《第八章 立體幾何初步》章末復習與單元檢測試卷（共三套）

《第八章立體幾何初步》章末復習【體系構建】【題型探究】空間幾何體的表面積與體積【例1】如圖所示的三棱錐O-ABC為長方體的一角．其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5cm2,1cm2,3cm2，求三棱錐O-ABC的體積．[解]設OA，OB，OC的長依次為xcm，ycm，zcm，則由已知可得eq\f(1,2)xy＝1.5，eq\f(1,2)xz＝1，eq\f(1,2)yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.將三棱錐O-ABC看成以C為頂點，以OAB為底面．易知OC為三棱錐C-OAB的高．于是VO-ABC＝VC-OAB＝eq\f(1,3)S△OAB·OC＝eq\f(1,3)×1.5×2＝1(cm3)．空間幾何體的表面積與體積的求法：(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．(3)求復雜幾何體的體積常用割補法、等積法求解．【跟蹤訓練】1．如圖所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，側面B′BCC′的面積是S，點A′到側面B′BCC′的距離是a，求三棱柱ABC-A′B′C′的體積．[解]連接A′B，A′C，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐．設所求體積為V，顯然三棱錐A′-ABC的體積是eq\f(1,3)V.而四棱錐A′-BCC′B′的體積為eq\f(1,3)Sa，故有eq\f(1,3)V＋eq\f(1,3)Sa＝V，即V＝eq\f(1,2)Sa.與球有關的切、接問題【例2】(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長為4，則該球的表面積為()A.eq\f(44,3)πB.eq\f(484,9)πC.eq\f(81,4)πD．16π(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，如果這個球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)(1)B(2)D[(1)如圖，設PE為正四棱錐P-ABCD的高，則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上，延長PE交球面于一點F，連接AE，AF.由球的性質可知△PAF為直角三角形且AE⊥PF，又底面邊長為4,所以AE＝2eq\r(2)，PE＝6,所以側棱長PA＝eq\r(PE2＋AE2)＝eq\r(62＋2\r(2)2)＝eq\r(44)＝2eq\r(11).設球的半徑為R,則PF＝2R.由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝eq\f(11,3)，所以S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))eq\s\up20(2)＝eq\f(484π,9)，故選B.(2)由球的體積公式可求得球的半徑R＝2.設球的外切正三棱柱的底面邊長為a，高即側棱長，為h，則h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的內切球特征，有eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝R＝2，解得a＝4eq\r(3).故此三棱柱的體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]與球相關問題的解題策略：(1)作適當?shù)慕孛?如軸截面等)時，對于球內接長方體、正方體，則截面一要過球心，二要過長方體或正方體的兩條體對角線，才有利于解題．(2)對于“內切”和“外接”等問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間的關系，然后把相關的元素放到這些關系中來解決．【跟蹤訓練】2．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為．4πRr[法一：如圖，作DE⊥BC于點E.設球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如圖，設球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.]空間點、線、面位置關系的判斷與證明【例3】如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.[證明](1)設AC與BD交于點O，連接EO，如圖所示，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝eq\f(1,2)AC＝1，∴四邊形AOEF為平行四邊形，∴AF∥OE.∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)連接FO，如圖所示．∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四邊形CEFO為菱形，∴CF⊥EO.∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.空間平行、垂直關系的轉化：(1)平行、垂直關系的相互轉化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點①由已知想性質，由求證想判定．②適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一．③用定理時要先明確條件，再由定理得出相應結論．【跟蹤訓練】3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.[證明](1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.空間角的計算問題【例4】如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90°.空間角的求法：求空間各種角的大小一般都轉化為平面角來計算，空間角的計算步驟：一作，二證，三計算．(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角)．(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②垂線法；③垂面法．【跟蹤訓練】4．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分別是BC、AB的中點，AC＞AD，設PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角P-BC-A的平面角為γ，則α、β、γ的大小關系是．α＜β＜γ[∵D、E分別是BC、AB的中點，∴DE∥AC，∴PC與DE所成的角為∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角為∠PDA，即β；過A作AH⊥BC，垂足為H，連接PH，易證BC⊥平面PAH，∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，即γ.∵AB≠AC，∴AD＞AH，又AC＞AD，∴AC＞AD＞AH，∴eq\f(PA,AC)＜eq\f(PA,AD)＜eq\f(PA,AH)，∴tanα＜tanβ＜tanγ，∴α＜β＜γ.]《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷（一）一、單選題1．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A．（1）是棱臺 B．（2）是圓臺C．（3）是棱錐 D．（4）不是棱柱2．若為兩條異面直線外的任意一點，則（）A．過點有且僅有一條直線與都平行B．過點有且僅有一條直線與都垂直C．過點有且僅有一條直線與都相交D．過點有且僅有一條直線與都異面3．如圖，四棱柱中，分別是、的中點，下列結論中，正確的是（）A． B．平面C．平面 D．平面4．一個底面半徑為2，高為4的圓錐中有一個內接圓柱，該圓柱側面積的最大值為（）A． B． C． D．5．如圖，三棱錐中，，，M，N分別為，的中點，則異面直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．6．我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．7．三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．8．在三棱錐中，底面ABC，，E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點，過E，F(xiàn)的平面分別與棱AB，AC相交于點D，G，給出以下四個結論：①；②；③；④.則以上正確結論的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．已知兩條直線，及三個平面，，，則的充分條件是（）．A．， B．，，C．，β∥γ D．，，10．在正四面體中，??分別是??的中點，下面四個結論中正確的是（）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面11．在三棱錐D-ABC中，，且，，M，N分別是棱BC，CD的中點，下面結論正確的是（）A． B．平面ABDC．三棱錐A-CMN的體積的最大值為 D．AD與BC一定不垂直12．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則（）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題13．如圖，點在正方形所在的平面外，，則與所成角的度數(shù)為____________.14．如圖，在直角梯形中，，將沿折起，使得平面平面.在四面體中，下列說法正確的序號是____________.①平面平面，②平面平面，③平面平面，④平面平面15．如圖，在正方體中，點為線段的中點.設點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是___________.16．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.四、解答題17．圖（1）為一個幾何體的表面展開圖.（1）沿圖中虛線將它折疊起來，是哪一種幾何體？畫出其空間圖形.（2）需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6的正方體？若圖（2）是棱長為6的正方體，試在圖中畫出這幾個幾何體的一種組合情況.18．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點.（1）求證：平面PCD；（2）求證：.19．如圖所示，已知平面，，分別是，的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，，求直線與平面所成的角.20．如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．21．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值.22．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點在面內的射影為，，點到平面的距離為，且直線與垂直．（Ⅰ）在棱上找一點，使直線與平面平行，并說明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角的大小．《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷（一）答案解析一、單選題1．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A．（1）是棱臺 B．（2）是圓臺C．（3）是棱錐 D．（4）不是棱柱【答案】C【解析】對于（1），由于幾何體上下底面不相似，所以不是棱臺，A選項錯誤.對于（2），由于幾何體上下底面不平行，所以不是圓臺，B選項錯誤.對于（3），幾何體是棱錐，所以C選項正確.對于（4），幾何體有兩個平面平行且全等，側面都是平行四邊形，故是棱柱，所以D選項錯誤.故選：C.2．若為兩條異面直線外的任意一點，則（）A．過點有且僅有一條直線與都平行B．過點有且僅有一條直線與都垂直C．過點有且僅有一條直線與都相交D．過點有且僅有一條直線與都異面【答案】B【解析】因為若點是兩條異面直線外的任意一點，則過點有且僅有一條直線與都垂直，選B3．如圖，四棱柱中，分別是、的中點，下列結論中，正確的是（）A． B．平面C．平面 D．平面【答案】D【解析】連接交于，由于四邊形是平行四邊形，對角線平分，故是的中點.因為是的中點，所以是三角形的中位線，故，所以平面.故選D.4．一個底面半徑為2，高為4的圓錐中有一個內接圓柱，該圓柱側面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓柱底面半徑為為r，，則圓柱的高為，其側面積，根據(jù)二次函數(shù)性質，當時，側面積取得最大值.故選：C5．如圖，三棱錐中，，，M，N分別為，的中點，則異面直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中點,連接,又因為為中點,故,故與所成角即為與所成的角.由題得,又為的中點,,,所以,.故,又.又,故所以異面直線與所成角余弦值為.故選：B.6．我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當且僅當時，取等號．∴．故選C．7．三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．此時，，在直角△中，．三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.8．在三棱錐中，底面ABC，，E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點，過E，F(xiàn)的平面分別與棱AB，AC相交于點D，G，給出以下四個結論：①；②；③；④.則以上正確結論的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點，所以，可得平面ABC，平面EFGD與平面ABC的交線為DG，所以，故①正確；當截面EFGD與棱AB的交點D是AB的中點時，，否則PA與ED相交，故②錯誤；由底面ABC，可得，由可得，又，所以，所以平面PAB，所以，故③正確；只有當截面EFGD與AC的交點G是AC的中點時，，此時可得，否則AC與FG不垂直，故④錯誤.所以正確結論的個數(shù)是2.故選：．二、多選題9．已知兩條直線，及三個平面，，，則的充分條件是（）．A．， B．，，C．，β∥γ D．，，【答案】ABC【解析】由面面垂直定理可以判斷正確，對于選項，，，，也可以得到，故錯.故選：.10．在正四面體中，??分別是??的中點，下面四個結論中正確的是（）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABD【解析】A．?分別是?的中點，，則平面，故A正確．B．??分別是??的中點，，，即平面，，平面，故B正確．D．??分別是??的中點，，，即平面，面，平面平面，故D正確，只有C錯誤，故選：ABD．11．在三棱錐D-ABC中，，且，，M，N分別是棱BC，CD的中點，下面結論正確的是（）A． B．平面ABDC．三棱錐A-CMN的體積的最大值為 D．AD與BC一定不垂直【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，畫出三棱錐D-ABC如下圖所示，取中點，連接：對于A，因為，且，，所以為等腰直角三角形，則且，則平面，所以，即A正確；對于B，因為M，N分別是棱BC，CD的中點，由中位線定理可得，而平面，平面，所以平面，即B正確；對于C，當平面平面時，三棱錐A-CMN的體積最大，則最大值為，即C錯誤；對于D，假設，由,且,所以平面，則，又因為，且，所以平面，由平面，則，由題意可知，因而不能成立，因而假設錯誤，所以D正確；綜上可知，正確的為ABD，故選：ABD.12．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則（）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】對于選項A,連接,由正方體可得,且平面,則,所以平面,故；同理,連接,易證得,則平面,故A正確；對于選項B,,因為點在線段上運動,所以,面積為定值,且到平面的距離即為到平面的距離,也為定值,故體積為定值,故B正確；對于選項C,當點與線段的端點重合時,與所成角取得最小值為,故C錯誤；對于選項D,因為直線平面,所以若直線與平面所成角的正弦值最大,則直線與直線所成角的余弦值最大,則運動到中點處,即所成角為,設棱長為1,在Rt△D1C1B中,,故D正確故選：ABD三、填空題13．如圖，點在正方形所在的平面外，，則與所成角的度數(shù)為____________.【答案】【解析】構造正方體，如圖所示：顯然為等邊三角形，則，即PA與BD所成的角是.14．如圖，在直角梯形中，，將沿折起，使得平面平面.在四面體中，下列說法正確的序號是____________.①平面平面，②平面平面，③平面平面，④平面平面【答案】②【解析】∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=BC=1，∠A＝90°，在中，BD=，BC=2，，由余弦定理得，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又由AD⊥AB，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故填②．15．如圖，在正方體中，點為線段的中點.設點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可得：直線OP于平面A1BD所成的角α的取值范圍是，不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=，sin∠C1OA1=，∴的取值范圍是.16．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：四、解答題17．圖（1）為一個幾何體的表面展開圖.（1）沿圖中虛線將它折疊起來，是哪一種幾何體？畫出其空間圖形.（2）需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6的正方體？若圖（2）是棱長為6的正方體，試在圖中畫出這幾個幾何體的一種組合情況.【答案】（1）這個幾何體是有一條側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱推，作圖見解析（2）需要3個這樣的幾何體，作圖見解析【解析】（1）這個幾何體是有一條側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱推，如圖（3）.（2）需要3個這樣的幾何體.如圖（4），分別為四棱錐，，（答案不唯一）18．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點.（1）求證：平面PCD；（2）求證：.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】如圖，取的中點，連接，E為PB中點，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因為，，所以，，平面，又平面，.19．如圖所示，已知平面，，分別是，的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，，求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）因為,分別是,的中點,所以.又平面且平面,所以平面.（2）因為平面,平面,所以.又且,所以平面.又平面,所以平面平面.（3）因為平面,所以為直線與平面所成的角.在直角中,,,所以.所以.故直線與平面所成的角為.20．如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．【答案】（1）證明見解析（2）到平面的距離為【解析】(1）設BD交AC于點O，連結EO．因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設易知,得BC假設到平面的距離為d，又因為PB=所以又因為(或)，，所以21．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）【解析】（1）如圖，取中點，連接.由于分別為的中點，故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.因為底面，故，而，從而平面，因為平面，于是，又，所以.（2）連接，由（Ⅰ）有平面，得，而，故.又因為，為的中點，故，從而，所以平面，故平面平面.所以直線在平面內的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角.依題意，有，而為中點，可得，進而.故在直角三角形中，所以直線與平面所成的角的正切值為22．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點在面內的射影為，，點到平面的距離為，且直線與垂直．（Ⅰ）在棱上找一點，使直線與平面平行，并說明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角的大?。敬鸢浮浚á瘢c為中點時直線與平面平行，證明詳見解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）點為中點時直線與平面平行，證明：連接，交于點，則點為的中點，因為點為中點，故為的中位線，則，平面，平面，所以與平面平行．（Ⅱ）根據(jù)題意，底面，底面，則有，，所以平面，由（Ⅰ）可知，又，所以，平面，平面，所以，取中點，連接，由于是中點，則，，∴為二面角的平面角，其為鈍角，那么，所成的角即為二面角的補角，等腰直角中，，因此二面角的大小為．《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷（二）一、選擇題1．如圖所示，，則平面與平面的交線是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線2．正方體內切球與外接球體積之比為()A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶93．已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則5．已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖所示，在長方體中，，則與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．已知正四棱柱中，，E為中點，則異面直線BE與所成角的余弦值為()A． B． C． D．8．如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B′AC＝60°．那么這個二面角大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°二、多選題9．下列命題為真命題的是（）A．若兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合B．若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直C．垂直于同一條直線的兩條直線相互平行D．若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面不垂直10．如圖,在棱長均相等的四棱錐中,為底面正方形的中心,,分別為側棱,的中點,有下列結論正確的有：()A．∥平面 B．平面∥平面C．直線與直線所成角的大小為 D．11、正方體的棱長為2,分別為的中點,則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點與點到平面的距離相等12．正方體的棱長為2，已知平面，則關于截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A．截面形狀可能為正三角形 B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六訪形 D．截面面積最大值為三、填空題13．一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為1的正方形，則該圓柱的體積是____．14．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．15．如圖所示，在正方體中，分別是棱和上的點，若是直角，則________.16．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b(b<a)．若Q是CD上的動點，則三棱錐Q-D1EF的體積為________．四、解答題17．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，三角形面旋轉一周形成一旋轉體，求此旋轉體的表面積和體積．18．如圖是一個以為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為△ABC，已知，，，，，求：（1）該幾何體的體積；（2）截面△ABC的面積.19．如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，點D是AB的中點（1）求證：；（2）求證：平面20．在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點，分別是棱，的中點．（）求證：平面平面．（）求證：．21．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到C′點，且C′點在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求證：BC′⊥平面AC′D；(2)求點A到平面BC′D的距離．22．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．(1)求證：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷（二）答案解析一、選擇題1．如圖所示，，則平面與平面的交線是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】C【解析】由題意知，，，∴，又∵，∴平面，即在平面與平面的交線上，又平面，，∴點在平面與平面的交線上，∴平面平面，故選．2．正方體內切球與外接球體積之比為()A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9【答案】C【解析】設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為a，它的外接球的半徑為a，故所求體積之比為1︰3.故答案為C．3．已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意作出圖形：設球心為O，過ABC三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．4．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】C【解析】對于，當為內與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設，則當為內與平行的直線時，，錯誤.故選：.5．已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當“直線a和直線b相交”時，平面α和平面β必有公共點，即平面α和平面β相交，充分性成立；當“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點”，即必要性不成立.故選A.6．如圖所示，在長方體中，，則與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，在平面內過點作的垂線，垂足為，連接.平面，的正弦值即為所求.，，.7．已知正四棱柱中，，E為中點，則異面直線BE與所成角的余弦值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐標系解，注意線線角不大于,故選C.取DD1中點F，則為所求角,，選C.8．如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B′AC＝60°．那么這個二面角大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】C【解析】因為AD是等腰直角△ABC斜邊BC上的高，所以，因此是二面角的平面角，∠B′AC＝60°．所以是等邊三角形，因此，在中.故選：C二、多選題9．下列命題為真命題的是（）A．若兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合B．若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直C．垂直于同一條直線的兩條直線相互平行D．若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面不垂直【答案】BD【解析】A錯，兩個平面相交時，也有無數(shù)個公共點；B選項就是面面垂直的判定定理，正確；C錯，比如，，，顯然有，，但b與c也可能相交；D利用反證法證明，假設這條直線與另一個平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任何一條直線，當然就垂直于這條交線，與已知條件矛盾，所以原說法正確.故選：BD.10．如圖,在棱長均相等的四棱錐中,為底面正方形的中心,,分別為側棱,的中點,有下列結論正確的有：()A．∥平面 B．平面∥平面C．直線與直線所成角的大小為 D．【答案】ABD【解析】選項A,連接BD，顯然O為BD的中點，又N為PB的中點，所以∥ON,由線面平行的判定定理可得，∥平面；選項B,由,分別為側棱,的中點,得MN∥AB,又底面為正方形，所以MN∥CD，由線面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又選項A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；選項C,因為MN∥CD，所以∠PDC為直線與直線所成的角，又因為所有棱長都相等，所以∠PDC=，故直線與直線所成角的大小為；選項D，因底面為正方形，所以,又所有棱長都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正確.11、正方體的棱長為2,分別為的中點,則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點與點到平面的距離相等【答案】BC【解析】A．若，又因為且，所以平面，所以，所以，顯然不成立，故結論錯誤；B．如圖所示，取的中點，連接，由條件可知：，，且，所以平面平面，又因為平面，所以平面，故結論正確；C．如圖所示，連接，延長交于點，因為為的中點，所以，所以四點共面，所以截面即為梯形，又因為，，所以，所以，故結論正確；D．記點與點到平面的距離分別為，因為，又因為，所以，故結論錯誤.故選：BC.12．正方體的棱長為2，已知平面，則關于截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A．截面形狀可能為正三角形 B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六訪形 D．截面面積最大值為【答案】ACD【解析】如圖，顯然A,C成立，下面說明D成立，如圖設截面為多邊形，設，則，則所以多邊形的面積為兩個等腰梯形的面積和，所以因為，，所以當時，，故D成立。故選：ACD．三、填空題13．一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為1的正方形，則該圓柱的體積是____．【答案】【解析】依題意可得，圓柱的高為1，底面周長為1，則底面半徑為，所以圓柱體積為.故答案為：.14．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．【答案】【解析】如圖:因為平面,平面,且平面平面,所以,又因為為的中點,所以為的中點,所以,因為正方體的棱長為2.所以,所以.故答案為:.15．如圖所示，在正方體中，分別是棱和上的點，若是直角，則________.【答案】90°【解析】因為正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，所以MN⊥MB1，因為B1C1是棱，所以MN⊥B1C1，所以MN⊥平面MB1C1，所以∠C1MN=90°故答案為90°16．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b(b<a)．若Q是CD上的動點，則三棱錐Q-D1EF的體積為________．【答案】【解析】VQD1EF＝VD1QEF＝S△QEF·DD1＝b×a×a＝a2b.四、解答題17．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，三角形面旋轉一周形成一旋轉體，求此旋轉體的表面積和體積．【答案】表面積為π，體積為π.【解析】過C點作CD⊥AB，垂足為D．△ABC以AB所在直線為軸旋轉一周，所得到的旋轉體是兩個底面重合的圓錐，如圖所示，這兩個圓錐高的和為AB＝5，底面半徑DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.V＝π·DC2·AD＋π·DC2·BD＝π·DC2(AD＋BD)＝π.即所得旋轉體的表面積為π，體積為π.18．如圖是一個以為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為△ABC，已知，，，，，求：（1）該幾何體的體積；（2）截面△ABC的面積.【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點A2，B2.由直三棱柱性質及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則該幾何體的體積V＝＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6，（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2.則S△ABC＝×2×＝19．如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，點D是AB的中點（1）求證：；（2）求證：平面【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）直三棱柱面又AC=9，BC=12，AB=15面（2）取的中點，連結和//，且=四邊形為平行四邊形∥面∥，且=四邊形為平行四邊形∥面面∥面平面20．在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點，分別是棱，的中點．（）求證：平面平面．（）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】[證明]（1）∵，，垂足為，∴是的中點，又因為是的中點，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥平面.又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面，且交線為，又平面，，∴平面，∵平面，∴，又因為，，、平面，∴平面，∵平面，∴.21．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到C′點，且C′點在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求證：BC′⊥平面AC′D；(2)求點A到平面BC′D的距離．【答案】(1)詳見解析(2)【解析】(1)證明∵點在平面上的射影在上，∴平面，平面，∴．又∵，，∴平面，又平面，∴．又∵，∴．∵，∴平面．(2)如圖所示，過作，垂足為，連接．∵平面，平面，∴，又，∴平面．故的長就是點到平面的距離．∵，，，∴平面，又平面，∴．在中，．在中，．在中，由面積關系，得．∴點到平面的距離是．22．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．(1)求證：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．【答案】(1)詳見解析(2)【解析】(1)證明:連接，如圖所示．∵分別為中點，∴．∵面，面，∴面．∵面，面，∴．在正方形中，，又∵，∴面．又∵面，∴面面．(2)取中點，連接．∵為中點，∴為的中位線，∴．又∵面，∴面，由（1）可知面，而面，所以，∵，∴為二面角的平面角，∴．在中，，∴，∴．∴．《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷（三）一、單選題（每題5分，8題共40分）1．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A．①是棱臺 B．②是圓臺 C．③是四面體 D．④不是棱柱2．已知兩個平面相互垂直，下列命題①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知正三棱柱，為的外心，則異面直線與所成角的大小為（）A．30° B．60° C．45° D．90°5．已知三棱錐，面面，，，，則三棱錐外接球的表面積（）A． B． C． D．6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，VA垂直于⊙O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是（）A．MNAB B．MN與BC所成的角為45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC7．已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為，設四面體的表面積為，則等于（）A． B． C． D．8．古希臘數(shù)學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6π現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為（）A． B． C．π D．二、多選題（每題不止一個選擇為正確答案，每題5分，4題共20分）9．已知直三棱柱中，，，是的中點，為的中點.點是上的動點，則下列說法正確的是（）A．當點運動到中點時，直線與平面所成的角的正切值為B．無論點在上怎么運動，都有C．當點運動到中點時，才有與相交于一點，記為，且D．無論點在上怎么運動，直線與所成角都不可能是30°10．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B．C． D．11．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點，則下列選項中正確的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱錐C1﹣B1CE的體積為D．異面直線B1C與BD所成的角為45°12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF三、填空題（每題5分，4題共20分）13．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.14．如圖，點E是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點，使得③四面體的體積為定值④當時，平面平面15．如圖，已知直四棱柱的所有棱長均相等，，E是棱的中點，設平面經過直線，且平面平面，若平面，則異面直線與所成的角的余弦值為_______．16．已知四棱錐的底面是矩形，其中，側棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為___________.四、解答題（第17題10分，其余每題12分，共70分）17．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點.（1）求證：EF∥平面PBC；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC．18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面底面ABCD，M是PD的中點.（1）求證：平面PCD；（2）求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.19．如圖，在三棱錐P-ABC中，，底面ABC.（1）求證：平面平面PBC；（2）若，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值.20．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點.（1）求證;（2）求三棱錐的體積.21．已知四邊形，，，將沿翻折至.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求與面所成角的正弦值.22．如圖，在長方體中，分別為的中點，是上一個動點，且.（1）當時，求證：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.《第八章立體幾何初步》單元檢測試卷（三）答案解析一、單選題（每題5分，8題共40分）1．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A．①是棱臺 B．②是圓臺 C．③是四面體 D．④不是棱柱【答案】C【解析】圖①不是由棱錐截來的，所以①不是棱臺；圖②上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺；圖③是四面體.圖④前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱.故選：C.2．已知兩個平面相互垂直，下列命題①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意，對于①，當兩個平面垂直時，一個平面內的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內的任意一條直線，故①錯誤；對于②，設平面α∩平面β=m，n?α，l?β，∵平面α⊥平面β，∴當l⊥m時，必有l(wèi)⊥α，而n?α，∴l(xiāng)⊥n，而在平面β內與l平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線，即②正確；對于③，當兩個平面垂直時，一個平面內的任一條直線不不一定垂直于另一個平面，故③錯誤；對于④，當兩個平面垂直時，過一個平面內任意一點作交線的垂線，若該直線不在第一個平面內，則此直線不一定垂直于另一個平面，故④錯誤；故選A．3．已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】若,可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D

4．已知正三棱柱，為的外心，則異面直線與所成角的大小為（）A．30° B．60° C．45° D．90°【答案】D【解析】如圖，是等邊三角形，且為的外心，是的垂心，，且平面，平面，，平面，且平面，，異面直線與所成角的大小為．故選：D．5．已知三棱錐，面面，，，，則三棱錐外接球的表面積（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖所示，取的中點，連接、，，為的中點，，平面平面，交線為，平面，平面，,為外接圓圓心，則球心在直線上，設三棱錐外接球的半徑為，則，，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，VA垂直于⊙O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是（）A．MNAB B．MN與BC所成的角為45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC【答案】D【解析】M，N分別為VA，VC的中點，在△中有，在面中，MN不與AB平行；，知：MN與BC所成的角為；因為面，與平面內交線都不垂直，OC不與平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故選：D7．已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為，設四面體的表面積為，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，正四面體四個面的中心分別為、、、，四面體也是正四面體．連接并延長與交于點，連接并延長與交于點．、分別為面的中心，．．又，．面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為；．故選：．8．古希臘數(shù)學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6π現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為（）A． B． C．π D．【答案】B【解析】設球的半徑為r，則由題意可得球的表面積為，所以r＝1，所以圓柱的底面半徑為1，高為2，所以最多可以注入的水的體積為.故選：B.二、多選題（每題不止一個選擇為正確答案，每題5分，4題共20分）9．已知直三棱柱中，，，是的中點，為的中點.點是上的動點，則下列說法正確的是（）A．當點運動到中點時，直線與平面所成的角的正切值為B．無論點在上怎么運動，都有C．當點運動到中點時，才有與相交于一點，記為，且D．無論點在上怎么運動，直線與所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】直三棱柱中，，選項A中，當點運動到中點時，有E為的中點，連接、，如下圖示即有面∴直線與平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正確選項B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示由題意知，為正方形，即有而且為直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可證：，又∴面，又面，即有，故B正確選項C中，點運動到中點時，即在△中、均為中位線∴Q為中位線的交點∴根據(jù)中位線的性質有：，故C錯誤選項D中，由于，直線與所成角即為與所成角：結合下圖分析知：點在上運動時當在或上時，最大為45°當在中點上時，最小為∴不可能是30°，故D正確故選：ABD10．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；對于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，故B不成立；對于C，過M作ME∥AB，則E是中點，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，故C不成立；對于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故選：AD.11．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點，則下列選項中正確的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱錐C1﹣B1CE的體積為D．異面直線B1C與BD所成的角為45°【答案】AB【解析】如圖，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E?平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正確；∵B1C∥A1D，A1D?平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正確；三棱錐C1﹣B1CE的體積為，故C錯誤；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，又△CB1D1是等邊三角形，∴異面直線B1C與BD所成的角為60°，故D錯誤.故選：AB.12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF【答案】BC【解析】由題意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，而AG與平面EFH不垂直.∴B正確，A不正確.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正確.HG與AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正確.D不正確.故選：BC.三、填空題（每題5分，4題共20分）13．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：14．如圖，點E是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點，使得③四面體的體積為定值④當時，平面平面【答案】②③④.【解析】對于①：連接交于點，當點在點時直線與直線相交，故①不正確，以為坐標原點，建立如圖所示