安徽省皖江聯(lián)盟2024屆高三年級(jí)下冊(cè)4月模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月模擬數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=-2,則Z的共輾復(fù)數(shù)彳=（）

1

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

2.已知集合/=｛1,2,3｝,B=｛x\x>a],4n晶B）=4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>lB.<7<1C.a>3D.a<3

3.已知根是直線，a,，是兩個(gè)不同的平面，下列正確的命題是（）

A.若〃?||/，a//P,則加||aB.若加J_分，e_L尸，則加||C

C.若加||〃，a，。，則加_LaD.若加||/?,m±a,則

4.已知數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為E,=/+1,等比數(shù)列｛，｝滿足4=出，%=。5，若Ao，

貝Utn=()

A.j310-1C3339-1

B.D.

22.22

X二

5.已知的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

X

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

且有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

6.已知函數(shù)/（x）=a'T-1-2Q>0

a

A.B.i1C.(0,1)D.(1,+℃)

7.已知“3C的內(nèi)角N,B,C對(duì)邊分別為。，b,c,^^asin^+c(sin^+sinC)=2sinS,

若6=2,則“3C面積的最大值為（）

A.2

4

8.已知函數(shù)y=/("("0)滿足f3)=f(x)+/3-1,當(dāng)X>1時(shí)，/(%)<1,則()

A./（x）為奇函數(shù)B.若f（2x+l）>l,貝！|一1<彳<0

C.若/（2）=；,貝"（1024）=-4D.若=則比卜1。

二、多選題

9.已知函數(shù)f（x）="sin（0x+e）（（w>0,）的部分圖象如圖，則（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.A=也B.函數(shù)/+的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱

C.函數(shù)/（x+g］在上單調(diào)遞減D.函數(shù)〃x）在（0,2兀）有4個(gè)極值點(diǎn)

22

10.已知雙曲線C：=-3=1（a>0,b>0）左右焦點(diǎn)分別為內(nèi)，笈，閨閶=4療.

ab

經(jīng)過(guò)耳的直線/與。的左右兩支分別交于尸，Q,且鑿為等邊三角形，則（）

22

A.雙曲線。的方程為土-匕=1

820

B.△抒;鳥的面積為8百

C.以你為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓相交

D.以。鳥為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓相切

H.已知正方體43C0-4且G。的棱長(zhǎng)為1,P,。分別為棱G2,耳。上的動(dòng)點(diǎn)，則

A.四面體PQ/8的體積為定值B.四面體尸加。的體積為定值

c.四面體尸。/c的體積最大值為:D.四面體尸口。的體積最大值為J

6

三、填空題

12.一組樣本10,16,20,12,35,14,30,24,40,43的第80百分位數(shù)是.

13.已知拋物線y=a/的焦點(diǎn)F，直線/過(guò)下與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若省4,4）,則

直線/的方程為,的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

14.已知函數(shù)〃x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,當(dāng)［0,兀］時(shí)/(x)的最大值與最小值的和

為________

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=--10x+3/'⑴Inx.

⑴求函數(shù)/(X)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.為發(fā)展體育運(yùn)動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，甲乙兩班各選3名同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽，3場(chǎng)

比賽每人參加一場(chǎng)比賽，各場(chǎng)比賽互不影響，每場(chǎng)比賽勝者本班獲得相應(yīng)積分，負(fù)者班

級(jí)積分為0.據(jù)統(tǒng)計(jì)可知甲班3名參賽學(xué)生的情況如下表：

學(xué)生ABC

獲勝概率0.40.60.8

獲勝積分654

(1)求甲班至少獲勝2場(chǎng)的概率；

⑵記甲班獲得積分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.將正方形/BCD繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使得到E斤的位置，得到如圖所示

的幾何體.

(1)求證：平面/。尸_L平面；

⑵點(diǎn)M為而上一點(diǎn)，若二面角C-MW-E的余弦值為g,求

18.已知點(diǎn)P在橢圓C：《+片=1的外部，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.

42

(1)①若點(diǎn)A坐標(biāo)為(花,兀)，求證：直線PN的方程為于+券=1；②若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

(X。/。)，求證：直線的方程為竽+當(dāng)=1；

⑵若點(diǎn)尸在圓/+/=4上，求AP4B面積的最大值.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

\x'=ax+by

19.在平面直角坐標(biāo)系工。歹中，利用公式，，①(其中a,b,c,d為常數(shù)),

[y=cx+ay

將點(diǎn)尸(x,y)變換為點(diǎn)p(x',y)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換

_(ab\(ab\

公式,該變換公式①可由。,b,c,d組成的正方形數(shù)表/唯一確定,我們將j

\^caJ\^caJ

稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母A,3,…表示.

(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)尸(3,4)繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(得到點(diǎn)尸，(到原點(diǎn)

距離不變)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到點(diǎn)

P'(x'/')(到原點(diǎn)距離不變)，求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；

(3)向量赤=(xj)(稱為行向量形式)，也可以寫成這種形式的向量稱為列向量,

線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：Il=|III,則稱是二階矩陣I/與

向量]小的乘積，設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，m,萬(wàn)是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：

A[m+n\=Am+An.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算可得z=-l+2i,結(jié)合共軻復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】z=--=（2+i）i=-l+2i,

故7=-1一2、

故選：D

2.C

【分析】先由/得出/三二8,再根據(jù)自己概念即可得解.

【詳解】由已知/n（品8）=/,所以/q為8,又48=｛x|xWa｝,所以a23,

故選:C.

3.D

【分析】利用直線與平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)即可選出正確答案.

【詳解】選項(xiàng)A：根據(jù)給定條件有皿IIa或加ua；

選項(xiàng)B：根據(jù)給定條件有“l(fā)ie或機(jī)ua；

選項(xiàng)C：根據(jù)給定條件有加與a的位置可能平行、相交或加在a內(nèi)；

選項(xiàng)D：因?yàn)榧覫I夕，所以存在直線卬u〃使得〃m，

又因?yàn)闄C(jī)_La,所以相’_La,因?yàn)閰nu0,所以a_L￡.

故選：D.

4.A

【分析】先根據(jù)巴與的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)，進(jìn)而可求得等比數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)，再

根據(jù)甌=%即可得解.

【詳解】由S“=/+],得％=H=2,

“22時(shí)，a“=S“-S,i=%-l,

由4=出=3,b2=a5=9,得公比g=3,

所以狐=31=3%

3101

故2相-1=3%所以/=土士+.

2

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得〃=8,即可根據(jù)通項(xiàng)特征，列舉比較可得最大值.

【詳解】由已知2"=256,故〃=8,故通項(xiàng)為=（-1>C：2*X"2*（左=0,

1,…，8）,故奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù),

C^26§>1M21

C；2。=1,C；2?<C；2\C；26=4C：21.

不C；一5y*4

故C*6最大，因此第七項(xiàng)的系數(shù)最大,

故選：C.

6.A

【分析】將解：函數(shù)/（封=。1-：-2（?>0且“H1）有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)/=|優(yōu)-1|的

圖像與直線>=2a有兩個(gè)公共點(diǎn)求解.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/口）=。1-：-23>0且。片1）有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以--1卜2〃（“>0且awl）有兩個(gè)零點(diǎn)，

即函數(shù)N=|優(yōu)-1的圖像與直線>=2a有兩個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)0<a<l時(shí)，由圖①得0<2a<l,故0<a<；；

當(dāng)?！?時(shí)，由圖②得2a〉2,不符合題意.

7.C

2兀

【分析】根據(jù)正弦定理得一的,然后根據(jù)余弦定理求出/3=莖，再利用重要不

4

等式求出ac4g即可

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】由asin力+c(sin4+sinC)=2sin5,

由正弦定理得sim4=&,sinB=2,sinC,

2R2R2R

又asin力+c(sin力+sinC)=2sin5,且6=2,

^a2+c2=b2-ac,故cos5="一+c'一一=一',

2ac2

Ojr

又5e(O,兀)，所以N8=T，

4

由。2+。2?2。。，BPa2+c2=b2-ac=4-ac>lac,^ac<—,

^ABC面積的最大值為1acsin&=^-ac=,

2343

故選：C.

8.C

【分析】根據(jù)賦值法可得/(1)=1,/(-1)=1,進(jìn)而可得/■(f)=/(x),即可判斷A,根據(jù)

函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷尸/(可口片0)在(0,+“)上為減函數(shù)，即可求解B,代值逐步求解

即可判斷CD.

【詳解】令x=l,y=-l,/(-1)=/(1)+/(-1)-1,所以"1)=1；

令x=-l,y=-l,〃1)=/(-1)+「(一1)一1則/(-1)=L

令片T,得/(一x)=/(x),故y=/(x)(?O)為偶函數(shù).A錯(cuò)誤,

任取X],x,e(0,+co),X]<,則匹>1,

X1

則/(X2)=y(xj+/逗]-1</(玉)，故尸了(力(XHO)在(0,+oo)上為減函數(shù).

由已知f(2x+l)>l,可得/(|2x+l|)>/(l),故|2x+l|<l,解得一l<x<0,且B

錯(cuò)誤，

若/(2)=；,則/。024)=/(2|。)=/(29)+/(2)-1=10/@卜9=7,C正確，

若嗎)=2,則/停)=26卜=3,心)次?卜=5,

田唱所以/(2小2/由=故D錯(cuò)誤,

故選：C.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

9.BD

【分析】由“五點(diǎn)法”求得〃x)=-百sin(2xq),根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和極值點(diǎn)的概念依

次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A:由圖可知小)的周期為：7=2四-9]=兀，又7=紅，所以0=2；

^1212Jco

?兀)八.(兀)八r-t兀兀r、I兀

由力；7|=0，sm-+(p\=Q,所以夕二一：；

"2/<oJ226

由/(o)=乎，所以/=-右，故A錯(cuò)誤；

B：由A的分析知，所以〃x)=一百sin(2x-^

因?yàn)?卜+11=-2$“入+?=-2cos2x為偶函數(shù)，故B正確；

C：由xe?,得2xe(0,「|,故在/;|上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

D：因?yàn)?訃-石，/㈢=5/用=一6等)=百,故D正確.

故選：BD.

10.BD

【分析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合月為等邊三角形得|。叫=4a,\QF\=6a,由余弦定理得

力=4,進(jìn)而求出方程為胃-仁=1判斷選項(xiàng)A；求出△尸片￡判斷選項(xiàng)B；利用兩圓相切

424

的幾何意義可判斷選項(xiàng)C、D.

【詳解】由己知得|尸。|=|尸月|=|。閶，由雙曲線定義知：|理|=|0GH也1=1。匐-地修=2〃，

因?yàn)闅w用-怛3=2°,所以|尸閶=戶用+2a=4a,故|空|=4a,用=6a,

在A0G2中，由余弦定理得：16/+36/-2x24/x；=16x7,

解得:a2=4,所以〃=24,方程為《-工=1,A錯(cuò)誤.

424

△刊笆的面積為S=L獷x也=86,B正確.

22

取朗的中點(diǎn)M,\OM\=^\QF^=^{\QF\-2a)=^\QF^-a,兩圓內(nèi)切，故C錯(cuò)誤.

取圖的中點(diǎn)N,則|ON|=J。4|=；(|0￡|+20)=；|。丹|+",兩圓外切，故D正確.

故選：BD

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】根據(jù)。到平面ABP的距離不是定值即可判斷A；根據(jù)S：為定值與P到平面4DQ

的距離即可判斷B；確定當(dāng)Q與呂、尸與2重合時(shí)四面體PQ/C的體積取得最大值，即可

判斷判斷C；如圖，確定四面體尸的體積為廠=即可判斷D.

【詳解】A：因?yàn)椤癆P的面積為打慶明=正，0到平面尸的距離不是定值，

22

所以四面體P0/8的體積不是定值，故A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)椤?D。的面積為14D.Z)C=J2,尸到矩形4片。的距離為定值也，

222

所以尸到平面4。。的距離為孝，則四面體尸04。的體積為:凡他2-9=：,故B正確；

C：當(dāng)Q與四重合時(shí)，S叢QAC取得最大值，為—AB,CB,sin60°=,

22

當(dāng)P與，重合時(shí)，P到平面4。。的距離d取得最大值,

在正耳中，其外接圓的半徑為尸=上「二包，則4々(偽2.=獨(dú),

2sin6033

故四面體尸Q/C的體積最大值為』x0x逋=L,故C正確；

3233

D：過(guò)點(diǎn)。作G"〃3C,PMIDG,PN1CD,

設(shè)CG=3PR=s,則f,se[0,l],

SA4DQ=：4DXDG=(E7,PM=DG=5吊，OM=DMsinZCDG=(t+s)^L=

22A/1+/

OP=yJl+t2-(5+^)--^￡=1-s,

A/1+1?Jl+l

11r.~~T1-5Z1/,x1

故四面體P。/。的體積為"=?。?+廠X’前=%(1-M，其最大值為故D正確.

故選：BCD

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正方體的性質(zhì)，三棱錐體積有關(guān)問(wèn)題朋確當(dāng)體積達(dá)到

最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

75

12.37.5/—

2

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.

【詳解】從小到大排序?yàn)椋?0,12,14,16,20,24,30,35,40,43；

10x80%=8,故第80百分位數(shù)是生90=37.5.

故答案為：37.5

35

13.y——x+1—/2.5

42

【分析】由題意求出拋物線方程，進(jìn)而求出直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得再=4,

%=T，結(jié)合S=J。尸卜（聞+民|）計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)所以4=16。，解得。=；,所以拋物線的方程為f=4y,

則尸（0,1）,得直線/的方程為〉=、X+1,與V=4y聯(lián)立整理得/-3尤-4=0,

設(shè)/（國(guó),必，故玉=4,x2=-l,

故AO/B的面積為5=m。司?（㈤+同）=：.

_35

故答案為：＞

4+12

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值.

【詳解】y(x)=sinx+(x-l)cosx+cosx-(x+sinx=*cosx—sin)，

當(dāng)xe]o,1時(shí)，#(x)>0,/(x)遞增；當(dāng)xe。,“時(shí)，/'(x)<0,〃x)遞減；

/口濡=/㈡)字，/(°)=i，〃兀)=-(兀+1)，“xL=-(兀+i)

故最大值與最小值的和為：一7%-L

I4)

故答案為：*1兀-1

I4

15.(l)y=4x-13；

⑵遞增區(qū)間為(0,2),(3,+8),遞減區(qū)間為(2,3),極大值-16+121n2,極小值-21+121n3.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，賦值求得了'⑴，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)由(1)的信息，求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=；f2-10x+3/'(l)lnx,求導(dǎo)得/'(x)=2x—10+刃汽D,

X

則/'⑴=一8+3/'⑴，解得/'(1)=4,于是〃x)=/-10x+121nx,/⑴=-9,

所以所求切線方程為：y+9=4(x-l),即，=4x-13.

(2)由(1)知，函數(shù)/"(無(wú))=x?-10x+121nx,定義域?yàn)?0,+°°),

44,,/、、,122(x-2)(x-3)

求導(dǎo)13得1gf\x)=2x-10A+—=—--------------,

XX

當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，/'(無(wú))>0,當(dāng)2Vx<3時(shí)，f'{x)<0,

因此函數(shù)〃x)在(0,2),(3,+勸上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得極大值/(2)=-16+121n2,

當(dāng)x=3時(shí)，/(%)取得極小值/(3)=-21+12In3,

所以函數(shù)〃x)的遞增區(qū)間為(0,2),(3,+劃，遞減區(qū)間為(2,3),

極大值-16+121n2,極小值-21+121n3.

16.(1)0.656

(2)分布列見解析，8.600

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；

（2）由已知X取值為0,4,5,6,9,10,11,15,求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）記A,B,C參賽獲勝事件分別記為A,B,C表示，

參賽失敗分別記為彳，B，C，

所以P（/）=0.4,P（B）=0.6,P（C）=0.8,

叩）=0.6,P（B）=0.4,P?=0.2

貝甲班至少獲勝2場(chǎng)事件記為M,貝UM=ABC+ABC+ABC+ABC

P（M）=P（ABC）+P（ABC）+P{ABC卜尸[^BC）

=p（^）p（s）p（c）+p（^）p（sy5^p{A）?Bp+尸（rygFC）

=0.4x0,6x0.8+0.4x0,6x0.2+0.4x0,4x0.8+0.6x0,6x0.8=0.656

所以甲班至少獲勝2場(chǎng)的概率為0.656；

（2）由已知X取值為0,4,5,6,9,10,11,15,

=0）=F（A8C0.6x0.4x0.2=0,048,P（X=4）=尸（庇）=0.6x0,4x0,8=0.192,

P（X=5）=P（180=0.6x0.6x0.2=0.072,P[X=6）=P（ABC）^0.4x0.4x0.2=0.032,

P（X=9）=P（ZBC）=0.6x0.6x0.8=0.288,P（X=10）=尸（/百C）=0.4x0.4x0.8=0.128,

P（X=11）=尸（28。=0.4x0,6x0,2=0.048,P（X=15）=尸（A8C）=04x0.6x0.8=0.192,

所以

￡,（X）=0x0.048+4x0.192+5x0.072+6x0.032+9x0.288+10x0.128+11x0.048+15x0.192

=0.768+0.360+0.192+2.592+1.280+0.528+2.880=8.600.

17.（1）證明見解析

（2）ZAMr>=45°

【分析】（1）根據(jù)面面與線面垂直的性質(zhì)可得尸，結(jié)合線面、面面垂直的判定定理

即可證明；

（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=AB=1,利用空間向量法求出二面角

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

1-sincrcoscr1

C-4M-E的余弦值，建立方程/.2/2=大結(jié)合三角恒等變換求出c即可.

Vl+sin"aVI+cosaJ

［詳解】（1）由已知得平面ABCD1平面ABEF,AF1AB,平面ABCDC平面ABEF=AB,

AFu平面ABEF,

所以/F_L平面48CD,又ADu平面/BCD,故8Z）_L4F,

因?yàn)镹3CZ）是正方形，所以ADL/C,

AC,/尸u平面/CF,4CcAF=A,所以AD1平面NCF,

又BDu平面BDE,所以平面/CF_L平面3DE.

（2）由（1）知40,AF,48兩兩垂直，

以4D,AF,45所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則/(0,0,0),M(cosa,sina,0),C(1,0,1),￡(0,1,1),

故/Af=(cosa,sina,0),AC-(1,0,1),AE=(0,1,1)

設(shè)平面4WC的法向量為而=（%,必，4）,則行.就=0，m-AM=0

玉+馬=0..

故,取Xi=sina,則y=—cosa,z,=-sina

xxcosa+yxsina=0

所以麗=(sina,—cosa,—sina)

設(shè)平面NME的法向量為方=(%,%,Z2),n-AE=0<n-AM=0

y2+z2=0.

故,取X2=sina,貝［jy2=-cosa,z2=cosa

x2cosa+y2sina=0

所以元=(sina,-cosa,cosa),

__l-sinacosa

所以COS%"=,2/,2

vl+sinaW+cosa

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

l-sinacosa1

由已知得k.2k2=4,

Vl+sm6/A/1+cosaJ

7

化簡(jiǎn)得：Zsin?2a-9sin2a+7=0,解得sin2a=1或sin2。=大（舍去）

2

故a=45。，即N3Q=45。.

18.（1）①證明見解析，②證明見解析

（2）72

【分析】（1）①設(shè)尸4方程了-必=左（尤-須），聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合判別式化簡(jiǎn)可得左=一六，

繼而結(jié)合直線方程化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論；②根據(jù)方程思想，結(jié)合額兩點(diǎn)確定一條直線，即可

即可證明結(jié)論；

（2）確定直線48的方程容+弊=1,聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，即可求得

弦長(zhǎng)|/到，再求出P到直線的距離的表達(dá)式，即可求得AP/B面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)

求最值，即可得答案.

【詳解】（1）①當(dāng)P/斜率存在時(shí)，片片0,設(shè)產(chǎn)/方程為：>-必=左卜-西）

22

與C：^^+巳~=1聯(lián)立整理得：（1+2左2卜2+4左（必—6］）工+2（必—日］）—4=0,

2222

由已知得：A=16A;（^1-AX1）-4（1+2^）［2（J；1-^1）-4］=0,

化簡(jiǎn)得：（4-%；*+2再"+2-才=0

因?yàn)轫?xiàng)2+2必2=4,則4弁左2+4為"+X；=0,

即（2y/+xj2=o,所以左=一手_,

P/方程為：V-弘=一六（x-xj,即X1X+2yj=x：+2y：,貝!］工儼+2%>=4,

故直線P4的方程為至+迫=1

42

當(dāng)加斜率不存在時(shí)，弘=0,直線P/的方程為x=2或》=-2滿足上式.；

所以直線P/的方程為空+里=1；

42

②由①知，設(shè)3點(diǎn)坐標(biāo)為（乙,%）,則直線尸3的方程為子+券=1,

由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X。/。），則牛+羅=1,守+”=晨

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

則/(%%),川移幻兩點(diǎn)都在直線苧+苧=1上,

由于兩點(diǎn)確定一條直線，故直線的方程為芋+#=1;

42

(2)由(1)知直線N3的方程為午+箸=1,由題意知外片0,

22

與C：+三=1聯(lián)立整理得：(X；+2/卜--8無(wú)0》+16-8%=0

因?yàn)?+腳=4,所以"=64年一4卜：+2/)(16-8/)=32/>0

8%8x016-84

因?yàn)?(%,必)，3(%,女),則%+%=

xo+2y；*+4

4+3嘰32"

所以|/同=1+

4Jo(年+4丫Vo+4

?0

點(diǎn)尸到直線N8的距離為：d=

4+3就

閨城

所以AP/3面積S==(%*0)，

就+4'

當(dāng)?！础瓡r(shí)，令小。)=怠’所以小。:收W+12

("Y>0,

故/(%)在(0,2］單調(diào)遞增，所以/(%)的最大值為/(2)=V2,

由對(duì)稱性可知當(dāng)-2V%<0時(shí)，f(y0)的最大值也為41，

故△尸48面積的最大值為VL

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的切線問(wèn)題以及橢圓中的三角形的面積最值問(wèn)題，綜合

強(qiáng)，難度較大，解答的難點(diǎn)在于計(jì)算量大，計(jì)算復(fù)雜，并且基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，一不

小心就會(huì)出錯(cuò).

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

3一2瓜2+*

19.(1)P5

x'=xcosa-ysinacosa-sina

⑵

y'=xsina+ycosa'sinacosa

(3)證明見解析

【分析】(1)利用三角函數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)之前的cosd和sin。，再由兩角和的正弦、余弦

公式得到點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)利用三角函數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)之前的cos。和sin。，再由兩角和的正弦、余弦公式得到

點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)變換公式的定義得到變換公式及與之對(duì)應(yīng)的二階矩陣;

(3)根據(jù)定義分別計(jì)算/(身+五)、Am>An,證明而+力)=/而+/河即可.

3