2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題第1章直線與方程綜合能力測試

第1章直線與方程綜合能力測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于直線的斜率為，傾斜角范圍是所以傾斜角為.故選：D2．不論k為任何實數(shù)，直線恒過定點，則這個定點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線即，根據(jù)的任意性可得，解得，不論取什么實數(shù)時，直線都經(jīng)過一個定點．故選：B3．已知直線過，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因為，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.4．如圖，若直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解析設(shè)直線的傾斜角分別為，則由圖知，所以，即．故選：A5．設(shè)點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如圖所示：依題意，，要想直線l過點且與線段AB相交，則或，故選：A6．已知三條直線為，則下列結(jié)論中正確的一個是（

）A．三條直線的傾斜角之和為B．三條直線在y軸上的截距滿足C．三條直線的傾斜角滿足D．三條直線在x軸上的截距之和為．【答案】C【解析】設(shè)三條直線的傾斜角，且則，所以所以，且為銳角，所以三條直線的傾斜角之和大于，故A不正確；對于直線，令，得縱截距，同理，所以，故B不正確；由于，且為銳角，所以，由，故，故C正確；直線在x軸上的截距分別為，截距之和為，故D不正確.故選：C.7．設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A8．在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，故直線的方程為，又由，，，則的重心為，設(shè)，其中，點關(guān)于直線的對稱點，則有，解得，即，易得關(guān)于軸的對稱點，由光的反射原理可知，，，四點共成直線的斜率，故直線的方程為，由于直線過的重心，代入化簡可得，解得：或舍，即，故，故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知直線，其中，下列說法正確的是（

）.A．若直線與直線平行，則B．當(dāng)時，直線與直線垂直C．當(dāng)時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等D．直線過定點【答案】BD【解析】對于A，直線與直線平行，則，即，解得或，A錯誤；對于B，當(dāng)時，直線為，直線與斜率之積為，此時直線與直線垂直，B正確；對于C，當(dāng)時，為，直線在x軸上截距為，在y軸上截距為1，二者不相等，C錯誤；對于D，即，由于，令，則，即直線過定點，D正確，故選：BD10．已知點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】由斜率公式知，，，，且四點不共線，則，A選項正確；，，B選項正確；，，C選項正確；，，，，D選項正確．故選：ABCD．11．下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線與直線平行，則它們的距離為B．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為C．原點到直線的距離的最大值為D．直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為【答案】BC【解析】對于A，直線與直線平行，顯然，所以，且，解得，故兩條平行直線即為直線與直線，則它們之間的距離為，所以A不正確；對于B，假設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得，，即點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，故B正確；對于C，由，得，由，得，故直線過定點，所以原點到直線的距離的最大值為，故C正確；對于D，令，得，令，得，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故D不正確.故選：BC．12．對于兩點，，定義一種“距離”：，則（

）A．若點C是線段AB的中點，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【解析】A中，若點C是線段AB的中點，則點C坐標(biāo)為，則，故A正確；B中，因為中，若，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對于C，設(shè)，則，因為，同理，所以，故C正確;D中，因為ABCD為正方形，設(shè)正方形邊長為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過直線與的交點，且垂直于直線的直線的斜截式方程為.【答案】【解析】由方程組，解得，即直線與的交點為，因為所求直線垂直于直線，所以其斜率為，則直線方程為，所以直線的斜截式方程為.故答案為：14．已知斜率為2的直線l與x軸交于點A，直線l繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的斜率為．【答案】【解析】設(shè)直線l，的傾斜角分別為，，則，因為直線l繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到直線，所以，所以直線的斜率為．故答案為：.15．若動點，分別在直線和直線上移動，求線段的中點到原點的距離的最小值為．【答案】【解析】由題意線段的中點的集合為與直線和直線距離相等的直線，記為，則到原點距離最小值為原點到的距離，設(shè)直線，則，解得，所以，根據(jù)點到直線的距離公式可得，到原點的距離的最小值為．故答案為：．16．設(shè)，為直線l上的兩個不同的點，則，我們把向量及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量．當(dāng)直線l與x軸不垂直時，（其中叫做直線l的斜率）也是直線l的一個方向向量．如果直線l經(jīng)過點，且它的一個方向向量是，則直線l上任意一點的坐標(biāo)x，y滿足的關(guān)系式為．【答案】【解析】由題意知，，因為方向向量是，所以即，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是，且經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點兩點；(3)在x軸，y軸上的截距分別為；(4)經(jīng)過點，且平行于x軸．(5)求過點，斜率是3的直線方程.(6)求經(jīng)過點，且在軸上截距為2的直線方程.【解析】（1）由點斜式得直線方程為，即.（2）由兩點式得直線方程為，即.（3）由截距式得直線方程為，即.（4）因為平行于x軸，所以直線的斜率為0，又因為直線過點，所以直線方程為：（5）由點斜式得直線方程為，即.（6）由題意可知該直線斜率存在，又因為直線在y軸上截距為2，所以可設(shè)直線方程為，又因為該直線過點，則，解得，所以直線方程為.18．（12分）已知三個頂點是.(1)求邊中線所在直線方程；(2)求邊上的高線所在方程；【解析】（1）因為線段的中點，即，又，因此直線的橫縱截距均為2，其方程為：，即，所以邊中線所在直線方程為；（2）因為直線的斜率：，所以邊上的高線的斜率：，又，所以邊上的高線所在方程為：，即.19．（12分）已知直線（）交軸正半軸于，交軸正半軸于．(1)為坐標(biāo)原點，求的面積最小時直線的方程；(2)設(shè)點是直線經(jīng)過的定點，求的值最小時直線的方程．【解析】（1）作圖可知．因為直線的方程為，令，，所以，令，，所以，所以，所以．因為，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積最小時，直線的方程為．（2）因為直線的方程可化為，所以直線經(jīng)過的定點，所以所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的值最小時，直線的方程為．20．（12分）（1）求函數(shù)的最小值．（2）過點作直線，使它被兩條相交直線和所截得的線段恰好被點平分，求直線的方程．【解析】（1）由，表示x軸上點到兩點的距離之和，又關(guān)于x軸對稱點為，顯然，如上圖，，僅當(dāng)與原點重合時等號成立，所以函數(shù)最小值為.（2）若直線與和分別交于，則是的中點，故，即，可得，所以，則，故直線的方程為，即.21．（12分）在中，已知點(1)在邊上是否存在一點，使，若存在，求的值；若不存在，說明理由(2)求的面積.【解析】（1）,的斜率為：,,所以的斜率為：,所以的方程為：,的方程,,解,,,（2）的面積：22．（12分）如圖，是一張三角形紙片，，設(shè)直線與邊分別交于點，將沿直線折疊后，點落在邊上的點處．

(1)若，求點到的距離；(2)設(shè)，求點到距離的最大值．【解析】（1）依題意，以為原點，直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，顯然點，直線的方程為，即，直線的斜率，而