高考文數(shù)一輪課件9第九章平面解析幾何第五節(jié)橢圓

第五節(jié)橢圓總綱目錄教材研讀1.橢圓的定義考點(diǎn)突破2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)3.點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系1.橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡

叫做①橢圓

.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的②焦點(diǎn)

,兩焦點(diǎn)間的距離

叫做橢圓的③焦距

.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).(1)若④

a>c

,則集合P表示橢圓;(2)若⑤

a=c

,則集合P表示線段;教材研讀(3)若⑥

a<c

,則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)3.點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓的位置關(guān)系(1)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?

+

<1;(2)P(x0,y0)在橢圓上?

+

=1;(3)P(x0,y0)在橢圓外?

+

>1.與橢圓的焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論(含焦半徑公式)橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角

形問(wèn)題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理.以橢圓

+

=1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,則(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半徑公式,e為橢圓的離心率),|PF1|+|PF2|=2a;(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cosθ;(3)

=

|PF1||PF2|·sinθ=c|y0|=b2tan

,當(dāng)|y0|=b,即P為短軸端點(diǎn)時(shí),

取最大值,最大值為bc;(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).1.(2015北京豐臺(tái)一模)橢圓x2+my2=1(m>0)的焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸

長(zhǎng)的2倍,則m等于

()A.

B.2

C.4

D.

答案

D由x2+

=1(m>0)及題意知,2

=2×2×1,解得m=

,故選D.D2.已知F1,F2是橢圓

+

=1的兩焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長(zhǎng)度為

()A.6

B.5

C.4

D.3答案

A根據(jù)橢圓的定義,知△AF1B的周長(zhǎng)為4a=16,故所求的第三邊

的長(zhǎng)度為16-10=6.A3.(2016北京東城二模)如圖,在由邊長(zhǎng)為m的正方形組成的網(wǎng)格中有橢

圓C1,C2,C3,它們的離心率分別為e1,e2,e3,則

()

A.e1=e2<e3

B.e2=e3<e1

C.e1=e2>e3

D.e2=e3>e1

D答案

D建立如圖所示的坐標(biāo)系,橢圓方程可設(shè)為

+

=1(a>b>0).

∴C1中:a=2m,b=1.5m,∴

=

;C2中:a=4m,b=2m,∴

=

;C3中:a=6m,b=3m,∴

=

.又∵e=

=

=

,∴e2=e3>e1.4.(2015北京門頭溝一模)橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-4,0),F2(4,0),P在橢圓上,若

△PF1F2的面積的最大值為12,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()A.

+

=1

B.

+

=1C.

+

=1

D.

+

=1答案

A根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為

+

=1(a>b>0),P(x0,y0),則△PF1F2的面積為

|F1F2|·|y0|=

×8×|y0|=4|y0|≤4b,所以4b=12,解得b=3,又c=4,所以a2=b2+c2=25,故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1,故選A.A5.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于

,則C的方程是

.

+

=1答案

+

=1解析依題意,設(shè)橢圓方程為

+

=1(a>b>0),則有

解得a=2,b2=3.故C的方程為

+

=1.典例1(1)已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且

和圓C1內(nèi)切,和圓C2外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

()A.

-

=1

B.

+

=1

C.

-

=1

D.

+

=1(2)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為

,過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長(zhǎng)為4

,則C的方程為(

)A.

+

=1

B.

+y2=1C.

+

=1

D.

+

=1考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)突破點(diǎn),且

⊥

.若△PF1F2的面積為9,則b=

.(3)已知F1、F2是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上的一答案(1)D(2)A(3)3解析(1)設(shè)圓M的半徑為r,則|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<1

6,∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=16,2c=8,則a=8,c

=4,∴b2=48,故所求的軌跡方程為

+

=1.(2)由題意及橢圓的定義知4a=4

,則a=

,又

=

=

,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程為

+

=1.(3)∵|PF1|+|PF2|=2a,

⊥

,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4c2,∴2|PF1|·|PF2|=4a2-4c2=4b2,∴|PF1|·|PF2|=2b2,∴

=

|PF1|·|PF2|=

×2b2=b2=9.∴b=3.1.橢圓定義的應(yīng)用類型及方法(1)利用定義確定平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓;(2)利用定義解決與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的周長(zhǎng)、面積及最值問(wèn)題.方法指導(dǎo)2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過(guò)程是先定形,再定量,

即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.如果焦

點(diǎn)位置不確定,要考慮是否有兩解,有時(shí)為了解題方便,也可把橢圓方程

設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.1-1一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2,

)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()A.

+

=1

B.

+

=1C.

+

=1

D.

+

=1A答案

A設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由點(diǎn)P(2,

)在橢圓上知

+

=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,

=

,又c2=a2-b2,聯(lián)立

得a2=8,b2=6,故橢圓方程為

+

=1.1-2

(2015北京東城一模)橢圓C:

+y2=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),PF1,PF2的中點(diǎn)分別為M,N,O為坐

標(biāo)原點(diǎn),四邊形OMPN的周長(zhǎng)為2

,則△PF1F2的周長(zhǎng)是

()A.2

+2

B.

+2

C.

+

D.4+2

A答案

A因?yàn)镺,M分別為F1F2和PF1的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PF2,且|OM|=

|PF2|,同理,ON∥PF1,且|ON|=

|PF1|,所以四邊形OMPN為平行四邊形,由題意知,|OM|+|ON|=

,故|PF1|+|PF2|=2

,即2a=2

,a=

,由a2=b2+c2知c2=a2-b2=2,即c=

,所以|F1F2|=2c=2

,故△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c=2

+2

,故選A.

典例2(1)(2016北京豐臺(tái)期末)如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作

x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡

是橢圓,那么這個(gè)橢圓的離心率是

()

A.

B.

C.

D.

考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓

+

=1上,若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),|

|=1,且

·

=0,則|

|的最小值為

.答案(1)D(2)

解析(1)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到(0,2)時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1),由題圖知b=1;當(dāng)P運(yùn)動(dòng)

到(2,0)時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),由題圖知a=2.故c=

=

.∴橢圓的離心率e=

=

.(2)由|

|=1,A(3,0),知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),∵

·

=0,∴PM⊥AM,即PM為☉A的切線,連接PA(如圖),則|

|=

=

,又∵P在橢圓上運(yùn)動(dòng),∴當(dāng)|

|min=5-3=2時(shí),|

|min=

.方法技巧求橢圓離心率的常用方法(1)直接求出a,c,利用定義求解.(2)構(gòu)造a,c的齊次式,解出e.由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程,然

后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解.(3)通過(guò)特殊值或特殊位置求出離心率.2-1

(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5,5分)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若

橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的

,則該橢圓的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=

a·

,所以e=

=

.故選B.

B2-2已知F1、F2分別是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么|

+

|的最小值是

()A.0

B.1

C.2

D.2

答案

C設(shè)P(x0,y0),則

=(-1-x0,-y0),

=(1-x0,-y0),∴

+

=(-2x0,-2y0),∴|

+

|=

=2

=2

.∵點(diǎn)P在橢圓上,∴0≤

≤1,∴當(dāng)

=1時(shí),|

+

|取最小值,為2.C典例3

(2018北京海淀期末)已知橢圓C:

+

=1(m>0),直線l:x+y-2=0與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P,Q與點(diǎn)B不重合.(1)求橢圓C的離心率;(2)當(dāng)S△OPQ=2時(shí),求橢圓C的方程;(3)過(guò)原點(diǎn)O作直線l的垂線,垂足為N.若|PN|=λ|BQ|,求λ的值.考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系解析(1)∵a2=3m,b2=m,∴c2=2m,e2=

=

,∵e∈(0,1),∴e=

.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).由

得到4x2-12x+12-3m=0,依題意,得Δ=(-12)2-4×4×(12-3m)>0,解得m>1.且有

|PQ|=

|x1-x2|=

×

=

×

,原點(diǎn)到直線l的距離d=

.所以S△OPQ=

|PQ|·d=

×

×

×

=2,解得m=

>1,故橢圓方程為

+

=1.(3)直線l的垂線為ON所在直線:y=x,由

解得交點(diǎn)N(1,1),因?yàn)閨PN|=λ|BQ|,又x1+x2=3,所以λ=

=

=

=1,故λ的值為1.方法技巧(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題,其常規(guī)思路是先把直線方

程與橢圓方程聯(lián)立,消元,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)

問(wèn)題,涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡(jiǎn)單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=

=

(k為直線斜率,k≠0).提醒:利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行

的,不要忽略判別式.3-1

(2017北京通州期末)已知橢圓C1,C2均為中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上