備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)69、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)點(diǎn)歸納1．歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊→一般2．不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法。3．完全歸納法:把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法。完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法。4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法。5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)命題都成立6．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題:遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。典型例題講解：一、數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟例1、某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)該命題成立，那么可以推得時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知時(shí)該命題不成立，那么A、時(shí)該命題成立B、時(shí)該命題不成立C、為大于5的某個(gè)自然數(shù)時(shí)命題成立D、以上答案均不對(duì)例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到，不等式左邊的變化是A、增加一項(xiàng)B、增加和項(xiàng)C、增加和兩項(xiàng)，同時(shí)減少一項(xiàng)D、以上結(jié)論均不對(duì)二、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題例3、是否存在常數(shù)a、b、c使等式對(duì)一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論例4、設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n－1－2an－1（n∈N*）例5、如下圖，設(shè)P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=n（n+1）三、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題例6、已知數(shù)列中，，對(duì)一切（1）求證：且（2）證明例7、求證：四、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例8、是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論;若不存在，請(qǐng)說明理由例9、個(gè)正數(shù)排成一個(gè)行列的數(shù)陣（如圖），其中表示該數(shù)陣中第行第列的數(shù)，已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2等比數(shù)列，且（1）求和（2）設(shè)，證明：當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，能被21整除。第1列第2列第3列第列第1行第2行第3行第行五、歸納、猜想、證明例10、比較2n與n2的大?。╪∈N*）例11、已知點(diǎn)的序列，其中是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1）寫出與之間的關(guān)系（）（2）設(shè)，計(jì)算，由此推測數(shù)列的通項(xiàng)公式，并加以證明。練習(xí)：1．設(shè)f（n）=+++…+（n∈N*），那么f（n+1）－f（n）等于A、 B、C、+ D、－2．若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2002到2004年的箭頭方向依次為3．凸n邊形有f（n）條對(duì)角線，則凸n+1邊形有對(duì)角線條數(shù)f（n+1）為A、f（n）+n+1B、f（n）+nC、f（n）+n－1D、f（n）+n－24．用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為A、2k+1B、2（2k+1）C、D、5．如果命題P（n）對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對(duì)n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是A、P（n）對(duì)n∈N*成立B、P（n）對(duì)n＞4且n∈N*成立C、P（n）對(duì)n＜4且n∈N*成立D、P（n）對(duì)n≤4且n∈N*不成立6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時(shí)，由n=k（k＞1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是A、2k－1B、2k－1C、2kD、2k+17．根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個(gè)圖形中有_______個(gè)點(diǎn)8．觀察下表：12343456745678910……設(shè)第n行的各數(shù)之和為Sn，則=__________9．如圖，第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來（n=1，2，3，…），則第n－2個(gè)圖形中共有____________個(gè)頂點(diǎn)10．已知y=f（x）滿足f（n－1）=f（n）－lgan－1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在實(shí)數(shù)α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lga對(duì)任何n∈N*都成立，證明你的結(jié)論11．已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項(xiàng)公式ｂn；（2）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an＝lg（1＋），記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgｂn＋1的大小，并證明你的結(jié)論．12．平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成（n2+n+2）塊13．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+（n=1，2，…）（1）證明an＞對(duì)一切正整數(shù)n都成立；（2）令bn=（n=1，2，…），判定bn與bn+1的大小，并說明理由答案：例1、C例2、C例3、解：分別用n=1，2，3代入解方程組下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1·［（k+1）2－12］+2［（k+1）2－22］+…+k［（k+1）2－k2］+（k+1）［（k+1）2－（k+1）2］=1·（k2－12）+2（k2－22）+…+k（k2－k2）+1·（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=k4+（－）k2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=（k+1）4－（k+1）2∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立由（1）（2）得等式對(duì)一切的n∈N*均成立例4、證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，［3+2］－2a0=1－2a0，而a1=30－2a0=1－2∴當(dāng)n=1時(shí)，通項(xiàng)公式正確（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)正確，即ak=［3k+（－1）k－1·2k］+（－1）k·2k·a0，那么ak+1=3k－2ak=3k－×3k+（－1）k·2k+（－1）k+1·2k+1a0=·3k+（－1）k·2k+1+（－1）k+1·2k+1·a0=［3k+1+（－1）k·2k+1］+（－1）k+1·2k+1·a0∴當(dāng)n=k+1時(shí)，通項(xiàng)公式正確由（1）（2）可知，對(duì)n∈N*，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2n·a0另法：也可用構(gòu)造數(shù)列的方法求an解：∵a0為常數(shù)，∴a1=3－2a0由an=3n－1－2an－1，得=－+1，即=－·+∴－=－（－）∴{－}是公比為－，首項(xiàng)為的等比數(shù)列∴－=（－a0）·（－）n－1∴an=（－a0）·（－2）n－1×3+×3n=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2n·a0例5、證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P1是直線y=x與曲線y=的交點(diǎn)，∴可求出P1（，）∴a1=|OP1|=而×1×2=，命題成立（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即a1+a2+…+ak=k（k+1），則點(diǎn)Qk的坐標(biāo)為（k（k+1），0），∴直線QkPk+1的方程為y=[x－k（k+1）]代入y=，解得Pk+1點(diǎn)的坐標(biāo)為∴ak+1=|QkPk+1|=（k+1）·=（k+1）∴a1+a2+…+ak+ak+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立由（1）（2）可知，命題對(duì)所有正整數(shù)都成立例6、證明：（1）證法一：，若存在，則，由此可推出，這與矛盾，故，證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明）①當(dāng)時(shí)，因，故命題成立，②假設(shè)時(shí)命題成立，即，那么，所以，即時(shí)命題也成立，綜上所述，命題對(duì)一切正整數(shù)成立。（）的證明同上。（2）由題（1）得例7、證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，，原不等式成立（2）設(shè)時(shí)，原不等式成立，即成立當(dāng)時(shí)，即時(shí)命題成立綜合（1）（2）可得，原命題對(duì)恒成立。例8、34×36，由此猜想m=36下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時(shí)，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18（3k－1－1）能被36整除這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）也能被36整除由（1）（2）可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值為36例9、解：（1）設(shè)第一行公差為，則，解得，（2）證法一：①②由②①得：設(shè)則，且均為整數(shù)為整數(shù)能被21整除，即當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，能被21整除。證法二：（的證法見證法一）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，能被21整除設(shè)，則（1）當(dāng)時(shí)，能被21整除，結(jié)論成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即能被21整除，則，由歸納假設(shè)能被21整除，這就是說當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立，所以當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，能被21整除例10、解：當(dāng)n=1時(shí)，21＞12，當(dāng)n=2時(shí)，22=22，當(dāng)n=3時(shí)，23＜32，當(dāng)n=4時(shí)，24=42，當(dāng)n=5時(shí)，25＞52，猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，2n＞n2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=5時(shí)，25＞52成立（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥5）時(shí)2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1）2∴當(dāng)n=k+1時(shí)，2n＞n2由（1）（2）可知，對(duì)n≥5的一切自然數(shù)2n＞n2都成立綜上，得當(dāng)n=1或n≥5時(shí)，2n＞n2；當(dāng)n=2，4時(shí)，2n=n2；當(dāng)n=3時(shí)，2n＜n2點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式時(shí)，要恰當(dāng)?shù)販惓瞿繕?biāo)和湊出歸納假設(shè)，湊目標(biāo)時(shí)可適當(dāng)放縮另法：當(dāng)n≥5時(shí)，要證2n＞n2，也可直接用二項(xiàng)式定理證：2n=（1+1）n=C+C+C+…+C+C+C＞+=＞例11、解：（1）當(dāng)時(shí)，（2），由此推測證法一：因?yàn)榍宜宰C法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，，公式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)公式成立，即成立，那么當(dāng)時(shí)，公式仍成立，根據(jù)（1）（2）可知對(duì)任意，公式成立練習(xí)答案：1．答案：D2．解析：2002=4×500+2，而an=4n是每一個(gè)下邊不封閉的正方形左、上頂點(diǎn)的數(shù)答案：D3．解析：由n邊形到n+1邊形，增加的對(duì)角線是增加的一個(gè)頂點(diǎn)與原n－2個(gè)頂點(diǎn)連成的n－2條對(duì)角線，及原先的一條邊成了對(duì)角線答案：C4．解析：當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立當(dāng)n=k時(shí)，左邊=（k+1）（k+2）·…·（k+k），當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（k+1+1）（k+1+2）·…·（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）·…·（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+1）（k+2）·…·（k+k）=（k+1）（k+2）·…·（k+k）2（2k+1）答案：B5．解析：由題意可知，P（n）對(duì)n=3不成立（否則n=4也成立）同理可推得P（n）對(duì)n=2，n=1也不成立答案：D6．解析：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為;由n=k，末項(xiàng)為到n=k+1，末項(xiàng)為=，∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k答案：C7．解析：觀察圖形點(diǎn)分布的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形只有一個(gè)中心點(diǎn);第二個(gè)圖形中除中心外還有兩邊，每邊一個(gè)點(diǎn);第三個(gè)圖形中除中心點(diǎn)外還有三個(gè)邊，每邊兩個(gè)點(diǎn);…;依次類推，第n個(gè)圖形中除中心外有n條邊，每邊n－1個(gè)點(diǎn)，故第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n（n－1）+1答案：n2－n+18．解析：第一行1=12，第二行2+3+4=9=33，第三行3+4+5+6+7=25=52，第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72歸納：第n項(xiàng)的各數(shù)之和Sn=（2n－1）2，=（）2=4答案：49．解析：觀察規(guī)律：第一個(gè)圖形有32+3=（1+2）2+（1+2）;第二個(gè)圖形有（2+2）2+（2+2）=42+4;第三個(gè)圖形有（3+2）2+（3+2）=52+5;…第n－2個(gè)圖形有（n+2－2）2+（n+2－2）=n2+n個(gè)頂點(diǎn)答案：n2+n10．解：∵f（n）=f（n－1）+lgan－1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0又f（1）=－lga，∴∴∴f（n）=（n2－n－1）lga證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即f（k）=（k2－k－1）lga，則n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2－k－1+k）lga=［（k+1）2－（k+1）－1］lga∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立綜合（1）（2）可知，存在實(shí)數(shù)α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對(duì)任意n∈N*都成立11．解：（1）容易得ｂn＝2n－1（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋…＋lg（１＋）＝lg（１＋１）（１＋）·…·（１＋）又1gbn＋１＝1g，因此要比較Sn與1gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋）·…·（１＋）與的大小取n=1，2，3可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測（1+1）（1+）·…·（１＋）＞①下面用數(shù)