軸對稱圖形與軸對稱的性質(zhì)（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）

軸對稱圖形與軸對稱的性質(zhì)（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）

一?知識梳理

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【知識點(diǎn)1】軸對稱圖形

一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是

它的對稱軸.

特別提醒：

軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合.對稱軸有可能不只一條

【知識點(diǎn)2】軸對稱

1.軸對稱定義

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直

線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn)

特別提醒：

軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合.成軸對稱的兩

個圖形一定全等.

2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形

和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反

過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）

對稱.

【知識點(diǎn)3］軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱的性質(zhì)：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線;

軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

中二.考點(diǎn)分類講解

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【考點(diǎn)一】軸對稱》一軸對稱圖形的識別

［例1］以下四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可，一個圖形的一部分，沿著一條直線對折后兩

部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

解：A.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對稱圖形，故不符合題意；

B.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對稱圖形，故不符合題意；

C.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對稱圖形，故不符合題意；

D.能找到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以是軸對稱圖形，故符合題意；

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式】下面四個圖形分別是綠色食品、低碳、節(jié)能和節(jié)水標(biāo)志，是軸對稱圖形的是（）

【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個圖形

沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一條直

線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；

選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

【考點(diǎn)二】軸對稱成軸對稱兩個圖形的識別

【例2】下列圖形中，與關(guān)于直線成軸對稱的是（）

【答案】B

【分析】認(rèn)真觀察各選項(xiàng)給出的圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線進(jìn)行判斷.

解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合四個選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)中對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸MN垂直平分，所以B

是符合要求的.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)；應(yīng)用對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的

線段被對稱軸垂直平分解題是正確解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式】如圖，線段48與A?(AB=AZ')不關(guān)于直線/成軸對稱的是()

A.B.C.

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)仔細(xì)觀察各選項(xiàng)圖形即可得解.

解：觀察可知，B選項(xiàng)中，線段與⑷笈不關(guān)于直線/成軸對稱，

A、C、D選項(xiàng)線段AB與/夕都關(guān)于直線/成軸對稱.

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查軸對稱的性質(zhì)，熟記軸對稱的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三】軸對稱--由軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷

【例3】如圖所示，一A8C'與.ABC關(guān)于直線"N成軸對稱，則線段A4'與直線的關(guān)系正確的是

)

A.直線被線段A4'垂直平分B.線段A4'被直線垂直平分

C.直線MN經(jīng)過線段AA中點(diǎn)，但不垂直D.直線MN與線段A4'垂直，但不經(jīng)過線段中點(diǎn)

【答案】B

【分析】成軸對稱圖形的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分，據(jù)此即可得到答案.

解：ELAB'C'與關(guān)于直線成軸對稱，

團(tuán)線段A4'被直線肋V垂直平分.

故選：B

【點(diǎn)撥】此題考查了成軸對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握“成軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分"

是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式】如圖，，至。與VADE關(guān)于直線/對稱，下列結(jié)論中：①△至。絲AWE；②/ABC=NAT）E；

③/垂直平分CE;④BC與DE的延長線的交點(diǎn)不一定在/上.其中正確的有（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐個判斷即可.

解：根據(jù)軸對稱的定義可得，_ABC與VA2汨關(guān)于直線/對稱，則①△ABCZ△"見正確.

因?yàn)槿绻麅蓚€圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線（中垂

線）；軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，

故②NABC=NADE,③/垂直平分CE,正確.

因?yàn)槌奢S對稱的兩個圖形對應(yīng)線段或延長線如果相交，那么，交點(diǎn)一定在對稱軸上,故④BC與OE

的延長線的交點(diǎn)不一定在/上，錯誤.

正確的有3個，

故選：B

【點(diǎn)撥】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，如果兩個圖形關(guān)于某條直線對

稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線(中垂線)；軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角

相等.

【考點(diǎn)四】軸對稱＞*”由軸對稱圖形的特征求解

【例4】如圖，A5c和VADE關(guān)于直線"N對稱，BC和的交點(diǎn)尸在直線"N上.

(1)圖中點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)—，的對應(yīng)角是一；

(2)若￡D=9,BF=6,求石尸的長；

⑶連接臺￡＞和EC,判斷3。和EC的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)D;ZE-,(2)3;(3)平行，理由見分析

【分析】(1)如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線,

根據(jù)對應(yīng)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)對稱的性質(zhì)可得到方=3尸=6,再根據(jù)￡F=田-D尸即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)對稱的性質(zhì)可得WEC,MN±BD,由平行線的判定即可得出結(jié)論.

(1)解：國ABC和VADE關(guān)于直線腦V對稱，BC和。E的交點(diǎn)?在直線政V上，

回圖中點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)￡),NE的對應(yīng)角是NC,

故答案為：D./E；

(2)回m=9,3尸=6,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，3C和DE的交點(diǎn)P在直線MV上，

團(tuán)DF=BF=6,

國EF=ED—DF=9—6=3,

團(tuán)E尸的長為3；

(3)平行.理由如下：

0叢BC和VADE關(guān)于直線MN對稱，BC和DE的交點(diǎn)F在直線MN上,

SMN±EC,MN±BD,

QEC〃BD,

國80和EC的位置關(guān)系為：平行.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式1】如圖，尸在內(nèi)，點(diǎn)M,N分別是點(diǎn)尸關(guān)于AQ30的對稱點(diǎn)，ACV分別交Q4,OB于

E,F.

（1）若！尸EF的周長是10cm,求MN的長；

⑵若ZAOB=30°,試求ZMON的度數(shù).

【答案】⑴10cm；⑵60。

【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可得EM=EP,FP=FN,由二角形周長公式得到PE+EF+尸尸=10cm,

則9+防+印=10011,即MV=10cm；

（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到/AOM=/AOP,/BON=/BOP,進(jìn)一步推出NMON=2NAOB=60。.

（1）解：團(tuán)點(diǎn)M,N分別是點(diǎn)P關(guān)于4。30的對稱點(diǎn)，

旦EM=EP,FP=FN,

回！尸防的周長是10cm,

團(tuán)PE+EF+PF=10cm,

團(tuán)石M+E尸+7W=10cm,即肱V=10cm；

（2）解：如圖所示，連接OM,ON,OP,

回點(diǎn)M,N分別是點(diǎn)尸關(guān)于AQ30的對稱點(diǎn),

SZAOM=ZAOP,/BON=/BOP,

回AMON=AAOM+ZAOP+/BOP+NBON=2(NAOP+NBOP)=2ZAOB=60°

【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，正確得到=FP=FN,以、

ZAOM=ZAOP,/BON=/BOP是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖1,點(diǎn)A、2兩點(diǎn)在直線/的同側(cè)，點(diǎn)A與A關(guān)于直線/對稱，連接A3交/于點(diǎn)尸，設(shè)AB=4.

圖1

（1）求AP+尸8；

⑵若點(diǎn)”是直線/上異于點(diǎn)尸的任意一點(diǎn).求證：AM+MB>AP+PB；

⑶如圖2,在/上求作一點(diǎn)加，使AM+8M最小.作法：

B,

A.

圖2

【答案】（1）AF+P3=a;（2）見分析；（3）見分析

【分析】（1）利用軸對稱性質(zhì)得到邊長關(guān)系即可求出；（2）利用軸對稱換邊，再使用三角形三邊大小

關(guān)系證明即可；（3）利用最短路徑寫出作法即可.

解：(1)；點(diǎn)A，與A關(guān)于直線/對稱,

:.AP=A!P,

AP+PB=AP+PB=A!B,

A'B=a,

AP+PB—a.

(2)連接AM,

圖1

點(diǎn)A'與A關(guān)于直線/對稱，

:.AM=AM,AP=AP,

:.AM+MB=AM+MB,AJP+PB=AP+PB=AB,

△A'MB中AM+MB>A3,

:.AM+MB>AP+PB.

(3)作點(diǎn)A關(guān)于直線/對稱點(diǎn)A,連接AB交直線/于點(diǎn)如下圖所示.

B,

A./

I/

I//

:J'M____.

I?I

圖2

【點(diǎn)撥】本題考查最短路徑的畫法和證明，軸對稱的性質(zhì)為對稱軸上的點(diǎn)到關(guān)于對稱軸對稱的兩個對

應(yīng)點(diǎn)的距離相等.求解在直線上找一點(diǎn)使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)的距離和最小，作法為作其中一點(diǎn)關(guān)于直

線的對稱點(diǎn)，連接另一點(diǎn)與直線的交點(diǎn).

【考點(diǎn)五】軸對稱>*”軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用

【例5】已知：如圖，CDE尸是一個長方形的臺球面，有A、B兩球分別位于圖中所在位置，試問怎

樣撞擊球A,才能使A先碰到臺邊尸c反彈后再擊中球8?在圖中畫出A球的運(yùn)動線路.

E,-------------------------------,D

B.

A.

F'-------------------------------

【分析】首先作出點(diǎn)A關(guān)于尸C的對稱點(diǎn)A,再連接AB交FC于點(diǎn)P,連接AP,PB,可得A球的運(yùn)

動路線.

解：如圖所不：運(yùn)動路線：A--8.

【點(diǎn)撥】本題主要考查生活中的軸對稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

【舉一反三】

【變式】茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO,BO）,A0桌面上

擺滿了桔子，30桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請你

在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？

A0

C

R

【分析】本題意思是在40上找一點(diǎn)D在30上找一點(diǎn)E,使CDE的周長最小.如果設(shè)點(diǎn)C關(guān)于A0

的對稱點(diǎn)是關(guān)于80的對稱點(diǎn)是N,當(dāng)點(diǎn)。、￡在MN上時，-CDE的周長為CD+DE+EC=,

此時周長最小.

解：①分別作點(diǎn)C關(guān)于。4、。3的對稱點(diǎn)是M、N,②連接MN,分別交0A于D08于E.

則Cf。玲EfC為所求的行走路線.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用對稱性的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五】軸對稱軸對稱性質(zhì)折疊問題

【例6】如圖所示，一個四邊形紙片A3CD,ZB=ZD=90°,把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)8落在

邊上的E點(diǎn)，AE是折痕.

(1)試判斷B'E與。C的位置關(guān)系；

⑵如果NC=130。，求0AE8的度數(shù).

【答案】⑴B犯〃DC，理由見分析；⑵/AEB=65。

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NAB'E=/B=90。，再由？。90?,可得WE=N。，即可求解;

(2)由(1)得，B'E//DC,可得NBEB'=/C=130。，再由折疊的性質(zhì)可得乙回=/3,求出

ZAEB=~ZBEB'=65°>即可求解.

2

解：⑴B'E//DC；

回49是AB的折疊后形成的，

回ZAB'E=N3=NO=90°,

B'E//DC.

(2)由(1)得，B'E//DC,

回N3EB'=NC=130°,

由折疊可知，ZAEff=ZAEB

ZAEB^-ZBEB'=65°

E2

【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和

判定是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式】如圖，在ABC中，點(diǎn)D是3C邊上的一點(diǎn)，將△ABD沿4。折疊得到AE與BC交

于點(diǎn)F.

(1)若NB=50。，