吉林省靖宇縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

吉林省靖宇縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件2．函數(shù)的對稱中心是（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)是()A． B．C． D．4．已知，則角的終邊所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．6．在中，，，成等差數(shù)列，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形7．設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列中的最大項為（）A． B． C． D．8．若直線上存在點(diǎn)滿足則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．9．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個頂點(diǎn)都在一個球面上，則球的體積為（）.A． B． C． D．10．讀下面的程序框圖，若輸入的值為-5，則輸出的結(jié)果是（）A．-1 B．0 C．1 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最大值為，則實(shí)數(shù)__________．12．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則___________.13．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是14．已知，，那么的值是________．15．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為100且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖，則支出在元的同學(xué)人數(shù)為________16．已知與之間的一組數(shù)據(jù)，則與的線性回歸方程必過點(diǎn)__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，令（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.18．已知公差不為的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．19．大豆，古稱菽，原產(chǎn)中國，在中國已有五千年栽培歷史.2019年春，為響應(yīng)中國大豆參與世界貿(mào)易的競爭，某市農(nóng)科院積極研究，加大優(yōu)良品種的培育工作，其中一項基礎(chǔ)工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關(guān)系.為此科研人員分別記錄了7天中每天50粒大豆的發(fā)芽數(shù)得如下數(shù)據(jù)表格：日期4月3日4月4日4月5日4月6日4月7日4月8日4月9日溫差（℃）89101211813發(fā)芽數(shù)（粒）21252632272033科研人員確定研究方案是：從7組數(shù)據(jù)中選5組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用求得的回歸方程對剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).（1）若選取的是4月4日至4月8日五天數(shù)據(jù)，據(jù)此求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差絕對值均不超過1粒，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，請檢驗(yàn)（1）中回歸方程是否可靠？注：.參考數(shù)值：，.20．如圖．在四棱錐中，，，平面ABCD，且．，，M、N分別為棱PC，PB的中點(diǎn).（1）證明：A，D，M，N四點(diǎn)共面，且平面ADMN；（2）求直線BD與平面ADMN所成角的正弦值．21．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

數(shù)列是等比數(shù)列與命題是等比數(shù)列是否能互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，∴數(shù)列是等比數(shù)列是數(shù)列是等比數(shù)列的充分非必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分不必要條件的判斷，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】，設(shè)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，而函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移一個單位，向下平移兩個單位得到，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選C.3、B【解析】因?yàn)椋赃x項A,B,C,D的周期依次為又當(dāng)時，選項A,B,C,D的值依次為所以只有選項A,B關(guān)于直線對稱，因此選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)4、D【解析】由可知：則的終邊所在的象限為第四象限故選5、D【解析】

根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【詳解】由題意又解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)等差中項以及余弦定理即可．【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，得為直角三角形為等腰直角三角形，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差中項和余弦定理，若為等差數(shù)列，則，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

利用累加法求得的通項公式，再根據(jù)的單調(diào)性求得最大項.【詳解】因?yàn)楣使蕜t，其最大項是的最小項的倒數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)或時，取得最小值7.故得最大項為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由累加法求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.8、B【解析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)平移直線即可確定實(shí)數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點(diǎn)或C點(diǎn)的左邊時，直線上存在點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)，所以，m≤－1，即實(shí)數(shù)的最大值為－1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應(yīng)用，屬于中等題.9、A【解析】試題分析：直三棱柱的各項點(diǎn)都在同一個球面上，如圖所示，所以中，，所以下底面的外心為的中點(diǎn)，同理，可得上底面的外心為的中點(diǎn)，連接，則與側(cè)棱平行，所以平面，再取的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)是三棱柱的為接球的球心，因?yàn)橹苯侵校?，所以，即外接球的半徑，因此三棱柱外接球的體積為，故選A.考點(diǎn)：組合體的結(jié)構(gòu)特征；球的體積公式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了球的組合體的結(jié)構(gòu)特征、球的體積的計算，其中解答中涉及到三棱柱的線面位置關(guān)系、直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征、球的性質(zhì)和球的體積公式等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力和學(xué)生的空間想象能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.10、A【解析】

直接模擬程序框圖運(yùn)行,即可得出結(jié)論.【詳解】模擬程序框圖的運(yùn)行過程如下:輸入,進(jìn)入判斷結(jié)構(gòu),則,,輸出,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,一般求輸出結(jié)果時,常模擬程序運(yùn)行,列表求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1或；【解析】

要使最大，則最?。驹斀狻繄A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．∵若的最大值為，∴，解得或．故答案為1或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題思路是平面上對圓的張角問題，顯然在點(diǎn)固定時，圓外的點(diǎn)作圓的兩條切線，這兩條切線間的夾角是最大角，而當(dāng)點(diǎn)離圓越近時，這個又越大．12、8【解析】

根據(jù)題中數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.13、1【解析】試題分析：因?yàn)閷⑷w職工隨機(jī)按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，因?yàn)榈?組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為1．考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣．點(diǎn)評：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號．14、【解析】

首先根據(jù)題中條件求出角，然后代入即可.【詳解】由題知，，所以，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.15、30【解析】

由頻率分布直方圖求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同學(xué)的人數(shù)，得到答案．【詳解】由頻率分布直方圖，可得支出在元的概率，，所以支出在元的同學(xué)的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及概率的計算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，合理求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)，計算這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，求出和的平均數(shù)即可求解.【詳解】由題意可知，與的線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，，所以線性回歸方程必過.故答案為：【點(diǎn)睛】本題是一道線性回歸方程題目，需掌握線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)這一特征，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由變形可得，即，于是可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而得到通項公式；（2）由（1）得，然后分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，將轉(zhuǎn)化為數(shù)列的求和問題解決．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴．又，∴數(shù)列是首項為8，公比為3的等比數(shù)列，∴．（2）當(dāng)為正偶數(shù)時，．當(dāng)為正奇數(shù)時，．∴．【點(diǎn)睛】（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列時，在運(yùn)用定義證明的同時還要說明數(shù)列中不存在等于零的項，這一點(diǎn)容易忽視．（2）數(shù)列求和時要根據(jù)數(shù)列通項公式的特點(diǎn)，選擇合適的方法進(jìn)行求解，求解時要注意確定數(shù)列的項數(shù)．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)對比中項的性質(zhì)即可得出一個式子，再帶入等差數(shù)列的通項公式即可求出公差．（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組求和即可解決．【詳解】（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列通項式，以及等差中項的性質(zhì)．?dāng)?shù)列的前的求法，求數(shù)列前項和常用的方法有錯位相減、分組求和、裂項相消．19、（1）；（2）（1）中回歸方程是可靠的．【解析】

（1）運(yùn)用已知題中所給的數(shù)值，結(jié)合所給的計算公式、數(shù)表提供的數(shù)據(jù)求得與的值，進(jìn)而寫出線線回歸方程；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，分別取x＝8與13求得y值，進(jìn)一步求得殘差得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，．，所以，．因此關(guān)于的線性回歸方程；（2）取x＝8，得，此時；取x＝13，得，此時∴（1）中回歸方程是可靠的．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）先證，再證，即可得證；要證平面ADMN，可通過求證PB垂直于ADMN中的兩條交線來證明（2）求直線BD與平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通過三垂線定理去進(jìn)行證明【詳解】解：（1）證明因?yàn)镸，N分別為PC，PB的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)椋裕畯亩鳤，D，M，N四點(diǎn)共面；因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD．所以，又因?yàn)椋?，所以平面PAB，從而，因?yàn)椋襈為PB的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)?，所以平面ADMN；（2）如圖，連結(jié)DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN為直線BD在平面ADMN內(nèi)的射影，且，所以，即為直線BD與平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD內(nèi)，過C作于H，則四邊形ABCH為矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.綜上，直線BD與平面ADMN所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理，考查了線面角的求解方法，考查了運(yùn)算能力及空間想象能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】

（I）通過證明平面來證得平面平面.（II）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計算證明證得，由此證得平面.【詳解】證