖象上，若將菱形向下平移2個(gè)單位，點(diǎn)A恰好落在函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式為（）A．y B．y C．y D．y【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)分別表示出C，以及點(diǎn)A向下平移2個(gè)單位的點(diǎn)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到方程組求解即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，在Rt△CDO中，OD＝a?cos60°a，CD＝a?sin60°a，則C（a，a），點(diǎn)A向下平移2個(gè)單位的點(diǎn)為（a﹣a，a﹣2），即（a，a﹣2），則，解得．故反比例函數(shù)解析式為y．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．9．（3分）跳傘運(yùn)動(dòng)員小李在200米的空中測(cè)得地面上的著落點(diǎn)A的俯角為60°，那么此時(shí)小李離著落點(diǎn)A的距離是（）A．200米 B．400米 C．米 D．米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】已知直角三角形的一個(gè)銳角和直角邊求斜邊，運(yùn)用三角函數(shù)定義解答．【解答】解：根據(jù)題意，此時(shí)小李離著落點(diǎn)A的距離是，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，給出以下結(jié)論：①abc＜0；②若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b；④若c＝2，則有b2＞4ac﹣8a；⑤若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整數(shù)根，則p的值有2個(gè)，其中正確的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【答案】C【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向下，a＜0；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x1＞0，∴b＞0；∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；∵M(jìn)（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在對(duì)稱軸右側(cè)，n2+1＜n2+2，∴y1＞y2，故②錯(cuò)誤；∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最大，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)t有a+b+c≥at2+bt+c，∴at2+bt≤a+b，故③正確；∵b＞0，∴b2＞0，若c＝2，則4ac﹣8a＝8a﹣8a＝0，∴b2＞4ac﹣8a，故④正確；∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），∴拋物線與x軸的另個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，0），把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，∴b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝0，解得，c＝﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4a），由圖象得當(dāng)0＜y≤﹣4a時(shí)，﹣1＜x＜3，其中x為整數(shù)時(shí)，x＝0，1，2，又∵x＝0與x＝2時(shí)，關(guān)于直線x＝1軸對(duì)稱當(dāng)x＝1時(shí)，直線y＝p恰好過(guò)拋物線頂點(diǎn)．所以p值可以有2個(gè)．故⑤正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若x，y為實(shí)數(shù)，且，則x+y＝2026．【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．【專題】二次根式；運(yùn)算能力．【答案】2026．【分析】根據(jù)二次根式（a≥0）可得：x﹣4≥0且4﹣x≥0，從而可得：x＝4，進(jìn)而可得y＝2022，然后把x，y的值代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：x﹣4≥0且4﹣x≥0，解得：x＝4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2022，∴x+y＝4+2022＝2026，故答案為：2026．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式（a≥0）是解題的關(guān)鍵．12．（3分）分解因式：﹣3a2+6a﹣3＝﹣3（a﹣1）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】﹣3（a+1）2．【分析】先提取公因式﹣3，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：﹣3a2+6a﹣3，＝﹣3（a2﹣2a+1），＝﹣3（a﹣1）2．故答案為：﹣3（a+1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，∠A＝30°，則BD＝1．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】1．【分析】求出∠BCD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BCAB＝2，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BDBC，即可得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，所以BCAB＝2，∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CD是高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∴BDBC＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，能根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BCAB和BDBC是解此題的關(guān)鍵．14．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，那么k應(yīng)滿足的條件是k≥﹣4且k≠0．【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】判別式法；一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】k≥﹣4且k≠0．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣1）≥0，求出解集即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根∴k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣1）＝16+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．故答案為：k≥﹣4且k≠0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義、解一元一次不等式和根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．15．（3分）平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行四邊形AB'C'D'（點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C'與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D'與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn)B'恰好落在BC邊上，B'C'與CD交于點(diǎn)E，則∠CEB'＝45°．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．【答案】45°．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，可以求得∠EB′C和∠C的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得到∠CEB'的度數(shù)．【解答】解：∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行四邊形AB'C'D'，點(diǎn)B'恰好落在BC邊上，B'C'與CD交于點(diǎn)E，∴∠BAB′＝30°，AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′，∴∠B＝∠AB′B＝75°，∴∠AB′C′＝75°，∠C＝105°，∴∠EB′C＝30°，∴∠CEB′＝180°﹣∠C﹣∠EB′C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠EB′C和∠C的度數(shù)．16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，點(diǎn)M為線段BD上一點(diǎn)，將△ADM沿AM所在直線翻折得到△AEM（點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部），連接BE，CE，DE，若∠BAE＝2∠DCE，則DE的長(zhǎng)為2．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】幾何綜合題；壓軸題；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2．【分析】設(shè)AE與BD交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AM交DE于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明△AGB∽△MGE，可得∠BAG＝∠GME，設(shè)∠DCE＝α，可得∠GME＝2α，證明∠DEC＝180°﹣α﹣（45°﹣α）＝135°，可得∠FEC＝180°﹣135°＝45°，證明△EFC是等腰直角三角形，然后證明△ADN≌△DCF，可得DN＝CF，所以DN＝NE＝CF＝EF，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AM交DE于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC＝AB＝10，∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠ADB＝45°＝∠ABD，∵將△ADM沿AM所在直線翻折得到△AEM，∴DM＝EM，AD＝AE，AN⊥DE，DN＝EN，∠AEM＝∠ADB＝∠BDC＝45°，∴∠ABG＝∠GEM＝45°，∵∠AGB＝∠MGE，∴△AGB∽△MGE，∴∠BAG＝∠GME，∵∠BAE＝2∠DCE，∴∠GME＝2∠DCE，設(shè)∠DCE＝α，∴∠GME＝2α，∵DM＝EM，∴∠MDE＝∠MED，∴∠GME＝2∠MDE，∴∠MDE＝∠DCE＝α，∴∠EDC＝∠BDC﹣∠MDE＝45°﹣α，∴∠DEC＝180°﹣α﹣（45°﹣α）＝135°，∴∠FEC＝180°﹣135°＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC，∵∠ADC＝∠DFC＝∠AND＝90°，∴∠ADN＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，∵AD＝DC，∴△ADN≌△DCF，∴DN＝CF，∴DN＝NR＝CF，∵EF＝CF，∴DN＝NE＝CF＝EF，∴DF＝3CF，在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，∴（3CF）2+CF2＝102，∴CF，∴DE＝2CF＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△AGB∽△MGE．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解一元二次方程：（1）2x2﹣5x+1＝0（2）（x+1）2＝（2x﹣3）2【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】計(jì)算題；一元二次方程及應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）兩邊直接開(kāi)平方法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2、b＝﹣5、c＝1，∴△＝25﹣4×2×1＝17＞0，則x，即x1，x2；（2）∵（x+1）2＝（2x﹣3）2，∴x+1＝2x﹣3或x+1＝3﹣2x，解得：x1＝4或x2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，以及公式法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，如圖，AD為三角形ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)O．（1）求證：AD⊥EF；（2）若∠BAC＝60°，寫(xiě)出DO與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）DOAD，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由AD為△ABC的角平分線，得到DE＝DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE＝AF，從而可以得到AD垂直平分EF，然后即可推出結(jié)論；（2）由已知推出∠EAD＝30°，得到AD＝2DE，在△DEO中，由∠DEO＝30°推出DE＝2DO，即可推出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠DFA＝90°，∴∠DEF＝∠DFE∴∠DEA﹣∠DEF＝∠DFA﹣∠DFE，即∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵DE＝DF，AE＝AF，∴點(diǎn)D、點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF，∴AD⊥EF．（2）解：DOAD．理由：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝30°，∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，∵AD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DEO＝30°，∴DE＝2DO，∴AD＝4DO，即DOAD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是證明AE＝AF和DE＝DF；證明AD＝2DE和DE＝2DO．題目比較典型，綜合性強(qiáng)．19．（6分）已知：．（1）化簡(jiǎn)A；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求A的值．條件①：若點(diǎn)P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)；條件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一個(gè)根．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；分式的化簡(jiǎn)求值；一元二次方程的解．【專題】分式；一元二次方程及應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）A；（2）A．【分析】（1）利用分式的減法法則化簡(jiǎn)即可；（2）①由點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出結(jié)論；②a是方程x2+x＝8﹣x的一個(gè)根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）；（2）①點(diǎn)P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，∴a（a+2）＝8，∴A；②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一個(gè)根，∴a2+a＝8﹣a，∴a（a+2）＝8，∴A；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元一次方程的解，分式的運(yùn)算，把分式化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（6分）“綜合與實(shí)踐”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中四大領(lǐng)域之一，武侯區(qū)某學(xué)校九年級(jí)開(kāi)展“綜合與實(shí)踐”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，設(shè)置了“A．制作視力表”“B．猜想、證明與拓廣”“C．池塘里有多少條魚(yú)”三個(gè)項(xiàng)目供九年級(jí)學(xué)生選擇，每名學(xué)生只選擇其中一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行學(xué)習(xí)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查部分學(xué)生的選擇情況并繪制了如下表格：項(xiàng)目選擇人數(shù)頻率A．制作視力表4aB．猜想、證明與拓廣bcC．池塘里有多少條魚(yú)200.5請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）填空：a＝0.1，b＝16，c＝0.4；（2）該校共有500名九年級(jí)學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)選擇“B．猜想、證明與拓廣”項(xiàng)目學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)；（3）本次調(diào)查中，選擇“A．制作視力表”項(xiàng)目學(xué)習(xí)的四人中有三名女生和一名男生，現(xiàn)從中隨機(jī)選取兩人在全年級(jí)作匯報(bào)展示，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好選到一名女生和一名男生的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；用樣本估計(jì)總體．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；運(yùn)算能力．【答案】（1）0.1；16；0.4．（2）約200人．（3）．【分析】（1）用表格中C項(xiàng)目的人數(shù)除以頻率可得調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，用A項(xiàng)目的人數(shù)除以調(diào)查的學(xué)生人數(shù)可得a的值，用調(diào)查的學(xué)生人數(shù)分別減去A，C項(xiàng)目的人數(shù)，可得b的值，用b的值除以調(diào)查的學(xué)生人數(shù)可得c的值．（2）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用500乘以c的值，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好選到一名女生和一名男生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為20÷0.5＝40（人），∴a＝4÷40＝0.1，b＝40﹣4﹣20＝16，c＝16÷40＝0.4．故答案為：0.1；16；0.4．（2）500×0.4＝200（人）．∴估計(jì)選擇“B．猜想、證明與拓廣”項(xiàng)目學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)約200人．（3）列表如下：女女女男女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）男（男，女）（男，女）（男，女）共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選到一名女生和一名男生的結(jié)果有6種，∴恰好選到一名女生和一名男生的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、用樣本估計(jì)總體，掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解答本題的關(guān)鍵．21．（8分）某環(huán)衛(wèi)公司通過(guò)政府采購(gòu)的方式計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批A，B兩種型號(hào)的新能源汽車，據(jù)了解，3輛A型汽車和4輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)115萬(wàn)元；4輛A型汽車和2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)120萬(wàn)元．（1）求A，B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬(wàn)元；（2）該公司計(jì)劃恰好用200萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買），并使得購(gòu)進(jìn)的B種型號(hào)的新能源汽車數(shù)量多于A種型號(hào)的新能源汽車數(shù)量，請(qǐng)?jiān)噷?xiě)出該公司的采購(gòu)方案．【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）A型汽車進(jìn)價(jià)為25萬(wàn)元/輛，B型汽車進(jìn)價(jià)為10萬(wàn)元/輛；（2）該公司有兩種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)A型汽車2輛，B型汽車15輛；方案2：購(gòu)進(jìn)A型汽車4輛，B型汽車10輛．【分析】（1）設(shè)A型汽車進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元/輛，B型汽車進(jìn)價(jià)為y萬(wàn)元/輛，根據(jù)“3輛A型汽車和4輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)115萬(wàn)元；4輛A型汽車和2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)120萬(wàn)元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型汽車m輛，則購(gòu)進(jìn)B型汽車（20m）輛，根據(jù)購(gòu)進(jìn)的B種型號(hào)的新能源汽車數(shù)量多于A種型號(hào)的新能源汽車數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m、（20m）均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案．【解答】解：（1）設(shè)A型汽車進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元/輛，B型汽車進(jìn)價(jià)為y萬(wàn)元/輛，依題意得：，解得：．答：A型汽車進(jìn)價(jià)為25萬(wàn)元/輛，B型汽車進(jìn)價(jià)為10萬(wàn)元/輛．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型汽車m輛，則購(gòu)進(jìn)B型汽車（20m）輛，依題意得：20m＞m，解得：m．又∵m、（20m）均為正整數(shù)，∴m＝2或m＝4．當(dāng)m＝2時(shí)，20m＝15；當(dāng)m＝4時(shí)，20m＝10．∴該公司有兩種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)A型汽車2輛，B型汽車15輛；方案2：購(gòu)進(jìn)A型汽車4輛，B型汽車10輛．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣8，0），連接AC、DC，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)∠OCP＝∠DCA時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）yx2+x﹣4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）；（2）P（4，8）或P（﹣8，20）．【分析】（1）將A（﹣4，0）和B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4即可求解；（2）過(guò)D作DE⊥AC交CA延長(zhǎng)線于E，求出DE、CE的長(zhǎng)可得tan∠DCA，根據(jù)∠OCP＝∠DCA，則tan∠OCP＝tan∠DCA，分P在y軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別計(jì)算．【解答】解：（1）將A（﹣4，0）和B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴拋物線yx2+x﹣4，∵yx2+x﹣4（x+1）2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）；（2）過(guò)D作DE⊥AC交CA延長(zhǎng)線于M，∵拋物線yx2+x﹣4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵A（﹣4，0），∴OA＝OC＝4，∴AC＝4，∠CAO＝45°，∵D（﹣8，0），∴AD＝4，∴DM＝AM＝sin45°×AD＝sin45°×4＝2，∴CM＝AC+AM＝426，∴tan∠DCA，①當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，如圖：設(shè)P（m，m2+m﹣4），∴PE＝m，ECm2+m﹣4+4m2+m，∵∠OCP＝∠DCA，∴tan∠OCP＝tan∠DCA，∴，解得m1＝4，m2＝0（舍），∴P（4，8），②當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)，如圖：設(shè)P（m，m2+m﹣4），∴PE＝﹣m，ECm2+m﹣4+4m2+m，同理可得：，解得m1＝﹣8，m2＝0（舍），∴P（﹣8，20），綜上所述：P（4，8）或P（﹣8，20）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)值、以及角的存在性等知識(shí)，由兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角的正切值也相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB上一點(diǎn)，過(guò)M，C，B三點(diǎn)的⊙O交AC于P，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交⊙O于點(diǎn)D．（1）若M是AB中點(diǎn)，連接MD，求證：四邊形APDM是平行四邊形；（2）連接PM，當(dāng)PM＝PC，且AC＝4，tanA，求線段PD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接CM，PB，DM，證∠BMP＝90°，BP為⊙O的直徑，證MD為⊙O的直徑，由直角三角形的性質(zhì)得出CMAB＝BM，則，得出DM垂直平分BC，則PC∥MD，即可得出結(jié)論；（2）連接BD、CD、BP，由圓周角定理得出∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，則四邊形PDBM為矩形，則PM＝BD，證PC＝BD，證Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），得出PD＝BC，在Rt△ACB中，由三角函數(shù)定義求出BC即可．【解答】（1）證明：連接CM，PB，DM，如圖1所示：∵∠C＝90°，四邊形BCPM為圓內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠BMP＝180°，∴∠BMP＝90°，BP為⊙O的直徑，又∵PD∥AB，∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，∴MD為⊙O的直徑，∵∠C＝90°，M為AB的中點(diǎn)，∴CMAB＝BM，∴，又∵M(jìn)D為⊙O的直徑，∴DM垂直平分BC，∴PC∥MD，∴四邊形APDM為平行四邊形；（2）解：連接BD、CD、BP，如圖2所示：∵M(jìn)D和BP均為⊙O的直徑，∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，∴四邊形PDBM為矩形，∴PM＝BD，∵PM＝PC，∴PC＝BD，在Rt△BPD和Rt△PBC中，，∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），∴PD＝BC，在Rt△ACB中，AC＝4，tanA，∴BC＝4tanA＝2，∴PD＝BC＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時(shí)，①求證：△CEF∽△CBD；②聯(lián)結(jié)BD，EF，若，求的值；（2）當(dāng)∠EAF∠BAD時(shí)，延長(zhǎng)BC交射線AF于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交射線AE于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當(dāng)△AMN是等腰三角形，求CE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相似形綜合題．【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；（2）或2或．【分析】（1）①證明△ABE≌△ADF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DF，證出∠CEF＝∠CBD，由相似三角形的判定即可得出結(jié)論；②連接AC，證△CEF∽△CBD，得出，設(shè)EC＝2a，則AB＝BC＝5a，BE＝3a，由勾股定理得AE＝4a，再證△AEF∽△BAC，由相似三角形的性質(zhì)得出，即可求解；（2）證△MAC∽△ANC，得，分三種情況：①當(dāng)AM＝AN時(shí)，則△ANC≌△MAC，得CN＝AC＝2，證△CEN∽△BEA，由相似三角形的性質(zhì)得出，則CEBC；②當(dāng)NA＝NM時(shí)，則∠NMA＝∠NAM，證△ANM∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則CN＝2AC＝4＝AB，得△CEN≌△BEA（AAS），則CE＝BEBC＝2；③當(dāng)MA＝MN時(shí)，則∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，證△AMN∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出2，則CNAC＝1，進(jìn)而求解即可．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，∵∠EAF＝∠ABC，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，∴CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠CBD＝∠CDB，∠ECF＝∠BCD，∴∠CEF＝∠CBD，∴△CEF∽△CBD；②解：連接AC，如圖1所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，由①知，△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴，設(shè)EC＝2a，則AB＝BC＝5a，BE＝3a，∴AE4a，∵，∠EAF＝∠ABC，∴△AEF∽△BAC，∴，∴；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC∠BAD，∵∠EAF∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ANC，∴∠ANC＝∠CAM，同理：∠AMC＝∠NAC，∴△MAC∽△ANC，∴，△AMN是等腰三角形有三種情況：①當(dāng)AM＝AN時(shí)，如圖2所示：∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，∴△ANC≌△MAC（ASA），∴CN＝AC＝2，∵AB∥CN，∴△CEN∽△BEA，∴，∵BC＝AB＝4，∴CEBC；②當(dāng)NA＝NM時(shí)，如圖3所示：則∠NMA＝∠NAM，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，∴△ANM∽△ABC，∴，∴，∴CN＝2AC＝4＝AB，∴△CEN≌△BEA（AAS），∴CE＝BEBC＝2；③當(dāng)MA＝MN時(shí)，如圖4所示：則∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，∴△AMN∽△ABC，∴2，∴CNAC＝1，∵△CEN∽△BEA，∴，∴CEBC；綜上所述，當(dāng)CE為或2或時(shí)，△AMN是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．25．（12分）拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)P（m，n）在第一象限的拋物線上，且m+n＝9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在線段PA上確定一點(diǎn)M，使DM平分四邊形ACDP的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)△AOQ的外心為H，當(dāng)sin∠OQA的值最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；（3）H（，）或H（，）．【分析】（1）設(shè)y＝a（x﹣1）2﹣4，再將A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，即可求解；（2）由m+n＝9可得點(diǎn)P（4，5），可得S四邊形ACDP＝S△AEP+S△AOC+S△OCD+S△OED＝16，根據(jù)S△PDMS四邊形ACDP＝8即可求解；（3）作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AGAO，進(jìn)而可得H在AO的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意當(dāng)sin∠OQA最大轉(zhuǎn)化為求當(dāng)AH取得最小值時(shí)，sin∠OQA最大，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，即可求得AH，運(yùn)用勾股定理求得HG，即可求得點(diǎn)H的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性求得另一個(gè)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），設(shè)y＝a（x﹣1）2﹣4，將A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵點(diǎn)P（m，n），則n＝m2﹣2m﹣3，而m+n＝9，解得：m＝﹣3或4，∵點(diǎn)P（m，n）在第一象限的拋物線上，∴點(diǎn)P（4，5）；∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．∴直線PD的解析式為y＝3x﹣7，∴E（，0），∵點(diǎn)A（﹣1，0），P（4，5），∴直線PD的解析式為y＝x+1，∴F（1，2），∵y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），∴S四邊形ACDP＝S△AEP+S△AOC+S△OCD+S△OED（1）×51×31×34＝16，∵點(diǎn)M在線段PA上，DM平分四邊形ACDP的面積，設(shè)M（t，t+1），∴S△PDMDF×（4﹣t）S四邊形ACDP＝8，∴（2+4）（4﹣t）＝8，解得t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖，作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AG＝GO，∵AH＝HO，∴H在AO的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，依題意，當(dāng)sin∠OQA最大時(shí)，即∠OQA最大時(shí)，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO＝2∠AHG＝2∠OQA，即當(dāng)sin∠AHG最大時(shí)，sin∠OQA最大，∵AGAO，∴sin∠OQA＝sin∠AHG，則當(dāng)AH取得最小值時(shí)，sin∠OQA最大，∵AH＝HQ，即當(dāng)HQ⊥直線x＝1時(shí)，AH取得最小值，此時(shí)HQ＝1﹣（），∴AH，在Rt△AHG中，HG，∴H（，），根據(jù)對(duì)稱性，則存在H（，），綜上所述，H（，）或H（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的外心，垂徑定理，三角函數(shù)定義，拋物線與三角形面積計(jì)算，拋物線與圓的綜合等，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向．（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無(wú)理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇?lái)說(shuō)，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．2．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．3．無(wú)理數(shù)（1）、定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．說(shuō)明：無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫(xiě)成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫(xiě)成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，0.33333…而無(wú)理數(shù)只能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，比如1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比；而無(wú)理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無(wú)理數(shù)，了解它的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)是無(wú)理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o(wú)理數(shù)．無(wú)理數(shù)常見(jiàn)的三種類型（1）開(kāi)不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無(wú)理數(shù)．4．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．5．分式的化簡(jiǎn)求值先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題1．化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值．化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．6．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題．【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件1．如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．7．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．8．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．9．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．10．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．11．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．12．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．13．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．14．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫(xiě)出符合題意的解．15．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③在y＝k/x圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．16．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；|a|還可以決定開(kāi)口大小，|a|越大開(kāi)口就越?。谝淮雾?xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．17．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x．18．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．19．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義．20．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．21．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE22．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．24．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．25．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡(jiǎn)單．凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問(wèn)題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問(wèn)題．26．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．（2）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積ab．（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）27．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．28．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．29．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條