2023-2024學(xué)年四川省眉山市高中數(shù)學(xué)高一年級上冊期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年四川省眉山市高中數(shù)學(xué)高一上期末考試試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.設(shè)當(dāng)％=夕時，函數(shù)y=3sinx—cosx取得最大值，則sin6=()

yioTio

15.--------

lo-10

3屈D.題

1010

2.函數(shù)/(%)=Asin(以+°)其中(A>0,網(wǎng)<夕的圖象如圖所示,為了得到了(%)圖象，則只需將g(x)=sin2x

的圖象()

C.向右平移J個單位長度D.向左平移?個單位長度

6o

3.已知函數(shù)/(x)=。[,函數(shù)y=/(x)—a有四個不同的的零點X1,巧，x3)x4,且石<%2〈%〈％4,

(X-2)2,X>1'"'，

則。

A.a的取值范圍是(0,；)B.々-%的取值范圍是(0,1)

23+2*1

C.%3+冗4=2D.——

&+2

4.已知集合4="|心一16<0},5={-5,0,1},則()

A.AB=0B.BoA

C.A3={0,l}D.AcB

5.將函數(shù)y=5sin(-3x)的周期擴大到原來的2倍，再將函數(shù)圖象左移三，得到圖象對應(yīng)解析式是()

3x

A.y=5cos—B.y=5sin

C.y=5sin[?-6x]D.y=5sin37r3x

~2___2

6.過點(LD且與直線y=2x垂直的直線方程為

A.x-2y+l=0B.2x-y-l=0

C.2x+y-3=0D.％+2y-3=0

7,若函數(shù)/(冗)=2*+%3+〃的零點所在的區(qū)間為(0,1),則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.[-3,-1]

C.(-3,-1)D.(-2,-1)

/[\0.3

8.設(shè)a=log[3,-j，c=2、則。，b,c的大小關(guān)系是()

2

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

9.設(shè)P,Q分別是X軸和圓C:(x-2)2+(y—3)2=1上的動點，且點A(0,3),貝!||24|+山。|的最小值為()

A.2B.2V10-1

C.3D.3標(biāo)-1

10.若關(guān)于X的方程4'+(a+4)2+4=0在[-1,2]上有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是。

B.

C.[-25,-8]D.[-8,+8)

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.以邊長為2的正三角形的一條高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為.

x-y+l〉O

12.設(shè)x、y滿足約束條件x+y—120,則z=2x-3y的最小值是.

3

13.若2、=3,則實數(shù)％的值為.

14.已知角a終邊經(jīng)過點P(—1,3),貝!)tanc=.

,2

15.當(dāng)時/0時,爐十二的最小值是.

X

冗3X〉0

16.已知f(x)=''貝!Jf(T)+“l(fā))=________

3\%<0,

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/(%)=(〃—3a+3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)

(1)求了(尤)的解析式；

(2)若log/1-x)>log“(x+2),求x的取值范圍

18.函數(shù)/a)=log2(2'—l)

(1)解不等式

(2)若方程〃力=1。84(〃7-41有實數(shù)解，求實數(shù)機的取值范圍

2*-1

19.已知函數(shù)/(%)=是定義在R上的奇函數(shù)

2,+1

(1)用定義法證明"％)為增函數(shù);

(2)對任意都有/(必+「+3]+/[依—￡]〉0恒成立，求實數(shù)★的取值范圍

12

20.(1)已知角a的終邊過點P(5,“)，且tana=---,求sina+cosa的值；

]]3TC

(2)已知cosa=1,cos(a-0=五，且0</?<。<]，求￡.

21.2021年8月，國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進行“五項管理”督導(dǎo)的通知》，通知指出,

加強中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)管理(簡稱“五項管理”)，是深入推進學(xué)生健康成長的重要舉措.宿州

市要對全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況進行摸底，采用普查與抽樣相結(jié)合的方式進行.現(xiàn)從某樣本校中隨機抽取20

名學(xué)生參加體能測試，將這20名學(xué)生隨機分為甲、乙兩組，其中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)之比為3：2,測試后，兩組各

自的成績統(tǒng)計如下：甲組學(xué)生的平均成績?yōu)?5分，方差為16；乙組學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，方差為25

(1)估計該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績；

(2)求這20名學(xué)生測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差s.(結(jié)果保留整數(shù))

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、D

【解析】利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式：/(x)=^0sin(.r-?),并求出COS&和sin。，由條件和正

弦函數(shù)的最值列出方程，求出。的表達(dá)式，由誘導(dǎo)公式求出sin。的值

【詳解】解：函數(shù)y=/(x)=3sin尤一cosx

=J10(-sinx--^=cosx)

Viovio

3

=V10sin(x-a)(其中c°s==1^,sina=

又時/(%)取得最大值，

JlJI

0—ex.=2kjiH—kGZ,即。=2k兀H---cckeZ,

2929

7171

sin6=sin(2fcrH---\-a)=sin(——Fa)

22

33M

=cosa=—；==----

Mio

故選：D

2、D

=2,再代入點計算得到〃x)=sin2唱，根據(jù)平移法則得到

【解析】根據(jù)圖像計算周期和最值得到A=l,①

答案.

T_7TCTI故7=兀=生，

【詳解】根據(jù)圖象：A=l,0=2,故/(x)=sin(2x+0),

~4~~L2~34CD

sinfy+^j=0,口rt27c,72兀T”

即——(p—kitf(p—ku——9左wZ,

當(dāng)左=1時，0=3■滿足條件，貝！|/(x)=sin[2x+mj=sin21x+tj,

故只需將g(x)=sin2x的圖象向左平移$個單位即可.

6

故選：D.

3、D

【解析】將問題轉(zhuǎn)化為了(尤)與丁=。有四個不同的交點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量關(guān)系，即

可判斷各選項的正誤.

【詳解】y=/(x)—。有四個不同的零點為、巧、/、5，即/(x)=a有四個不同的解

所以-工1〉0，即%2的取值范圍是+00)

由二次函數(shù)的對稱性得：退+%=4,

2A1+291

因為1—2再=2數(shù)一1，即2』+2*=2,故-------=-

x3+x42

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點橫坐標(biāo)的范圍或數(shù)量關(guān)系.

第n卷

4、C

【解析】利用一元二次不等式的解法化簡集合A,再根據(jù)集合的基本運算進行求解即可

【詳解】因為A={x|V-16<0}={x|-4<x<4}tB={-5,0,1},

所以A5={0,1},

故選c

【點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為

元素間的關(guān)系.

5、D

【解析】直接利用函數(shù)圖象的與平移變換求出函數(shù)圖象對應(yīng)解析式

【詳解】解：將函數(shù)y=5sin(-3x)的周期擴大為原來的2倍，

3Jr

得到函數(shù)y=5sin(-5%),再將函數(shù)圖象左移],

得至！J函數(shù)y=5sin[—上(x+—)]=5sin(—)=5sin一匹)

232222

故選O

【點睛】本題考查函數(shù)y=Asin(a)x+(p)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】所求直線的斜率為-g,故所求直線的方程為y—1=—g(x—1),整理得x+2y-3=0,選D.

7、C

【解析】由函數(shù)的性質(zhì)可得/'(x)在(0,1)上是增函數(shù)，再由函數(shù)零點存在定理列不等式組，即可求解得。的取值范圍.

7(0)<0[1+?<0

【詳解】易知函數(shù)/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，且函數(shù)/(x)零點所在的區(qū)間為(0,1),所以，;二。八，

/(1)>0[3+a>0

解得-3<a<-1

故選：C

8、A

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),結(jié)合中間量法，即可比較大小.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知

a=log13<log11=0

22

c=23>2°=1

綜上可知，大小關(guān)系為a<b<c

故選:A

【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，中間值法是比較大小常用方法,屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】取點A關(guān)于x軸的對稱點C(0,-3),得到|24|+|?。|=忸。|+忸。|,最小值為—1+百前=—1+2碗.

故答案為B.

點睛：這個題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時候

較少；再者在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，

分別得到最大值和最小值

10、A

【解析】當(dāng)L2］時，令/=2%1,4,可得出產(chǎn)+(。+2"+4=0,可得出—(a+2)=/+±,利用函數(shù)的單

4Fl

調(diào)性求出函數(shù)g“)=/+—在區(qū)間-,4上的值域，可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

tL，_

【詳解】當(dāng)九目—1,2］時，令/=2%1,4,則/+(。+2*+4=0,可得—(a+2)=/+±,

4「1］r1

設(shè)g?)=f+7,其中fe-,4,任取％、t2G-A,

則g&)-g(幻-吟2=g坐2—4).

\hJ\12)降2中2

當(dāng);時，1<4,則g(4)_g?2)〉0，即g(%)〉g?2)，

4「1一

所以，函數(shù)g?)=f+—在-,2上為減函數(shù)；

t_

當(dāng)24?!</244時，4<Z/2<16,則g(%)_g?2)<0，即g?i)<g(，2)，

所以，函數(shù)8。)=/+；在［2,4］上為增函數(shù).

所以,gOL^g⑵=4,g(4)=5,則g⑺max=g1］=5，

4「11「17一

故函數(shù)gQ)=t+-在-,4上的值域為4,—,

1725

所以，4<-(a+4］<—,解得—一-<a<-8.

''22

故選：A.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、3萬

【解析】以邊長為2的正三角形的一條高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，圓錐的底面

半徑r=l,母線長1=2,

該幾何體的表面積為：S=7t/+加！=71+2兀=3萬.

故答案為37r

12、-6

【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x-3y過可行域內(nèi)的點A時,

從而得到z=2x-3y的最小值即可

2z

【詳解】解：由z=2x-3y得y=—g,

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：

2z2z2z

平移直線丁=—X——，由圖象可知當(dāng)直線y=—X-一，過點A時，直線y=-X—三截距最大，此時Z最小,

■333333

由hx-=y3+「。得［\x==31即AM），

代入目標(biāo)函數(shù)z=2x-3y,

得z=2x3-3x4=6-12=-6

/.目標(biāo)函數(shù)z=2尤-3y的最小值是-6

故答案為：-6

【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，屬中檔題

13、log23

【解析】由指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式求解即可

【詳解】因為解=3,

所以x=log23,

故答案為：log23

14、-3

【解析】根據(jù)正切函數(shù)定義計算

3

【詳解】由題意tano=—=—3

-1

故答案為：-3

15、2\/2

【解析】直接利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果

【詳解】解：由于xwO,

所以尤2+4.2、限衛(wèi)=2應(yīng)(當(dāng)且僅當(dāng)=2時，等號成立)

XV%

故最小值為20

故答案為：20

4

16、一

3

【解析】分段函數(shù)的求值，在不同的區(qū)間應(yīng)使用不同的表達(dá)式.

.a4

【詳解】/(-1)+/(1)=3-'+13=-,

1.4

故答案為：一.

3

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)/(x)=2x

⑵1V]

【解析】(1)由指數(shù)函數(shù)定義可直接構(gòu)造方程組求得。，進而得到所求解析式；

(2)將不等式化為log?。-x)>log2(x+2),根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和定義域要求可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

【小問1詳解】

“X)為指數(shù)函數(shù)，

a?-3ct+3—1

a>°,解得：4=2,

awl

.■.f(x)=2\

【小問2詳解】

由(1)知：log2(l-x)>log2(x+2),

1-x>x+2

..<1-x>0,解得：—2<x<—,.

2

x+2>0

\X的取值范圍為12,—；；

18、(1){x|0<x<log23}

(2)m>l

【解析】(1)由/(%)<1，根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性可得2'-1<2,然后解指數(shù)不等式即可.

(2)由“了)=1084(〃2-4，)實數(shù)根，化為2x—1=而不有實根，令f=2'，2??)2—24+1—相=0有正根即可,

對稱軸?=開口向上，只需A20即可求解.

2

【詳解】⑴由即log?。—1)<1,所以0<2'—1<2,

1<2工<3,解得0<x<log23

所以不等式的解集為3|0<%<log23}.

(2)由“可=1。84(〃2-4,)實數(shù)根，即k)g2(2-1)=$082(〃2—4)有實數(shù)根，

所以2"—1=/n-4,有實根，兩邊平方整理可得2-(2x)2-2-2x+l-m=0

令"21且f>l,由題意知2?⑺2—24+1—m=0有大于1根即可，即2??)2—24+1=機，令

g(t)=2-(t)2-2-t+l,t>l,故g?)>l

故〃2>1.

故實數(shù)機的取值范圍相>1.

【點睛】本題考查了利用對數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)對數(shù)型方程的根求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析

(2)(-26+oo)

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域即可證明；

、1k

（2）由已知條件，利用函數(shù)/（*）的奇偶性和單調(diào)性，可得必+=+3>——左對尤>1恒成立，然后分離參數(shù)，利用

XX

基本不等式求出最值即可得答案.

【小問1詳解】

2項一12巧—12（2七一2巧）

證明：設(shè)玉<%,則/（玉）一/（%，）=:^一—7==--V-----V，

21+122+1（21+1）（22+1）

由玉<龍2，可得2$<2也，即2*1—2*<0，又2為+1>0,2熱+1>0,

<0,即"%)</(%2),則f（x）在任上為增函數(shù);

【小問2詳解】

解：因為任意xe(1,+8),2

f^x+—+3]+f^kx--\>0恒成立，且函數(shù)/（九）是定義在R上的奇函數(shù),

所以f+7+3]〉1=ff--Ax)對X>1恒成立,

1k

又由（1）知函數(shù)/（無）在R上為增函數(shù)，所以J+F+3>——左對尤>1恒成立,

XX

由%>1,0<—<1,有---x<0,

xx

+3+3

所以左〉一產(chǎn)一對X>1恒成立，

-------X

X

設(shè)￡=,一羽%>1,由/=,一元（L+8）遞減，可得/V0,

XX

X2+4+3

r+5

所以一千一=-2亞,當(dāng)且僅當(dāng)。=-逐時取得等號,

—-X

X

所以上〉—2逐，即左的取值范圍是（—2百,+oo）.

/、7，、冗

20、(1)——；(2)—

133

【解析】（1）利用三角函數(shù)的定義求出。，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sin。、COSY即可得解;

（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin。、sin（。-分），再根據(jù)兩角差的余弦公式求出

cos/7=cos[tz-(dz-/?)],即可得解；

12

【詳解】解：(1)因為角a的終邊過點P(5,a),且tana=-1，

所以tana=1=-《，解得a=—12,即P(5,—12),所以|。尸|=J5r不可二⑶

.-125

所CCH以Isine=----,cosa=一,

(2)因為cosa=—,0<6Z<—,所以sin。=Jl—cos?or=4

727

ISjrjr

又cos(a-/7)=