專題15 【五年中考+一年模擬】二次函數(shù)綜合題-備戰(zhàn)2023年浙江杭州中考數(shù)學真題模擬題分類匯編（解析版）

專題15二次函數(shù)綜合題1．（2022?杭州）設(shè)二次函數(shù)，是常數(shù)）的圖象與軸交于，兩點．（1）若，兩點的坐標分別為，，求函數(shù)的表達式及其圖象的對稱軸．（2）若函數(shù)的表達式可以寫成是常數(shù)）的形式，求的最小值．（3）設(shè)一次函數(shù)是常數(shù)），若函數(shù)的表達式還可以寫成的形式，當函數(shù)的圖象經(jīng)過點，時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）二次函數(shù)過點、，，即．拋物線的對稱軸為直線．（2）把化成一般式得，．，．．把的值看作是的二次函數(shù)，則該二次函數(shù)開口向上，有最小值，當時，的最小值是．（3）由題意得，．函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．，或．即或．2．（2021?杭州）在直角坐標系中，設(shè)函數(shù)，是常數(shù)，．（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）寫出一組，的值，使函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，并說明理由．（3）已知，當，，是實數(shù)，時，該函數(shù)對應的函數(shù)值分別為，．若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）由題意，得，解得，所以，該函數(shù)表達式為．并且該函數(shù)圖象的頂點坐標為．（2）例如，，此時，，函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點．（3）由題意，得，，所以，由條件，知．所以，得證．3．（2020?杭州）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)，，是實數(shù)，．（1）若函數(shù)的對稱軸為直線，且函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)的表達式．（2）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中，求證：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．（3）設(shè)函數(shù)和函數(shù)的最小值分別為和，若，求，的值．【答案】見解析【詳解】（1）由題意，得到，解得，函數(shù)的圖象經(jīng)過，，解得或，函數(shù)或．（2）函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中，，，即，是方程的根，即函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．（3）函數(shù)和函數(shù)有最小值分別為和，，，，，，，，，．4．（2019?杭州）設(shè)二次函數(shù)，是實數(shù)）．（1）甲求得當時，；當時，；乙求得當時，．若甲求得的結(jié)果都正確，你認為乙求得的結(jié)果正確嗎？說明理由．（2）寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸，并求該函數(shù)的最小值（用含，的代數(shù)式表示）．（3）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，是實數(shù)），當時，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）當時，；當時，；二次函數(shù)經(jīng)過點，，，，，當時，，乙說的不對；（2），當時，是函數(shù)的最小值；（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，，，，，，，不能取到，．5．（2018?杭州）設(shè)二次函數(shù)，是常數(shù)，．（1）判斷該二次函數(shù)圖象與軸的交點的個數(shù)，說明理由．（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過，，三個點中的其中兩個點，求該二次函數(shù)的表達式．（3）若，點，在該二次函數(shù)圖象上，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）設(shè)△方程有兩個不相等實數(shù)根或兩個相等實根．二次函數(shù)圖象與軸的交點的個數(shù)有兩個或一個（2）當時，拋物線不經(jīng)過點把點，分別代入得解得拋物線解析式為（3）當時①②①②相加得：6．（2022?上城區(qū)一模）如圖1用一個平面截取圓錐，得到的圖形可能是圓、橢圓、雙曲線，而當平面與圓錐的母線平行，且不過圓錐頂點時，所截得的圖形為拋物線，即圖2中曲線為拋物線的一部分，交母線于點，交底面于點，，垂直于底面的直徑，垂足為點．已知底面的半徑為5，．（1）求弦的長．（2）若以所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系如圖3，當時，求經(jīng)過點，，的拋物線的函數(shù)表達式．（3）若圖3的拋物線上有一點，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖2，連接，垂直于底面的直徑，垂足為點，，底面的半徑為5，，，；（2），，，，，設(shè)拋物線的解析式為：，則有：，解得；拋物線的解析式為：；（3）拋物線上有一點，，解得，的值為2或．7．（2022?拱墅區(qū)一模）在直角坐標系中，設(shè)函數(shù)，是常數(shù)，．（1）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，求函數(shù)的表達式．（2）若函數(shù)圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，求證：．（3）已知點，在函數(shù)的圖象上，且．當時，求自變量的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，．，．．（2）．頂點坐標為，．拋物線的頂點在的圖象上，，．．．（3）點，在函數(shù)的圖象上，．，，．當時，或．，，拋物線開口向上．時，或．8．（2022?西湖區(qū)一模）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．（1）當時，求二次函數(shù)的對稱軸．（2）當時，求該二次函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)．（3）設(shè)，，，是該函數(shù)圖象上的兩點，其中，當時，都有，求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）時，，二次函數(shù)的對稱軸為直線．（2）令，則△，當時，，拋物線與軸有沒有交點．（3），，，是該函數(shù)圖象上的兩點，，，，，，，，，，且．9．（2022?錢塘區(qū)一模）已知二次函數(shù)是常數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標．（2）若此函數(shù)圖象對稱軸為直線時，求函數(shù)的最小值．（3）設(shè)此二次函數(shù)的頂點坐標為，當時，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：當時，，即，函數(shù)的表達式為，函數(shù)圖象的頂點坐標為；（2）解：，當時，即，解得：，，此函數(shù)圖象與軸的交點坐標為，，，此函數(shù)圖象對稱軸為直線，，解得：，，，函數(shù)圖象開口向上，當時，函數(shù)有最小值，此時．函數(shù)的最小值為；（3）證明：，當時，即，解得：，，此函數(shù)圖象與軸的交點坐標為，，，此二次函數(shù)的頂點坐標為，，，，，．10．（2022?淳安縣一模）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)）．（1）當時，若點在該函數(shù)圖象上，求的值．（2）小明說二次函數(shù)圖象的頂點在直線上，你認為他的說法對嗎？為什么？（3）已知點，都在該二次函數(shù)圖象上，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）當時，，在函數(shù)圖象上，；（2）小明說法正確；由題意得，頂點是，當時，，頂點在直線上．故小明說法正確；（3），都在二次函數(shù)的圖象上，對稱軸是直線，，，，．11．（2022?富陽區(qū)一模）在直角坐標系中，點和點在二次函數(shù)的圖象上．（1）若，，求二次函數(shù)的表達式及圖象的對稱軸．（2）若，試說明二次函數(shù)的圖象與軸必有交點．（3）若點，是二次函數(shù)圖象上的任意一點，且滿足，求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）把點和點代入中得，解得，二次函數(shù)的表達式為，二次函數(shù)圖象經(jīng)過和，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．（2）把點和點代入中，得，，即，，二次函數(shù)圖象與軸必有交點．（3）點，是二次函數(shù)圖象上的任意一點，且滿足，二次函數(shù)圖像開口向下，即，頂點坐標為，對稱軸為直線，即，，，．12．（2022?臨安區(qū)一模）設(shè)二次函數(shù)是常數(shù)）．（1）當時，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；（2）試判斷二次函數(shù)圖象與軸的交點情況；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點，當時，求的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）當時，二次函數(shù)．該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，頂點坐標為．（2）令，△，該一元二次方程無解，二次函數(shù)圖象與軸無交點；（3）令，，函數(shù)的對稱軸為直線，，當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大，當時，；當時，，當時，．的最大值為10．13．（2022?錢塘區(qū)二模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點坐標為，點坐標為，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為，連接．（1）求拋物線的解析式及點的坐標；（2）點是拋物線上的動點，當時，求點的坐標；（3）若點是拋物線上的動點，過點作軸與拋物線交于點，點在軸上，點在坐標平面內(nèi)，以線段為對角線作正方形，請寫出點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）把、兩點坐標代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為，，；（2）如圖1，過作軸于點，連接，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，當點在軸上方時，有，解得或（舍去），此時點的坐標為；當點在軸下方時，有，解得或（舍去），此時點的坐標為；綜上可知點的坐標為或；（3）如圖2，設(shè)對角線、交于點，點、關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形為正方形，點為拋物線對稱軸與軸的交點，點在拋物線的對稱軸上，設(shè)，則坐標為，點在拋物線的圖象上，，解得或，滿足條件的點有兩個，其坐標分別為或．14．（2022?西湖區(qū)校級一模）在平面直角坐標系內(nèi)，二次函數(shù)為常數(shù)）．（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)的表達式；（2）若的圖象與一次函數(shù)為常數(shù)）的圖象有且僅有一個交點，求的值；（3）已知，在函數(shù)的圖象上，當時，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得：或1，函數(shù)的表達式為或；（2）解：若的圖象與一次函數(shù)為常數(shù)）的圖象有且僅有一個交點，方程有兩個相等的實數(shù)根，，△，解得：；（3）證明：，，拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口方向向上，和時的函數(shù)值相同，由圖象可知當時的函數(shù)值小于當時的函數(shù)值，即：，，，．15．（2022?蕭山區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)）．（1）當時，若點在該函數(shù)圖象上，求的值．（2）已知，，，從中選擇一個點作為該二次函數(shù)圖象的頂點，判斷此時是否在該二次函數(shù)的圖象上，（3）已知點，都在該二次函數(shù)圖象上，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）時，，將代入得．（2），拋物線頂點坐標為，當為拋物線頂點時，，，不符合題意．當為拋物線頂點時，，，不符合題意，當，為拋物線頂點時，，，符合題意，此時，將代入得，在函數(shù)圖象上．（3），關(guān)于拋物線對稱軸對稱，，解得，，將代入得，．16．（2022?蕭山區(qū)一模）已知二次函數(shù)．（1）若函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且頂點在軸上，求的值；（2）若，，點為該二次函數(shù)圖象在第三象限內(nèi)的點，請分別求出，的取值范圍；（3）若點始終是函數(shù)圖象上的點，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：函數(shù)圖象的對稱軸為直線，，．二次函數(shù)的頂點在軸上，，，，；（2）解：若，，則，，拋物線的頂點坐標為，，拋物線的的開口方向向上，令，則，解得：或1．拋物線與軸交于點和．點為該二次函數(shù)圖象在第三象限內(nèi)的點，，；（3）證明：點始終是函數(shù)圖象上的點，．．，．．，，有最小值，．17．（2022?濱江區(qū)一模）二次函數(shù)，，是常數(shù)，，當時，函數(shù)有最小值．（1）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，并且經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達式．（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點．①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標．②若，，是該二次函數(shù)圖象上的兩點，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）由題意可知，拋物線的頂點為，物線為，經(jīng)過點，，，拋物線為．（2）①令，整理得，解得，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點，且當時，函數(shù)有最小值，拋物線的頂點為，，代入得，，二次函數(shù)中，當時，，拋物線頂點為；②拋物線頂點為，對稱軸為直線，，，代入得，，，，，，．18．（2022?上城區(qū)二模）二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應值如表：012（1）若，求此時函數(shù)解析式；（2）當時，對應的函數(shù)值．①和在該二次函數(shù)的圖象上，試比較與大??；②求的范圍．【答案】見解析【詳解】（1）設(shè)，將，，代入得，解得，這個二次函數(shù)的解析式為．（2）拋物線經(jīng)過，，拋物線對稱軸為直線，，當時，對應的函數(shù)值．圖象開口向上，①到對稱軸的距離大于點的距離，；②拋物線開口向上，對稱軸為直線，，點到對稱軸的距離等于點的距離，，，，拋物線為，時，對應的函數(shù)值，，，，時，，．19．（2022?余杭區(qū)一模）已知二次函數(shù)為常數(shù)）．（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點試求的值和圖象頂點坐標；（2）在（1）的情況下，當時，求的取值范圍；（3）當，隨的增大而增大，，，，是該函數(shù)圖象上的兩個點，對任意的，，，總滿足，試求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1），頂點為，把點代入中得：，解得：，拋物線的頂點為，；（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時函數(shù)在時取最小值為，在時取最大值為，故的取值范圍；（3）由題意得，拋物線開口向上，當，隨的增大而增大，對稱軸，即，，，時，最小為，時，最大為，所以，解得，綜上所述．20．（2022?富陽區(qū)二模）設(shè)二次函數(shù)，其中為實數(shù)．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求二次函數(shù)的表達式；（2）把二次函數(shù)的圖象向上平移個單位，使圖象與軸無交點，求的取值范圍；（3）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，設(shè)，求的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得：，，二次函數(shù)的表達式為；（2）由二次函數(shù)的交點式得二次函數(shù)與軸交點橫坐標，，二次函數(shù)的對稱軸為直線，把代入解析式得頂點縱坐標為，將二次函數(shù)圖象向上平移個單位可得頂點縱坐標為，圖象與軸無交點，，；（3）二次函數(shù)的對稱軸為直線，不妨設(shè)，，，，把，代入函數(shù)解析式，得，，的最小值為0．21．（2022?西湖區(qū)校級模擬）若二次函數(shù)的解析式為．（1）當分別取，0，1時對應函數(shù)值為，，，請比較，，的大小關(guān)系．（2）記二次函數(shù)的最小值為，求證：；（3）若函數(shù)過點和點，求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）解：二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)過和，開口向上，時，隨的增大而減小，分別取，0，1時對應函數(shù)值為，，，；（2）證明：二次函數(shù)的解析式為，一般式為：，對稱軸為，函數(shù)開口向上，當時，取得最小值，，，；（3）解：設(shè)直線與二次函數(shù)的交點為，，，，函數(shù)過點和點，，聯(lián)立，可得：，，，，即，，令，，．22．（2022?富陽區(qū)一模）已知拋物線．（1）若拋物線過點，求拋物線的解析式；（2）若該拋物線上任意不同兩點，、，都滿足：當時，；當時，，試判斷點在不在此拋物線上；（3）拋物線上有兩點、，當時，恒成立，試求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）將代入得，解得，．（2），拋物線與軸交點坐標為，，，拋物線對稱軸為直線，時，，時，，拋物線對稱軸為值，即，解得，，將代入得，點在拋物線上．（3）拋物線對稱軸為直線，點關(guān)于對稱軸對稱的點，，當時，恒成立，拋物線開口向下，即，且，解得．23．（2022?西湖區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)為常數(shù)，且．（1）求該二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標；（2）當時，的最大值與最小值的差為4.5，求該二次函數(shù)的表達式；（3）若，對于二次函數(shù)圖象上的兩點，，，，當，時．均滿足，請直接寫出的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）取，得，解得或，該二次函數(shù)圖象與軸的交點為，；（2）的頂點坐標為，①當時，在中，最大值是當時的值，即，最小值是當時的值，即，，，該二次函數(shù)的解析式為，②當時，在中，最大值是當時的值，即，最小值是當時的值，即，，，該二次函數(shù)的表達式為；（3）由（2）知拋物線的對稱軸為，當時，，，由拋物線的對稱性知時，，又，，，．24．（2022?西湖區(qū)校級模擬）已知拋物線．，為常數(shù)，且（1）已知點，，，若該拋物線只經(jīng)過其中的兩點，求拋物線的表達式；（2）點為（1）中拋物線上一點，且，求的取值范圍；（3）若拋物線與直線都經(jīng)過點，設(shè)，求證：且．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線過點，拋物線不經(jīng)過點．拋物線經(jīng)過、兩點，由題意得，，解得拋物線的表達式為．（2）點在拋物線上，，整理得，．，，，．解得．的取值范圍為．（3）拋物線與直線都經(jīng)過點，，，整理得．，，即．又，．且．25．（2022?下城區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，點和點在二次函數(shù)的圖象上．（1）若，，求二次函數(shù)的表達式及圖象的對稱軸．（2）若點，是二次函數(shù)圖象上的任意一點且滿足，當時，求證：．（3）若點，，在該二次函數(shù)的圖象上，試比較，的大?。敬鸢浮恳娊馕觥驹斀狻浚?）解：，，，，把、代入得，解得：，二次函數(shù)的表達式為：，其對稱軸為；（2）證明：點，是二次函數(shù)圖象上任意一點，且，可得為最低點，即開口向上，，對稱軸，則，根據(jù)拋物線的對稱性，可知，，，即，，，將代入，得，；（3）解：將點，，代入得：，解得：，，當時，，當時，，，．26．（2022?杭州模擬）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)，其中．（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)的表達式；（2）若一次函數(shù)的圖象與的圖象經(jīng)過軸上同一點，探究實數(shù)，滿足的關(guān)系式；（3）已知點，和在函數(shù)的圖象上，若，求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得，解得，，當時，函數(shù)的表達式，化簡，得；當時，函數(shù)的表達式化簡，得，綜上所述：函數(shù)的表達式；（2）當時，解得，，的圖象與軸的交點是，，當經(jīng)過時，，即；當經(jīng)過時，，即；（3）的對稱軸為：，當在對稱軸的左側(cè)（含頂點）時，隨的增大而減小，與關(guān)于對稱軸對稱，由，得；當在對稱軸的右側(cè)時，隨的增大而增大，由，得，綜上所述：，所求的取值范圍．解法二：也可以求出函數(shù)值，，根據(jù)，構(gòu)建不等式求解即可．27．（2022?江干區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，點