3.8.1正多邊形和圓

正多邊形和圓（2015?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．2， B．2，π C．， D．2，【考點(diǎn)】正多邊形和圓；弧長的計(jì)算．【專題】壓軸題．【分析】正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出OM，再利用弧長公式求解即可．【解答】解：連接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==π，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓以及弧長的計(jì)算，將扇形的弧長公式與多邊形的性質(zhì)相結(jié)合，構(gòu)思巧妙，利用了正六邊形的性質(zhì)，是一道好題．（2015?金華）如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】首先設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，根據(jù)AO是∠EAF的平分線，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判斷出OI、CI的關(guān)系，再根據(jù)GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．【解答】解：如圖，連接AC、BD、OF，，設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，∵AO是∠EAF的平分線，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r?sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即則的值是．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形與圓的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確正多邊形的有關(guān)概念：①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．（2015?威海）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】連結(jié)OE1，OD1，OD2，如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得∠E1OD1=60°，則△E1OD1為等邊三角形，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六邊形的邊長等于它的半徑得到正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=×2，同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=（）2×2，依此規(guī)律可得正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長=（）9×2，然后化簡即可．【解答】解：連結(jié)OE1，OD1，OD2，如圖，∵六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1為等邊三角形，∵正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=×2，同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=（）2×2，則正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長=（）9×2=．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．記住正六邊形的邊長等于它的半徑．（2015?肥城市一模）如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個(gè)扳手的開口a的值應(yīng)是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】連接AC，作BD⊥AC于D；根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)求出∠ABC的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長，進(jìn)而可求出AC的長．【解答】解：連接AC，過B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD==60°，∴∠BAD=30°，AD=AB?cos30°=2×=，∴a=2cm．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)等腰三角形及正六邊形的性質(zhì)求解．（2014?義烏市）一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式分別剪成一個(gè)正方形，邊長都為1，則扇形和圓形紙板的面積比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【考點(diǎn)】正多邊形和圓；勾股定理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先畫出圖形，分別求出扇形和圓的半徑，再根據(jù)面積公式求出面積，最后求出比值即可．【解答】解：如圖1，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD==，∴扇形的面積是=π；如圖2，連接MB、MC，∵四邊形ABCD是⊙M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=，∴⊙M的面積是π×（）2=π，∴扇形和圓形紙板的面積比是π÷（π）=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，扇形的面積公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出扇形和圓的面積，題目比較好，難度適中．（2014?安徽模擬）如圖，把正△ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A與劣弧BC的中點(diǎn)M重合，折痕分別交AB、AC于D、E，若BC=5，則線段DE的長為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】連接AM、OB，則其交點(diǎn)O即為此圓的圓心，根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知，∠OBC=∠OAD=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OB的長；在Rt△AOD中，進(jìn)而可依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出OD的長，由垂徑定理得出DE的長即可．【解答】解：連接AM、OB，則其交點(diǎn)O即為此圓的圓心；∵△ABC是正三角形，∴∠OBC=∠OAD=30°，DE∥BC，在Rt△OBF中，BF=BC=×5=，∴OB===，∴OA=OB=；在Rt△AOD中，∠DAO=30°，∴OD=OA?tan30°=×=，∴DE=2OD=2×=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正三角形的性質(zhì)、垂徑定理，綜合性較強(qiáng)，但難度適中．（2013?自貢）如圖，點(diǎn)O是正六邊形的對(duì)稱中心，如果用一副三角板的角，借助點(diǎn)O（使該角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)O處），把這個(gè)正六邊形的面積n等分，那么n的所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即讓周角除以30的倍數(shù)就可以解決問題．【解答】解：360°÷30°=12；360°÷60°=6；360°÷90°=4；360°÷120°=3；360°÷180°=2．因此n的所有可能的值共5種情況，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，只需讓周角除以30°的倍數(shù)即可．（2012?咸寧）如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的切點(diǎn)，連接OG，則OG⊥AB，OG=OA?sin60°，再根據(jù)S陰影=S△OAB﹣S扇形OMN，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的切點(diǎn)，連接OG，則OG⊥AB，∴OG=OA?sin60°=2×=，∴S陰影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．（2012?吳中區(qū)三模）如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P沿直線AB從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)：點(diǎn)P與正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)中的至少兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（）A．9個(gè) B．10個(gè) C．11個(gè) D．12個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等腰三角形的判定．【專題】壓軸題．【分析】先根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，判斷出此六邊形中相互平行的邊及對(duì)角線，當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)確定不同的點(diǎn)，再利用當(dāng)P為底邊上的一點(diǎn)時(shí)，利用等腰三角形性質(zhì)得出所有點(diǎn)即可．【解答】解：DC延長線上，EF延長線上，A點(diǎn)，B點(diǎn)，還有AB中點(diǎn)，共五個(gè)，BD=BP，F(xiàn)B=BP，EB=BP，AC=AP，DA=AP，EA=AP，共6個(gè)，綜上所述：故直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有：5+6=11個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正多邊形和圓的知識(shí)以及垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是利用P點(diǎn)為頂點(diǎn)或底邊上的點(diǎn)進(jìn)行分析得出即可．（2012?無錫模擬）如圖，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論正確的有（）①弦AB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長；②弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長；③=；④∠BAC=30°．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；垂徑定理．【專題】壓軸題；探究型．【分析】分別根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形、正三角形及正十二邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，∴弦AB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長，故①正確；∵OC⊥AB，∴AC=BC，∴=，故③正確；∴弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長，故②正確；∵∠ACB是圓內(nèi)接正十二邊形的內(nèi)角，∴∠ACB==150°，∴∠ACO=∠ACB=×150°=75°，在△AOC中，∵∠AOC=30°，∠OAB=60°，∠ACO=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ACO﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣75°﹣30°﹣60°=15°，故④錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓及垂徑定理，熟知圓的內(nèi)接正六邊形、正三角形、正十二邊形的性質(zhì)及垂徑定理是解答此題的關(guān)鍵．（2011?德州）一個(gè)平面封閉圖形內(nèi)（含邊界）任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑之比稱為圖形的“周率”，下面四個(gè)平面圖形（依次為正三角形、正方形、正六邊形、圓）的周率從左到右依次記為a1，a2，a3，a4，則下列關(guān)系中正確的是（）A．a(chǎn)4＞a2＞a1 B．a(chǎn)4＞a3＞a2 C．a(chǎn)1＞a2＞a3 D．a(chǎn)2＞a3＞a4【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】設(shè)等邊三角形的邊長是a，求出等邊三角形的周長，即可求出等邊三角形的周率a1；設(shè)正方形的邊長是x，根據(jù)勾股定理求出對(duì)角線的長，即可求出周率；設(shè)正六邊形的邊長是b，過F作FQ∥AB交BE于Q，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)求出直徑，即可求出正六邊形的周率a3；求出圓的周長和直徑即可求出圓的周率，比較即可得到答案．【解答】解：設(shè)等邊三角形的邊長是a，則等邊三角形的周率a1==3設(shè)正方形的邊長是x，由勾股定理得：對(duì)角線是x，則正方形的周率是a2==2≈2.828，設(shè)正六邊形的邊長是b，過F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四邊形ABQF和等邊三角形EFQ，直徑是b+b=2b，∴正六邊形的周率是a3==3，圓的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)正多邊形與圓，多邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，理解題意并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．（2011?臺(tái)灣）如圖的坐標(biāo)平面上有一正五邊形ABCDE，其中C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0）、（2，0）．若在沒有滑動(dòng)的情況下，將此正五邊形沿著x軸向右滾動(dòng)，則滾動(dòng)過程中，下列何者會(huì)經(jīng)過點(diǎn)（75，0）（）A．A B．B C．C D．D【考點(diǎn)】正多邊形和圓；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)點(diǎn)（75，0）的橫坐標(biāo)是5的倍數(shù)，而該正五邊形滾動(dòng)5次正好一周，由此可知經(jīng)過（5，0）的點(diǎn)經(jīng)過（75，0），找到經(jīng)過（5，0）的點(diǎn)即可．【解答】解：∵C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0）、（2，0）．∴按題中滾動(dòng)方法點(diǎn)E經(jīng)過點(diǎn)（3，0），點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)（4，0），點(diǎn)B經(jīng)過點(diǎn)（5，0），∵點(diǎn)（75，0）的橫坐標(biāo)是5的倍數(shù)，而該正五邊形滾動(dòng)5次正好一周，∴可知經(jīng)過（5，0）的點(diǎn)經(jīng)過（75，0），∴點(diǎn)B經(jīng)過點(diǎn)（75，0）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解正五邊形滾動(dòng)5次正好一個(gè)輪回，并由此判斷經(jīng)過點(diǎn)（75，0）的點(diǎn)就是經(jīng)過（5，0）的點(diǎn)．（2011?新華區(qū)一模）如圖所示，菱形花壇ABCD的邊長為6m，∠B=60°，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圓形部分種花，則種花部分的圓形的周長（粗線部分）為（）A．12m B．20m C．22m D．24m【考點(diǎn)】正多邊形和圓；菱形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】因?yàn)檎呅斡幸粋€(gè)公共邊，所以其周長應(yīng)為兩個(gè)周長之和減去公共邊的長．【解答】解：如圖，邊長為6，所以AF=GF=BG=2，可得正六邊形的邊長為2，又正六邊形有一個(gè)公共邊OE，所以可得兩個(gè)六邊形的周長為6×2+6×2﹣4=20，∴可得種花部分的圖形周長為20m．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，會(huì)求解一些簡單的計(jì)算問題．（2011?黃州區(qū)校級(jí)二模）如圖，BC是⊙A的內(nèi)接正十邊形的一邊，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論正確的有（）①BC=BD=AD；②BC2=DC?AC；③AB=2AD；④BC=AC．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先易證△ABC∽△BCD，再利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：①BC是⊙A的內(nèi)接正十邊形的一邊由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，∴BC=BD，∴BC=BD=AD，正確；②易證△ABC∽△BCD，∴，又AB=AC，故②正確，根據(jù)AD=BD=BC即解得BC=AC，故④正確，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2010?南平）如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P沿直線AB從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)中的至少兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等腰三角形的判定；平行線分線段成比例．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】先根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，判斷出此六邊形中相互平行的邊及對(duì)角線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)確定不同的點(diǎn)即可．【解答】解：如圖，分別以一頂點(diǎn)為定點(diǎn)，連接其與另一頂點(diǎn)的連線，在此圖形中根據(jù)平行線分線段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及正六邊形的性質(zhì)可知，相互平行的一組線段的垂直平分線相等，在這五組平行線段中，AE、BD與AB垂直，其中垂線必與AB平行，故無交點(diǎn)．故直線AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分線與直線AB的交點(diǎn)，共五個(gè)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是找出圖中相互平行的線段．（2010?長沙）如圖，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．弦AB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長B．弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長C．D．∠BAC=30°【考點(diǎn)】正多邊形和圓；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和圓的相關(guān)概念對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析．【解答】解：A、因?yàn)镺A=OB，OA=AB，所以O(shè)A=OB=AB，所以△ABO為等邊三角形，∠AOB=60°，以AB為一邊可構(gòu)成正六邊形，故A正確；B、因?yàn)镺C⊥AB，根據(jù)垂徑定理可知，=；再根據(jù)A中結(jié)論，弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長，故B正確；C、根據(jù)垂徑定理，=，故C正確；D、根據(jù)圓周角定理，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正多邊形和圓的計(jì)算問題，屬于常規(guī)題，要注意圓周角定理的應(yīng)用．（2010?萊蕪）一個(gè)邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)正多邊形的半徑是（）A．2 B． C．1 D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；多邊形內(nèi)角與外角．【專題】壓軸題．【分析】先判斷出多邊形的邊數(shù)，再求多邊形的半徑．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n．因?yàn)檎噙呅蝺?nèi)角和為（n﹣2）?180°，正多邊形外角和為360°，根據(jù)題意得：（n﹣2）?180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多邊形為6邊形．邊長為2的正六邊形可以分成六個(gè)邊長為2的正三角形，所以正多邊形的半徑等于2，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力，要注意利用特殊角的正多邊形，以簡化計(jì)算．（2009?來賓）如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓圓周上，四條邊與小圓都相切，AB，CD過圓心O，且AB⊥CD，則圖中陰影部分的面積是（）A．4π B．2π C．π D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】由于圓是中心對(duì)稱圖形，則陰影部分的面積等于大圓的四分之一，即可求解．【解答】解：由于圓是中心對(duì)稱圖形，則陰影部分的面積等于大圓的四分之一．故陰影部分的面積=×π×4=π．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓是中心對(duì)稱圖形，圓面積公式求解．（2008?蕪湖）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（）A．cm B．9cm C．cm D．cm【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】已知小正方形的面積即可求得邊長，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，圓心為A，設(shè)大正方形的邊長為2x，圓的半徑為R，∵正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半圓上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在圓心兩側(cè)，∴AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面積為16cm2，∴小正方形的邊長EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4，∴R=cm．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了勾股定理，正方形的性質(zhì)求解．（2008?安順）如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】作輔助線連接OD，根據(jù)題意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行關(guān)系求出∠AOP度數(shù)，即可求出∠AOQ的度數(shù)．【解答】解：連接OD，AR，∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠PRQ=60°，∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，∴△AOD為等腰直角三角形，∴∠AOD=90°，∵BC∥RQ，AD∥BC，∴AD∥QR，∴∠ARQ=∠DAR，∴弧AQ=弧DR，∵△PQR是等邊三角形，∴PQ=PR，∴弧PQ=弧PR，∴弧AP=弧PD，∴∠AOP=∠AOD=45°，所以∠AOQ=∠POQ﹣∠AOP=120°﹣45°=75°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用中心角求解．（2008?咸寧）下列說法：①對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形；②計(jì)算|2﹣|的結(jié)果為1；③正六邊形的中心角為60°；④函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是x≥3．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；二次根式有意義的條件；二次根式的性質(zhì)與化簡；函數(shù)自變量的取值范圍；菱形的判定．【專題】壓軸題．【分析】結(jié)合菱形的對(duì)角線性質(zhì)、絕對(duì)值的特點(diǎn)，正六邊形的中心角和二次根式的意義和性質(zhì)進(jìn)行選擇．【解答】解：①因?yàn)閷?duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是菱形，故錯(cuò)；②計(jì)算|2﹣|=|2﹣3|=1，故正確；③正六邊形的中心角為60°，正確；④函數(shù)y=中x﹣3≥0，所以自變量x的取值范圍是x≥3，正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．當(dāng)二次根式在分母上時(shí)還要考慮分母不等于零，此時(shí)被開方數(shù)＞0．（2006?永州）如圖，在半徑為R的圓內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正方形，然后作這個(gè)正方形的內(nèi)切圓，又在這個(gè)內(nèi)切圓中作內(nèi)接正方形，依此作到第n個(gè)內(nèi)切圓，它的半徑是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先求出第一個(gè)的半徑，再求第二個(gè)，從中找出規(guī)律利用規(guī)律計(jì)算．【解答】解：∵第一個(gè)的半徑是R，△AOC是等腰直角三角形，∴OC=OA=R，第二個(gè)的半徑是R，同理，第三個(gè)的半徑是（）2R，∴依此類推得到第n個(gè)圓，它的半徑是．∵第n個(gè)內(nèi)切圓恰好是第n+1個(gè)圓，∴第n個(gè)內(nèi)切圓，它的半徑是．故選A．【點(diǎn)評(píng)】注意到正方形的相似性，是解決本題的關(guān)鍵．（2006?河南）某公園的兩個(gè)花圃，面積相等，形狀分別為正三角形和正六邊形，已知正三角形花圃的周長為50米，則正六邊形花圃的周長（）A．大于50米 B．等于50米 C．小于50米 D．無法確定【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠O=．OC是邊心距，OA即半徑．根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【解答】解：正三角形花圃的周長為50米，則邊長為；正三角形的面積=×sin60°×（）2=，則正六邊形的面積也為，它由六個(gè)小的等邊三角形組成．設(shè)它的邊長為R，則有=6××sin60°×R2，∴R=，正六邊形的周長=．∵＜50，∴正六邊形花圃的周長小于50米．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了正六邊形和等邊三角形的性質(zhì)和面積公式求解．（2006?雨花區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，把正△ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A與劣弧的中點(diǎn)M重合，若BC=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE的長為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】AM與DE交于點(diǎn)F，則F是△ABC的內(nèi)心，同時(shí)又是重心，依據(jù)重心的性質(zhì)即可得出AF與AS的比值；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．【解答】解：如圖，連接AM，與DE、BC分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)S，則點(diǎn)F是圓心，又是三角形的內(nèi)心；∵點(diǎn)S是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，則有DE∥BC，∴AF：AS=DE：BC=2：3，∴DE=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓的內(nèi)接正三角形的內(nèi)心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離是等邊三角形高的的性質(zhì)，進(jìn)行求解．（2003?肇慶）已知正方形的邊長為a，其內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R：a=（）A．1：1： B．1：：2 C．1：：1 D．：2：4【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過圓心O作正方形一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠O=45°．OC是邊心距r，OA即半徑R．根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【解答】解：作出正方形的邊心距，連接正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和中心可得到一直角三角形．在中心的直角三角形的角為360°÷4÷2=45°，∴內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑為，∴r：R：a=1：：2．故選B．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把半徑和邊心距用邊長表示出來．（2003?寧波）如圖，八邊形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=cm，則這個(gè)八邊形的面積等于（）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．14cm2【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】延長四條不相鄰的邊，就可得到正方形，正方形的面積以四個(gè)直角三角形的面積的差，即為所求．【解答】解：延長AB、DC交于M點(diǎn)，延長CD、FE交于N點(diǎn)，延長EF、HG交于P點(diǎn)，延長GH、BA交于Q點(diǎn)，則MNPQ是矩形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均為等腰直角三角形．這個(gè)八邊形的面積等于=矩形面積﹣4個(gè)小三角形的面積=3×3﹣4×1×1÷2=7．故選A．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵根據(jù)所給條件把八邊形補(bǔ)成正方形．（2003?河南）已知：如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB=4，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF的延長線交⊙O于點(diǎn)E，則AE的長是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；相交弦定理．【專題】壓軸題．【分析】依據(jù)勾股定理可得AF的長，再根據(jù)相交弦定理可以求得FE的長，即可得到AE的長．【解答】解：連接CE，由相交弦定理知，AF?EF=BF?CF=4，由勾股定理得，AF=2，∴FE=，AE=AF+EF=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相交弦定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的性質(zhì)求解．（2002?泉州）先作半徑為的圓的內(nèi)接正方形，接著作上述內(nèi)接正方形的內(nèi)切圓，再作上述內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形，…，則按以上規(guī)律作出的第7個(gè)圓的內(nèi)接正方形的邊長為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】依次計(jì)算出第一個(gè)，第二個(gè)，第三個(gè)正方形的邊長，得到規(guī)律，即可求得．【解答】解：由于圓內(nèi)接正方形的邊長與圓的半徑的比為，內(nèi)接正方形的內(nèi)切圓的半徑與正方形的邊長的比為，即這樣做一次后，圓的內(nèi)接正方形的邊長為×=1；做第二次后的正方形的邊長為；依此類推可得：第n個(gè)正方形的邊長是（）n﹣1，則做第7次后的圓的內(nèi)接正方形的邊長為．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接（外切）正方形的邊長與圓的半徑的關(guān)系，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（2002?常州）半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（）A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形可得．【解答】解：設(shè)圓的半徑是r，則多邊形的半徑是r，則內(nèi)接正三角形的邊長是2rsin60°=r，內(nèi)接正方形的邊長是2rsin45°=r，正六邊形的邊長是r，因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為：：1．故選B．【點(diǎn)評(píng)】正多邊形的計(jì)算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．（2002?上海）下列命題中，正確的是（）A．正多邊形都是軸對(duì)稱圖形B．正多邊形一個(gè)內(nèi)角的大小與邊數(shù)成正比例C．正多邊形一個(gè)外角的大小隨邊數(shù)的增加而增大D．邊數(shù)＞3的正多邊形的對(duì)角線長都相等【考點(diǎn)】正多邊形和圓；命題與定理．【專題】壓軸題．【分析】依據(jù)正多邊形的性質(zhì)，以及正多邊形的內(nèi)角和．外角和的計(jì)算方法即可求解．【解答】解：A、所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，故正確；B、正多邊形一個(gè)內(nèi)角的大小=，不符合正比例的關(guān)系式，故錯(cuò)誤；C、正多邊形的外角和為360°，每個(gè)外角=，隨著n的增大，度數(shù)將變小，故錯(cuò)誤；D、正六邊形的對(duì)角線就不相等，故錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的一些性質(zhì)，注意使用反例推翻．（2002?漳州）同圓的外切正四邊形與內(nèi)接正四邊形的邊長之比是（）A．：1 B．：1 C．2：1 D．3：1【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠O=．OC是邊心距，OA即半徑．根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【解答】解：圓的外切正四邊形的邊長是圓的半徑的2倍，圓的內(nèi)接正四邊形的邊長是圓的半徑的倍，所以同圓的外切正四邊形與內(nèi)接正四邊形的邊長之比：1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的外切正四邊形的邊長與圓的半徑的關(guān)系和圓的內(nèi)接正四邊形的邊長與圓的半徑的關(guān)系．（2002?山西）如圖，BC是⊙A的內(nèi)接正十邊形的一邊，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不成立的是（）A．BC=BD=AD B．BC2=DC?ACC．△ABC的三邊之長為1：1： D．BC=AC【考點(diǎn)】正多邊形和圓；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】先易證△ABC∽△BCD，再利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：BC是⊙A的內(nèi)接正十邊形的一邊因而∠A=36°因而∠ABC=72°易證△ABC∽△BCD∴，又AB=AC，故B正確，根據(jù)AD=BD=BC即解得BC=AC，故D正確，因而△ABC的三邊之長為1：1：，故C正確，A不能確定故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2002?昆明）如圖，正六邊形ABCDEF中，陰影部分面積為12cm2，則此正六邊形的邊長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】陰影部分的面積是正六邊形的面積與正三角形面積的差，這兩個(gè)正多邊形有共同的半徑，可以設(shè)半徑是R，根據(jù)陰影部分面積為12cm2，就可得到關(guān)于R的方程，從而解得R的值．【解答】解：由正六邊形可分成六個(gè)全等的等邊三角形，則陰影部分的面積與中間的正三角形的面積相等，即陰影部分的面積為正六邊形的面積的一半．設(shè)邊長為R，所以有6××R2×sin60°=2×2，∴R=4cm．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，明白陰影部分的面積是正六邊形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．（2002?益陽）已知圓內(nèi)接正六邊形的邊長為a，半徑為R，邊心距為r，則a：R：r=（）A．1：1： B．2：2： C．1：2：3 D．1：2：【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠O=．OC是邊心距r，OA即半徑R．AB=2AC=a．根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【解答】解：圓內(nèi)接正六邊形可分成六個(gè)全等的等邊三角形，這樣的等邊三角形的邊長與原正六邊形的邊長相等，等邊三角形的高與正六邊形的邊心距相等，等邊三角形的高是它的邊長的倍，所以a：R：r=2：2：．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的邊長，半徑，邊心距的關(guān)系．（2001?南京）1996年版人民幣一角硬幣正面圖案中有一個(gè)正九邊形，如果這個(gè)正九邊形的半徑是R，那么它的邊長是（）A．Rsin20° B．Rsin40° C．2Rsin20° D．2Rsin40°【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】經(jīng)過正九邊形的中心O作邊AB的垂線OC，構(gòu)建直角三角形解三角形即可．【解答】解：經(jīng)過正九邊形的中心O作邊AB的垂線OC，則∠O=20°，在直角△OBC中，根據(jù)三角函數(shù)得到BC=OBsin20°=2Rsin20°．∴邊長AB=2Rsin20°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】正多邊形的計(jì)算一般要經(jīng)過中心作邊的垂線，并連接中心與一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，把正多邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．（2000?山東）如圖，正五邊形ABCDE中，若對(duì)角線AC=6，則正五邊形的邊長為（）A．﹣3+3 B．﹣4+4 C．﹣5+5 D．﹣6+6【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】連接AD，根據(jù)正五邊形的特點(diǎn)求出△ABC≌△AED，△ACD為等腰三角形，作∠ACD的平分線，交AD于F；根據(jù)△ACD與△CDF各角的度數(shù)可求出△FCD∽△CAD，根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．【解答】解：連接AD；∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=∠BAE==108°，AB=BC，∴∠BAC=∠ACB==36°，同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，∴△ABC≌△AED，AC=AD；∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，∴∠CAD=108°﹣36°﹣36°=36°，∴∠ACD=∠ADC=72°；作∠ACD的平分線，交AD于F，根據(jù)題意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，∴△FCD∽△CAD，∴設(shè)CD=x，則=，即=，∴x=﹣3+3．【點(diǎn)評(píng)】此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是熟知正五邊形的特點(diǎn)，及全等、相似三角形的判定定理及性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出相應(yīng)的三角形．（1999?武漢）給出下列四個(gè)判斷：（1）線段是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸；（2）各邊相等的圓外切多邊形是正多方形；（3）一組對(duì)邊相等，一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形；（4）已知方程ax2+bx+c=0中，a、b、c是實(shí)數(shù)，且b2﹣4ac＞0，那么這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中不正確的判斷有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；根的判別式；平行四邊形的判定；軸對(duì)稱圖形．【專題】壓軸題．【分析】需要根據(jù)相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，全面考慮，列舉反例，逐一判斷．【解答】解：（1）線段有兩條對(duì)稱軸，即：線段的垂直平分線，線段所在的直線，故（1）錯(cuò)誤；（2）圓外切菱形各邊相等，但菱形不是正多邊形，故（2）錯(cuò)誤；（3）根據(jù)題意，所給條件為“SSA”，不能判斷三角形全等，不能確定為平行四邊形，故（3）錯(cuò)誤；（4）先確定a≠0，才能用一元二次方程的判別式，故（4）錯(cuò)誤；不正確的判斷有四個(gè)，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題涉及知識(shí)面廣，考查了學(xué)生全面掌握知識(shí)的能力．（1998?廣東）以半徑為1的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則（）A．不能構(gòu)成三角形 B．這個(gè)三角形是等腰三角形C．這個(gè)三角形是直角三角形 D．這個(gè)三角形是鈍角三角形【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】由于內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形是特殊內(nèi)角的多邊形，可構(gòu)造直角三角形解答．【解答】解：（1）因?yàn)镺C=1，所以O(shè)D=1×sin30°=；（2）因?yàn)镺B=1，所以O(shè)E=1×sin45°=；（3）因?yàn)镺A=1，所以O(shè)D=1×cos30°=．因?yàn)椋ǎ?+（）2=（）2，所以這個(gè)三角形是直角三角形．故選C【點(diǎn)評(píng)】解答此題要明確：多邊形的半徑、邊心距、中心角等概念，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)解答．（1998?天津）下列說法不正確的是（）A．三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)B．每條邊都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形C．垂直于半徑的直線是圓的切線D．有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形有相同的外接圓【考點(diǎn)】正多邊形和圓；三角形的外接圓與外心；切線的判定；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及正多邊形的性質(zhì)和切線的判定分別分析得出即可．【解答】解：A、三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得出，此命題正確，不符合題意；B、每條邊都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，根據(jù)圓內(nèi)接圓的性質(zhì)以及正多邊形的性質(zhì)得出，此命題正確，不符合題意；C、垂直于半徑并且經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、根據(jù)直角三角形斜邊即為外接圓的直徑，此命題正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)心以及直角三角形的外接圓等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．（1997?南京）如圖，正六邊形的螺帽的邊長為a，這個(gè)搬手的開口b最小應(yīng)是（用含a的代數(shù)式表示）（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】首先取此正六邊形的中心O，連接OC，OD，過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H，易求得OH的長，繼而求得這個(gè)搬手的開口b最小值．【解答】解：取此正六邊形的中心O，連接OC，OD，過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H，則∠COD=60°，∴∠COH=∠COD=30°，CH=DH=CD=a，∴OC=2CH=a，在Rt△OCH中，OH==a，∴b=2OH=a．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正多邊形與圓的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1997?吉林）下列語句中，正確的個(gè)數(shù)為（）①在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，則sinA=sinB．②圓內(nèi)接正六邊形的邊長等于它的半徑長．③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．④兩個(gè)等腰三角形相似．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】正多邊形和圓；直角三角形斜邊上的中線；相似三角形的判定；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定以及圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，求解即可求得答案．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，則sinA=cosB．故①錯(cuò)誤；②圓內(nèi)接正六邊形的邊長等于它的半徑長．正確；③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確；④兩個(gè)等腰三角形不一定相似（頂角不一定相等），故④錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定以及圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)．注意熟記定義與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（2014?鄄城縣模擬）如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一圓環(huán)還需7個(gè)五邊形．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】延長正五邊形的相鄰兩邊交于圓心，求得該圓心角的度數(shù)后，用360°除以該圓心角的度數(shù)即可得到正五邊形的個(gè)數(shù)，減去3后即可得到本題答案．【解答】解：延長正五邊形的相鄰兩邊，交于圓心，∵正五邊形的外角等于360°÷5=72°，∴延長正五邊形的相鄰兩邊圍成的角的度數(shù)為：180°﹣72°﹣72°=36°，∴360°÷36°=10，∴排成圓環(huán)需要10個(gè)正五邊形，故排成圓環(huán)還需7個(gè)五邊形．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正五邊形與圓的有關(guān)運(yùn)算，屬于層次較低的題目，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造圓心角．（2014?煙臺(tái)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為4，則陰影部分的面積等于π．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算．【專題】壓軸題．【分析】先正確作輔助線，構(gòu)造扇形和等邊三角形、直角三角形，分別求出兩個(gè)弓形的面積和兩個(gè)三角形面積，即可求出陰影部分的面積．【解答】解：連接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，過O作OZ⊥CD于Z，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂徑定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，F(xiàn)N=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB?cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面積是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面積是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等邊三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，∴陰影部分的面積是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓及扇形的面積的計(jì)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)弓形和兩個(gè)三角形面積，題目比較好，難度適中．（2013?福州）如圖，由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成網(wǎng)格，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知每個(gè)正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC的面積是2．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】延長AB，然后作出過點(diǎn)C與格點(diǎn)所在的直線，一定交于格點(diǎn)E，根據(jù)S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．【解答】解：延長AB，然后作出過點(diǎn)C與格點(diǎn)所在的直線，一定交于格點(diǎn)E．正六邊形的邊長為1，則半徑是1，則CE=4，中間間隔一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是：，則△BCE的邊EC上的高是：，△ACE邊EC上的高是：，則S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．故答案是：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的計(jì)算，正確理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是關(guān)鍵．（2013?齊齊哈爾）如圖，蜂巢的橫截面由正六邊形組成，且能無限無縫隙拼接，稱橫截面圖形由全等正多邊形組成，且能無限無縫隙拼接的多邊形具有同形結(jié)構(gòu)．若已知具有同形結(jié)構(gòu)的正n邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為α，滿足：360=kα（k為正整數(shù)），多邊形外角和為360°，則k關(guān)于邊數(shù)n的函數(shù)是k=（n=3，4，6）或k=2+（n=3，4，6）（寫出n的取值范圍）【考點(diǎn)】正多邊形和圓；多邊形內(nèi)角與外角．【專題】壓軸題；規(guī)律型；分類討論．【分析】先根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°及正n邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，得出α=，再代入360=kα，即可求出k關(guān)于邊數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)k為正整數(shù)求出n的取值范圍．【解答】解：∵n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°，∴正n邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)α=，∵360=kα，∴k?=360，∴k=．∵k===2+，k為正整數(shù)，∴n﹣2=1，2，±4，∴n=3，4，6，﹣2，又∵n≥3，∴n=3，4，6．即k=（n=3，4，6）．故答案為k=（n=3，4，6）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了n邊形的內(nèi)角和公式，正n邊形的性質(zhì)及分式的變形，根據(jù)正n邊形的性質(zhì)求出k關(guān)于邊數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（2013?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為6的正六邊形ABCDEF的對(duì)稱中心與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，則k的值為．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】壓軸題．【分析】連接OB，過B作BM⊥OA于M，得出等邊三角形AOB，求出OB，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BM和OM，即可得出B的坐標(biāo)，代入即可求出答案．【解答】解：連接OB，過B作BM⊥OA于M，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=6，∴BM=OB?sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB?COS60°=3，即B的坐標(biāo)是（3，3），∵B在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，∴k=3×3=9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出B的坐標(biāo)．（2013?涉縣模擬）如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊長相等，順次連接這六條線段外端點(diǎn)可以得到一個(gè)新的正六邊形，重復(fù)上述過程，經(jīng)過10次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的243倍．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出∠1的度數(shù)，再根據(jù)AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數(shù)，求出AB的長，進(jìn)而可得出，經(jīng)過10次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的倍數(shù)．【解答】解：∵此六邊形是正六邊形，∴∠1=180°﹣120°=60°，∵AD=CD=BC，∴△BCD為等邊三角形，∴BD=AC，∴△ABC是直角三角形又BC=AC，∴∠2=30°，∴AB=BC=CD，同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（）2=3倍，∴經(jīng)過10次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（）10=243倍．故答案為：243．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形內(nèi)角的性質(zhì)及直角三角形的判定定理．（2013?金華模擬）如圖，在正三角形GHT上截得一個(gè)每一個(gè)內(nèi)角都相等、周長為20的六邊形ABCDEF，又AF=4，EF=3，（1）填空：連結(jié)AE，則AE的長為；（2）已知設(shè)AB=x，六邊形ABCDEF的面積為y，則y的最大值為．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）先利用多邊形內(nèi)角和定理求出六邊形ABCDEF的每一個(gè)內(nèi)角都等于120°，則與其相鄰的外角都等于60°，得出△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形，再過點(diǎn)E作EM⊥FG于M，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出FM=FG=，則EM=FM=，然后在Rt△AEM中，利用勾股定理即可求出AE的長；（2）先由等邊三角形的三邊相等得出3+4+x=x+a+b=b+c+3，由六邊形ABCDEF的周長為20，得出a+b+c+x=13，再將式子變形得出b=2x﹣2，然后由y=S△GHT﹣S△ABH﹣S△CDT﹣S△GFE，得出y=﹣（x﹣）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵六邊形ABCDEF的每一個(gè)內(nèi)角都相等，∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，∴∠BAH=∠ABH=∠DCT=∠CDT=∠FEG=∠EFG=60°，∴△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形．過點(diǎn)E作EM⊥FG于M，則FM=FG=EF=，∴EM=FM=．△AEM中，∵∠AME=90°，AM=AF+FM=4+=，EM=，∴AE===；（2）∵三角形GHT為等邊三角形，∴GH=HT=TG，∵△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形，∴3+4+x=x+a+b=b+c+3，∴a+b=7，4+x=b+c，∵六邊形ABCDEF的周長為20，∴a+b+c+x=13，7+c+x=13，∴c+x=6，c=6﹣x，∴b+6﹣x=4+x，b=2x﹣2．∴y=S△GHT﹣S△ABH﹣S△CDT﹣S△GFE=（x+7）2﹣x2﹣（2x﹣2）2﹣×32=﹣x2+x+9=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值．故答案為；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值，多邊形的面積，有一定難度，本題對(duì)式子的變形能力要求也較高，解題關(guān)鍵是證明△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形．（2013?蘇州模擬）如圖1，正六邊形ABCDEF的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正六邊形A1B1C1D1E1F1（如圖2），稱為第一次擴(kuò)展；把正六邊形A1B1C1D1E1F1邊長按原法延長一倍得到正六邊形A2B2C2D2E2F2（如圖3），稱為第二次擴(kuò)展；如此下去…，第n次擴(kuò)展得到正六邊形AnBnCnDnEnFn的面積為3n．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；三角形的面積．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】本題建立在正六邊形背景上，進(jìn)行逐漸的圖形“拓展”變化，進(jìn)而從特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié)拓展后正六邊形面積與原正六邊形面積之間的規(guī)律，復(fù)雜圖形中含有基本圖形（2），為學(xué)生研究提供的基本圖形，進(jìn)而得出從特殊歸納出一般性規(guī)律．【解答】解：∵拓展前后正六邊形是彼此相似的，∴可以利用相似圖形的性質(zhì)求出相似比，從而求出拓展后六邊形的面積，∵正六邊形ABCDEF的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正六邊形A1B1C1D1E1F1（如圖2），則EF=FF1，DE=EE1，∴EE1=F1E，∠EE1F1=90°，∴=，∴正六邊形A1B1C1D1E1F1面積為：3，∴正六邊形A2B2C2D2E2F2面積為：9，以此類推得出，第n次擴(kuò)展得到正六邊形AnBnCnDnEnFn的面積為：3n．故答案為：3n．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)與相似圖形的性質(zhì)，本題解決的關(guān)鍵是尋找到拓展的正六邊形的面積于被拓展的正六邊形面積之間的關(guān)系．（2012?淮安模擬）如圖1、圖2、圖3、…、圖n分別是⊙O的內(nèi)接正三角形A1A2A3，正四邊形A1A2A3A4、正五邊形A1A2A3A4A5、…、正n邊形A1A2A3∧An，點(diǎn)M、N分別是弧A1A2和A2A3上的點(diǎn)．且弧A1M=弧A2N，連接AnM、A1N相交于點(diǎn)P，觀察并分析：（1）∠A3PN=60°；∠A4PN=90°；∠AnPN=．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】圖1中，由三角形外角定理可得∠A3PN的大小等于其一個(gè)內(nèi)角得大小，同理在正四邊形A1A2A3A4中，分析可得同樣得結(jié)論，進(jìn)而在正n邊形A1A2A3…An，類似的分析，可得答案．【解答】解：圖1中，∵弧A1M=弧A2N，∴∠A1A3M=∠NA1A2，∴由三角形外角定理可得：∠A3PN=∠A1A3M+A3A1N=∠A3A1A2=60°，為其一個(gè)內(nèi)角；同理在正四邊形A1A2A3A4中，有∠A4PN=∠A1A2A3=90°，為其一個(gè)內(nèi)角；…，分析可得：在正n邊形A1A2A3…An，亦有∠A4PN=∠A1A2A3，即為其的一個(gè)內(nèi)角；故∠AnPN=．故答案為：60°，90°，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力，注意由特殊到一般的分析思路．（2011?化州市校級(jí)二模）如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個(gè)相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對(duì)稱，其中第一個(gè)△A1B1C1的頂點(diǎn)A1與點(diǎn)P重合，第二個(gè)△A2B2C2的頂點(diǎn)A2是B1C1與PQ的交點(diǎn)，…，最后一個(gè)△AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、Cn在圓上．如圖1，當(dāng)n=1時(shí)，正三角形的邊長a1=；如圖2，當(dāng)n=2時(shí)，正三角形的邊長a2=；如圖3，正三角形的邊長an=（用含n的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】（1）設(shè)PQ與B1C1交于點(diǎn)D，連接OB1，由特殊角的三角函數(shù)值可得，OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，再由勾股定理即可求出a1的值；（2）設(shè)PQ與B2C2交于點(diǎn)E，連接OB2，由特殊角的三角函數(shù)值可得OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；（3）設(shè)PQ與BnCn交于點(diǎn)F，連接OBn，則OF=nan﹣1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an=．【解答】解：（1）設(shè)PQ與B1C1交于點(diǎn)D，連接OB1，則OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，即12=（a1）2+（a1﹣1）2，解得，a1=；（2）設(shè)PQ與B2C2交于點(diǎn)E，連接OB2，則OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，即12=（a2）2+（a2﹣1）2，解得，a2=；（3）設(shè)PQ與BnCn交于點(diǎn)F，連接OBn，則OF=nan﹣1，在Rt△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，即12=（an）2+（nan﹣1）2，解得，an=．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形與圓及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意作出輔助線，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．（2010?德州）粉筆是校園中最常見的必備品．圖1是一盒剛打開的六角形粉筆，總支數(shù)為50支．圖2是它的橫截面（矩形ABCD），已知每支粉筆的直徑為12mm，由此估算矩形ABCD的周長約為300mm．（，結(jié)果精確到1mm）【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】把圖形中的邊長的問題轉(zhuǎn)化為正六邊形的邊長、邊心距之間的計(jì)算即可．【解答】解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于點(diǎn)M′．粉筆的半徑是6mm．則邊長是6mm．∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3．邊心距C′M′=6sin60°=3mm．則圖（2）中，AB=CD=11×3=33mm．AD=BC=5×6+5×12+3=93mm．則周長是：2×33+2×93=66+186≈300mm．故答案是：300mm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形的運(yùn)算，把圖形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為單個(gè)多邊形的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．（2009?蕪湖）小趙對(duì)蕪湖科技館富有創(chuàng)意的科學(xué)方舟形象設(shè)計(jì)很有興趣，他回家后將一正五邊形紙片沿其對(duì)稱軸對(duì)折．旋轉(zhuǎn)放置，做成科學(xué)方舟模型．如圖所示，該正五邊形的邊心距OB長為，AC為科學(xué)方舟船頭A到船底的距離，請(qǐng)你計(jì)算AC+AB=．（不能用三角函數(shù)表達(dá)式表示）【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】利用多邊形分成幾個(gè)圖形后，各個(gè)圖形的面積的和與原圖形的面積相等求解．【解答】解：連接OF，OE，AB⊥EF，則S五邊形=5×S△OEF=5×（EF×OB×）=2.5×EF=5BE①有2×S科學(xué)方舟=S五邊形；連接AE，S五邊形=2×S四邊形ABED=2×（S△ABE+S△ADE）=2×（AB×BE×+DE×AC×）=AB×BE+DE×AC=AB×BE+2×BE×AC=BE×（AB+2AC）②由于①=②，則5BE=BE×（AB+2AC）∴AB+2AC=5，即AC+AB=．【點(diǎn)評(píng)】正多邊形的有關(guān)問題，通常是利用正多邊形的有關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解決，解決本題的關(guān)鍵是：得到方舟的面積的2倍等于正五邊形的面積這個(gè)等量關(guān)系．（2007?蕪湖）如圖，PQ=3，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q．則AB=6．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】連接MA，MP，延長PQM與AB交于E，構(gòu)建直角三角形，解出直角三角形即可．【解答】解：設(shè)大圓的圓心為M點(diǎn)，連接MA，MP，MB，連接PM并延長與AB交于點(diǎn)E，交小圓于Q點(diǎn)，由對(duì)稱性可知P、Q為切點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)；設(shè)AB=2a（正方形的邊長），在直角三角形MAE中，∵小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q．∴PQ⊥CD，∵CD∥AB，∴PE⊥AB，∴AE=BE，∴AM2=ME2+AE2，∵PQ=3，∴ME=2a+3﹣5=2a﹣2，∴52=（2a﹣2）2+a2解得，a=3或﹣1.4（舍去）所以AB=6．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的難點(diǎn)是作出輔助線構(gòu)造直角三角形．（2006?臨沂）如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的一半，當(dāng)小正六邊形由圖①位置滾動(dòng)到圖②位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為240度．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】從圖中得出，第一個(gè)到第二個(gè)OA轉(zhuǎn)過了60度，第二個(gè)到第三個(gè)轉(zhuǎn)過了120度，第三個(gè)到第四個(gè)又轉(zhuǎn)過了60度，所以總共轉(zhuǎn)動(dòng)了240度．【解答】解：小正六邊形由圖①位置滾動(dòng)到圖②位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為240度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了觀察圖形特點(diǎn)的能力，明白正六邊形的中心角60度是解題的關(guān)鍵．（2006?常熟市一模）如圖，一個(gè)正三角形經(jīng)過變換依次成為正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形、…．當(dāng)這些正多邊形的周長都相等時(shí)，正六邊形的面積＜正十二邊形的面積（填不等的符號(hào)）．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別求出正三角形與這個(gè)正六邊形的面積即可作出比較．【解答】解：設(shè)正三角形的邊長為a，則正方形的邊長為，正六邊形的邊長為；∵正三角形的邊長為a，∴其高為，∴S1=a×=；S2=（）2=；∵正六邊形的邊長為，∴把正六邊形分成六個(gè)三角形，其高為，∴S3=6×××=．∵S1==，S3==，＜＜，∴S1＜S2＜S3．故答案為：＜【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是正三角形、正方形、正六邊形面積的求法，屬中等難度題目．（2005?聊城）如圖，將邊長為6cm的正六邊形紙板的六個(gè)角各剪切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋直六棱柱紙盒，使側(cè)面積等于底面積，被剪去的六個(gè)四邊形的面積和為10.4cm2．（結(jié)果精確到0.1cm2）【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意易得∠CAB=30度，設(shè)BC=x，則AB=x，然后表示出BD=6﹣2x，再根據(jù)底面是邊長為BD的正六邊形，側(cè)面是長為BD，寬為AB的六個(gè)矩形，利用面積相等列出方程求出x的值再結(jié)合圖形求解即可．【解答】解：設(shè)BC=x，則AB=x，BD=6﹣2x，所以側(cè)面積為：6×（6﹣2x）×x，底面積為：6××（6﹣2x）×（6﹣2x）=（6﹣2x）2，∵側(cè)面積等于底面積，∴6×（6﹣2x）×x=（6﹣2x）2，整理得，6﹣2x=4，解得x=1，∴被剪去的六個(gè)四邊形的面積和為：6×AB?BC×2，=6×××1×2，=6≈10.4cm2．故答案為：10.4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正六邊形的面積的計(jì)算方法，一般是轉(zhuǎn)化為正三角形的面積的計(jì)算．（2004?蕪湖）如圖，正六邊形與正十二邊形內(nèi)接于同一圓⊙O中，已知外接圓的半徑為2，則陰影部分面積為12﹣6．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題．【分析】首先明確陰影部分面積=正12邊形的面積﹣正6邊形的面積，然后依面積公式計(jì)算即可．【解答】解：陰影部分面積=正12邊形的面積﹣正6邊形的面積=12××2×1﹣6××2×=12﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題需注意作三角形的高時(shí)，應(yīng)做腰上的高；6邊形的高應(yīng)做底邊上的高．（2013?蓮湖區(qū)一模）在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師拿出三個(gè)邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后，同學(xué)們經(jīng)過討論，大家覺得本題實(shí)際上就是求將三個(gè)正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時(shí)的最小直徑．老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：（1）通過計(jì)算（結(jié)果保留根號(hào)與π）．（Ⅰ）圖①能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為5cm；（Ⅱ）圖②能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10cm；（Ⅲ）圖③能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10cm；（2）其實(shí)上面三種放置方法所需的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請(qǐng)你畫出用圓形硬紙板蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法，（只要畫出示意圖，不要求說明理由），并求出此時(shí)圓形硬紙板的直徑．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】壓軸題；探究型．【分析】（1）（Ⅰ）連接正方形的對(duì)角線BD，利用勾股定理求出BD的長即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形對(duì)角線的長即可；（Ⅲ）找出過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；（2）連接OB，ON，延長OH交AB于點(diǎn)P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)，設(shè)OG=x，則OP=10﹣x，再根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：（1）（Ⅰ）連接BD，∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴BD==cm；（Ⅱ）如圖所示，∵三個(gè)正方形的邊長均為5，∴A、B、C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上，∴OA==5cm，∴能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10cm；（Ⅲ）如圖所示，∵CE⊥AB，AC=BC，∴CE是過A、B、C三點(diǎn)的圓的直徑，∵OA=OB=OD，∴O為圓心，∴⊙O的半徑為OA，OA==5cm，∴能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為5×2=10cm；（2）如圖④為蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法，連接OB，ON，延長OH交AB于點(diǎn)P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)，設(shè)OG=x，則OP=10﹣x，則有：，解得：，（8分）則ON=，∴直徑為．【點(diǎn)評(píng)】此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是找出找出以各邊頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓的圓心及半徑，再根據(jù)勾股定理解答．（2012?浠水縣校級(jí)自主招生）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB?r1+AC?r2=AB?h，∴r1+r2=h（1）理解與應(yīng)用如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知邊長為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，試證明：．（2）類比與推理邊長為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于4；（3）拓展與延伸若邊長為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1，r2，…rn，請(qǐng)問r1+r2+…rn是否為定值（用含n的式子表示），如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；探究型．【分析】（1）由條件可以求出邊長為2的等邊三角形的高為，連接PA，PB，PC，仿照面積的割補(bǔ)法，得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，而這幾個(gè)三角形的底相等，故化簡后可得出高的關(guān)系．（2）如圖