部編《直線與平面垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)

《8.6.2直線與平面垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容直線與平面垂直的概念及判定定理、點(diǎn)到平面的距離及直線與平面所成的角.2.內(nèi)容解析直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況，它是空間直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的核心，是研究空間中的直線與直線垂直關(guān)系和直線與平面垂直關(guān)系的中介.直線與平面垂直也是定義點(diǎn)到平面的距離、直線和平面所成的角、直線到平面的距離與兩個(gè)平行平面之間的距離等內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個(gè)判定方法.直線與平面垂直的判定定理要求的與任意一條直線垂直轉(zhuǎn)化為只要求與兩條相交直線垂直，其中蘊(yùn)含了由復(fù)雜向簡單，無限問題向有限問題，直線與平面垂直向直線與直線垂直的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了以簡馭繁的策略.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直定義的抽象與歸納，以及直線與平面垂直判定定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證.目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)理解直線與平面垂直的意義，理解點(diǎn)到平面的距離；（2）探索并了解直線與平面垂直的判定定理，能應(yīng)用判定定理證明直線和平直垂直的簡單問題；（3）在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力、感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中以“以簡馭繁”的轉(zhuǎn)化思想。2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是；學(xué)生通過實(shí)例自觀感知、操作確認(rèn)，抽象、歸納出直線與平面垂直的定義：知道點(diǎn)到平面的距離的概念，會(huì)在具體情境中找出并表示學(xué)生能通過直觀感知、操作確認(rèn)發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理，能在直線與平面垂直的情境中利用定義與判定定理證明直線與平面垂直；（3）學(xué)生能理解證明直線與平面內(nèi)的所有直線垂直，只需證明該直線與這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可，了解其中兩條相交直線在確定平面中的作用；能認(rèn)識(shí)到“直線與平面垂直的判定”與“直線與平面平行的判定”在知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)方法等方面的邏輯一致性，體會(huì)研究空間位置關(guān)系的判定的一般思路和方法.三、教學(xué)問題診斷分析雖然學(xué)生有直線與直線垂直和直線與平面垂直的生活經(jīng)驗(yàn)和感知，但由于他們把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的意識(shí)和能力還不強(qiáng)，因而他們對于如何借助直線與直線垂直來刻畫直線與平面垂直還會(huì)遇到困難，更難用確切的數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直.考慮到學(xué)生已有用“任意一個(gè)”來代替所有對象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如“所有實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)”與“任意一個(gè)實(shí)數(shù)的平為都是非負(fù)數(shù)”,教學(xué)時(shí)可在教師的提示下由學(xué)生自已得到直線與平面垂直的定義.對于直線與平面垂直的判定定理，學(xué)生通過探究和動(dòng)手實(shí)踐、會(huì)初步認(rèn)識(shí)到當(dāng)直線與平畫內(nèi)兩條相交直線垂直時(shí)，直線與這個(gè)平面垂直。但在缺少邏輯推理的情況下，如果馬上把這個(gè)猜想作為定理來對待，學(xué)生可能會(huì)懷疑結(jié)論的正確性。教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生通過親身的反復(fù)驗(yàn)證并結(jié)合直線與平面垂直的定義進(jìn)行思辨來解決以上問題，也可以結(jié)合平面向量基本定理，讓學(xué)生體會(huì)利用“兩條相交直線”來判斷的合理性。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證直線與平面垂直的判定定理。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）探究、建構(gòu)直線與平面垂直的定義問題1：在目常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí)，比如，圖1中旗桿與地面的位置關(guān)系，給我們以直線與平面垂直的形象，那么什么叫做直線與平面垂直呢？能否把直觀的形象數(shù)學(xué)化?用確切的數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直（圖2)?師生活動(dòng)：教師展示生活中給我們以直線與平面垂直的實(shí)例，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將其數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)的語言表示。圖1圖2追問（1)：如圖3是在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？追問（2）：旗桿所在直線AB與是否與平面內(nèi)所有直線垂直（圖4）?由此，你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？師生活動(dòng)：教師提出問題(可以借助信息技術(shù)呈現(xiàn)旗桿影子隨時(shí)間變化的位置變化），學(xué)生容易得出旗桿所在直線與其影子所在直線保持垂直，這也就說明旗桿所在直線和地面所在平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直.對于直線AB與地面上所有直線都垂直，需要將其中的“所有直線”轉(zhuǎn)化為“任意直線”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合頭腦中已有的“任意一個(gè)數(shù)”“任意一個(gè)人”等來理解其中“任意”與“所有”的關(guān)系.由于對于地面上的任意一條直線，總能找到旗桿的一個(gè)影子與之平行，從而其與旗桿所在直線垂直.這樣，就可以歸納出直線與平面垂直的定義.教師引導(dǎo)學(xué)生，結(jié)合直線和直線垂直的相關(guān)概念，給出垂線、垂面、垂足等概念，給出直線與平面垂直的圖形表示。教師指出線面垂直的雙重功效。圖3圖4追問(3)：直線與平面垂直的定義中，“任意”能改為“無數(shù)”嗎?也就是說，如果直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，能說直線與平面垂直嗎?師生活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生舉出反例(圖5）。圖5設(shè)計(jì)意圖：開門見山引入如何用數(shù)學(xué)語言刻畫生活中的直線與平面垂直的問題，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比與思考，把直觀、模糊的感知抽象化、確切化。接下來“順勢引導(dǎo)”，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出直線與平面垂直的定義。建立平面的垂線、直線的垂面、垂足等相關(guān)概念，知道直線與平面垂直的符號(hào)表示，同時(shí)讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的“基本思路”。再通過正反兩方面情況的辨析，讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直時(shí)，“任意”不能改為“無數(shù)”，即便直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，但只要平面內(nèi)存在一條直線與之不垂直，就不能說直線與平面垂直，從而加深對直線與平面垂直的定義的理解.問題2：我們知道，在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直、將這一結(jié)論推廣到空間，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條?為什么?師生活動(dòng)：教師提出問題，師生共同討論，直觀感知和操作確認(rèn)“過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條”，進(jìn)而給出垂線段、點(diǎn)到平面的距離的概念。順勢介紹在棱錐的體積公式中，棱錐的高就是棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離。設(shè)計(jì)意圖：類比平面幾何有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合直線與平面垂直的定義，給出空間類似的性質(zhì)。既呼應(yīng)前面棱錐的高的概念，也為后面“平面與平面垂直的性質(zhì)”定理后的“探究”做必要的鋪墊。（二）探究、發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理問題4：根據(jù)定義，判斷直線與平面垂直，需要驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直、類比平面與平面平行的判定定理，有沒有判定直線與平面垂直的簡單、易行的方法？師生活動(dòng)：教師提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下的探究活動(dòng)：如圖6，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸)。并請學(xué)生思考：（1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？進(jìn)而獲得猜想：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么該直線與平面垂直。圖6追問（1）：為什么一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直時(shí)，這條直線就和這個(gè)平面垂直?師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從基本事實(shí)的推論2和平面向量基本定理出發(fā)，思考兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，并且這兩條相交直線可以表示這個(gè)平面內(nèi)的所有直線，因此，一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直時(shí)，這條直線就垂直于這個(gè)平面，從而對直線和平面垂直的判定定理進(jìn)一步作出解釋。追問（2）：為什么直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直就可以判斷直線與平面垂直、而不是“兩條平行直線”或“無數(shù)條直線”呢？師生活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，可以舉出反例說明。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生有條理地進(jìn)行探究，通過實(shí)踐操作，提出直線和平面垂直的判定定理的猜想，按照《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的要求，這一定理在本章不要求證明，而是在選擇性必修課程“空間向量與立體幾何”中進(jìn)行證明。但在此處，可以結(jié)合實(shí)踐操作舉出反例對此判定定理的正確性進(jìn)行說明。為此，可以在學(xué)生探索出判定定理的猜想后，通過追問，提出對此定理進(jìn)一步解釋的問題，以使學(xué)生確認(rèn)此定理的正確性，結(jié)合判定定理的得出過程，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)直線與平面垂直向直線與直線垂直的轉(zhuǎn)化，體會(huì)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證的研究立體幾何的一般過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。問題5：試分別用圖形語言和待號(hào)語言表示直線與平面垂直的判定定理，并舉例說明它在日常生活中的應(yīng)用。設(shè)計(jì)意圖：實(shí)現(xiàn)圖形語言、符號(hào)語言、文字語言之間的轉(zhuǎn)換是讓學(xué)生進(jìn)一步理解判定定理的需要，也是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的需要。而舉例說明它的應(yīng)用則有助于學(xué)生更好地理解判定定理。（三）鞏固運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理例3.求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.追問（1)：你能根據(jù)條件與結(jié)論畫出示意圖，寫出已知、求證嗎?追問（2）：結(jié)合所畫的圖形，你認(rèn)為證明此問題的思路是什么?師生活動(dòng)：教師要求學(xué)生寫出已知、求證，并與學(xué)生共同分析證明思路：根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知，只需證明另一條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線即可.在此問題中，需要構(gòu)造出平面內(nèi)的兩條相交直線，再利用“兩條平行直線中的一條垂直某一直線，則另一條也垂直于這一條直線”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.教師可請一名學(xué)生板書，其他學(xué)生自己在本上書寫證明過程.學(xué)生交流，教師反饋，共同完成證明.追問(3)：你還有不同的證明方法嗎?師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試用直線與平面垂直的定義證明這個(gè)例題，然后交流.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，鞏固直線與平面垂直的判定定理，并結(jié)合例題讓學(xué)生把握判定定理中“兩條相交直線”這一關(guān)鍵.通過引導(dǎo)學(xué)生從線面垂直的定義出發(fā)進(jìn)行證明的不同證法，讓學(xué)生在運(yùn)用不同方法證明的過程中提高思維的靈活性，在這個(gè)過程中使學(xué)生認(rèn)識(shí)到證明直線與平面垂直一般有兩種方法.一種方法是利用直線與平面垂直的定義直接證明，一種方法是利用直線與平面垂直的判定定理證明。鞏固練習(xí)判斷下列命題是否正確，正確的打√，錯(cuò)的打×.若一條直線與一個(gè)三角形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于三角形所在平面.若一條直線與一個(gè)平行四邊形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于平行四邊形所在的平面.若一條直線與一個(gè)梯形的兩腰垂直，則這條直線垂直于梯形所在平面.若一條直線與一個(gè)平面不垂直，則這個(gè)平面內(nèi)沒有與這條直線垂直的直線.2.如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD在平面外一點(diǎn)，滿足MA=MC,求證：AC┴平面BDM設(shè)計(jì)意圖：第1題加強(qiáng)對線面垂直判定定理的理解，第2題強(qiáng)化線面垂直判定定理的應(yīng)用。五、歸納小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)