吉林省吉林地區(qū)普通高中2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案解析

吉林地區(qū)普通高中2023—2024學(xué)年度高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題說明：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答素寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.3．請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效：在試卷上、草紙上答題無效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知若，則實數(shù)的值為（）A.1 B.4 C.1或4 D.23.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.84.若互不相等的正數(shù)滿足，則（）A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增是（）A. B. C. D.6.已知圓錐的側(cè)面積是，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的內(nèi)切球半徑為（）A. B. C. D.7.已知圓與軸交于兩點，點在直線上，若以為焦點的橢圓過點，則該橢圓的離心率的最大值為（）A. B. C. D.8.已知為銳角，且，則的最大值為（）A B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，則（）A B.C. D.的子集個數(shù)為210.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.各二項式系數(shù)的和為64 B.各項系數(shù)的絕對值的和為729C.有理項有3項 D.常數(shù)項是第4項11.如圖1，在等腰梯形中，，且為的中點，沿將翻折，使得點到達(dá)的位置，構(gòu)成三棱錐（如圖2），則（）A.在翻折過程中，與可能垂直B.翻折過程中，二面角無最大值C.當(dāng)三棱錐體積最大時，與所成角小于D.點在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點的軌跡是橢圓，則三棱錐的體積的取值范圍是三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第13題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．12.已知向量，若，則_________.13.“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個景觀至多經(jīng)過一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有_________種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則_________（結(jié)果用表示）.14.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于兩點，過作軸垂線，垂足分別為，直線與直線交于點，則與的面積比值為_________.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）在方向上的投影向量是，求的面積.16.如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.（1）證明：平面平面；（2）若點為的中點，求直線到平面的距離.17.已知點，直線，動圓與直線相切，交線段于點，且．（1）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（2）過點且傾斜角大于的直線與軸交于點，與的軌跡相交于兩點，且，求的值及的取值范圍.18.短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點對當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.（1）依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人游客短視頻合計收看未看南方游客北方游客合計（2）為了增加游客的旅游樂趣，該景點設(shè)置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)分別是極小值點和極大值點，記．（i）證明：直線與曲線交于除外另一點；（ii）在（i）結(jié)論下，判斷是否存在定值且，使，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.吉林地區(qū)普通高中2023—2024學(xué)年度高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題說明：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答素寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.3．請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效：在試卷上、草紙上答題無效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義及三角函數(shù)值符號判斷其所在象限即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)點，又因為，所以，，所以點位于第一象限.故選：A.2.已知若，則實數(shù)的值為（）A.1 B.4 C.1或4 D.2【答案】B【解析】【分析】分和，求解，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，則，解得：（舍去）；當(dāng)時，，則，解得：.故選：B3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可得【詳解】因為，所以，所以.故選：D.4.若互不相等的正數(shù)滿足，則（）A.成等差數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互不相等，且得到，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)等比中項的概念，判斷成等比數(shù)列.【詳解】因為互不相等，且，所以，即，所以成等比數(shù)列.故選：D5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義，即可判斷四個選項的奇偶性，只有是奇函數(shù)，又正切函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，而函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒大于零，所以只有C正確.【詳解】對于A，，為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，為奇函數(shù)，又在不滿足單調(diào)遞增定義，所以B錯誤；對于C，，為奇函數(shù)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，是非奇非偶函數(shù)，所以D錯誤.故選：C.6.已知圓錐的側(cè)面積是，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的內(nèi)切球半徑為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑，并由題意聯(lián)立方程組求出；再由勾股定理解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，由題意知：，兩式相除解得，；所以圓錐的頂角為，軸截面為等邊三角形，圓錐的高，設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為，，解得.故選：D.7.已知圓與軸交于兩點，點在直線上，若以為焦點的橢圓過點，則該橢圓的離心率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，結(jié)合兩點之間線段最短，即可求出的最小值，由此即可求出離心率的最大值．【詳解】由題意知，，以，為焦點的橢圓的半焦距為，由題意可知直線1與橢圓有交點，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，則，因為，則該橢圓的離心率的最大值為．故選：B．8.已知為銳角，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先結(jié)合和差角公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】因為，為銳角，且，兩邊同時除以得，，，為銳角，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，最大值為．故選：A．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，則（）A. B.C. D.的子集個數(shù)為2【答案】BCD【解析】【分析】解對數(shù)不等式及絕對值不等式，結(jié)合集合的交集、并集運(yùn)算及子集的定義計算即可.詳解】對于A項，由題意知，，，故A項錯誤；對于B項，，故B項正確；對于C項，，故C項正確；對于D項，因為，所以的子集為、共2個，故D項正確.故選：BCD.10.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.各二項式系數(shù)的和為64 B.各項系數(shù)的絕對值的和為729C.有理項有3項 D.常數(shù)項是第4項【答案】AB【解析】【分析】利用各二項系數(shù)和可判斷A選項；根據(jù)二項式展開式的系數(shù)的絕對值和與二項式的展開式的系數(shù)和相等，可判斷B選項；根據(jù)展開式的通項可判斷C選項和D選項；【詳解】在的展開式中，各二項式系數(shù)的和為，故A正確；各項系數(shù)的絕對值的和與的各項系數(shù)和相等，令，可得各項系數(shù)的絕對值的和為，故B正確；展開式的通項為，令，得時，展開式的項為有理項，所以有理項有4項，故C錯誤；令，得，所以常數(shù)項是第5項，故D錯誤.故選：AB.11.如圖1，在等腰梯形中，，且為的中點，沿將翻折，使得點到達(dá)的位置，構(gòu)成三棱錐（如圖2），則（）A.翻折過程中，與可能垂直B.在翻折過程中，二面角無最大值C.當(dāng)三棱錐體積最大時，與所成角小于D.點在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點的軌跡是橢圓，則三棱錐的體積的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】先確定未翻折之前，圖形中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，翻折時，當(dāng)時可證平面平面，從而可證，判斷A；且此時二面角取得最大值，判斷B；還是此時，當(dāng)三棱錐體積最大，可求異面直線與所成角，判斷C；對D，根據(jù)圓錐曲線的定義，判斷二面角的取值范圍，求出高的取值范圍，從而的三棱錐的體積的取值范圍，判斷D.【詳解】如圖1：在未折起之前，有，，，..又，，所以.沿將翻折，則點軌跡為一個圓，且圓面一直和垂直，如圖：當(dāng)時，，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面，平面平面，，所以平面.平面，所以.故A正確.此時，，所以即為二面角的平面角為，是二面角的最大值，故B錯誤；此時三棱錐的高等于，高取得最大值，又底面不變，所以三棱錐的體積最大.如圖：取中點，連接，，則即為一面直線與所成角，在中，，，，所以，所以，故C正確；對D：點在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，若點的軌跡是橢圓，根據(jù)圓錐曲線的概念，二面角應(yīng)該在之間取值，且不能為（此時點的軌跡是圓），當(dāng)二面角或時，，當(dāng)二面角時，，所以點在平面內(nèi)，且直線與直線所成角為，且點的軌跡是橢圓時，，故D錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：用一個平面截圓錐體，要想得到的截面是一個橢圓，截面不能和圓錐的母線相交，且截面不能與圓錐的軸垂直（此時的截面是圓）.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第13題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．12.已知向量，若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得的值，從而可求模長.【詳解】因為，，所以，解得，所以.故答案為：.13.“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個景觀至多經(jīng)過一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有_________種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則_________（結(jié)果用表示）.【答案】①.8②.【解析】【分析】結(jié)合題意及分類加法原理，依次計算到達(dá)、、、、的走法即可.由題意可知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，即（且），結(jié)合累加法求解即可.【詳解】由題意知，到達(dá)點共有1種走法，到達(dá)點共有種走法（一種是經(jīng)過點到達(dá)，一種是直接到達(dá)），到達(dá)點共有種走法（一種是經(jīng)過，一種是經(jīng)過，所以到達(dá)將、的走法加起來），到達(dá)點共有種走法（一種是經(jīng)過和，一種是經(jīng)過，所以到達(dá)將、的走法加起來），到達(dá)點共有種走法（一種是經(jīng)過和，一種是經(jīng)過和，所以到達(dá)將、的走法加起來），故按圖中所示方向到達(dá)有8種不同的打卡路線.由題意知，，，，，，…，（且），因為（且），所以，，，…，，（且），將上式累加可得，（且），整理可得，又，，所以，即.故答案為：8；.14.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于兩點，過作軸垂線，垂足分別為，直線與直線交于點，則與的面積比值為_________.【答案】1【解析】【分析】設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線的方程求得，再求出點坐標(biāo)，討論點在點的右側(cè)或左側(cè)，表示出，所以，再將韋達(dá)定理代入即可得出答案.【詳解】依題意作示意圖如下圖，圖一為點在點的右側(cè)，圖二為點在點的左側(cè)，根據(jù)拋物線方程有：，設(shè)直線的方程為：，，，故，若，則直線與直線不相交，故，聯(lián)立直線與拋物線的方程有：，則，則，直線的方程為：，令，得到，所以，因為，所以，而對于，當(dāng)點在點的右側(cè)，根據(jù)圖象可知，，當(dāng)點在點的左側(cè)，根據(jù)圖象可知，，即，所以，.故答案為：1.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點在于設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線的方程求得，再求出點坐標(biāo)，討論點在點的右側(cè)或左側(cè)，表示出，所以，再將韋達(dá)定理代入即可得出答案.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）在方向上投影向量是，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得到求解；（2）（方法一）由在方向上的投影向量，化簡得到，再利用余弦定理求得即可；（方法二）：過作，設(shè)，在Rt中，由求解.【小問1詳解】解：由正弦定理得，，即，又，，即得或（舍），又.【小問2詳解】（方法一）在方向上的投影向量為，即，，由余弦定理，，，則；（方法二）：如圖所示：過作，垂足為，則為在方向上的投影向量，設(shè)，則，在Rt中，，，.16.如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.（1）證明：平面平面；（2）若點為的中點，求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合三線合一證得，，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.（2）由線面平行判定定理可證得平面，則點到平面的距離即為到平面的距離.方法一：以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點到面的距離公式計算即可.方法二：運(yùn)用等體積法計算即可.【小問1詳解】證明：連接，如圖所示，平面，，，即，又為中點，則，且，四邊形為正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.【小問2詳解】在中，分別為中點，，又平面平面，平面，點到平面的距離即為到平面的距離，（方法一），以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)是平面的法向量，，取，則是平面的一個法向量，點到平面的距離為，即直線到平面的距離為.（方法二）連接、，如圖所示，為等腰直角三角形，，又平面是三棱錐的高，，，，，設(shè)到平面距離為，則，，即到平面的距離為.17.已知點，直線，動圓與直線相切，交線段于點，且．（1）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（2）過點且傾斜角大于的直線與軸交于點，與的軌跡相交于兩點，且，求的值及的取值范圍.【答案】（1），點的軌跡是焦點在軸上，實軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．（2），【解析】【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)列出等量關(guān)系整理可得；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得的值及的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)點，圓的半徑為為到直線的距離，則．根據(jù)題意，動點的軌跡就是點的集合即，整理得.所以，點的軌跡是焦點在軸上，實軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．【小問2詳解】設(shè)直線，傾斜角大于設(shè)聯(lián)立得，故，，，由題知，雙曲線的焦點，由得的取值范圍是18.短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點對當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.（1）依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人游客短視頻合計收看未看南方游客北方游客合計（2）為了增加游客的旅游樂趣，該景點設(shè)置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，無關(guān)（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）利用已知條件，完成列聯(lián)表，利用獨(dú)立性檢驗公式求解判斷即可；（2）（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，求出關(guān)系式，得到通項公式；（ii）方法一：設(shè)第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，利用公式求期望即可.方法二：設(shè)第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，利用公式求期望即可.【小問1詳解】將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計280220500零假設(shè)：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001【小問2詳解】（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ii）（方法一）設(shè)第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，，因為，所以.（方法二）設(shè)第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，由題可知，，又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2問（ii）的解決關(guān)鍵是，根據(jù)題意得到的關(guān)系，利用構(gòu)造法分析出是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此得解.19.已知函數(shù)．