專(zhuān)題13 代數(shù)式規(guī)律型：數(shù)字變化類(lèi)（原卷版）

專(zhuān)題13代數(shù)式規(guī)律型：數(shù)字變化類(lèi)1．觀(guān)察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律？請(qǐng)接著寫(xiě)出后面的3個(gè)數(shù)（1）1，，1，，1，，1，，，，，；（2）1，，3，，5，，7，，，，，；（3），，，，，，，，，，．2．（1）觀(guān)察如圖尋找規(guī)律，在“？”處填上的數(shù)字是；（2）一組按規(guī)律排列的式子：，，其中第7個(gè)式子是，第個(gè)式子是為正整數(shù)）3．觀(guān)察下列各等式，并回答問(wèn)題：，，，，．（1）填空：；為整數(shù)）；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：．4．按下列程序計(jì)算，把答案填寫(xiě)在表格里，然后看看有什么規(guī)律，想想為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律？（1）填寫(xiě)表內(nèi)空格：輸入32輸出答案（2）你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是．（3）用簡(jiǎn)要過(guò)程說(shuō)明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性．5．若表示一個(gè)整數(shù)，我們可以用表示一個(gè)奇數(shù)．下面我們來(lái)探究連續(xù)奇數(shù)的和的問(wèn)題．（1）計(jì)算：；；（2）請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的值為；（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算的值．6．如圖，將一串有理數(shù)按一定規(guī)律排列，探索下列問(wèn)題：（1）在處的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？（2）負(fù)數(shù)排在，，，中的什么位置？（3）第2020個(gè)數(shù)排在對(duì)應(yīng)于，，，中的什么位置？7．已知，是有理數(shù)，且．求的值．8．如我們把從1開(kāi)始的幾個(gè)連接自然數(shù)的立方和記作，那么有：，，，觀(guān)察上面的規(guī)律，完成下面各問(wèn)題：（1）依規(guī)律，求的值；（2）依規(guī)律，求的值；（3）依規(guī)律，求的值．9．觀(guān)察下列三行數(shù)：，4，，16，，①0，6，，18，，②，2，，8，，③（1）第①行的第2020個(gè)數(shù)為：；（2）第②、③行數(shù)的第2021個(gè)數(shù)分別是，；（3）取每行第7個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．10．閱讀材料：求的值．解：設(shè)①則②②①得，，即．以上方法我們成為“錯(cuò)位相減法”，請(qǐng)利用上述材料，解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：（仿照材料寫(xiě)出求解過(guò)程）；（2）化簡(jiǎn)：．11．觀(guān)察下列等式：，，．將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．（1）猜想并寫(xiě)出：；（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：；（3）已知與互為相反數(shù)，試求代數(shù)式的值．12．觀(guān)察圖形，解答問(wèn)題：（1）按如表已填寫(xiě)的形式填寫(xiě)表中的空格圖①圖②圖③三個(gè)角上三個(gè)數(shù)的積三個(gè)角上三個(gè)數(shù)的和積與和的商（2）請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)和圖⑤中的數(shù)．13．閱讀材料：大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書(shū)時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是，其中是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題：？觀(guān)察下面三個(gè)特殊的等式：；；．將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答：（1）；（2）；（3）．（只需寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)中間的過(guò)程）14．觀(guān)察算式：；；；，請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）；（2）用含的等式表示上面的規(guī)律：；（3）用找到的規(guī)律解決下面的問(wèn)題，計(jì)算：．15．閱讀與探究請(qǐng)閱讀下列材料，并解答相應(yīng)的問(wèn)題：幻方將若干個(gè)數(shù)組成一個(gè)正方形數(shù)陣，若任意一行，一列及對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字之和都相等，則具有這種性質(zhì)的數(shù)字方陣為“幻方”，中國(guó)古代稱(chēng)“幻方”為“河圖”、“洛書(shū)”等．例如，下面是三個(gè)三階幻方，是將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和相等．（1）現(xiàn)要用9個(gè)數(shù)3，4，5，6，7，8，9，10，11構(gòu)造一個(gè)三階幻方，請(qǐng)將構(gòu)造的幻方填寫(xiě)在下面的方格中．（2）若設(shè)（1）題幻方中9個(gè)數(shù)的和為，則與中間的數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系為：．16．如下，從左到右依次在每個(gè)小方格中填入一個(gè)數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰方格中所填數(shù)之和都相等．6（1）可求得，第2021個(gè)格子中的數(shù)為；（2）若前個(gè)格子中所填數(shù)之和為2019，求的值；（3）如果，為前三個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，那么所有的的和可以通過(guò)計(jì)算得到．若，為前8個(gè)格子中的任意兩個(gè)數(shù)，求所有的的和．17．讀一讀：式子“”表示1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫(xiě)也不方便，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們可以將“”表示為，這里“”是求和符號(hào)．例如：，即從1開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為；又如可表示為．通過(guò)對(duì)上以材料的閱讀，請(qǐng)解答下列問(wèn)題．（1）（即從2開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符合可表示為；（2）計(jì)算．18．觀(guān)察下列各式：，，，（1）根據(jù)上述規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式是：．（2）用以上的規(guī)律計(jì)算：．19．已知數(shù)軸上，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度來(lái)回移動(dòng)，其移動(dòng)的方式是：先向右移動(dòng)1個(gè)單位，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，（1）求出3秒鐘時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所在的位置；（2）若5秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)激活所在位置點(diǎn)，點(diǎn)立即以0.1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，試求點(diǎn)激活后第一次與繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)相遇時(shí)所在的位置；（3）如圖，在數(shù)軸上的、、、，這4個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)分別為、、、，若，且，，①求值；②在（2）的條件下，若點(diǎn)激活后仍以0.1個(gè)單位長(zhǎng)度秒向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)數(shù)的點(diǎn)處，則點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是．20．已知，，