《2.1直線的傾斜角與斜率》課件與導(dǎo)學(xué)案

2.1.1直線的傾斜角與斜率第二章直線和圓的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)點是構(gòu)成直線的基本元素.在平面直角坐標(biāo)系中,可以用坐標(biāo)表示點,那么,如何用坐標(biāo)表示直線呢？為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題,我們首先在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位置的幾何要素,然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來.0xyl.P(x,

y)思考1確定一條直線的幾何要素是什么？對于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線l，如何利用坐標(biāo)系確定它的位置？0xy.A0xy.A.Bll結(jié)論一點和一個方向確定一條直線.思考2經(jīng)過一點可以作幾條直線？這些直線的區(qū)別是什么？l20xy.Pl1l3l'α3α'α2α1結(jié)論1在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過一點P可以作無數(shù)條直線，它們組成一個直線束.結(jié)論2這些直線相對于x軸的傾斜程度不同，也就是直線向上的方向與x軸的正方向所成的角不同.新知探究定義

當(dāng)直線l與x軸相交時,以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.l20xy.Pl1l3l'α3α'α2α1l1.規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定直線l的傾斜角為0°.2.范圍：0°≤α<180°3.確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個

以及它的

.定點傾斜角說明

在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等，方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，我們可以用傾斜角表示一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.1.下列圖中表示直線傾斜角為(

)C3.直線x=1的傾斜角α=

.小試牛刀90°2.給出下列命題：①任何一條直線都有唯一的傾斜角；②若α是直線l的傾斜角，且sinα=,則α=450；③傾斜角為00的直線只有一條，即x軸；④一條直線的傾斜角可以為-300.其中真命題的序號是_____.①

新知探究設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2),是直線l上的兩點.由兩點確定一條直線可知，直線l由點P1,P2唯一確定.所以，可以推斷，直線l的傾斜角與兩點P1,P2的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.0xy.P1(x1,y1).P2(x2,y2)l0xy.

lα

0xy.P1(-1,1)l

ααP

0xy.P1(x1,y1).P2(x2,y2)l

0xy.P1(x1,y1).P2(x2,y2)l

沒關(guān)系新知探究

90°0(0，＋∞)(－∞，0)說明1.斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

2.用斜率可以表示直線的傾斜程度，進(jìn)而表示直線的方向.新知探究

點睛：1.運用公式的前提是x1≠x2,即直線不與x軸垂直.2.斜率公式與P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中橫、縱坐標(biāo)之差的順序,也可以寫成即下標(biāo)的順序一致.小試牛刀√×××450D新知探究

思考

直線的方向向量與斜率之間有什么關(guān)系？直線的方向向量=（1,

k）結(jié)論1

若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y)則

結(jié)論2

若直線l的斜率為k，則它的一個方向向量的坐標(biāo)為(1,k).0xy.P1(x1,y1).P2(x2,y2)l典例解析例1如圖，已知A(3,2),B(-4,1),C(0，-1)，求直線AB,BC,CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.點撥

應(yīng)用斜率公式時應(yīng)先判定兩定點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，直線垂直于x軸，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解；若含有參數(shù)，常常需要進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練

已知直線l過點M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)當(dāng)m為何值時,直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時,直線l的傾斜角為90°?(2)l的傾斜角為90°,即l平行于y軸,所以m+1=2m,得m=1.1.若直線l經(jīng)過第二、第四象限,則直線l的傾斜角范圍是(

)A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°當(dāng)堂檢測3.過點P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,那么m的值為(

)A.1或4 B.4C.1或3 D.1CAD課堂小結(jié)1、直線的傾斜角的定義2、直線的斜率的定義3、過兩點的斜率公式當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.4、直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系

2.1.2兩條直線平行與垂直的判定第二章直線和圓的方程1、直線的傾斜角的定義2、直線的斜率的定義3、過兩點直線的斜率公式復(fù)習(xí)回顧

當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線與x軸重合或平行時，規(guī)定它的傾斜角為0°.

傾斜角α不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，k=tanα(α≠90°）P1（x1，y1），P2（x2，y2）復(fù)習(xí)回顧4、直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系結(jié)論2

若直線l的斜率為k，則它的一個方向向量的坐標(biāo)為_______.

(1,k)

情景引入

過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上,過山車的運動包含了許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道,它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著,為了使設(shè)備安全,柱子之間還有一些小的鋼筋連接,這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到過山車中的平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢?探究思考1平面上兩條直線位置關(guān)系有哪些？oxy有平行,相交或重合oxyl1l2l1l2l1l2l1l2l1l2思考2如果兩條直線互相平行，它們的傾斜角滿足什么關(guān)系？它們的斜率呢？探究結(jié)論1兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系

設(shè)兩條不重合的直線l1,l2,傾斜角分別為α1,α2,斜率存在時斜率分別為k1,k2.則對應(yīng)關(guān)系如下:1.對于兩條不重合的直線l1,l2,“l(fā)1∥l2”是“兩條直線斜率相等”的什么條件?2.已知直線l1經(jīng)過兩點(-1,-2),(-1,4),直線l2經(jīng)過兩點(2,1),(x,6),且l1∥l2,

則x=

.

解析:由題意知l1⊥x軸.又l1∥l2,所以l2⊥x軸,故x=2.答案:必要不充分條件,如果兩不重合直線斜率相等,則兩直線一定平行;反過來,兩直線平行,有可能兩直線斜率均不存在.2小試牛刀例1

已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），試判斷直線BA與PQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．OxyABPQ∥應(yīng)用舉例例2

已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．OxyDCAB∥∥應(yīng)用舉例鞏固練習(xí)

已知A(1，2)，B(-1，0)，C(3，4)三點，這三點是否在同一條直線上，為什么？解：又∵直線AB與AC有公共點A，∴A、B、C三點在一條直線上．探究yl2Oxl1α2當(dāng)兩條直線相交時，它們的斜率不相等；反之，當(dāng)兩條直線的斜率不相等時，它們相交.在相交共線中，垂直是最特殊的情形.α1α1思考3當(dāng)直線l1⊥

l2時，它們的斜率除了不相等外，是否還存在特殊的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2.則:（1，k1）

（1，k2）

l1⊥

l2?

?

??1×1+k1k2=0k1k2=-1

兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系

結(jié)論2名師點析“兩條直線的斜率之積等于-1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件.因為兩條直線垂直時,除了斜率之積等于-1,還有可能一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在.小試牛刀3.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關(guān)系是

.

解析:由根與系數(shù)的關(guān)系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.4.已知直線l1,l2，

l1⊥l2且l1的斜率是a,則直線l2的斜率是___________________.

l1⊥l2例3

已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）Q（6，-6），判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系．解：直線AB的斜率直線PQ的斜率應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例4已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三點，試判斷△ABC的形狀.C··AB·Oyx鞏固練習(xí):21ll和結(jié)論1：對于兩條不重合的直線.,21都不存在或kkl1∥l2k1＝k2.條件：不重合、都有斜率結(jié)論2：:21ll和對于任意兩條直線.,0,21另一個不存在中一個為或kkl1⊥l2k1k2=-1.條件：都有斜率課堂小結(jié)知識內(nèi)容l1⊥

l2《2.1.1直線的傾斜角與斜率》導(dǎo)學(xué)案第二章直線和圓的方程1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系.(邏輯推理)4.掌握過兩點的直線斜率的計算公式.(數(shù)學(xué)運算)學(xué)習(xí)目標(biāo)情境導(dǎo)學(xué)

一、直線的傾斜角

新知探究點睛：傾斜角還可以這樣定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.并規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.1.下列圖中表示直線傾斜角為(

)答案:C2.直線x=1的傾斜角α=

.小試牛刀答案:90°

二、直線的斜率1.定義與表示新知探究90°

0

(0，＋∞)

(－∞，0)

2.填表:斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

小試牛刀我們知道，兩點也可以唯一確定一條直線。

如果知道直線上的兩點，怎么樣來求直線的斜率(傾斜角)呢？新知探究如圖，當(dāng)α為銳角時，

能不能構(gòu)造一個直角三角形去求？銳角

若為鈍角呢？你還能用其它方法推導(dǎo)這個公式嗎？

三、直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),則直線的斜率公式為點睛：1.運用公式的前提是x1≠x2,即直線不與x軸垂直.2.斜率公式與P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中橫、縱坐標(biāo)之差的順序,也可以寫成即下標(biāo)的順序一致.6.已知點P1(3,5),P2(-1,-3),則直線P1P2的斜率k等于(

)A.2

B.1

D.不存在答案:A小試牛刀例1已知直線l過原點,l繞原點按順時針方向轉(zhuǎn)動角α(0°<α<180°)后,恰好與y軸重合,求直線l轉(zhuǎn)動前的傾斜角是多少?典例解析思路分析:畫草圖→標(biāo)記α→找傾斜角與α的關(guān)系→求傾斜角解:由題意畫出如下草圖.由圖可知:當(dāng)α為鈍角時,傾斜角為α-90°,當(dāng)α為銳角時,傾斜角為α+90°,當(dāng)α為直角時,傾斜角為0°.

直線的傾斜角的求法

求直線的傾斜角主要根據(jù)定義,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時要根據(jù)情況分類討論.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)直線l過坐標(biāo)原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為(

)A.α+45°

B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°跟蹤訓(xùn)練解析:根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示:因為0°≤α<180°,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知:當(dāng)0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.故選D.答案:D

例2已知直線l過點M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)當(dāng)m為何值時,直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時,直線l的傾斜角為90°?(2)l的傾斜角為90°,即l平行于y軸,所以m+1=2m,得m=1.典例解析延伸探究1本例條件不變,試求直線l的傾斜角為銳角時實數(shù)m的取值范圍.延伸探究2若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”,其他條件不變,結(jié)果如何?

直線斜率的計算方法(1)判斷兩點的橫坐標(biāo)是否相等,若相等,則直線的斜率不存在.歸納總結(jié)金題典例

光線從點A(2,1)射到y(tǒng)軸上的點Q,經(jīng)y軸反射后過點B(4,3),試求點Q的坐標(biāo)

及入射光線的斜率.(方法2)設(shè)Q(0,y),如圖,點B(4,3)關(guān)于y軸的對稱點為B'(-4,3),金題典例

光的反射問題中,反射角等于入射角,但反射光線的斜率并不等于入射光線的斜率.當(dāng)鏡面水平放置時,它們之間是互為相反數(shù)的關(guān)系.另外,在光的反射問題中也經(jīng)常使用對稱的方法求解.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2一束光線從點A(-2,3)射入,經(jīng)x軸上點P反射后,通過點B(5,7),求點P的坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練1.若直線l經(jīng)過第二、第四象限,則直線l的傾斜角范圍是(

)A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°答案:C答案:A當(dāng)堂檢測3.過點P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,那么m的值為(

)A.1或4 B.4C.1或3 D.1答案:D答案:60°《2.1.2兩條直線平行和垂直的判定》導(dǎo)學(xué)案第二章直線和圓的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩條直線平行與垂直的條件.2.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.3.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題.

過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上,過山車的運動包含了許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道,它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著,為了使設(shè)備安全,柱子之間還有一些小的鋼筋連接,這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到過山車中的平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢?情境導(dǎo)學(xué)一、兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l1,l2,傾斜角分別為α1,α2,斜率存在時斜率分別為k1,k2.則對應(yīng)關(guān)系如下:新知探究1.對于兩條不重合的直線l1,l2,“l(fā)1∥l2”是“兩條直線斜率相等”的什么條件?小試牛刀2.已知直線l1經(jīng)過兩點(-1,-2),(-1,4),直線l2經(jīng)過兩點(2,1),(x,6),且l1∥l2,

則x=

.

解析:由題意知l1⊥x軸.又l1∥l2,所以l2⊥x軸,故x=2.答案:2答案:必要不充分條件,如果兩不重合直線斜率相等,則兩直線一定平行;反過來,兩直線平行,

有可能兩直線斜率均不存在.

二、兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系

點睛：“兩條直線的斜率之積等于-1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件.因為兩條直線垂直時,除了斜率之積等于-1,還有可能一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在.4.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關(guān)系是

.

解析:由根與系數(shù)的關(guān)系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.答案:l1⊥l2例1判斷下列各小題中的直線l1與l2是否平行:(1)l1經(jīng)過點A(-1,-2),B(2,1),l2經(jīng)過點M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率為1,l2經(jīng)過點A(1,1),B(2,2);(3)l1經(jīng)過點A(0,1),B(1,0),l2經(jīng)過點M(-1,3),N(2,0);(4)l1經(jīng)過點A(-3,2),B(-3,10),l2經(jīng)過點M(5,-2),N(5,5).典例解析思路分析:斜率存在的直線求出斜率,利用l1∥l2?k1=k2進(jìn)行判斷,若兩直線斜率都不存在,可通過觀察并結(jié)合圖形得出結(jié)論.則A,B,M不共線.故l1∥l2.(4)由已知點的坐標(biāo),得l1與l2均與x軸垂直且不重合,故有l(wèi)1∥l2.延伸探究

已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,則m的值為

.

答案:0或1解析:當(dāng)m=-2時,直線AB的斜率不存在,而直線MN的斜率存在,MN與AB不平行,不合題意;當(dāng)m=-1時,直線MN的斜率不存在,而直線AB的斜率存在,MN與AB不平行,不合題意;歸納總結(jié)例2(1)直線l1經(jīng)過點A(3,2),B(3,-1),直線l2經(jīng)過點M(1,1),N(2,1),判斷l(xiāng)1與l2是否垂直;(2)已知直線l1經(jīng)過點A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的條件判斷;若一條直線的斜率不存在,再看另一條直線的斜率是否為0,若為0,則垂直.(2)當(dāng)兩直線的斜率都存在時,由斜率之積等于-1求解;若一條直線的斜率不存在,由另一條直線的斜率為0求解.典例解析解:(1)直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率為0,所以l1⊥l2.(2)由題意,知直線l2的斜率k2一定存在,直線l1的斜率可能不存在.當(dāng)直線l1的斜率不存在時,3=a-2,即a=5,此時k2=0,則l1⊥l2,滿足題意.綜上所述,a的值為0或5.

兩直線垂直的判定方法

兩條直線垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提條件是兩條直線斜率都存在,若其中一條直線斜率不存在,另一條直線斜率為零,此時兩直線也垂直.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1已知定點A(-1,3),B(4,2),以AB為直徑作圓,與x軸有交點P,則交點P的

坐標(biāo)是

.

解析:設(shè)以AB為直徑的圓與x軸的交點為P(x,0).∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故點P的坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).答案:(1,0)或(2,0)跟蹤訓(xùn)練例3如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.試判斷四邊形OPQR的形狀.思路分析:利用直線方程的系數(shù)關(guān)系,或兩直線間的斜率關(guān)系,判斷兩直線的位置關(guān)系.典例解析所以四邊形OPQR為平行四邊形.又kOP·kOR=-1,所以O(shè)P⊥OR,故四邊形OPQR為矩形.延伸探究1將本例中的四個點,改為“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),順次連接A,B,C,D四點,試判斷四邊形ABCD的形狀.”所