【高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破精煉】第32講 解析幾何中長度面積和、差、商、積（解析版）（新高考專用）

第32講解析幾何中長度面積和、差、商、積

【典型例題】

例1.如圖.已知拋物線C：V=4x,直線過點(diǎn)P（2,l）與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),拋物

線在點(diǎn)A,3處的切線相交于點(diǎn)T,過A,8分別作x軸的平行線與直線上/:y=2x+4交

于M,N兩點(diǎn).

（I）證明：點(diǎn)T在直線/上，且IMTRNTI；

（H）記AAA",ABNT的面積分別為3和邑.求S+S2的最小值.

【解析】解：（I）證明：因?yàn)锳3不平行于x軸，設(shè)直線的方程為了=畋+2

>J,8（號(hào)，y2）>

因?yàn)椋?=4%，不妨令y>0,則y=26,

12

所以y=i，所以々=*2=-,

所以過A點(diǎn)的切線方程為y-y=2（x-豈），

乂4

整理得yj=2x+g,

同理，過點(diǎn)5的切線方程為％y=2x+"，

聯(lián)立兩切線方程，解得T（華，

又甘陽+2T得/_4陽+4時(shí)8=0,

[y-=4x

所以》+丫2=4"7，％%=4a-8，

代入可得7(機(jī)-2,2機(jī))，滿足y=2x+4,

所以點(diǎn)T在直線/：y=2x+4I:,

乂

y”=%，yN=y2>

所以+y*=y+%=4m=2%,

所以T為”，N的中點(diǎn)，BP?wr|=|AT|.

（II）由（I）可得仞（"U，%）,A（^-,%）,

所以|AM|=T-T^,同理|8M|="-2二

4242

所以￡+52=：(1的+|8"閃漢&|=；(曰—巧1+亨一51岡竺匹

乙乙乙*T4乙乙

1+以2-2（%+%）+16J（x+%）2-分歷

一（---------------------；X-------------------------

242

=^fl6m2-2(4/77-8)-8m+16]xy]\6m2-4(4/??-8)

=4(J"J-〃?+2)3=4(J(…;1+§3,

當(dāng)機(jī)=g時(shí)，S,+52=4(小”_；)2+13有最小值孚.

22

例2.已知耳，F(xiàn)?分別是橢圓C：T+*=l(a>0>0)的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上,

歷

△M月心面積最大值為2,離心率e=y.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)月的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)r,使得

|人耳|+|州|="必||8耳|恒成立.如果存在.求出f的值.如果不存在，說明理由.

c_V2

a2

【解析】解:1）山題意可得」x2cxb=2,

2

a2=b2+c2

解得/=4,/=2,c2=2.

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—r+^=1.

42

（2）如圖，由（1）可知耳（-也,0）,6（夜,0）.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，IA耳|+|8耳|=5=1,

a

則，=四上1生1=2,

IA7-||BF、|

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為A,

則直線/的方程為y=/（x+應(yīng)），A（xt,yt）B（x2,y2）.

y=k（x+>/2）

聯(lián)立22,

—x+-v^-=1

整理得(2A:2+l)x2+4垃k?x+4左2—4=0,

40爐4爐一4

則h1ll…"內(nèi)⑷小E'

從而\xt-x21=yj(xt-x2)-4xtx2=

故|4月|+1B4|=AB=y/k2+\|x,-x,|=，

由題意可得IAFt|=J/+1|x1+V2|,|BFt|=J/+1\x2+y/l\,

2

則|AFt||BFt\=(k+1)|玉/+夜(A,+X2)+2|=,

因?yàn)閨A耳|+|8耳|="44||明|,

4吐4

所叱"儂』2

2(公+1)

2r+1

綜上，存在實(shí)數(shù)f=2,使得|4甲+|561=川西||3￡|恒成立.

2:2

例3.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，己知橢圓C:￡+方=13>6>0)的右頂點(diǎn)為4(2,0),且

其兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸頂點(diǎn)相連形成的四邊形為正方形.過點(diǎn)TQ,0)(-2<f<2)且與x軸不重

合的直線/與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)尸。的中點(diǎn)為"，試判斷是否存在實(shí)數(shù)f,使得|AV『-它篁?yàn)槎ㄖ?若存在，求

4

出f的值，并求出該定值；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(I)由題意可知，a=2,Hb=c,又因?yàn)闃?biāo)=從+。2,解得6=c=0,

22

所以橢圓。的方程為匕+2=1:

42

(2)存在實(shí)數(shù)工=2,使得?AM陽￡為定值.理由如下:

34

因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn)，故

|AM|2-1^L=|AM|2-\MP^=(AM+MP)(AM-MP)^APAQ,

4

由題意可知，宜線尸。的斜率不為0,設(shè)尸。的方程：x=my+t,(meR,(-2<r<2)),

x=my+t

22

與橢圓C的方程聯(lián)立，\xv,消去x,整理得(1+2)：/+2股y+產(chǎn)-4=0,

—+—=1

42

2m,t~—4

設(shè)尸(再，y)，。(與，y)>則y+%=--~=—~-，

2"+2m+2

因?yàn)锳(2,0),所以AP=(x-2,yJ=(機(jī)％+，-2,%)，AQ=(my2+t-2,y2),

則APAQ=(myt+1-2)(my2+t-2)+yty2=(〃/+l)y%+-2)(y+必)+。-2y，

所以A戶A0="孕生2,

m+2

若對任意帆eR，APA0=?2,.-2)為定值,則.=2或，=2,

nr+23

因?yàn)橐?vf<2,所以r=2,此時(shí)，|/VW|2-L^L=AP-AQ=O.

34'

存在實(shí)數(shù)f=2,使得?A"『-If紅為定值，且定值為0.

34

22

例4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:=+1=im>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《、￡,

ab-

且離心率為專，過坐標(biāo)原點(diǎn)。的任一直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且1+1Ng1=4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)點(diǎn)P(f,O)為橢圓C長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為理的直線/交橢圓C于A、B

2

兩點(diǎn)，試判斷是否為定值，若為定值，則求出該定值；若不為定值，請說明理

由.

【解析】解：(1)由己知，得g為平行四邊形，

所以|M行|+|”|=|A/f；|+|^|=2a=4,所以a=2,

又因?yàn)閑=￡=1,所以c=0力=血，

a2

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1…(5分)

42

(2)直線/的方程為y=?"(xT),設(shè)4(%，＞,i)，B(x2,y2),

夜

y=——(x-t)2

聯(lián)立方程2?】，得2d-2a+，-4=0,所以芯+/=----

—+^-=1

42

2

所以|PA『+1尸8『=(%-f)2+y：+(x2-t)+

113

=(玉一1)2+/(%-)2+(/7)2+/02-1)2=/(%2+)

=；［(項(xiàng)+々)2-2與(『一產(chǎn)+4)=6為定值...(12分)

例5.在平面直角坐標(biāo)系My中，橢圓。:與+當(dāng)=1（。＞人＞0）的焦距為2,一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)

ab

焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（n）橢圓c的右焦點(diǎn)為尸，過尸點(diǎn)的兩條互相垂直的直線直線/,與橢圓。交于p,

Q兩點(diǎn)，直線4與直線x=4交于T點(diǎn).

⑺求證：線段PQ的中點(diǎn)在直線OT上；

3）求明的取值范圍.

\PQ\

C_1

【解析】解：（I）由橢圓得Z=解得。=2,c=l,b=G，

2c=2

22

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+E=1.

43

22

（II）⑺設(shè)直線PQ的方程為：x=my+1,代入楠圓方程二r十上v＞=1得

43

（3m2+4）y2+6my-9=0,

則判別式△=36帆2+4x9（3病+4）＞0,

設(shè)P（X，％）,Q（X2,y2）,PQ的中點(diǎn)G（x（）,%）,

nili-6m-9

則Y+%=o2/，=,2J

3m+43機(jī)+4

I-4

則%=#+%）=a2”，^^my+\=,

2+4Q3M+4

-3m3加2+43/n

3nr+444

設(shè)直線fT的方程為：y=-m（x-\）f得丁點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3機(jī)）,

3m

4

,,^OG=k<XT，

即線段尸。的中點(diǎn)在直線O7上；

(")當(dāng)相=0時(shí)，PQ的中點(diǎn)為尸，7(4,0),

2a2\TF\_

則|7/|=3,|PQ|=J=3,

a\PQ\~

當(dāng)〃件0時(shí)，ITF|=J(4-1)2+(-3加)2=3,加，+1,

|加上卜*"7上河,用工汨標(biāo)=8/,西焉三焉二⑵*

防若?哈小的卡日

設(shè)f=J〃/+1,則/>1,

￡

貝Uy=3心+1+1=3f+1=3Q+3)在(1,+8)為增函數(shù),

V/?2+lt1

則y>3+l=4,

貝ij--(3>/=+1+一)>-x4=l,

44

綜上明.」，

IPQI

故求變1的取值范圍是口，+00).

1至1

22

例6.若橢圓C:=+4=l(a>人>0)上有一動(dòng)點(diǎn)P,P到橢圓C的兩焦點(diǎn)耳，F(xiàn),的距離之

ab‘

2

和等于2立，P到直線x=±的最大距離為2+a.

C

(I)求橢圓的方程；

(II)若過點(diǎn)M(2,0)的直線/與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、8,。4+。8=口尸(。為坐標(biāo)原點(diǎn))

且|PA-P8|<手，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

2a=2五

【解析】解：(/)由已知得，]，:a=5/2,bc=l,

—x2cxZ?=1

[2

又?.?片=匕2+02,「2=1,c=l,

.??橢圓的方程為：—+y=i.

2

(〃)/的斜率必須存在，即設(shè)/:y=A:(x—2),

V2_.

聯(lián)立'，消去y得1+2公(x_2)2=2,

y=k(x-2)

得(1+2公*-8公x+8尸-2=0,

由△=Mk4-8(1+2k?)(4公-1)=8(1-2F)>0可得公<工,

2

設(shè)4芭，y),B(X2,外)，

對a>2_2

由韋達(dá)定理可得：%+%=上二，±x,=5一，

“&l+2k2"-1+2左2

04+OB=rOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

(A,+x2.y,+y2)=t(x,y),

/.Xl+X2=tXy+>2="，

18公17,,21"

…7百’"”(西-2)+伙”2)]=7言

,點(diǎn)P在橢圓上，

,(弘2)2216k2

,?產(chǎn)(1+2儲(chǔ))2t\]+2k2)2~

.?.原2=?([+2&2),

2

\6k_8____8

1+2--*-1+2小

\PA-PB\=\AB\=y/l+k2|%-x"=yjl+k2■地。二號(hào))-<—,

■i+2r3

k2>-,

4

42

將!＜公＜1代入得竺＜一＜4，即一2＜/＜—域或辿＜f＜2,

42933

普5半,2）

則f的取值范圍是（-2,

22

例7.如圖，橢圓/方=叱八。）的左焦點(diǎn)為人過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn),

3

IA用的最大值為|8F|的最小值為加，滿足=

4

(I)若線段AB垂直于x軸時(shí)，|AS|=|,求橢圓的方程；

(II)若橢圓的焦距為2,設(shè)線段鉆的中點(diǎn)為G,他的垂直平分線與x軸和y軸分別交

于。，￡兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記△GFD的面積為I,AOED的面積為S2,求

2*422ss2

'S,+S2

【解析】解：(1)設(shè)廠(-C,0)(00),則根據(jù)橢圓性質(zhì)得

3

M=a+c，m=々一。而M?m=—a2，

4

a

所以有〃2—02=%2,即。2=4。2,即。=勿,

4

又也=3且/“2+C2,

a2

得a=1,護(hù)=—,

4

2

因此橢圓的方程為：/+q=1,(4分)

4

22

(H)由(I)可知a=2,6=6,橢圓的方程為三+乙=1.

43

根據(jù)條件直線AB的斜率?定存在且不為零，設(shè)直線A3的方程為y=Z(x+c),

并設(shè)4(X1,%),B(X2,y2),

則由直線與橢圓方程消去y并整理得，(4公+3)/+8以，+4公一12。2=0

從而有％+&=-4：；"3，?+丫2=無（芭+W+2c）=彳我"3，（6分）

4ct2

所以G（-與一3ck

4F+3>

4k2+3

3M

因?yàn)镈G_LAB，所以年+3J=T,所以赤=9L

04k2+3

~4k^~X°

k2

c=1得到x=-

l}4r+3

qan2Q

由RtAFGD與RtAEOD相似，所以一=—r=9+—>9.（10分）

iS9^

229

<

令工=r,貝h>9,從而二41=一

9

邑SJ+SJ/41

+

9-

Q

即離7的取值范圍是（0,房）.

例8.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:《+y2=1,拋物線E:r=2py的焦點(diǎn)尸是C的

一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)P（x（）,%）是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，記E在點(diǎn)P處的切線為/.

（I）求〃的值和切線/的方程（用%,為表示）;

（H）設(shè)/與C交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為。，直線8與過P且垂直于X軸

的直線交于點(diǎn)用.

(i)求證：點(diǎn)M在定直線上;

q

(ii)設(shè)/與y軸交于點(diǎn)G,記APEG的面積為APQM的面積為S2,求，的最大值.

【解析】解：(/)由題意橢圓C：E+f=l,可得e=￡=2,橢圓的上頂點(diǎn)(0,1),

5aV5

因?yàn)?，拋物線E：/=2py的焦點(diǎn)廠是C的一個(gè)頂點(diǎn)，所以6=1,

所以拋物線的焦點(diǎn)廠為(0,1),則p=2,E:x2=4y,

直線/方程為2(丫+%)=書).即2y-書)+2%=0

(II)(i)證明：設(shè)P(Xo，%),A(X1,%),B(X2,y2),

方+城=1,今+%2=],兩式相減可得：必2一城=一也2一父)，

可得kAR=-1.-L,

占一占5yI+y25kOD

ii2

所以《W/相=一4，即有-%OD=一丁，

2?

直線8的方程為了=-'工，當(dāng)工二不時(shí)\可得y

5x(}5

7

即有點(diǎn)M在定直線y=-±上;

(而)直線/的方程為y=；x()x-%,令x=0,可得G(0,-%),

11]%+1](%+]2

則￡=FG||七|=-x0(l+%?2=力PM||—|=-——，

2222%+；22%+：

3/-----1——

S2(r-1)(/+|)2(3/-1)(r+|)2(-\―^)22

IjlH_55_552_2?4f_8

當(dāng)r=3,即為=1時(shí)，墾取得最大值§

5°5S23

例9.斜率為％的直線交拋物線f=4y于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)3的橫坐標(biāo)比點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

大4,直線y=-fcr+l交線段AB于點(diǎn)R,交拋物線于點(diǎn)P,Q.

(I)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)等于0,求|PQ|的值；

(II)求|PR|?|QR|的最大值.

設(shè)尸(%,y),Q(X2,y2),則占+工2=-4，=-4,

.-JPQ\=Jl+(-l)2J16+16=8.

(〃)設(shè)AB的方程為丫=丘+匕，代入尸=4)，得：x2-4kx-4h=0,

22

xB-xA=J16k+166=4,k=\-h.

Aki可得7k

聯(lián)立方程組

2

聯(lián)立方程組一"+1得/+4辰—4=0,

U=4y

/.尤]+/=T&，x[x2=-4，

■.IPRklQR1=-d+公)(占一4)(9—4)

=—(1+k~)[x]x2一與(1]+九2)+項(xiàng)]

“2

二一(1+攵2)(-4+2公+一)

4

9〃27、，625

418144

.,.當(dāng)A=±亞時(shí)，IPQMQW取得最大值股.

6144

2

例10.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「:土+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,

設(shè)尸是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，PFr尸鳥的延長線分別交「于點(diǎn)Q「Q2.

(1)求△P4G的周長；

(2)求△尸耳0面積的取值范圍；

(3)設(shè)小弓分別為△PKQ2、△「乙。|的內(nèi)切圓半徑，求的最大值.

【解析】解：(I)耳，鳥為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P，0為橢圓上的點(diǎn),

：.PFt+PF1=Q2F{+Q2F2=2a,從而得到^PQ聲的周長為4a.

由題意，得4〃=4a,即的周長為4&.

(2)由題意可設(shè)過尸0的直線方程為x=o?y+l,PG,%),Q2(X2.y2)(x(,>0,y()>0).

x=my+1

聯(lián)立消去x得(團(tuán)*+2)y2+2my-1=0,

x2+2/=2

i.ni2m1

則為+%=--=，%=--，

根+2m+2

rciq..I,21n64-I88-

Vm+2m+24-2(m+2)

令t="r^(0<r，，

m+22

則1%—必1=小8?—/),,0(當(dāng)f時(shí)等號(hào)成立，即機(jī)=0時(shí)),

所以=；1耳月11%—必1=:'2|%—%1=1%—％1”夜，

22

故aPFtQ2面積的取值范圍為(0,血].

(3)設(shè)。|(X],yj,直線4P的方程為y=—(x+1),

q+1

將其代入橢圓「的方程可得三+U~y(x+1)2=1，

2(x°+1)-

整理可得(2%+3)x2+4y江一3片-4%=0,

則"二-3%；-4%,得司=_逗匕，y=_2i1_(_逗匕+i)=__工_,

2XQ+32Ao+3x04-12x0+32x0+3

故方-答與，-產(chǎn)”

2x0+32x0+3

當(dāng)飛時(shí)，直線5P的方程為丫="」5-1),

%一1

將其代入橢圓方程并整理可得(-2%+3)丁-4y"-3片+4xo=O.

同理，可得。,(3金,」一)，

2%-32x()-3

因?yàn)?gx4低,=；x4住，

IXMS_S”2,_s-S_?x2,(-%)2*2，(-)|)

加以'—"一百一百—一272一—272-

_乂-%_憶為_%)_2?%_2近2近_』

24242%+32%-3xj+18%2-x°?1甌”21或一屋

當(dāng)且僅當(dāng)為=言,%=嚕時(shí)，等號(hào)成立.

軸時(shí)，易知尸(1,殍)，X=一存丫2=-*,

此時(shí)4-4=中=克＞＜逑」，

2724105

綜上，弓-弓的最大值為工.

例11.如圖，P是拋物線C:y=；V上一點(diǎn)，直線/過點(diǎn)尸且與拋物線C交于另一點(diǎn)。.

(I)若直線/與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段尸。中點(diǎn)M的軌跡方程；

(H)若直線/不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S,與y軸交于點(diǎn)T,試求空+凹的取值范圍.

|5P||SQ|

【解析】解：(I)設(shè)尸(玉，y),Q(X2,y2),M(x0,%),依題意石工0,>0,y2>0.

由y=L?,①

2

得y'=x.

???過點(diǎn)P的切線的斜率%=%，

直線/的斜率片

.??直線/的方程為卜_1片=一工(犬_芭)，②

2xf

7

聯(lián)立①②消去y,得產(chǎn)+工》一片—2=0.

王

M是P。的中點(diǎn)

玉+X,1121,、

%=丁"1%=尹-六?！?

消去%>得%=***---r+Mx。x0),

2%

PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=%2+白■+l(xw0).

(H)設(shè)直線/:y=fcc+b,依題意七0,b#0,則7(0/).

分別過尸、Q作PP'±x軸，QQ'lx軸，垂足分別為P'、Q'.則

\ST\\ST\\OT\\OT\網(wǎng)

\SP\\SQ\\PfP\\QfQ\|y||必1

由y=g%2,y=Ax+b消去入，得y?一2/2+》)y+〃2=。③

2

則y+%=2"+b),yxy2=b.

\ST\|S7|=\hU-+-)..2\h\\-^-=2\b\

-----------1------------

\SP\\SQ\%必V

%、為可取一切不相等的正數(shù)，

Isr|I,M,/士M國曰小、

■——L+J——ST-|的1A取l值氾圍是(2,國).

\SP\|SQ|

【同步練習(xí)】

已知橢圓+￡

1.=1(。＞人＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線丁=4x的焦點(diǎn)相同,F,,名為橢

圓的左、右焦點(diǎn).M為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/:y=依+加(〃?w0)交橢圓C于A,3兩點(diǎn).

①若x軸上任意一點(diǎn)到直線4工與距離相等，求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐

標(biāo)；

若直線/的斜率是直線。4,08斜率的等比中項(xiàng)，求AAOB面積的取值范圍.

【解析】解：(1)由拋物線的方程V=4x得其焦點(diǎn)為(1,0),則桶圓中c=l,

當(dāng)點(diǎn)用為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，片g面積最大，此時(shí)S=gx2cx6=l,

；.b=l,耳，尸2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，△〃/;；居面積的最大值為1,

a2=lr+c2=2,

橢圓的方程為；+丁=1；

W2=]

(2)聯(lián)立(萬+，一，得(1+2-)9+4叱+2>-2=0,

y=kx-\-m

由△=16公小2-4(2^2+l)(2nt2-2)=8(2妤-w72+l)>0,得1+2代>>(*)

設(shè)4占，X)，B(X2,y2),

2

mil4km2m—2

則X+X=-------------r,XXo=------

21+2公?-1+2公

g,ykx,+m必hcy+m,,八kx.+tnkx^+tn

^1_=2±!——t4f+&=o,ZA——=o,

?k}==^Z_=222——，由得——+

X]-1X]—1x>-1%>-1X1-1x5—1

—24km

所以2Axi毛+G"-A)(芯+W)-2m=0,即2Z?--+(加一^)(---^p-)一2m=0,得利=-2k,

：.直線/的方程為y=k(x—2)，

因此直線/恒過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

②直線/的斜率是直線。4,08斜率的等比中項(xiàng)，

；?%小%.=公，即"=公，得的+⑼例得h〃(X1+X2)+%2=0,

XyX2XiX2

4k2m2。八十八

------7+，獷=0，乂機(jī)W0,

\+2k2

6=g,代入(*),得0<川<2.

|4例=，1+&2|%一々|=53(2-祖2).

設(shè)點(diǎn)O到直線?的距離為d,則“=」蟲==烏㈣，

SAAOB=；IAB⑶=gyj3(2-m)2五'g'=與yjn^Q-而與J(、+廠”7=當(dāng)，

zz.75乙zvZ乙

5

當(dāng)且僅當(dāng)〃?2=2-〃P,即4=1￡(0,2)時(shí)，AAO5面積取最大值

2

故AAO3面積的取值范圍為(0,三].

2.已知耳，鳥分別是橢圓cg+a=l(aM＞0)的上、下焦點(diǎn)，其中耳也是拋物線

G：d=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C?在第二象限的交點(diǎn)，且|M￡|=g.

(1)求橢圓G的方程；

(2)己知AS,0),8(0,a),直線y=fcc(k＞0)與AB相交于點(diǎn)￡＞,與橢圓C1相交于點(diǎn)E,F

兩點(diǎn)，求四邊形AEB尸面積的最大值.

【解析】解：(1)由拋物線G：x2=4y的焦點(diǎn)，得焦點(diǎn)6(0,1).

設(shè)%)(毛＜0),由點(diǎn)M在拋物線上，

:"町1=[=%+1，*=4%，解得%=：,=-^3^,

c2=\=er—b2

〃=4

聯(lián)立48，解得

斯十次=1h2=3

故橢圓的方程為上+工=1.

(2)由(1)可知：|AO|=石，|8O|=2.設(shè)成內(nèi)，y),F(x2,%)，其中演<七，

把y=履代入二+二=1,可得X?=-%=.x2>0,y2=-y>0,且=12.

433F+4

故四邊形AEBF的面積S=S++SMEF=2X2+&?=42、+屁＞

4

=+3y；+46弘%，，JX2+3y；+2x(2巧)底”)=276.

當(dāng)且僅當(dāng)2%時(shí)上式取等號(hào).

四邊形AEB尸面積的最大值為2#.

221

3.已知橢圓C：T+方=1(。＞人＞0)的離心率為g,6，鳥分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P是

橢圓C上一點(diǎn)，且耳鳥的周長是6.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)斜率為左的直線交x軸于T點(diǎn)，交曲線C于A,8兩點(diǎn)，是否存在％使得

lATf+lBTf為定值，若存在，求出發(fā)的值；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(I)由題意可知加+2c=6，—=—?

a2

解得a=2,c=1?

a2=b2+c21：.b2=3

)2

橢圓C的方程為三十匕=1.

43

(II)假設(shè)存在％,則攵wO,設(shè)4石，y),B(X2,%)，

設(shè)直線4?的方程為：x=fny+n,丁(〃,0),

X=沖+〃

X2V2，消去工得：(3/n2+4)y2+6mny+3/?2-12=0,

—+—=1

(43

6nm3n2—12

2；，X%=22;，

3m+43m+4

2222

△=36mn-4(3n-12)(3〃+4)=48(3川+4-M)>0,

??.IAT『+1F=(%—〃)2+城+(/—〃了+%?

=(二+l)(y：+%2)

=(4+1)[(乂+%)2-2乂%]

6nm3n2-12

二(>+1)[(-2

3〉+43加+4

黑簿[(3布-4)1+4(3.+4)],

要使IA”+|*『為定值,

則有3機(jī)2—4=0,所以加=±7=,

所以4='=.

m2

4.設(shè)圓C與兩圓（x+石y+y2=4,（x-石產(chǎn)+丁=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切.

（1）求C的圓心軌跡L的方程；

（2）已知點(diǎn)M（竽，竽），F(xiàn)4,0）,且尸為Z,上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|-|尸P||的最大值及

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】解：（I）兩圓的半徑都為2,兩圓心為￡（-行，0）、鳥（6，0）,

由題意得：|C4|+2=|C5|-2或|Cg|+2=||-2,

.力eg||CK11=4=2av￡瑪|=245=2c,

可知圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在X軸上，凡實(shí)軸為4,焦距為26的雙曲線,

因此a=2,c=#>>則b?=c，-a2=1,

所以軌跡工的方程為耳-產(chǎn)=].

4,

談一0

(2)過點(diǎn)M,F的直線/的方程為)，=顯----(x-V5),

即y=-2(x-逐)，代入二-/=1,解得：爛,心=幽

4515

故直線/與雙曲線￡的交點(diǎn)為z(手，

因此工在線段MF外，弓在線段內(nèi)，故尸7；||=|MF|=石）.（釁）2=2,

\\MT2\-\FT2\\<\MF\=2,若點(diǎn)尸不在叱上，貝iJ|MP|—|FP|<|M/|=2,

綜上所述，|MP|-|EP|只在點(diǎn)工處取得最大值2,此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為2

5.已知圓心在x軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過點(diǎn)A(-4,O),且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B(x,0),C(O,y)

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)M(x,y)的軌跡為曲線「.

(1)求曲線「的方程:

(2)過點(diǎn)尸(1,0)的直線/與曲線「交于P,Q兩點(diǎn)，直線OP,0。與圓F:(x-l>+y2=l

的另一交點(diǎn)分別為M,N(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求△OWN與AOP。的面積之比的最大值.

【解析】解：(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心為(a,0),因?yàn)榻?jīng)過(T,0),且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)8(x,0),

C(0,y)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則a>-2,半徑為aM,

圓的方程為(x-a)2+V=(“+4)2,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(2a+4,0),與y軸的交點(diǎn)為

C(O,y)，

即x=2a+4，y2=84+16,

y2=4x,

即「的方程為V=4x；

(2)由(1)作下圖：

設(shè)過尸點(diǎn)的直線方程為x=my+l,顯然機(jī)是存在的,

,,2—d

聯(lián)立方程：\yr,得丁_4畋-4=0,

x=my

y+y2=4m…①，yiy2=-4…②,

設(shè)P(?,2t),Q(s2,2s),

代入①②得fs=—1，r+s=2%…③

則宜線OP的方程為y=2*,立線0Q的方程為y=-x,

ts

(x-1)2+/=1

聯(lián)立方程：2

y=—x

2/4/9v24v

解得，*)，同理N(7TT占)，

4/2\t\

???可M先/+4〃+4'

同理可得：|CW|=-^二，

J/+4

:\OP\=7(r)2+(2r)2=21r|Vr2+4.\OQ\=2\s\Vr+4,

.Sw44.

22

"Sh0PQ\OP\\OQ\(t+4)(s+4)⑸,+4(戶+/)+i6」

由③得/+s2=Q+s)2-2rs=4〃/+2,代入④得：=——

SXOPQ16”+25

顯然當(dāng)，"=0時(shí)最大，最大值為<?.

25

在)，且焦距為2.

2

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)M(2,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)A,3兩點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

且滿足04+08=，OP,其中,2),求|AB|的取值范圍.

【解析】解：(1)依題意橢圓C:J+g=l(a>b>0)過點(diǎn)(1,等)，且焦距為2.

22

a=b+]“2=2

W-11,=?

b2=\

所以橢圓C的方程為、+y2=i.

⑵由題意可知該直線/存在斜率，設(shè)其直線/方程為y=Z(x-2),

y=k(x-2)

由I/,消去y得(1+2左2)/-8后與+83-2=0,

—+y~=1

12'

所以△=8(1-2左