2024屆西藏拉薩片八校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆西藏拉薩片八校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量、滿足，且，則為（）A． B．6 C．3 D．2．已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D3．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知集合，，則（）A． B． C． D．5．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．平面B．C．平面D．異面直線與所成的角為6．下列命題正確的是（）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱.B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱.C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱.D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.7．給出函數(shù)為常數(shù)，且，，無論a取何值，函數(shù)恒過定點(diǎn)P，則P的坐標(biāo)是A． B． C． D．8．三角函數(shù)是刻畫客觀世界周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，單位圓定義法是任意角的三角函數(shù)常用的定義方法，是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制）為自變量，任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)為因變量的函數(shù).平面直角坐標(biāo)系中的單位圓指的是平面直角坐標(biāo)系上，以原點(diǎn)為圓心，半徑為單位長度的圓.問題：已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．9．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150，120，180，150個(gè)銷售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本．記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法10．若，且，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________12．已知直線l在y軸上的截距為1，且垂直于直線，則的方程是____________.13．在中，角A，B，C的對邊分別為，若,則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于________．14．正六棱柱各棱長均為，則一動點(diǎn)從出發(fā)沿表面移動到時(shí)的最短路程為__________．15．設(shè)向量滿足，，，．若，則的最大值是________．16．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3:5:7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量=．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的公比，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意正整數(shù)不等式恒成立，求的取值范圍.18．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．19．某校進(jìn)行學(xué)業(yè)水平模擬測試，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（滿分分），繪制頻率分布直方圖，成績不低于分的評定為“優(yōu)秀”．（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績評定為“優(yōu)秀”的概率；（2）估計(jì)該校數(shù)學(xué)平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．20．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說明理由.21．某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品的銷售量與年份有關(guān)，下表是近五年的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20102012201420162018銷售量（噸）114115116116114用所給數(shù)據(jù)求年銷售量（噸）與年份之間的回歸直線方程，并根據(jù)所求出的直線方程預(yù)測該地區(qū)2019年該農(nóng)產(chǎn)品的銷售量.參考公式：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

先由可得,即可求得,再對平方處理,進(jìn)而求解【詳解】因?yàn)?所以,則,所以,則,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的模,考查向量垂直的數(shù)量積表示,考查運(yùn)算能力2、A【解析】

根據(jù)向量共線定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且，有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了用向量共線定理證明三點(diǎn)共線問題，屬于?？碱}.3、C【解析】

設(shè)球心為，的中心為，求出與，利用勾股定理求出外接球的半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】設(shè)球心為，的中心為，則，，球的半徑，所以球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球問題，球的表面積公式，屬于中檔題.4、A【解析】

首先求得集合，根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

在正方體中與

平行，因此有與平面

平行，A正確；在平面

內(nèi)的射影垂直于，因此有，B正確；與B同理有與

垂直，從而

平面

，C正確；由知與所成角為45°，D錯(cuò)．故選D．6、C【解析】試題分析：有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯(cuò)；有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯(cuò)；用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，D錯(cuò)；由棱柱的定義，C正確；考點(diǎn)：1、棱柱的概念；2、棱臺的概念.7、D【解析】試題分析：因?yàn)楹氵^定點(diǎn)，所以函數(shù)恒過定點(diǎn).故選D.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).8、A【解析】

先求出和的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，所以，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)值的求法，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題,9、B【解析】

此題為抽樣方法的選取問題．當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)宜采用簡單隨機(jī)抽樣法；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣．【詳解】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查中，總體中的個(gè)體差異較大，應(yīng)采用分層抽樣法；第②項(xiàng)調(diào)查總體中個(gè)體較少，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣法．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣知識，屬基本題型、基本概念的考查．10、A【解析】

將代數(shù)式與相乘，展開式利用基本不等式求出的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題以及一元二次不等式的解法，對于不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為最值來處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

由等差數(shù)列的前和公式，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的前和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及合理應(yīng)用等差數(shù)列的前和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、；【解析】試題分析：設(shè)垂直于直線的直線為，因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以，所以直線的方程是.考點(diǎn)：兩直線的垂直關(guān)系.13、【解析】

根據(jù)大角對大邊，利用余弦定理直接計(jì)算得到答案.【詳解】在中，角A，B，C的對邊分別為，若不妨設(shè)三邊分別為：3,5,7根據(jù)大角對大邊：角C最大故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，屬于簡單題.14、【解析】

根據(jù)可能走的路徑，將所給的正六棱柱展開，利用平面幾何知識求解比較.【詳解】將所給的正六棱柱下圖(2)表面按圖(1)展開.，，，故從A沿正側(cè)面和上表面到D1的路程最短為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體展形圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】

令，計(jì)算出模的最大值即可，當(dāng)與同向時(shí)的模最大．【詳解】令，則，因?yàn)?，所以?dāng)，，因此當(dāng)與同向時(shí)的模最大，【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算，以及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．整體換元的思想，屬于較的難題，在解二次函數(shù)的問題時(shí)往往結(jié)合圖像、開口、對稱軸等進(jìn)行分析．16、【解析】試題分析：由題意得，解得，故答案為．考點(diǎn)：分層抽樣．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）由，，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解得，，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求出，代入不等式得對任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，對分奇偶討論，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，所以.所以對任意正整數(shù)恒成立.設(shè)，易知單調(diào)遞增.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值為，所以，解得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為，所以.綜上，，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求和，考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了不等式恒成立，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.19、（1）；（2）該校數(shù)學(xué)平均分為.【解析】

（1）計(jì)算后兩個(gè)矩形的面積之和，可得出結(jié)果；（2）將每個(gè)矩形底邊中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，再將這些積相加可得出該校數(shù)學(xué)平均分.【詳解】（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，成績不低于分的評定為“優(yōu)秀”的頻率為，所以，數(shù)學(xué)成績評定為“優(yōu)秀”的概率為；（2）估計(jì)該校數(shù)學(xué)平均分．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖頻率和平均數(shù)的計(jì)算，解題時(shí)要熟悉頻率和平均數(shù)的計(jì)算原則，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑危?因?yàn)?平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為正三角形，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫?，平?所以；因?yàn)樗云矫?，平?所以平面平面.（Ⅲ）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；理由如下:分別取的中點(diǎn)，連接,在三角形中，且；在菱形中，