2023-2024學(xué)年江蘇省南京市燕子磯中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市燕子磯中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若對(duì)于任意的恒成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．2．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾五步，股一十二步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．4．已知且,則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若對(duì)任意的均有成立,則的最小值為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的最小角為（）A． B． C． D．9．若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，，四面體的體積為，則（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知sin＝，則cos＝________．12．如圖記錄了甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)投籃時(shí)，進(jìn)行的5組100次投籃的命中數(shù)，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則______，_________.13．不等式的解集是．14．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的最大內(nèi)角為_(kāi)________15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_________．16．若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（II）若關(guān)于的不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知向量,的夾角為,且,.(1)求；(2)求.19．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知向量，，且．（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．20．在中，分別是所對(duì)的邊，若的面積是，，．求的長(zhǎng)．21．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機(jī)抽樣133個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組

頻數(shù)

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計(jì)

133

（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并在圖中畫(huà)出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過(guò)3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點(diǎn)值是2．33作為代表．據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由題意可得相鄰最低點(diǎn)距離1個(gè)周期，，，，即，，即所以，包含0,所以k=0,,,,選A．【點(diǎn)睛】由于三角函數(shù)是周期周期函數(shù)，所以不等式解集一般是一系列區(qū)間并集，對(duì)于恒成立時(shí)，需要令k為幾個(gè)特殊值，再與已知集合做運(yùn)算．2、A【解析】因?yàn)椋?，且，即，所?故選A.3、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長(zhǎng)求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計(jì)算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過(guò)幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問(wèn)題常見(jiàn)類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總面積以及事件的面積；幾何概型問(wèn)題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤．4、A【解析】分析：，由，可得，又，可得，化簡(jiǎn)整理即可得出.詳解：，由，可得，又，可得，化為，解得，則的取值范圍是.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.5、C【解析】試題分析：的方程變形為，圓心為考點(diǎn)：圓的方程6、D【解析】

直接應(yīng)用正弦函數(shù)的平移變換和伸縮變換的規(guī)律性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，對(duì)任意的均有，說(shuō)明函數(shù)在時(shí)，取得最大值，得出的表達(dá)式，結(jié)合已知選出正確答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所以得到函數(shù)，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,所以，對(duì)任意的均有成立，所以在時(shí)，取得最大值，所以有而，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象變換規(guī)律、函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查了函數(shù)最大值的概念，正確求出變換后的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】

根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷.【詳解】選項(xiàng)A：不是奇函數(shù)，不正確；選項(xiàng)B:：在是減函數(shù)，不正確；選項(xiàng)C：定義域上沒(méi)有單調(diào)性，不正確；選項(xiàng)D：設(shè)，是奇函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增，且在處是連續(xù)的，在上單調(diào)遞增，所以正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于常用函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由三角形大邊對(duì)大角可知所求角為角，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】的最小角為角，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確三角形中大邊對(duì)大角的特點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得所求角的余弦值.9、C【解析】

由題意得，到平面的距離不變＝，且，即可得三棱錐的體積，利用等體積法得．【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，，如圖所示：點(diǎn)到平面的距離＝，且，所以.所以三棱錐的體積＝．利用等體積法得.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)，等體積法求三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則答案易求.【詳解】在等差數(shù)列中，因?yàn)?，所?所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.在等差數(shù)列中，若，則.特別地，若，則.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案為.12、3.5.【解析】

根據(jù)莖葉圖,將兩組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列,由中位數(shù)和平均數(shù)相等,即可解得的值.【詳解】甲乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,平均數(shù)也相等對(duì)于甲組將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列后可知,中位數(shù)為65.所以乙組中位數(shù)也為65.根據(jù)乙組數(shù)據(jù)可得則由兩組的平均數(shù)相等,可知兩組的總數(shù)也相等,即解得故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù),屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

因?yàn)?且拋物線開(kāi)口方向向上，所以，不等式的解集是.14、【解析】

由題意可得三角形的最大內(nèi)角即邊7對(duì)的角，設(shè)為θ，由余弦定理可得cosθ的值，即可求得θ的值．【詳解】根據(jù)三角形中，大邊對(duì)大角，故邊長(zhǎng)分別為3，5，7的三角形的最大內(nèi)角即邊7對(duì)的角，設(shè)為θ，則由余弦定理可得cosθ，∴θ＝，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，大邊對(duì)大角，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】由三視圖知該幾何體是一個(gè)半圓錐挖掉一個(gè)三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點(diǎn)睛：求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法.16、；【解析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查不等式能成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（II），或【解析】

（I）直接解不等式得解集；（II）對(duì)a分類討論解不等式分析找到a滿足的不等式，解不等式即得解.【詳解】（I）當(dāng)時(shí)，不等式為，不等式的解集為，所以不等式的解集為；（II）原不等式可化為，①當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為，不滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，所以；③當(dāng)，即時(shí)，，所以只需，解得；綜上所述，，或.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）1；（2）【解析】

（1）利用向量數(shù)量積的定義求解；（2）先求模長(zhǎng)的平方，再進(jìn)行開(kāi)方可得.【詳解】（1）?=||||cos60°=2×1×=1；（2）|+|2=（+）2=+2?+=4+2×1+1=7.所以|+|=.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量模長(zhǎng)的求解，一般地，求解向量模長(zhǎng)時(shí)，先把模長(zhǎng)平方，化為數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理化角為邊可得，即，由余弦定理可得，又，所以．?）由（1）可得，設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，所以，所以，故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)對(duì)于復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題自然是利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)解答，求復(fù)合函數(shù)的最值，一般從復(fù)合函數(shù)的定義域入手，結(jié)合三角函數(shù)的圖像一步一步地推出函數(shù)的最值.20、8【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，利用三角形的面積公式列方程求得，結(jié)合求得，根據(jù)余弦定理求得的長(zhǎng).【詳解】由（）得．因?yàn)榈拿娣e是，則，所以由解得．由余弦定理得，即的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角形的面積公式，考查余弦定理解三角形.21、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)公式：頻率=頻數(shù)÷樣本容量可補(bǔ)充完成頻率分布表，然