備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三、四章

課件園PAGE第三章三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第1課時(shí)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)40～41頁(yè))頁(yè)考情分析考點(diǎn)新知①了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義.②了解弧度的意義，并能進(jìn)行弧度與角度的互化.③理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；初步了解有向線(xiàn)段的概念，會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)表示任意角的正弦、余弦、正切．①能準(zhǔn)確進(jìn)行角度與弧度的互化.②準(zhǔn)確理解任意角三角函數(shù)的定義，并能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)的符號(hào).1.(必修4P15練習(xí)6改編)若角θ同時(shí)滿(mǎn)足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定落在第________象限．答案：四解析：由sinθ<0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只能位于第四象限．2.角α終邊過(guò)點(diǎn)(－1，2)，則cosα＝________．答案：－eq\f(\r(5),5)3.已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是________答案：1或44.已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4a，3a)(a<0)，則sinα＝________．答案：－eq\f(3,5)5.(必修4P15練習(xí)2改編)已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－x，－6)，且cosθ＝－eq\f(5,13)，則sinθ＝____________，tanθ＝____________．答案：－eq\f(12,13)eq\f(12,5)解析：cosθ＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，解得x＝eq\f(5,2).sinθ＝eq\f(－6,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))\s\up12(2)＋（－6）2))＝－eq\f(12,13)，tanθ＝eq\f(12,5).1.任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角．(2)終邊相同的角終邊與角α相同的角可寫(xiě)成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．④弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r．扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2．2.任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)定義設(shè)P(x，y)是角α終邊上任一點(diǎn)，且|PO|＝r(r＞0)，則有sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的正值口訣是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．3.三角函數(shù)線(xiàn)設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM垂直于x軸于M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線(xiàn)與α的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)T，則tanα＝AT．我們把有向線(xiàn)段OM、MP、AT叫做α的余弦線(xiàn)、正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)．三角函數(shù)線(xiàn)[備課札記](méi)題型1三角函數(shù)的定義例1α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα的值．解：∵OP＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－eq\r(3)，∴sinα＝eq\f(\r(5),\r(x2＋5))＝eq\f(\r(10),4).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知角α終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)y，求cosα和tanα的值．解：r2＝x2＋y2＝y(tǒng)2＋3，由sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(y2＋3))＝eq\f(\r(2),4)y，∴y＝±eq\r(5)或y＝0.當(dāng)y＝eq\r(5)即α是第二象限角時(shí)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)y＝－eq\r(5)即α是第三象限角時(shí)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3)；當(dāng)y＝0時(shí)，P(－eq\r(3)，0)，cosα＝－1，tanα＝0.題型2三角函數(shù)值的符號(hào)及判定例2(1)如果點(diǎn)P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限；(2)若θ是第二象限角，試判斷sin(cosθ)的符號(hào)．解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ<0，)))所以θ為第二象限角．(2)∵2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符號(hào)是負(fù)號(hào)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專(zhuān)享）)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第二象限，則角α的終邊在第________象限．答案：四解析：由題意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的終邊在第四象限．題型3弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式例3已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？解：(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓．∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝eq\f(10,3)π(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102·sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))cm2.(2)∵扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(α,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)時(shí)，扇形面積有最大值eq\f(C2,16).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專(zhuān)享）)已知2rad的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)．解：如圖，∠AOB＝2rad，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于C，并延長(zhǎng)OC交eq\o(AB,\s\up8(︵))于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，從而弧AB的長(zhǎng)為l＝|α|·r＝eq\f(2,sin1).1.若α角與eq\f(8π,5)角終邊相同，則在[0，2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)角終邊相同的角是________．答案：eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析：由題意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．又eq\f(α,4)∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).2.已知角α(0≤α≤2π)的終邊過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則α＝__________．答案：eq\f(11π,6)解析：將點(diǎn)P的坐標(biāo)化簡(jiǎn)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，它是第四象限的點(diǎn)，r＝|OP|＝1，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(\r(3),2).又0≤α≤2π，所以α＝eq\f(11π,6).3.已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，則該扇形面積的最大值為_(kāi)_______cm答案：4解析：設(shè)扇形半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，則2r＋l＝8，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)．4.若角α的終邊與直線(xiàn)y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α終邊上一點(diǎn)，且|OP|＝eq\r(10)，則m－n＝________．答案：2解析：依題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,m2＋n2＝10.))解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的終邊在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.1.設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π＜α＜π}，則M∩N＝________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))解析：由－π＜eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)＜π，得－eq\f(4,3)＜k＜eq\f(8,3).∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π)).2.已知α＝eq\f(π,3)，回答下列問(wèn)題．(1)寫(xiě)出所有與α終邊相同的角；(2)寫(xiě)出在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角；(3)若角β與α終邊相同，則eq\f(β,2)是第幾象限的角？解：(1)所有與α終邊相同的角可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).(2)由(1)令－4π＜2kπ＋eq\f(π,3)＜2π(k∈Z)，則有－2－eq\f(1,6)＜k＜1－eq\f(1,6).∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角是－eq\f(11π,3)、－eq\f(5π,3)、eq\f(π,3).(3)由(1)有β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(β,2)＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．∴eq\f(β,2)是第一、三象限的角．3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，－2)，且cosα＝eq\f(x,3)，求sinα和tanα.解：因?yàn)閞＝|OP|＝eq\r(x2＋（－2）2)，所以由cosα＝eq\f(x,3)，得eq\f(x,\r(x2＋（－2）2))＝eq\f(x,3)，解得x＝0或x＝±eq\r(5).當(dāng)x＝0時(shí)，sinα＝－1，tanα不存在；當(dāng)x＝eq\r(5)時(shí)，sinα＝－eq\f(2,3)，tanα＝－eq\f(2\r(5),5)；當(dāng)x＝－eq\r(5)時(shí)，sinα＝－eq\f(2,3)，tanα＝eq\f(2\r(5),5).4.已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大?。?2)求α所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)由圓O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形，∴α＝∠AOB＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧長(zhǎng)l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·eq\f(10\r(3),2)＝eq\f(1,2)×10×eq\f(10\r(3),2)＝eq\f(50\r(3),2)，∴S＝S扇形－S△AOB＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).1.(1)要求適合某種條件且與已知角終邊相同，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再根據(jù)條件解方程或不等式．(2)已知角α的終邊所在的直線(xiàn)方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題．若直線(xiàn)的傾斜角為特殊角，也可直接寫(xiě)出角．2.已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解α的三角函數(shù)值．3.弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式，比角度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式要簡(jiǎn)潔得多，用起來(lái)也方便得多．因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長(zhǎng)與面積公式．4.利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟(1)用邊界值定出角的終邊位置．(2)根據(jù)不等式(組)定出角的范圍．(3)求交集，找單位圓中公共的部分．(4)寫(xiě)出角的表達(dá)式．eq\a\vs4\al(請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練（B）第1課時(shí)（見(jiàn)活頁(yè)）.)[備課札記](méi)

第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)42～43頁(yè))考情分析考點(diǎn)新知①會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明.②能運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.②理解正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，eq\f(π,2)±α].1.(必修4P16例1改編)α是第二象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，則sinα＝________．答案：eq\f(8,17)解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＋cos2α＝1，,\f(sinα,cosα)＝－\f(8,15)，))解得sinα＝±eq\f(8,17).∵α為第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝eq\f(8,17).2.coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52,3)π))＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\f(52π,3)＝cos(17π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).3.sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．答案：2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.4.(必修4P21例題4改編)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝eq\f(1,3)，且－π＜α＜－eq\f(π,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝________．答案：－eq\f(2\r(2),3)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝cos[eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))]＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α)).又－π＜α＜－eq\f(π,2)，所以－eq\f(7,12)π＜eq\f(5π,12)＋α＜－eq\f(π,12).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋α))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝－eq\f(2\r(2),3).5.(必修4P22習(xí)題9(1)改編)已知tanθ＝2，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin（π－θ）)＝__________．答案：－2解析：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin（π－θ）)＝eq\f(cosθ－（－cosθ）,cosθ－sinθ)＝eq\f(2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)＝eq\f(2,1－2)＝－2.1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2.誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosa余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限記憶規(guī)律：奇變偶不變，符號(hào)看象限．[備課札記](méi)

題型1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例1(必修4P23第18題改編)已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)將eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出來(lái)，并求其值．解：(1)(解法1)聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)①，,sin2α＋cos2α＝1②，))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理，得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形內(nèi)角，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(解法2)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).∵sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0.∵sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α).∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(25,7).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知關(guān)于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根為sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)求m的值；(3)求方程的兩根及此時(shí)θ的值．解：(1)由韋達(dá)定理可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2),①，,sinθ·cosθ＝\f(m,2),②，)))而eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由①兩邊平方得1＋2sinθcosθ＝eq\f(2＋\r(3),2)，將②代入得m＝eq\f(\r(3),2).(3)當(dāng)m＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，原方程變?yōu)?x2－(1＋eq\r(3))x＋eq\f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),2)，x2＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2),cosθ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).))∵θ∈(0，2π)，∴θ＝eq\f(π,6)或eq\f(π,3).例2(必修4P23第10(2)題改編)化簡(jiǎn)：(eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα)))·(eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)))．解：原式＝(eq\r(\f(（1＋sinα）2,cos2α))－eq\r(\f(（1－sinα）2,cos2α)))(eq\r(\f(（1＋cosα）2,sin2α))－eq\r(\f(（1－cosα）2,sin2α)))＝(eq\f(1＋sinα,|cosα|)－eq\f(1－sinα,|cosα|))(eq\f(1＋cosα,|sinα|)－eq\f(1－cosα,|sinα|))＝eq\f(2sinα,|cosα|)·eq\f(2cosα,|sinα|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，α在第一、三象限時(shí)，,－4，α在第二、四象限時(shí).))eq\a\vs4\al(備選變式（教師專(zhuān)享）)已知sinα·cosα<0，sinαtanα>0，化簡(jiǎn)：coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1－sin\f(α,2),1＋sin\f(α,2)))＋sineq\f(α,2)·eq\r(\f(1＋cos\f(α,2),1－cos\f(α,2)))＝________．答案：±eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4)))解析：∵sinα·cosα<0，∴α為第二或第四象限角．又∵sinα·tanα>0，∴α為第四象限角，∴eq\f(α,2)為第二或四象限角．∴原式＝coseq\f(α,2)·eq\f(1－sin\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＋sineq\f(α,2)·eq\f(1＋cos\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)為第二象限角))，,－sin\f(α,2)－cos\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)為第四象限角))，))∴原式＝±eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4))).題型2利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值例3已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求eq\f(sin（π－α）＋5cos（2π－α）,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－sin（－α）)的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sinα＝－2cosα，且cosα≠0.∴原式＝eq\f(sinα＋5cosα,－2cosα＋sinα)＝eq\f(－2cosα＋5cosα,－2cosα－2cosα)＝eq\f(3cosα,－4cosα)＝－eq\f(3,4).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專(zhuān)享）)已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，且角α在第四象限，計(jì)算：(1)sin(2π－α)；(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）·cos（α＋2nπ）)(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，∴－cosα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2).又角α在第四象限，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝eq\f(\r(3),2).(2)eq\f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cos（α＋2nπ）)＝eq\f(sin（α＋2nπ＋π）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(sin（π＋α）－sinα,sinαcosα)＝eq\f(－2sinα,sinαcosα)＝－eq\f(2,cosα)＝－4.1.(2013·廣東文)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝________．答案：eq\f(1,5)解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,5).2.已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝π，則cos(a2＋a8)＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：由條件，知π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝eq\f(π,3)，∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).3.已知sinα＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tanα＝________．答案：－eq\f(\r(2),4)解析：因?yàn)閟inα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，從而tanα＝－eq\f(\r(2),4).4.已知2tanα·sinα＝3，－eq\f(π,2)＜α＜0，則cos(α－eq\f(π,6))＝____________．答案：0解析：依題意得eq\f(2sin2α,cosα)＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝eq\f(1,2)或cosα＝－2(舍去)．又－eq\f(π,2)＜α＜0，因此α＝－eq\f(π,3)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)－\f(π,6)))＝coseq\f(π,2)＝0.1.已知0<x<π，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．解：(1)∵sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，∴1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，∴2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx＝－eq\f(24,25)<0，∴cosx<0，∴sinx－cosx>0，∴sinx－cosx＝eq\r(1－2sinxcosx)＝eq\f(7,5).(2)eq\f(sinx＋cosx,sinx－cosx)＝eq\f(1,7)，eq\f(tanx＋1,tanx－1)＝eq\f(1,7)，tanx＝－eq\f(4,3).2.已知3cos2(π＋x)＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1，求6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)的值．解：由已知得3cos2x＋5sinx＝1，即3sin2x－5sinx－2＝0，解得sinx＝－eq\f(1,3)或sinx＝2(舍去)．這時(shí)cos2x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9)，tan2x＝eq\f(sin2x,cos2x)＝eq\f(1,8)，故6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋4×eq\f(1,8)－3×eq\f(8,9)＝－eq\f(25,6).3.已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinA·cosA；(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tanA的值．解：(1)因?yàn)閟inA＋cosA＝eq\f(1,5)①，兩邊平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，所以sinA·cosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)sinAcosA＝－eq\f(12,25)<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．(3)(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又sinA>0，cosA<0，sinA－cosA>0，所以sinA－cosA＝eq\f(7,5)②，所以由①，②可得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，則tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3).4.已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cos（π＋θ）,cosθ[cos（π－θ）－1])＋eq\f(cos（θ－2π）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos（θ－π）－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：因?yàn)閟in(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，所以sinθ＝－eq\f(1,3).原式＝eq\f(－cosθ,cosθ（－cosθ－1）)＋eq\f(cos（2π－θ）,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))cos（π－θ）＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝18.1.利用平方關(guān)系解決問(wèn)題時(shí)，要注意開(kāi)方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，需要根據(jù)角α的范圍進(jìn)行確定．2.應(yīng)熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：①負(fù)角變正角，再寫(xiě)成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；②轉(zhuǎn)化為銳角．3.在應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)需先將角變形，有一定技巧，如化eq\f(3,2)π＋α為π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))或2π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).eq\a\vs4\al(請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練（A）第2課時(shí)（見(jiàn)活頁(yè)）.)[備課札記](méi)第3課時(shí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)44～46頁(yè))考情分析考點(diǎn)新知①知道三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期為T(mén)＝eq\f(2π,|ω|).②能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等).③會(huì)畫(huà)出y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，能由正弦曲線(xiàn)y＝sinx通過(guò)平移、伸縮變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象．①了解三角函數(shù)的周期性.②能畫(huà)出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，并能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性質(zhì).③了解三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義及其參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.1.(必修4P25練習(xí)2改編)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期為_(kāi)_______．答案：4π解析：函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的最小正周期為T(mén)＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.2.(必修4P39第2題改編)將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)eq\f(π,10)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是____________________．答案：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))解析：∵向右平移eq\f(π,10)個(gè)單位，∴用x－eq\f(π,10)代替y＝sinx中的x；∵各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，∴用eq\f(1,2)x代替y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))中的x，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).3.(必修4P45第9題改編)如圖，它表示電流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則I＝Asin(ωt＋φ)的解析式為_(kāi)_______________．答案：I＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100π,3)t＋\f(π,3)))解析：由圖可知A＝eq\r(3)，ω＝eq\f(100π,3).代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,50)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，0))，解得φ＝eq\f(π,3)，于是I＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100π,3)t＋\f(π,3))).4.(必修4P32練習(xí)6改編)函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的單調(diào)遞增區(qū)間是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)解析：－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ，即－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(π,8)＋kπ(k∈Z)，所求單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)．5.(必修4P32第5題改編)函數(shù)y＝2sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(2π,3)))的值域是________．答案：[1，2]解析：根據(jù)正弦函數(shù)圖象，可知x＝eq\f(π,6)時(shí)，函數(shù)取到最小值1；x＝eq\f(π,2)時(shí)，函數(shù)取到最大值2.1.周期函數(shù)的定義周期函數(shù)的概念：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(x＋T)＝f(x)都成立，則稱(chēng)y＝f(x)為周期函數(shù)；函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均為T(mén)＝eq\f(2π,|ω|)；函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的周期為T(mén)＝eq\f(π,|ω|)．

2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域和最值[－1，1]最大值：1最小值：－1[－1，1]最大值：1最小值：－1R無(wú)最值周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)對(duì)稱(chēng)關(guān)于x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)單調(diào)區(qū)間在[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)上單調(diào)遞增在[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)上單調(diào)遞減[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)單調(diào)遞增[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)單調(diào)遞減在(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)上單調(diào)遞增3.“五點(diǎn)法”作圖“五點(diǎn)法”作圖原理：在確定正弦函數(shù)y＝sinx在[0，2π]上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是(0，0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))、(π，0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))、(2π，0)．余弦函數(shù)呢？4.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的特征若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則A叫做振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫做周期，f＝eq\f(1,T)叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．[備課札記](méi)題型1依據(jù)三角函數(shù)的圖象求解析式例1(2013·南京三模)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖所示，則ω＝________．答案：eq\f(2,3)解析：由圖象可知函數(shù)的四分之三周期為eq\f(15π,8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)))＝eq\f(3,4)T，T＝3π，ω＝eq\f(2π,3π)＝eq\f(2,3).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則ω＝________．答案：3解析：由圖知，A＝2，將(0，eq\r(2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))代入函數(shù)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)w＋φ))＝2，,2sinφ＝\r(2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(φ＝\f(π,4)，,ω＝3.))題型2三角函數(shù)的圖象變換例2為了得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6)))(x∈R)的圖象，只需把函數(shù)y＝2sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？解：y＝2sinx用代替x，左移個(gè)單位y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))再用代替x，各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍。y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6))).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專(zhuān)享）)已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sinx＝eq\r(3)cosx＋sinx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)的最小正周期為2π.(2)∵將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，∴g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).∵x∈[0，π]，∴x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝1，g(x)取得最大值2.當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)，即x＝π時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)，g(x)取得最小值－1.題型3五點(diǎn)法作圖例3已知a＝(2cosx，cos2x)，b＝(sinx，－eq\r(3))，f(x)＝a·b.(1)求f(x)的振幅、周期，并畫(huà)出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(2)說(shuō)明它可以由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到．解：(1)f(x)＝a·b＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，周期T＝π，振幅A＝2.列表從略，圖象如下：(2)f(x)可以由y＝sinx的圖象上各點(diǎn)右移eq\f(π,3)個(gè)單位后，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)而得到．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專(zhuān)享）)已知f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<0))的最小正周期為π，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).(1)求ω和φ的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象；(3)若f(x)>eq\f(\r(2),2)，求x的取值范圍．解：(1)周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，－eq\f(π,2)<φ<0，∴φ＝－eq\f(π,3).(2)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，列表如下：2x－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πx0eq\f(π,6)eq\f(5,12)πeq\f(2,3)πeq\f(11,12)ππf(x)eq\f(1,2)10－10eq\f(1,2)圖象如圖：(3)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))>eq\f(\r(2),2)，∴2kπ－eq\f(π,4)<2x－eq\f(π,3)<2kπ＋eq\f(π,4)，∴2kπ＋eq\f(π,12)<2x<2kπ＋eq\f(7π,12)，∴kπ＋eq\f(π,24)<x<kπ＋eq\f(7π,24)，k∈Z，∴x的取值范圍是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,24)<x<kπ＋\f(7π,24)，k∈Z)))).題型4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(2013·蘇州期末)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的周期為π，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－3)).(1)求f(x)的解析式；(2)求函數(shù)y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值及對(duì)應(yīng)x的值．解：(1)由eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2.由最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－3))，得A＝3.且2×eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，0＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝3eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,12)))，∴ymax＝3eq\r(2).此時(shí)，2x＋eq\f(5π,12)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,24)，k∈Z.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的周期為π，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))時(shí)，求f(x)的最值．解：(1)由最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.由T＝π，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在圖象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，∴eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(11π,6)，k∈Z.又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))).∴當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)取得最小值1；當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即x＝eq\f(π,12)時(shí)，f(x)取得最大值eq\r(3).1.(2013·貴州文)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位后，與函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象重合，則φ＝________．答案：eq\f(5π,6)解析：因?yàn)閥＝cos(2x＋φ)＝cos(－2x－φ)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（－2x－φ）))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)＋φ))，圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位后為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)＋φ))，與y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))重合，所以φ－eq\f(π,2)＝eq\f(π,3)，解得φ＝eq\f(5π,6).2.(2013·上海一模)若函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________．答案：－1解析：由圖象可知A＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ))＝2，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝1，即eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.因?yàn)椋璭q\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，即f(0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.3.(2013·新課標(biāo))已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))解析：由eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)<πω＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(1,2)＋4k≤ω≤eq\f(5,4)＋2k，k∈Z.∵ω>0，∴eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).4.(2013·蘇北四市期末)已知角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的任意兩點(diǎn)．若|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________．答案：－eq\f(\r(2),2)解析：結(jié)合三角函數(shù)圖象，知道函數(shù)的最小正周期為eq\f(2π,3)，ω＝3，角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，取φ＝－eq\f(π,4)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).1.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的兩個(gè)相鄰最值點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，則這個(gè)函數(shù)的解析式為_(kāi)_______．答案：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))解析：∵A＝2，相鄰最值點(diǎn)相距半個(gè)周期，即eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴T＝π，即ω＝2，則函數(shù)解析式為y＝2sin(2x＋φ)，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))在函數(shù)圖象上，∴2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))，即eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，∴函數(shù)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).2.(2014·泰州期末)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(π,8)))＝－eq\f(6,5)，求f(x0)的值．解：(1)T＝eq\f(2π,2)＝π，增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)π＋kπ，\f(1,8)π＋kπ))，k∈Z.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(π,8)))＝－eq\f(6,5)，即sin(2x0)＝－eq\f(3,5)，所以cos(2x0)＝±eq\f(4,5)，f(x0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,4)))＝eq\r(2)(sin2x0＋cos2x0)＝eq\f(\r(2),5)或－eq\f(7\r(2),5).3.已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，－5≤f(x)≤1.(1)求常數(shù)a、b的值；(2)設(shè)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))且lgg(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7,6)π)).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈[－2a，a]，∴f(x)∈[b，3a＋b]．又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)知a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))－1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1＞1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＞eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z.由2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得g(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，得g(x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．4.設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(π＋2x,4)，cosx＋sinx))，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知常數(shù)ω＞0，若y＝f(ωx)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；(3)設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(2,3)π))))，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)f(x)＝sin2eq\f(π＋2x,4)·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＝4sinx·eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)),2)＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1，所以所求解析式為f(x)＝2sinx＋1.(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0，由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx≤2kπ＋eq\f(π,2)，得f(ωx)的增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,ω)－\f(π,2ω)，\f(2kπ,ω)＋\f(π,2ω)))，k∈Z.∵f(ωx)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函數(shù)，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω))).∴－eq\f(π,2)≥－eq\f(π,2ω)且eq\f(2π,3)≤eq\f(π,2ω)，∴ω∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，即f(x)－2＜m＜f(x)＋2.∵AB，∴當(dāng)eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2,3)π時(shí)，不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．∴f(x)max－2＜m＜f(x)min＋2，∵f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝3，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2，∴m∈(1，4)．1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的單調(diào)區(qū)間時(shí)，只需把ωx＋φ看作一個(gè)整體代入y＝sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意先把ω化為正數(shù)．求y＝Acos(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間類(lèi)似．2.求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定φ，但由條件求得y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一解．3.由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于ωx加減多少值．eq\a\vs4\al(請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練（B）第3課時(shí)（見(jiàn)活頁(yè)）.)[備課札記](méi)第4課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)47～48頁(yè))考情分析考點(diǎn)新知掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式，能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)