（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 立體幾何初步第51課直線與平面、平面與平面的垂直 試題

第51課直線與平面、平面與平面的垂直

（本課時對應學生用書第頁）

自主學習回歸教材

激活思修

1.（必修2P47練習3改編）已知平面a，平面B,直線/，平面B,那么直線/與平面a的位置關

系為.

【答案】平行或線在面內(nèi)

【解析】容易忽略線在面內(nèi)的情況.

2.（必修2P37習題6改編）如圖，平面ABC_L平面ABD,ZACB=90°,CA=CB,ZXABD是正三角形，0

為AB的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)為.

【答案】6

【解析】由題可知△ABC,AACO,△BCO,AOAD,AOBD,ZSOCD是直角三角形.

3.（必修2P37習題7改編）如圖，AB為圓0的直徑，C為圓0上的一點，ADL平面ABC,AEJ_BD于點

E,AFLCD于點F,則BD與EF所成的角的大小為.

【答案】900

【解析】可證BDJ_平面AEF.

4.(必修2P47練習5改編)如圖，已知直線ABJ.a,垂足為B,AC是平面a的斜線，CDa,

CD1AC,則圖中互相垂直的平面有對.

(第4題)

【答案】3

【解析】平面ABCJ_a,平面ABDJ_a,平面ABC_L平面ACD.

1.直線與平面垂直的定義

如果一條直線a與一個平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面a,記作

a±a,直線a叫作平面a的垂線,平面a叫作直線a的垂面,垂線和平面的交點稱為垂足.

2.直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.

4.(1)二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.

(3)二面角的平面角的大小范圍：［0。，180。］.

(4)常用作二面角的平面角的方法：定義法、垂面法.

5.兩平面垂直的定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角,

我們就說這兩個平面互相垂直.

6.兩個平面垂直的判定定理：

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.

7.兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直

線垂直于另一個平面.

【要點導學】

要點導學各個擊破

息令類斛折

直線與平面的垂直關系

例1如圖，在四棱錐P-ABCD中,例_1_平面ABCD,AB1AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E

是PC的中點.

（例1）

(1)求證：CD1AE；

(2)求證：PDL平面ABE.

【思維引導】(1)要證CD_LAE,可先證CDJ_平面PAC,要證CD,平面PAC,可先確定關系

CD_LPA與CDJ_AC；（2）要證PDJ_平面ABE,可證PD_LAE與PD_LAB.

【解答】（1）在四棱錐P-ABCD中，

因為PAJ_底面ABCD,

CD平面ABCD,故PA_LCD.

因為AC_LCD,PAOAC=A,

PA平面PAC,AC平面PAC,

所以CD_L平面PAC.

而AE平面PAC,所以CD_LAE.

（2）由PA=AB=BC,

ZABC=60°,可得AC=PA.

因為E是PC的中點，所以AELPC.

由（1）知，AE±CD,且PCnCD=C,

所以AEL平面PCD.

而PD平面PCD,所以AE_LPD.

因為PA_L底面ABCD,AB平面ABCD,

所以PA_LAB.

又因為AB_LAD,PAHAD=A,

所以AB平面PAD,

又PD平面PAD,所以AB_LPD.

又因為ABCAE=A,

AB平面ABE,AE平面ABE,

所以PD_L平面ABE.

【精要點評】在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中，平面在其中起著至關重要的作用，

應考慮線與線、線與面所在的平面特征，以順利實現(xiàn)證明需要的轉(zhuǎn)化.其中證明線面垂直的方

法有：

①利用線面垂直的定義；

②利用線面垂直的判定定理；

③若a_La,a//b,則兒La；

④利用面面平行的性質(zhì)定理，

即a〃B,a_Laa_LB；

⑤利用面面垂直的性質(zhì)定理：a_LB,aDB=/,aa,allai.P.

【高頻考點?題組強化】

1.（2015?南通期末改編）如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,AC1BC,M是棱C3上的一點.求證:

BC1AM.

A

（第1題）

【解答】因為ABC-ABC是直三棱柱，所以CC」平面ABC.

因為BC平面ABC,

所以CG_LBC.

因為ACJ_BC,CCDAC=C,CG,AC平面ACCA,

所以BCJ"平面ACCA.

因為AM平面ACCAi,

所以BC_LAM.

2.（2015?蘇州期末改編）如圖（1），在正方體ABCD-ABCD中，求證：A￡_L平面GBD.

（第2題⑴）

【解答】如圖（2）,連接AC,

則AC_LBD.

在正方體ABCD-ABCD中，AA」平面ABCD,BD平面ABCD,所以AAi_LBD.

又因為AAiDAC=A,

所以BD_L平面AAC

因為A￡平面AAiC,

所以A￡_LBD.

同理可證A】C_LBG.

又因為BDABG=B,BD,BG平面3BD,所以A￡_L平面GBD.

3.如圖（1）,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB：BC=1：,0,F分別為CD,BC的中點,

且E0J_平面ABCD,求證：AF1EE.

【解答】如圖（2）,連接OF,A0,設AB=2a,則BC=2a.

因為四邊形ABCD為矩形，

（第3題⑵）

所以A0==3a.

同理，AF=a,0F=a.

S^AF2+0F2=9a=A02,

所以△AFO為直角三角形，

所以AF_LOF.

因為EO_L平面ABCD,

AF平面ABCD,

所以EO_LAF.

因為OFnOE=O,OF,0E平面OEF,

所以AF_L平面OEF.

又EF平面OEF,所以AFJ_EF.

4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,ZDAB=60°,AB=2AD,PD_L底面ABCD,

求證：PA±BD.

P

【解答】因為NDAB=60°,

AB=2AD,

由余弦定理得BD=AD,

從而BDUADJAB，故BD_LAD.

又PD_L底面ABCD,BD平面ABCD,所以BD_LPD.

又因為ADCIPD=D,AD平面PAD,PD平面PAD,

所以BD_L平面PAD.

又PA平面PAD,故PA_LBD.

5.如圖，AB為圓0的直徑，點E,F在圓。上，且BC_LBE,ZABC=90°,求證：AF_L平面CBF.

（第5題）

【解答】因為NABC=90°,

所以BC_LAB.

又因為BCJ_BE,ABnBE=B,

AB平面ABEF,

BE平面ABEF,

所以BC_L平面ABEF.

又因為AF平面ABEF,所以BC_LAF.

因為AB為圓0的直徑，所以AF_LBF.

又因為BFCIBC=B,BF平面CBF,BC平面CBF,

所以AF_L平面CBF.

平面與平面的垂直關系

例2如圖(1),S為平面ABC外一點，SA_L平面ABC,平面SAB_L平面SBC.

(例2⑴)

(1)求證：AB1BC；

(2)若AF_LSC于點F,AE_LSB于點E,求證：平面AEF_L平面SAC.

【思維引導】由線面垂直，面面垂直的性質(zhì)，推導線線垂直；而要證明面面垂直，一般

從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線.

【解答】⑴如圖⑵，作AEJ_SB于點E.

(例2(2))

因為平面SABJ_平面SBC,

平面SABA平面SBC=SB,

AE平面SAB,

所以AE_L平面SBC.

因為BC平面SBC,

所以AE_LBC.

因為SA_L平面ABC,

BC平面ABC,所以SA_LBC.

又因為AECSA=A,

AE平面SAB,SA平面SAB,

所以BC_L平面SAB.

又AB平面SAB,所以AB_LBC.

（2）由（1）可知AE_L平面SBC,

又SC平面SBC,所以AE_LSC.

又因為SC_LAF,AEAAF=A,

AE平面AEF,AF平面AEF,

所以SC,平面AEF.

又SC平面SAC,

所以平面AEF,平面SAC.

【精要點評】（D要證面面垂直，則需先證線面垂直；要證線面垂直，則需證線線垂直.

（2）在有關面面垂直的問題中，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)

化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直，因此熟練掌握“線面垂直”與“面面垂直”間的條件轉(zhuǎn)

化是解決這類問題的關鍵.

變式1（2015?蘇北四市期末改編）如圖，在三棱錐P-ABC中，已知平面PBCL平面ABC.若

AB±BC,CP1PB,求證：CP±PA.

（變式1）

【解答】因為平面PBCJ_平面ABC,平面PBCC平面ABC=BC,AB平面ABC,AB1BC,所以

AB_L平面PBC.

因為CP平面PBC,所以CP_LAB.

又因為CP_LPB,且PBCAB=B,

AB,PB平面PAB,

所以CP_L平面PAB.

又因為PA平面PAB,所以CP_LPA.

變式2（2015?常州期末改編）如圖（1）,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，平面PBD_L

平面ABCD,PB=PD,PA1PC,CD1PC,0,M分別是BD,PC的中點，連接0M.求證：0M_L平面PCD.

p

(變式2(1))

【解答】如圖(2),連接AC,P0.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以0為AC的中點.

在△PAC中，因為0,M分別是AC,PC的中點,

所以0M〃PA.

(變式2(2))

因為0是BD的中點,PB=PD,

所以P0_LBD.

又因為平面PBD_L平面ABCD,平面PBDA平面ABCD=BD,P0平面PBD,

所以P0_L平面ABCD.

因為CD平面ABCD,

從而P0_LCD.

又因為CDJ_PC,PCnP0=P,PC平面PAC,P0平面PAC,所以CD_L平面PAC.

因為0M平面PAC,所以CD_LOM.

因為PAJJ>C,0M/7PA,所以OM_LPC

又因為CD平面PCD,PC平面PCD,CDnPC=C,

所以OMJ_平面PCD.

線面垂直關系的探究問題

例3如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD沖，DB=BC,DB_LAC,點M是棱BBi上一點.

D.C,

（例3）

(1)求證：MD1AC；

(2)試確定點M的位置，使得平面DMG_L平面CCDD.

【思維引導】(1)通過證明ACJL平面BBDD,來證明AC_LDM；(2)通過構(gòu)造與平面CCDD垂

直的直線，進行平移尋找所求的點的正確位置.

【解答】⑴連接BD,因為BB」平面ABCD,AC平面ABCD,所以BB」AC.

又因為BD_LAC,且BDCBB尸B,BD,BBi平面BBDD”所以AC_L平面BBD。.

而MD平面BBDD”所以MDAC.

(2)當點M為棱BBi的中點時，可使得平面DMGL平面CCDD.

取DC的中點N,DC的中點N”連接NNi交D3于0,連接0M.

因為N是DC的中點，BD=BC,

所以BN_LDC.

又因為平面ABCDn平面DCCD=DC,

平面ABCD_L平面DCGD”

所以BN_L平面DCCD.

又因為點0是NNi的中點，

所以BM〃0N,且BM=0N,

即四邊形BM0N是平行四邊形，

所以BN〃0M,

所以0MJ_平面CCDD.

又因為0M平面DM3,

所以平面DMC」平面CCDD.

【精要點評】探求符合要求的點或線的問題時，可以先假設存在，即增加條件后再證

明；或通過先構(gòu)造平行或垂直的特殊位置上的點或線，通過對其進行平移，來尋找正確的結(jié)

果，然后再反過來證明.

變式（2014?蘇州模擬）如圖（1）,邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互

相垂直，M,Q分別為PC,AD的中點.

（變式（D）

（1）求證：PA〃平面MBD.

（2）在線段AB上是否存在一點N,使得平面PCN,平面PQB?若存在，試指出點N的位置，并

證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.

【解答】⑴如圖⑵,連接AC交BD于點0,連接M0.

（變式⑵）

由四邊形ABCD為正方形，知點0為AC的中點，又因為M為PC的中點,

所以MO〃PA.

因為M0平面MBD,PA平面MBD,

所以PA〃平面MBD.

⑵存在點N,當N為AB的中點時，平面PCNL平面PQB.證明如下：

因為四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點，

所以BQ_LNC.

因為Q為AD的中點，4PAD為正三角形，

所以PQ_LAD.

因為平面PAD_L平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,PQ平面PAD,

所以PQ_L平面ABCD.

又因為NC平面ABCD,所以PQ_LNC.

又因為BQAPQ=Q,BQ,PQ平面PQB,

所以NC_L平面PQB.

因為NC平面PCN,

所以平面PCN_L平面PQB.

通檐也依

1.（2015?南京、鹽城、徐州二模）己知a,8表示兩個不重合的平面，m,〃表示兩條不同的直

線，給出下列命題：

①若卬〃a,n//B,m\.n,則aJ.B;

②若a〃6,m//a,n//P,則〃〃n；

③若a,nX.B,則aJ.B;

④若a_L6,mA.a,z?±P,則/_L〃.

其中為真命題的是.（填序號）

【答案】③④

2.在空間中，給出下列四個命題：

①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；

②若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面；

③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

④若兩個平面相互垂直，則一個平面內(nèi)的任意一條直線必定垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線.

其中正確的命題是.（填序號）

【答案】①④

【解析】易知①④正確.對于②，過這兩點的直線還可能與平面相交；對于③，垂直于同一條

直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面.

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中,AB〃CD,AB1AD,CD=2AB,平面PAD_L底面ABCD,PA±AD,E和F

分別是CD和PC的中點.

c

（第3題）

（1）求證：PAJ_底面ABCD；

（2）求證：平面BEF_L平面PCD.

【解答】（1）因為平面PADJ_平面ABCD,平面PADC1平面ABCD=AD,PA±AD,PA平面PAD,

所以PA_L底面ABCD.

（2）因為E為CD的中點，AB=CD,所以AB=DE,

又因為AB〃DE,所以四邊形ABED為平行四邊形.

因為AB_LAD,所以平行四邊形ABED為矩形，

所以DE_LAD.

由（1）知PAJ_底面ABCD,CD平面ABCD,

所以PA_LCD.

又ADDAP=A,AD,AP平面PAD,

所以CD_L平面PAD.

因為PD平面PAD,所以CDJ_PD.

因為E和F分別是CD和PC的中點,

所以PD〃EF,所以CD_LEF,又CD_LBE,BEAEF=E,BE,EF平面BEF,

所以CD_L平面BEF.

又因為CD平面PCD,

所以平面BEFJ_平面PCD.

4.（2014?江蘇卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點.已知

PA1AC,PA=6,BC=8,DF=5.

(第4題)

(D求證：直線PA〃平面DEF；

(2)求證：平面BDE_L平面ABC.

【解答】(1)因為D,E分別為棱PC,AC的中點,所以DE〃PA.

又因為PA平面DEF,DE平面DEF,

所以直線PA〃平面DEF.

(2)因為D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點，PA=6,BC=8,所以DE=PA=3,EF=BC=4.

又因為DF=5,

所以DF2=DE?+EF2,

所以NDEF=90°,即DE_LEF.

XPA1AC,DE〃PA,所以DEJLAC

因為ACAEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,

所以DE_L平面ABC.

又因為DE平面BDE,

所以平面BDEJ_平面ABC.

【融會貫通】

融會貫通能力提升

(2015?江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABOAiBC中，己知AC_LBC,BC=CCI(設ABi的中點為D,

BiCnBC,=E.

(1)求證：DE〃平面AACC；

(2)求證:BC.IAB,.

【思維引導】

【規(guī)范解答】(D由題意知E為BQ的中點，

先.明.線平分

又D為ABi的中點，所以..............2分

又因為DE平面AACC,AC平面AACC,

所以DE〃平面AACC..................................................5分

(2)因為三棱柱ABC-ABC是直三棱柱，所以CC_L平面ABC.

因為AC平面ABC,所以AC_LCC.

規(guī)范的線面垂直

又因為AC_LBC,CG平面BCCB,BC平面BCCB,BCACOC,

所以AC_L平面BCCB.

又因為BG平面BCCB,所以BCAC................................9分

因為BC=CG,所以矩形BCCB是正方形，因此BC_LBC

先證明線面垂直,

再一麗面面垂直

因為AC,B￡平面BiAC,ACCBC=C,所以BG_L平面BAC..........13分

又因為ABi平面RAC,所以BC」ABi..............................14分

【精要點評】本題屬于中檔題，難度不大，以考查基礎為主，如考查空間中點、線、面

的位置關系，考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的判定.解題過程中要注意問

題的合理轉(zhuǎn)化.規(guī)范表達很重要.

趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第101102頁.

【檢測與評估】

第51課直線與平面、平面與平面的垂直

一、填空題

1.在一個平面內(nèi)，和這個平面的一條斜線垂直的直線有條.

2.已知四邊形ABCD為梯形，AB〃CD,/為空間一直線，則“，垂直于兩腰AD,BC”是垂直于

兩底AB,DC”的條件.

3.（2014?遼寧卷）己知〃，〃表示兩條不同的直線，a表示平面.下列說法中正確的

是.（填序號）

①若勿〃a,n//a,則0〃n；

②若z?_La,na,則R_L〃；

③若a,m_Ln,則〃〃a；

④若w〃a,mA-n,則〃J.a.

4.已知兩條不同的直線a,6與三個不重合的平面a,J3,丫，那么能使a_LB的條件

是.（填序號）

①aj_y,P±y；②aCB=a,b±a,66；③a〃8,a//a；?a//a,a_LB.

5.（2014?鹽城一，調(diào)）已知三個不重合的平面a,B,y,兩條不同的直線1,0滿足a_L丫，

YAa=/?,yA0=7,IVm,有下列條件：①WJ_B；@7±a；③B_LY:④aJ.B.其中由

上述條件可推出的結(jié)論有.（填序號）

6.（2014?常州期末）給出下列四個命題：

①“直線a〃直線6”的必要不充分條件是“a平行于6所在的平面”：

②“直線1,平面a”的充要條件是“/垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線”；

③“平面a〃平面B”是“a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面B”的充分不必要條件；

④，，平面aJ_平面B”的充分條件是“有一條與a平行的直線/垂直于P”.

上述命題中，所有真命題為.（填序號）

7.（2015?泰州期末）若a,B是兩個相交平面，則下列命題中正確的是.（填序號）

①若直線用，a,則在平面B內(nèi)，一定不存在與直線山平行的直線；

②若直線〃J.a,則在平面B內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線雇直；

③若直線0a,則在平面8內(nèi)，不一定存在與直線屣直的直線；

④若直線〃a,則在平面B內(nèi)，一定存在與直線遙直的直線.

8.如圖，四棱錐V-ABCD的底面為矩形，側(cè)面VBAJL底面ABCD,VBJ_平面VAD,則平面VBC與平面

VAC的位置關系為.

（第8題）

二、解答題

9.（2015?揚州期末改編）如圖，在三棱錐P-ABC中,D為AB的中點.若PA=PB,且銳角三角形PCD

所在平面與平面ABC垂直，求證：AB1PC.

p

（第9題）

10.（2015?北京卷）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VABJ_平面ABC,AC=BC,0,M分別為AB,VA

的中點.

（1）求證:VB〃平面M0C；

（2）求證：平面M0C_L平面VAB.

（第10題）

11.（2014?南京、鹽城二模）如圖,在正三棱柱ABC-ABG中，E,F分別為BB”AC的中點.

⑴求證：BF〃平面AiEC；

（2）求證：平面AiEC_L平面ACCA.

（第11題）

三、選做題（不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果）

12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDJ_底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD=DC,E,F分別是AB,

PB的中點.

(1)求證:EF±CD；

(2)在平面PAD內(nèi)求一點G,使GFJL平面PCB,并證明你的結(jié)論.

【檢測與評估答案】

第51課直線與平面、平面與平面的垂直

1.無數(shù)

2.充分不必要

3.②【解析】①中0,〃可以平行、相交或異面；③中〃〃a或〃④中直線〃與平面a的位

置關系不確定：只有②正確.

4.④【解析】由面面垂直的定義及判定定理可得.

5.②④【解析】由條件知丫Ca=m,ly,則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理有

lA-a,即②成立；又根據(jù)面面垂直的判定定理有。，尸，即④成立.

6.③④【解析】①是既不充分也不必要條件；②是充分不必要條件，即“直線平面

可得“/垂直于平面。內(nèi)的無數(shù)條直線”，反之，不成立；③④正確.

7.②④【解析】對于①，若兩個平面互相垂直，顯然在平面￡內(nèi)存在與直線加平行的直線,

故①不正確；對于②，ka,定與兩平面的交線垂直，有一條直線就有無數(shù)條直線，故②

正確；對于④，若卬與兩個平面的交線平行或〃為交線，顯然存在，若如與交線相交，設交點為

A,在直線W上任取一點6(異于點/),過點晌平面B引垂線，垂足為C,則直線比11.平面在

平面/內(nèi)作直線/垂直于4G可以證明平面49G則故④正確