中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)2.3突破訓(xùn)練：一元一次不等式(組)及其應(yīng)用類型題舉例(原卷版+解析)

2.3突破訓(xùn)練：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用類型題舉例類型體系（本專題共78題56頁(yè)）考點(diǎn)1：解一元一次不等式（組）典例1：（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）計(jì)算題．(1)解不等式：，并寫出所有的自然數(shù)解．(2)解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．鞏固練習(xí)1．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期末）將不等式與的解集在同一數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則此不等式組的解集是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元一次不等式的解為（）A． B． C． D．4．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一元一次不等式的解集為______．5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列解不等式的過程中，下列步驟：①去分母，得；②去括號(hào)，得；③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得；④系數(shù)化為1，得．其中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_________；6．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）解不等式：．7．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）以下是紅紅同學(xué)解不等式：的解答過程；解：紅紅同學(xué)解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程．8．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列不等式（組）．(1)．(2)9．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）按要求答題．(1)解不等式：；(2)解不等式組：．10．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）解不等式組：，并把它的解集在所給的數(shù)軸上表示出來．11．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．(1)(2)．12．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列不等式（組）：(1)(2)．13．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解不等式（組）：(1)；(2)．14．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列不等式組并將解集在下列數(shù)軸上表示出來．(1)(2)考點(diǎn)2：含有字母參數(shù)的一元一次不等式（組）典例1：（1）（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的值是（）A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5（2）（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知不等式的解集為，則______；典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組(1)當(dāng)時(shí)，求不等式組的解集；(2)若不等式組的解集是，求的值；(3)若不等式組有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是______．鞏固練習(xí)1．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于的一元一次不等式的解集為，則的值不能為（）A． B． C． D．32．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“△”，其規(guī)則是：．已知不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的值是（

）A．－2 B．－3 C．－1 D．03．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎P(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．或 C．或 D．4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)數(shù)和在數(shù)軸上從左到右排列，那么關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．6．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的不等式組有解且每一個(gè)的值均不在的范圍中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022春·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式組恰好有6個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）若不等式組的解為，則下列各式正確的是（）A． B． C． D．9．（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式組無解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為，滿足條件的所有整數(shù)m的和是（

）A．13 B．－15 C．－2 D．012．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若不等式組有解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．13．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組只有4個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．14．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是______．15．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是，，，，則整數(shù)的最小值是______．16．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的最大整數(shù)解為1，則a的取值范圍是___________．17．（2022春·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式有個(gè)非正整數(shù)解，則的取值范圍是________．18．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的不等式組無解，那么m的取值范圍是___________；19．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知不等式組的解集為，則的值為__________．20．（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．考點(diǎn)3：方程（組）與不等式（組）綜合問題典例1：（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．（2）已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求的最大整數(shù)值．典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程．（1）若此方程的解為，則______．（2）若此方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為______．典例3：（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組有解，且使得關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，求所有的整數(shù)m的和.鞏固練習(xí)1．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（

）A．12 B．16 C．18 D．492．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式的最小整數(shù)解是方程的解，則a的值為（）A． B． C． D．3．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．4．（2022春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．5．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．且 B．且 C．且 D．6．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）若關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，且關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（

）A．9 B．6 C．11 D．147．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．4 B．9 C．11 D．128．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，且關(guān)于的不等式組恰有4個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)值之和為（

）A． B． C． D．9．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．11 B．14 C．16 D．910．（2022秋·重慶·九年級(jí)西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于的不等式組無解，則滿足條件的所有整數(shù)的和是（

）A．0 B．3 C．5 D．811．（2022秋·重慶江北·八年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的m的所有值的和是（

）A．5 B．6 C．8 D．912．（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知整數(shù)a，使得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正數(shù)，且關(guān)于x的一元一次不等式至少有3個(gè)負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)有（

）A．6 B．5 C．4 D．113．（2022春·福建泉州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組，給出下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)a＝1時(shí)，方程組的解也是方程x+y＝4﹣a的解②當(dāng)a＝﹣2時(shí)，x、y的值互為相反數(shù)；③不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變；④若x≤1，則y≥；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)14．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是______．15．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程的解滿足不等式，則可取的負(fù)整數(shù)為______．16．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2x+y＞5，則a的取值范圍是_______．17．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組的解滿足，則的取值范圍是__________．18．（2022秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為__________．19．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件所有整數(shù)的積為______．20．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）要使方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)a有___________個(gè)．21．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的取值范圍是__．22．（2022秋·山東青島·九年級(jí)青島三十九中?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)若為負(fù)整數(shù)，方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，直接寫出的值______．23．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）解方程組．(1)下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即把方程①代入③得：…請(qǐng)完成解方程組的過程；(2)若方程的解滿足，求整數(shù)a的值．考點(diǎn)4：不等式（組）的應(yīng)用問題典例1：（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）順豐快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購(gòu)買機(jī)器人來代替人工分揀，已知購(gòu)買1臺(tái)甲型機(jī)器人比購(gòu)買1臺(tái)乙型機(jī)器人貴2萬元，且用16萬元購(gòu)回乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)與24萬元購(gòu)回甲型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種型號(hào)的機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格各是多少萬元；(2)已知甲型和乙型機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計(jì)劃購(gòu)買這兩種型號(hào)的機(jī)器人共8臺(tái)，總費(fèi)用不超過41萬元，并且使這8臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞件數(shù)總和不少于8300件，則該公司有哪幾種購(gòu)買方案？哪個(gè)方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少萬元？典例2：（2022春·北京西城·七年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》中明確指出：“健康體魄是青少年為祖國(guó)和人民服務(wù)的基本前提，是中華民族旺盛生命力的體現(xiàn)．”王老師所在的學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，需要購(gòu)買若干個(gè)足球和籃球．他曾三次在某商場(chǎng)購(gòu)買過足球和籃球，其中有一次購(gòu)買時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買．三次購(gòu)買足球和籃球的數(shù)量和費(fèi)用如下表：足球數(shù)量（個(gè)）籃球數(shù)量（個(gè)）總費(fèi)用（元）第一次65700第二次37710第三次78693(1)王老師是第次購(gòu)買足球和籃球時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售的；(2)求足球和籃球的標(biāo)價(jià)；(3)如果現(xiàn)在商場(chǎng)均以標(biāo)價(jià)的6折對(duì)足球和籃球進(jìn)行促銷，王老師決定從該商場(chǎng)一次性購(gòu)買足球和籃球60個(gè)，且總費(fèi)用不能超過2500元，那么最多可以購(gòu)買個(gè)籃球．鞏固練習(xí)1．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校欲購(gòu)買A，B兩種型號(hào)拖把．其中A型拖把的單價(jià)比B型拖把的單價(jià)少9元，且用3120元購(gòu)買A型拖把的數(shù)量與用4200元購(gòu)買B型拖把的數(shù)量相等．(1)求A、B型拖把的單價(jià)分別是多少元？(2)若購(gòu)買兩種拖把共200個(gè)，且購(gòu)買A型拖把的數(shù)量不超過B型拖把數(shù)量的，如何購(gòu)買，才能使購(gòu)買總費(fèi)用最低？最低是多少元？2．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022成都世乒賽期間，某店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款紀(jì)念品B款紀(jì)念品進(jìn)貨價(jià)（元/件）2015銷售價(jià)（元/件）3527(1)該店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B款紀(jì)念品共50件，求兩款紀(jì)念品分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；(2)第一次購(gòu)進(jìn)的紀(jì)念品售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少?(3)成都世乒賽臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款紀(jì)念品調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤(rùn)為90元？3．（2022秋·山西朔州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）某服裝店到廠家選購(gòu)A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進(jìn)價(jià)比B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)多元，已知用元購(gòu)進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用元購(gòu)進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍．(1)求A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)若A品牌服裝每套售價(jià)為元，B品牌服裝每套售價(jià)為元，服裝店老板決定，購(gòu)進(jìn)B品牌服裝的數(shù)量比購(gòu)進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總利潤(rùn)不少于元，則最少購(gòu)進(jìn)A品牌的服裝多少套？4．（2022秋·安徽淮北·八年級(jí)校考期末）某學(xué)校購(gòu)買一批籃球和排球，已知購(gòu)買2個(gè)籃球和1個(gè)排球需170元，購(gòu)買5個(gè)籃球和2個(gè)排球需400元．(1)分別求籃球和排球的單價(jià)．(2)該學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買籃球和排球共100個(gè)，每種球至少買一個(gè)且籃球個(gè)數(shù)不少于排球個(gè)數(shù)的3倍．①設(shè)購(gòu)買籃球（個(gè)），總費(fèi)用為（元），寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并寫出自變量的取值范圍；②請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)總費(fèi)用最低的購(gòu)買方案，并求出最低費(fèi)用．5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）哈工大圖書館新進(jìn)一批圖書，張強(qiáng)和李明兩位圖書員負(fù)責(zé)整理圖書，已知張強(qiáng)3小時(shí)清點(diǎn)完這批圖書的一半，李明加入清點(diǎn)另一半圖書的工作，兩人合作小時(shí)清點(diǎn)完另一半圖書；(1)如果李明單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要幾小時(shí)？(2)經(jīng)過一段時(shí)間，這批圖書破損嚴(yán)重，哈工大圖書館決定在致知書店購(gòu)買甲、乙兩種圖書共120本進(jìn)行補(bǔ)充，該書店每本甲種圖書的售價(jià)為25元，進(jìn)價(jià)20元；每本乙種圖書的售價(jià)為40元，進(jìn)價(jià)30元．如果此批圖書全部售出后所得利潤(rùn)不低于950元，那么該書店至少需要賣出乙種圖書多少本？6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第三十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）冬季來臨，是流感的高發(fā)期，我校積極進(jìn)行班級(jí)環(huán)境消毒，總務(wù)處購(gòu)買甲、乙兩種消毒液共100瓶，購(gòu)買這兩種消毒液共用780元，其中甲種消毒液共用240元，且乙種消毒液的單價(jià)是甲種消毒液?jiǎn)蝺r(jià)的1.5倍．(1)求甲、乙兩種消毒液的單價(jià)各為多少元？(2)該校準(zhǔn)備再次購(gòu)買這兩種消毒液（不包括已購(gòu)買的100瓶），共140瓶，且所需費(fèi)用不超過1200元，問甲種消毒液至少要購(gòu)買多少瓶？7．（2022秋·上海·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一把直角三角尺的一邊緊貼在直線l上，，，，直角三角尺先繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線1上，然后繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線l上，再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使落在直線l上，此時(shí)，三角形的放置方式與初始的放置方式一樣，我們稱這樣的旋轉(zhuǎn)為一個(gè)周期．請(qǐng)問，再經(jīng)過幾個(gè)周期，點(diǎn)B走過的路程就會(huì)超過100？8．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，完成全部工程．(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？(3)在（2）的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．9．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┙陙硇鹿谝咔榻o人們的生活帶來很大影響，體溫問題倍受人們關(guān)注．某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種，每臺(tái)乙設(shè)備價(jià)格比每臺(tái)甲設(shè)備價(jià)格多1.4萬元，花6萬元購(gòu)買甲設(shè)備和花14.4萬元購(gòu)買乙設(shè)備的數(shù)量相同．(1)求甲、乙設(shè)備每臺(tái)各多少萬元？(2)根據(jù)銷售情況，需購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種設(shè)備共40臺(tái)，總費(fèi)用不高于60萬元，求甲種設(shè)備至少要購(gòu)買多少臺(tái)？(3)若每臺(tái)甲種設(shè)備售價(jià)1.8萬元，每臺(tái)乙種設(shè)備售價(jià)4萬元，在（2）的情況下商場(chǎng)應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批空氣凈化裝置售完后獲利最多？10．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某地由于開發(fā)建設(shè)，需要對(duì)居民進(jìn)行移民搬遷工作，2020年為做好移民搬遷，投入資金2000萬元用于移民搬遷安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2022年投入資金2880萬元．(1)從2020年到2022年，該地投入移民搬遷安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少？(2)在2022年移民搬遷安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于736萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)12元，1000戶以后每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，按租房400天計(jì)算，求2022年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．11．（2022秋·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了提高服務(wù)質(zhì)量，某賓館決定對(duì)甲、乙兩種套房進(jìn)行星級(jí)提升，已知甲種套房提升費(fèi)用比乙種套房提升費(fèi)用少3萬元，如果提升相同數(shù)量的套房，甲種套房費(fèi)用為625萬元，乙種套房費(fèi)用為700萬元．(1)甲、乙兩種套房每套提升費(fèi)用各多少萬元？(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套，市政府籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于甲、乙種套房星級(jí)提升，市政府對(duì)兩種套房的提升有哪幾種方案？2.3突破訓(xùn)練：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用類型題舉例類型體系（本專題共78題56頁(yè)）考點(diǎn)1：解一元一次不等式（組）典例1：（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）計(jì)算題．(1)解不等式：，并寫出所有的自然數(shù)解．(2)解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．【答案】(1)自然數(shù)解為：0，1，2(2)不等式組的解集為；在數(shù)軸上表示見解析【分析】（1）先求出不等式的解集，然后寫出不等式的自然數(shù)解即可；（2）像求出兩個(gè)不等式的解集，然后再求出不等式組的解集，最后將解集表示在數(shù)軸掌即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，自然數(shù)解為：0，1，2．（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，數(shù)軸表示如圖：鞏固練習(xí)1．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀⒉坏仁脚c的解集在同一數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集可得答案．【詳解】解：由，得：，由，得：，表示在數(shù)軸上如下：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式，正確求出每一個(gè)不等式解集是關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則此不等式組的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸表示不等式組解集的方法：實(shí)心點(diǎn)代表取“”、空心點(diǎn)代表不取“”；方向向右取“”或“”、方向向左取“”或“”即可得到答案．【詳解】解：由圖可得不等式組的解集是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)用數(shù)軸表示不等式組解集方法的理解，熟記實(shí)心點(diǎn)代表取“”、空心點(diǎn)代表不取“”；方向向右取“”或“”、方向向左取“”或“”是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元一次不等式的解為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先移項(xiàng)，再把未知數(shù)的系數(shù)化“1”即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，解得：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的解法步驟”是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一元一次不等式的解集為______．【答案】##【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式兩邊同時(shí)乘即可得到答案．【詳解】解：不等式的兩邊同時(shí)乘，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列解不等式的過程中，下列步驟：①去分母，得；②去括號(hào)，得；③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得；④系數(shù)化為1，得．其中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_________；【答案】①【分析】根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟，逐步檢查，即可求解．【詳解】解：，①去分母，得；（漏乘，出現(xiàn)錯(cuò)誤）②去括號(hào)，得；③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得；④系數(shù)化為1，得．故答案為①【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的基本步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·上海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解不等式：．【答案】【分析】移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可得到答案．【詳解】解：移項(xiàng)得，即兩邊同時(shí)除以可得，化簡(jiǎn)得：．【點(diǎn)睛】本題考查解不等式，解題的關(guān)鍵是注意符號(hào)的變化．7．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）以下是紅紅同學(xué)解不等式：的解答過程；解：紅紅同學(xué)解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程．【答案】有誤，正確過程見解析【分析】在去分母的時(shí)候有錯(cuò)誤，所以紅紅的解答不對(duì)，正確解答即可．【詳解】解：紅紅同學(xué)的解答不對(duì)，正確的解答過程如下：∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，去分母時(shí)，不等式的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列不等式（組）．(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化時(shí)根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘以（除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變化，即可得出結(jié)果．（2）先解出不等式，再解出不等式，最后在數(shù)軸上找出兩個(gè)不等式的公共部分，得到解集．【詳解】（1）解：（1）去括號(hào)得：移項(xiàng)得：合并得：系數(shù)化為得：故答案為：（2）解：解不等式①得：解不等式②得:∴不等式組的解集為:【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法等知識(shí)點(diǎn)，熟記不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）按要求答題．(1)解不等式：；(2)解不等式組：．【答案】(1)(2)無解【分析】（1）運(yùn)用一元一次不等式的知識(shí)即可求解；（2）運(yùn)用一元一次不等式組的知識(shí)即可求解．【詳解】（1）移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組無解．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式及一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式及一元一次不等式組的解法．10．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）解不等式組：，并把它的解集在所給的數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由，得：，由，得：，則不等式組的解集為，將解集表示在數(shù)軸上如下：【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解下列不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．(1)(2)．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】（1）按照不等式的性質(zhì)求解，并在數(shù)軸上表示出來即可；（2）先分別解不等式①和②，由不等式組解集的取法得不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】（1）去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，把的系數(shù)化為得：；（2），由①得：，由②得：，不等式組的解集為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式和解不等式組，以及在數(shù)軸上表示其解集，牢固掌握不等式的性質(zhì)，明確不等式組解集的取法，是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列不等式（組）：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）不等式去分母，移項(xiàng)合并，把系數(shù)化為1，即可求出解集；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．【詳解】（1）解：去分母得：，移項(xiàng)得：，合并得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：，由①得：，由②得：，不等式組的解集為．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，以及解一元一次不等式，熟練掌握不等式及不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解不等式（組）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）不等式去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把x系數(shù)化為1，即可求出解集；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．【詳解】（1）解：去分母得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：；（2）解：，由①得：，由②得：，則不等式組的解集為．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的解法，其中一元一次不等式的解法步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，將x系數(shù)化為1，不等式組取解集的方法為：同大取大；同小取小；大小小大去中間；大大小小無解．14．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列不等式組并將解集在下列數(shù)軸上表示出來．(1)(2)【答案】(1)，數(shù)軸上表示見解析(2)，數(shù)軸上表示見解析【分析】（1）先求出每個(gè)不等式的解集，再確定不等式組的解集并表示在數(shù)軸上即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再確定不等式組的解集并表示在數(shù)軸上即可．【詳解】（1）解：解不等式①得；解不等式②得．∴不等式組的解集為．把解集表示在數(shù)軸上為：（2）由①得，由②得，所以原不等式的解是，所以在數(shù)軸上表示為【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解法和在數(shù)軸上表示解集，確定不等式解集時(shí)，要熟記口訣，去分母時(shí)注意不要漏乘沒有分母的項(xiàng)．考點(diǎn)2：含有字母參數(shù)的一元一次不等式（組）典例1：（1）（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的值是（）A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5【答案】A【分析】去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1解出不等式，然后根據(jù)數(shù)軸圖找出不等式解集，進(jìn)而求出a的值．【詳解】解：去分母得：，移項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，根據(jù)數(shù)軸圖知解集為，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法，解題關(guān)鍵是熟知一元一次不等式的解法并能根據(jù)數(shù)軸圖寫出解集．（2）（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知不等式的解集為，則______；【答案】【分析】現(xiàn)將不等式的解集用含的式子表示出來，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：，∴，解方程得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)不等式的解集求參數(shù)，解方程，掌握解不等式的方法，解方程的方法是解題的關(guān)鍵．典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組(1)當(dāng)時(shí)，求不等式組的解集；(2)若不等式組的解集是，求的值；(3)若不等式組有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是______．【答案】(1)不等式組的解集為：；(2)(3)【分析】（1）將代入不等式組，然后利用“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定不等式組的解集；（2）利用“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍；（3）根據(jù)不等式組中確定不等式組的整數(shù)解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴原不等式組解得：，∴不等式組的解集為：；（2）解：當(dāng)不等式組的解集是時(shí)，，解得；（3）解：由，當(dāng)不等式組有三個(gè)整數(shù)解時(shí)，則不等式組的整數(shù)解為、、，又∵且，∴，解得．故答案為：．鞏固練習(xí)1．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于的一元一次不等式的解集為，則的值不能為（）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得關(guān)于的不等式，解不等式，可得答案．【詳解】解：由關(guān)于的一元一次不等式的解集為，得，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)得出關(guān)于的不等式是解題關(guān)鍵．2．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“△”，其規(guī)則是：．已知不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的值是（

）A．－2 B．－3 C．－1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)新運(yùn)算法則得到不等式，通過解不等式即可求k的取值范圍，結(jié)合圖象可以求得k的值．【詳解】解：根據(jù)圖示知，已知不等式的解集是．∵，∴，∴，∴解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．3．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中校考期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】由題意知，，，且，故不等式可變形為或，解之即可．【詳解】解：∵不等式的解集是，∴，且，∴，∴不等式可變?yōu)?，∴∴或，∴或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式組的解法，以及分式的值大于0的解法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，將分式的值大于零轉(zhuǎn)化為不等式組是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)數(shù)和在數(shù)軸上從左到右排列，那么關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意判斷出，即，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意知，，移項(xiàng)，得：，化系數(shù)為1得：則關(guān)于的不等式的解集為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．5．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式組無解得出，求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組無解，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式，熟練掌握利用一元一次不等式組無解求相關(guān)字母的取值是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的不等式組有解且每一個(gè)的值均不在的范圍中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出不等式組的解集，根據(jù)不等式組解集所處條件范圍，列出關(guān)于a的不等式，解不等式可得答案．【詳解】解：由，解得：，由的不等式組的解集中每一個(gè)值均不在的范圍中，得：或，解得：或，∵不等式組有解，∴，解得：，綜上分析可知，，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式組的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性質(zhì)，逆向應(yīng)用是本題的特點(diǎn)．7．（2022春·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式組恰好有6個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解每個(gè)不等式，根據(jù)不等式組有6個(gè)整數(shù)解，確定整數(shù)解的值，進(jìn)而求得的范圍．【詳解】解：，解①得：，解②得：，∴，∵不等式組的整數(shù)解有6個(gè)，∴不等式組的整數(shù)解為、0、1、2、3、4，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意求出關(guān)于的不等式組．8．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）若不等式組的解為，則下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式組的解集同大取較大，可得答案．【詳解】解：不等式組的解為，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)不等式組解集的求法解答．求不等式組的解集，應(yīng)注意：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．9．（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式組整理后，表示出解集，根據(jù)整數(shù)解共有3個(gè)，確定出a的取值范圍即可．【詳解】解：不等式組整理得：，∵不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，∴，整數(shù)解為，0，1，則a的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式組無解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小無解了，確定關(guān)于a的不等式，解之可得．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組無解，，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．11．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為，滿足條件的所有整數(shù)m的和是（

）A．13 B．－15 C．－2 D．0【答案】C【分析】先解不等式組求得解集，然后再根據(jù)所有整數(shù)解的和為確定m的取值范圍，進(jìn)而確定m的可能取值，最后求和即可．【詳解】解：解不等式①可得：解不等式②可得：∴不等式組的解集為：∵不等式組的所有整數(shù)解的和為∴或∴或∴或∴m的值為，則．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確求解不等式成為解答本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若不等式組有解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的方法和步驟求出不等式組的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小沒得找”即可進(jìn)行解答．【詳解】解：，由①得，，由②得，，∵不等式組有解，∴，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握寫出不等式組解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小沒得找．13．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式組只有4個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出不等式組的解集，再根據(jù)題意求a的取值范圍即可．【詳解】解：，解①得，解②得，所以不等式組的解集為，因?yàn)椴坏仁浇M只有4個(gè)整數(shù)解，所以，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求不等式組的解集和根據(jù)解集求取值范圍，正確求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是______．【答案】【分析】根據(jù)已知不等式的解集，即可確定的值以及的符號(hào)，進(jìn)而求得，進(jìn)一步求得，從而解不等式即可．【詳解】解：移項(xiàng)，得：，根據(jù)題意得：且，即，則，又，即，則，則關(guān)于的不等式化為：，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，正確確定、的關(guān)系以及的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是，，，，則整數(shù)的最小值是______．【答案】【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于的不等式，從而求出的范圍．【詳解】∵，∴，∵不等式的正整數(shù)解恰是，，，，∴，∴的取值范圍是．∴整數(shù)的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解出不等式的解集，確定的范圍是解決本題的關(guān)鍵．解不等式時(shí)要用到不等式的基本性質(zhì)．16．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的最大整數(shù)解為1，則a的取值范圍是___________．【答案】【分析】先解出不等式的解集，再根據(jù)最大整數(shù)解為1列出關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可.【詳解】解不等式，得：，∵最大整數(shù)解為1，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有參數(shù)的不等式，熟練掌握解不等式(組)是解題的關(guān)鍵.17．（2022春·貴州遵義·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式有個(gè)非正整數(shù)解，則的取值范圍是________．【答案】【分析】首先解不等式，然后根據(jù)條件即可確定a的值．【詳解】解：∵，∴，∵不等式有4個(gè)非正整數(shù)解，∴關(guān)于x的一元一次不等式的4個(gè)非正整數(shù)解是，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，要熟練掌握，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式的整數(shù)解．18．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的不等式組無解，那么m的取值范圍是___________；【答案】##【分析】根據(jù)不等式組無解，得出新的不等式，求解新不等式，即可得出答案．【詳解】解：ｘ的不等式組無解，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，一元一次不等式組的解集的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于m的不等式．19．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知不等式組的解集為，則的值為__________．【答案】##0.5【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集列出關(guān)于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：，由①可得：，由②可得：，∵不等式組解集為，∴，解得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法以及負(fù)數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)不等式組的解集列出關(guān)于m、n的方程是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．【詳解】解：是一元二次方程，，，解得：，，，原不等式變?yōu)椋?，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程的定義求出m的值．考點(diǎn)3：方程（組）與不等式（組）綜合問題典例1：（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．（2）已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求的最大整數(shù)值．【答案】（1），數(shù)軸見解析；（2）0【分析】（1）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集；（2）兩方程相加得，繼而知，結(jié)合得，解之即可．【詳解】解：（1）由，得：，由，得：，則不等式組的解集為，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：（2）兩方程相加，得：，，，，解得，的最大整數(shù)值為0．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是詳解此題的關(guān)鍵．典例2：（2022春·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程．（1）若此方程的解為，則______．（2）若此方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為______．【答案】

且【分析】（1）將代入原方程，可求出的值；（2）解分式方程，可得出，結(jié)合方程的解為正數(shù)，且分式方程的分母不能為，即可得出的取值范圍為且．【詳解】（1）解：將代入原方程得，解得：，的值為，故答案為：；（2）解：解分式方程得：，分式方程的解為正數(shù)，且，即，且，解得：，且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，牢記定義“求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解”是解題的關(guān)鍵．典例3：（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組有解，且使得關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，求所有的整數(shù)m的和.【答案】【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有解確定的取值范圍．解分式方程，用含的代數(shù)式表示出，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解求出，即可得出答案．【詳解】解：整理不等式組，得，不等式組有解，不等式組的解集為，即，解得．化簡(jiǎn)分式方程，得，解得，由題意知，分式方程有意義，，，即，分式方程有非負(fù)整數(shù)解，是3的非負(fù)整數(shù)倍，或3或，所有的整數(shù)的和為．鞏固練習(xí)1．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（

）A．12 B．16 C．18 D．49【答案】B【分析】先解分式方程，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，可得，且，再根據(jù)，求出a的取值范圍，進(jìn)一步可得滿足條件的整數(shù)a的值，再求和即可．【詳解】解：去分母，得，解得x＝，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，∴且，解得且，∵，∴，∴a的取值范圍是且，∴滿足條件的整數(shù)a的值有6，10，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）若不等式的最小整數(shù)解是方程的解，則a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出不等式的最小整數(shù)解，代入方程，求出a的值即可．【詳解】解：∵解不等式得，，∴其最小整數(shù)解為，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．也考查了一元一次方程的解法．3．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】解分式方程，可得出分式方程的解為，結(jié)合分式方程的解為非負(fù)數(shù)且，即可得出關(guān)于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范圍．【詳解】解：解分式方程得，∵x是非負(fù)數(shù)且，∴且，解得：且，∴b的取值范圍為且．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解以及解一元一次不等式，正確求解分式方程和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】B【分析】先把分式方程化為整式方程，然后得出分式方程的解，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：由分式方程可得：，∵該分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴，且，解得：且；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)校考期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．且 B．且 C．且 D．【答案】B【分析】表示出分式方程的解，由解為正數(shù)確定出的范圍即可．【詳解】解：分式方程整理得：，去分母得：，解得：，由分式方程的解為正數(shù)，得到，且，解得：且．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式的解集，解題關(guān)鍵是始終注意分母不為這個(gè)條件．6．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）若關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，且關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（

）A．9 B．6 C．11 D．14【答案】B【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有解得到，求出，解分式方程，根據(jù)方程有正數(shù)解得到且，進(jìn)一步得到且，可得a的取值，相加即可．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∵一元一次不等式組有解，∴，∴，，，解得：，∵分式方程有正數(shù)解，∴且，∴且，∴a的值為2或4，∴整數(shù)a的值之和為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．4 B．9 C．11 D．12【答案】B【分析】首先解分式方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)，且不是增根，即可得a的取值范圍；再解每一個(gè)一元一次不等式，根據(jù)解集為得到a的取值范圍，據(jù)此即可得到a的最終范圍，即可求得所有整數(shù)a的值，再求和即可．【詳解】解：分式方程兩邊都乘以得：，解得，∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，且，且，解得：且，解不等式組得到：，∵不等式組的解集為，，，且，∴符合條件的整數(shù)a的值為：，，0，1，2，4，5，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集，考慮解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關(guān)鍵．8．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，且關(guān)于的不等式組恰有4個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)值之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解為正整數(shù)確定出的值，表示出不等式組的解集，由不等式組恰好有7個(gè)整數(shù)解，得到的值相加即可．【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，由分式方程解為正整數(shù)，且，得到，，解得：，不等式組整理得：，解得：，由不等式組有解且恰有4個(gè)整數(shù)解，得到整數(shù)解為4，3，2，1，，，則滿足題意的值只能為，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．11 B．14 C．16 D．9【答案】A【分析】分別解出兩個(gè)一元一次不等式，根據(jù)它們沒有公共部分，確定的取值范圍，求出分式方程的解，根據(jù)方程有正整數(shù)解，確定的值，再將滿足條件的所有整數(shù)a，進(jìn)行相加即可得解．【詳解】解：由，得：；由，得：；∵不等式組無解，∴，即：；∵，解得：；∵方程有正整數(shù)解，且，∴滿足條件的所有整數(shù)或或，∵，∴或，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為：；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查解含參的不等式組和分式方程．熟練掌握大大小小，不等式組無解，以及解分式方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·重慶·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于的不等式組無解，則滿足條件的所有整數(shù)的和是（

）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】首先解出分式方程，得出，再根據(jù)分式有意義的條件，得出，再根據(jù)題意，得出且，然后分別解出不等式，再根據(jù)關(guān)于的不等式組無解，得出，解出即可得出，綜合得出且，再根據(jù)為正整數(shù)，得出取、、，然后相加即可得出答案．【詳解】解：分式兩邊同乘以，可得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，可得：，系數(shù)化為1，可得：，∵，∴，∵分式方程有正整數(shù)解，∴，且，∴且，，解不等式，可得：，解不等式，可得：，∵關(guān)于的不等式組無解，∴，解得：，∴綜合可得：且，又∵為正整數(shù)，∴取、、，∴滿足條件的所有整數(shù)的和是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，考核學(xué)生的計(jì)算能力，解分式方程時(shí)一定要檢驗(yàn)．11．（2022秋·重慶江北·八年級(jí)重慶十八中?？茧A段練習(xí)）如果關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的m的所有值的和是（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】先由關(guān)于x的不等式組的解集為，得出，再由關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，得出或5，從而得出答案．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，關(guān)于x的不等式組的解集為，，又分式方程去分母，得，去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為1，得，根據(jù)題意是非負(fù)整數(shù)解，，或5，；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組與分式方程，熟練掌握已知一元一次不等式組的解集求參數(shù)與已知分式方程的解的情況求值，特別注意分式方程一定要檢驗(yàn)是解答此題的關(guān)鍵．12．（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知整數(shù)a，使得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正數(shù)，且關(guān)于x的一元一次不等式至少有3個(gè)負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)有（

）A．6 B．5 C．4 D．1【答案】C【分析】先解方程組，再利用方程組的解為正數(shù)列不等式組得到a的范圍，再解不等式，利用不等式至少有3個(gè)整數(shù)解，列關(guān)于a的不等式得到a的范圍，再確定a的公共部分，結(jié)合整數(shù)a，從而可得答案．【詳解】解：①②得：，把代入①得：，∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為正數(shù)，∴，解得：，∵，∴，∵關(guān)于x的一元一次不等式至少有3個(gè)負(fù)整數(shù)解，∴負(fù)整數(shù)解至少為，，，∴，解得：，∴，∵為整數(shù)，∴為，，，，共4個(gè)數(shù)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，一元一次不等式的解法，不等式的整數(shù)解，熟練的利用不等式的整數(shù)解求解參數(shù)字母的值的范圍是解本題的關(guān)鍵．13．（2022春·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組，給出下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)a＝1時(shí)，方程組的解也是方程x+y＝4﹣a的解②當(dāng)a＝﹣2時(shí)，x、y的值互為相反數(shù)；③不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變；④若x≤1，則y≥；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】解方程組得，①將a＝1的值代入方程組的解和方程中進(jìn)行判斷即可；②將a＝﹣2代入方程組的解，依據(jù)相反數(shù)的概念判斷即可；③將所求x、y代入2x+7y，判斷最后化簡(jiǎn)結(jié)果與a有無關(guān)系即可；④由x≤1得出a的范圍，再結(jié)合a的范圍求出的范圍即可．【詳解】解：解方程組得，①當(dāng)a＝1時(shí)，，此時(shí)方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是該方程的解，正確，不符合題意；②當(dāng)a＝﹣2時(shí)，，x、y不是互為相反數(shù)，錯(cuò)誤，符合題意；③2x+7y＝＝6，不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變，正確，不符合題意；④若x≤1，則≤1，解得a≤，此時(shí)≥，正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組和一元一次不等式及不等式組的能力．14．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是______．【答案】且【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求m的取值范圍．【詳解】解：去分母得，，∴，∵方程的解是正數(shù)，∴即，又因?yàn)椋?，∴，∴，則m的取值范圍是且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解及分式有意義的條件，理解題意得出相應(yīng)不等式求解是關(guān)鍵．15．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程的解滿足不等式，則可取的負(fù)整數(shù)為______．【答案】，【分析】先解方程，求得，再解不等式得，然后解不等式，得出的取值范圍，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：解方程，得，解不等式，得，∵關(guān)于的方程的解滿足不等式，∴，解得，所以滿足條件的的負(fù)整數(shù)值為，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，一元一次方程的解，解一元一次不等式，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．求出方程的解是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2x+y＞5，則a的取值范圍是_______．【答案】【分析】將兩根方程相加可得，根據(jù)得出關(guān)于a的不等式，解之可得答案．【詳解】解：將兩個(gè)方程相加可得，∵，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變．17．（2022春·湖南湘西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組的解滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相加并化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得，即可得到結(jié)果．【詳解】解：得：∴∵∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解法，解一元一次不等式，正確理解題意、掌握加減消元法是關(guān)鍵．18．（2022秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，那么所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為__________．【答案】15【分析】利用不等式無解及分式方程的解為非負(fù)數(shù)得到a的取值范圍，再求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和即可．【詳解】解：∵無解，即無解，∴，解得：，∵關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，即，∴，綜上：，所有滿足條件的整數(shù)a的值之和：，故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式無解的定義及分式方程的解法和非負(fù)數(shù)的定義，能夠熟練的解不等式及分式方程是解題關(guān)鍵．19．（2022秋·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件所有整數(shù)的積為______．【答案】8【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出且，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出，找出且，中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結(jié)論．【詳解】解：分式方程的解為且，∵分式方程的解為正數(shù)，∴且，∴且，解不等式①，得，解不等式②，得，∵關(guān)于y的不等式組的解集為，∴，∴且，又為整數(shù)，則的值為2，4，符合條件的所有整數(shù)的積為，故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為，找出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·重慶北碚·七年級(jí)統(tǒng)考期末）要使方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)a有___________個(gè)．【答案】4【分析】先解方程組，用含a的代數(shù)式表示出方程組的解，根據(jù)方程組有正整數(shù)解求出a的范圍，再求出符合的整數(shù)a即可．【詳解】解：，由②得：③，把③代入①得：，解得：，把代入③得：，即方程組的解是，∵方程組有正整數(shù)解，∴，解得：，∴整數(shù)a有，，0，4，共4個(gè)，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組和解一元一次不等式組等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于a的不等式組是解此題的關(guān)鍵．21．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的取值范圍是__．【答案】【分析】由已知方程組得出且，根據(jù)得出關(guān)于的不等式組，解之即可得出答案．【詳解】解：，，得：，∴，，得：，∵，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組和不等式組得出關(guān)于m的不等式組．22．（2022秋·山東青島·九年級(jí)青島三十九中?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)若為負(fù)整數(shù)，方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，直接寫出的值______．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根的判別式求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論及為負(fù)整數(shù)，可知或，分別代入原方程，求出方程的根，再根據(jù)兩個(gè)根都是整數(shù)對(duì)值進(jìn)行取舍即可．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，．（2）解：，為負(fù)整數(shù)，或，當(dāng)時(shí)，，，解得，，兩個(gè)根不是整數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，即，解得，，兩個(gè)根都是整數(shù)，符合題意；故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程和一元二次方程的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．23．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）解方程組．(1)下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即把方程①代入③得：…請(qǐng)完成解方程組的過程；(2)若方程的解滿足，求整數(shù)a的值．【答案】(1)(2)2或3【分析】（1）把方程①整體代入③得到關(guān)于y的方程，求得，再把代入①得到，從而得到方程組的解；（2）把方程組的解代入得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組求出整數(shù)解即可．【詳解】（1）下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即把方程①代入③得：，解得：，把代入①得：，∴原方程組的解是；（2）由（1）可知方程的解為，∵方程的解滿足，∴，解得．∴整數(shù)a為2或3．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握方程組和不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：不等式（組）的應(yīng)用問題典例1：（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）順豐快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購(gòu)買機(jī)器人來代替人工分揀，已知購(gòu)買1臺(tái)甲型機(jī)器人比購(gòu)買1臺(tái)乙型機(jī)器人貴2萬元，且用16萬元購(gòu)回乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)與24萬元購(gòu)回甲型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種型號(hào)的機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格各是多少萬元；(2)已知甲型和乙型機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計(jì)劃購(gòu)買這兩種型號(hào)的機(jī)器人共8臺(tái)，總費(fèi)用不超過41萬元，并且使這8臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞件數(shù)總和不少于8300件，則該公司有哪幾種購(gòu)買方案？哪個(gè)方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少萬元？【答案】(1)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是6萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是4萬元；(2)見解析．【分析】（1）設(shè)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是x萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是萬元，然后根據(jù)等量關(guān)系“用16萬元購(gòu)回乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)與24萬元購(gòu)回甲型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同”列出分式方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買甲種機(jī)器人m臺(tái)，則購(gòu)買乙種機(jī)器人臺(tái)，然后根據(jù)題意列不等式組確定m的取值范圍，進(jìn)而確定兩種機(jī)器人的數(shù)量；然后分別求出費(fèi)用，最后比較即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是x萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是萬元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合實(shí)際意義，（萬元）．答：甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是6萬元，則乙種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是4萬元．（2）解：設(shè)購(gòu)買甲種機(jī)器人m臺(tái)，則購(gòu)買乙種機(jī)器人臺(tái)，根據(jù)題意得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，即購(gòu)買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)，費(fèi)用為：（萬元），當(dāng)，即購(gòu)買甲種機(jī)器人3臺(tái)，乙種機(jī)器人5臺(tái)，費(fèi)用為：（萬元），當(dāng)，即購(gòu)買甲種機(jī)器人4臺(tái)，乙種機(jī)器人4臺(tái)，費(fèi)用為：（萬元）．綜上可知：購(gòu)買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是36萬元．答：該公司有三種購(gòu)買方案，分別是：①購(gòu)買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)，②購(gòu)買甲種機(jī)器人3臺(tái)，乙種機(jī)器人5臺(tái)，③購(gòu)買甲種機(jī)器人4臺(tái)，乙種機(jī)器人4臺(tái)，其中購(gòu)買甲種機(jī)器人2臺(tái)，乙種機(jī)器人6臺(tái)費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是36萬元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程和不等式組是解答本題的關(guān)鍵．典例2：（2022春·北京西城·七年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》中明確指出：“健康體魄是青少年為祖國(guó)和人民服務(wù)的基本前提，是中華民族旺盛生命力的體現(xiàn)．”王老師所在的學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，需要購(gòu)買若干個(gè)足球和籃球．他曾三次在某商場(chǎng)購(gòu)買過足球和籃球，其中有一次購(gòu)買時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買．三次購(gòu)買足球和籃球的數(shù)量和費(fèi)用如下表：足球數(shù)量（個(gè)）籃球數(shù)量（個(gè)）總費(fèi)用（元）第一次65700第二次37710第三次78693(1)王老師是第次購(gòu)買足球和籃球時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售的；(2)求足球和籃球的標(biāo)價(jià)；(3)如果現(xiàn)在商場(chǎng)均以標(biāo)價(jià)的6折對(duì)足球和籃球進(jìn)行促銷，王老師決定從該商場(chǎng)一次性購(gòu)買足球和籃球60個(gè)，且總費(fèi)用不能超過2500元，那么最多可以購(gòu)買個(gè)籃球．【答案】(1)三(2)50元，80元(3)38個(gè)【分析】（1）根據(jù)圖表可得按打折價(jià)購(gòu)買足球和籃球是第三次購(gòu)買；（2）設(shè)足球的標(biāo)價(jià)為元，籃球的標(biāo)價(jià)為元，根據(jù)圖表列出方程組求出和的值；（3）設(shè)購(gòu)買個(gè)籃球，根據(jù)從該商場(chǎng)一次性購(gòu)買足球和籃球60個(gè)，且總費(fèi)用不能超過2500元，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：王老師是第三次購(gòu)買足球和籃球時(shí)，遇到商場(chǎng)打折銷售．理由：王老師在某商場(chǎng)購(gòu)買足球和籃球共三次，只有一次購(gòu)買時(shí)，足球和籃球同時(shí)打折，其余兩次均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買，且只有第三次購(gòu)買數(shù)量明顯增多，但是總的費(fèi)用不高，按打折價(jià)購(gòu)買足球和籃球是第三次購(gòu)買；（2）解：設(shè)足球的標(biāo)價(jià)為元，籃球的標(biāo)價(jià)為元．根據(jù)題意，得，解得：．答：足球的標(biāo)價(jià)為50元，籃球的標(biāo)價(jià)為80元；（3）解：設(shè)購(gòu)買個(gè)籃球，依題意有，解得．故最多可以買38個(gè)籃球．故答案為：三；38．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．鞏固練習(xí)1．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校欲購(gòu)買A，B兩種型號(hào)拖把．其中A型拖把的單價(jià)比B型拖把的單價(jià)少9元，且用3120元購(gòu)買A型拖把的數(shù)量與用4200元購(gòu)買B型拖把的數(shù)量相等．(1)求A、B型拖把的單價(jià)分別是多少元？(2)若購(gòu)買兩種拖把共200個(gè)，且購(gòu)買A型拖把的數(shù)量不超過B型拖把數(shù)量的，如何購(gòu)買，才能使購(gòu)買總費(fèi)用最低？最低是多少元？【答案】(1)A型拖把每個(gè)價(jià)格為26元，B型拖把每個(gè)價(jià)格為35元(2)購(gòu)買50個(gè)A型拖把、150個(gè)B型拖把時(shí)總費(fèi)用最低，最低是6550元【分析】（1）設(shè)B型拖把每個(gè)x元，則A型拖把每個(gè)元，利用用3120元購(gòu)買A型拖把的數(shù)量與用4200元購(gòu)買B型拖把的數(shù)量相等，建立方程即可；（2）設(shè)購(gòu)買a個(gè)A型拖把，則購(gòu)買個(gè)B型拖把，總費(fèi)用w元，再利用總費(fèi)用等于購(gòu)進(jìn)兩種拖把的費(fèi)用之和建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)B型拖把每個(gè)x元，則A型拖把每個(gè)元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴．答：A型拖把每個(gè)價(jià)格為26元，B型拖把每個(gè)價(jià)格為35元．（2）設(shè)購(gòu)買a個(gè)A型拖把，則購(gòu)買個(gè)B型拖把，總費(fèi)用w元，由得根據(jù)題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴．答：購(gòu)買50個(gè)A型拖把、150個(gè)B型拖把時(shí)總費(fèi)用最低，最低是6550元．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，確定相等關(guān)系或不等關(guān)系建立方程或不等式或函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022成都世乒賽期間，某店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款紀(jì)念品B款紀(jì)念品進(jìn)貨價(jià)（元/件）2015銷售價(jià)（元/件）3527(1)該店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B款紀(jì)念品共50件，求兩款紀(jì)念品分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；(2)第一次購(gòu)進(jìn)的紀(jì)念品售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少?(3)成都世乒賽臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款紀(jì)念品調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤(rùn)為90元？【答案】(1)A、B兩款紀(jì)念品分別購(gòu)進(jìn)20件和30件．(2)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念品40件，購(gòu)進(jìn)B款紀(jì)念品160件時(shí)利潤(rùn)最大，最大為2520元．(3)B款紀(jì)念品售價(jià)為24元或20元一件時(shí)，平均每天銷售利潤(rùn)為90元．【分析】(1)設(shè)A、B兩款紀(jì)念品分別購(gòu)進(jìn)x和y件，根據(jù)“用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共30件”列出二元一次方程組即可求解；(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念品m件，則購(gòu)進(jìn)B款紀(jì)念品(80-m)件，根據(jù)“進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元”列出不等式求出；設(shè)銷售利潤(rùn)為元，得到，隨著m的增大而增大，結(jié)合m的范圍由此即可求出最大利潤(rùn)；(3)設(shè)B款紀(jì)念品降價(jià)a元銷售，則平均每天多銷售件，每天能銷售件，每件的利潤(rùn)為元，由“平均每天銷售利潤(rùn)為90元”得到，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩款紀(jì)念品分別購(gòu)進(jìn)x和y件，由題意可知：，解出：，故A、B兩款紀(jì)念品分別購(gòu)進(jìn)20件和30件．（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念品m件，則購(gòu)進(jìn)B款紀(jì)念品件，由題意可知：，解出：，設(shè)銷售利潤(rùn)為元，則，∴是關(guān)于m的一次函數(shù)，且，∴隨著m的增大而增大，當(dāng)時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，最大為元，故購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念品40件，購(gòu)進(jìn)B款紀(jì)念品160件時(shí)利潤(rùn)最大，最大為2520元．（3）解：設(shè)B款紀(jì)念品降價(jià)a元銷售，則平均每天多銷售件，每天能銷售件，每件的利潤(rùn)為元，由題意可知：，解出：，，當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元故B款紀(jì)念品售價(jià)為24元或20元一件時(shí)，平均每天銷售利潤(rùn)為90元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)增減性求利潤(rùn)最大問題及一元二次方程的應(yīng)用，屬于綜合題，讀懂題意是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山西朔州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）某服裝店到廠家選購(gòu)A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進(jìn)價(jià)比B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)多元，已知用元購(gòu)進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用元購(gòu)進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍．(1)求A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)若A品牌服裝每套售價(jià)為元，B品牌服裝每套售價(jià)為元，服裝店老板決定，購(gòu)進(jìn)B品牌服裝的數(shù)量比購(gòu)進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總利潤(rùn)不少于元，則最少購(gòu)進(jìn)A品牌的服裝多少套？【答案】(1)A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為元、元．(2)至少購(gòu)進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量是9套．【分析】（1）首先設(shè)A品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為x元，則B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)關(guān)鍵語句“用元購(gòu)進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用元購(gòu)進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍．”列出方程，解方程即