2019年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，

只有一個符合題目要求.）

1.（4分）（2019?遂寧）-I-丁，的值為（）

A.V2B.-A/2C.±V2D.2

【考點】21：平方根；22：算術(shù)平方根；28：實數(shù)的性質(zhì).

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)實數(shù)的絕對值的意義解答即可.

【解答】解：-1--A/2-

故選：B.

【點評】此題主要考查絕對值和二次根式，掌握實數(shù)的絕對值的意義是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）（2019?遂寧）下列等式成立的是（）

A.2+&=2&B.（ah3）2=a4Z>6

C.（2a2+a）-i-a—2aD.5x2y-2x2y—3

【考點】35：合并同類項；47：基的乘方與積的乘方；4H：整式的除法；78：二次根式

的加減法.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用整式的除法運算法則以及積的乘方運算法則、合并同類項法則、二次

根式的加減運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：4、2+加，無法計算，故此選項錯誤；

B、（a73）2=/6,正確；

C、（2a2+a）-r-a=2a+\,故此選項錯誤；

D、故5，y-2，.丫=3，曠，此選項錯誤；

故選：B.

【點評】此題主要考查了整式的除法運算以及積的乘方運算、合并同類項、二次根式的

加減運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

3.（4分）（2019?遂寧）如圖為正方體的一種平面展開圖，各面都標(biāo)有數(shù)字，則數(shù)字為-2

的面與其對面上的數(shù)字

之積是（）

【考點】18：專題：正方體相對兩個面上的文字.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合.

【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖的特征知，其相對面的兩個正方形之間一定相隔一個

正方形，所以數(shù)字為-2的面的對面上的數(shù)字是6,其積為-12.

【解答】解：數(shù)字為-2的面的對面上的數(shù)字是6,其積為-2X6=-12.

故選：A.

【點評】此題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，關(guān)鍵是掌握正方體展開圖的特點.

4.（4分）（2019?遂寧）某校為了了解家長對“禁止學(xué)生帶手機進(jìn)入校園”這一規(guī)定的意見,

隨機對全校100名學(xué)生家長進(jìn)行調(diào)查，這一問題中樣本是（）

A.100

B.被抽取的100名學(xué)生家長

C.被抽取的100名學(xué)生家長的意見

D.全校學(xué)生家長的意見

【考點】V3：總體、個體、樣本、樣本容量.

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用；65：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體

中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目.我們在區(qū)分總體、個體、

樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的對象.從而找出總體、個體.再根據(jù)

被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量.

【解答】解：某校為了了解家長對“禁止學(xué)生帶手機進(jìn)入校園”這一規(guī)定的意見，隨機

對全校100名學(xué)生家長進(jìn)行調(diào)查，

這一問題中樣本是：被抽取的100名學(xué)生家長的意見.

故選：C.

【點評】此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個

體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象.總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的

是范圍的大小.樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，不能帶單位.

5.（4分）（2019?遂寧）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+J-1=0有一個根為x

=0,則a的值為（）

A.0B.±1C.ID.-1

【考點】A3：一元二次方程的解.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】直接把x=0代入進(jìn)而方程，再結(jié)合a-IWO,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程（a-I）/-2x+J-1=0有一個根為犬=0,

.'.a2-1=0,且a-IWO,

則a的值為：a--I.

故選：D.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，注意二次項系數(shù)不能為零.

6.（4分）（2019?遂寧）如圖，△ABC內(nèi)接于若NA=45°,。0的半徑r=4,則陰

影部分的面積為（）

A.4n-8B.2nC.4nD.8n-8

【考點】MA：三角形的外接圓與外心；MO：扇形面積的計算.

【專題】55B：正多邊形與圓.

【分析】根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2/4=90°,根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公

式即可得到結(jié)論.

【解答】解：：NA=45°,

；.NBOC=2NA=90°,

2

???陰影部分的面積=S.形8℃-S&BOC=9°>X4___1_X4X4=4TT-8,

3602

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，扇形的面積的計算，熟練掌

握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

7.（4分）（2019?遂寧）如圖，nABCD中，對角線4C、8。相交于點O,0E_L8。交A。

于點E,連接BE,

若。ABC。的周長為28,則△ABE的周長為（）

【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；555：多邊形與平行四邊形.

【分析】先判斷出EO是3。的中垂線，得出從而可得出的周長

再由平行四邊形的周長為24,即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

???平行四邊形的周長為28,

：.AB+AD^\4

'：OE±BD,

???OE是線段的中垂線，

：.BE=ED,

：./\ABE的周長=AB+8E+AE=AB+A￡>=14,

故選：D.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及線段的中垂線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷

出OK是線段2。的中垂線.

8.（4分）（2019?遂寧）關(guān)于x的方程_L_-1=^的解為正數(shù)，則火的取值范圍是（）

2x7x-2

A.k>-4B.k<4C.%>-4且上#4D.k<4且后#-4

【考點】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式的方程的解得到x的值，根據(jù)分式

方程解是正數(shù)，即可確定出k的范圍.

【解答】解：分式方程去分母得：k-（2x-4）=2x,

解得：

4

根據(jù)題意得：空士>0,且史&W2,

44

解得：k>-4,且24.

故選：C.

【點評】此題考查了分式方程的解，本題需注意在任何時候都要考慮分母不為0.

9.（4分）（2019?遂寧）二次函數(shù)y=，-ar+/,的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=2,下列

結(jié)論不正確的是（）

B.當(dāng)b=-4時，頂點的坐標(biāo)為（2,-8）

C.當(dāng)》=-1時，b>-5

D.當(dāng)x>3時，），隨x的增大而增大

【考點】H2：二次函數(shù)的圖象；H3：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；64：幾何直觀；68：模型思想.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次對各選項進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：..?二次函數(shù)丫=/-數(shù)+〃

對稱軸為直線》=旦=2

2

.*.67=4,故A選項正確；

當(dāng)b--4時，y—j?-4x-4—（x-2）2-8

二頂點的坐標(biāo)為（2,-8）,故B選項正確；

當(dāng)x=-1時，由圖象知此時y<0

即l+4+b<0

.,.b<-5,故C選項不正確；

???對稱軸為直線x=2且圖象開口向上

.?.當(dāng)x>3時，y隨x的增大而增大，故。選項正確；

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與系

數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型.

10.（4分）（2019?遂寧）如圖，四邊形4BCD是邊長為1的正方形，ABPC是等邊三角形,

連接QP并延長交CB的延長線于點4,連接8。交PC于點Q,下列結(jié)論：

①N8PD=135°；②叢BDPs/\HDB；③。。：BQ=\t2；④SABDP=近3

4

其中正確的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【考點】KK：等邊三角形的性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】由等邊三角形及正方形的性質(zhì)求出/CD尸=75°、/PCB=/CPB=

60°,從而判斷①；證N￡>BP=NOP8=135°可判斷②；作QE_LCQ,設(shè)QE=￡）E=x,

則。。=揚，CQ=2QE=2x,CE=p,由CE+DE=CD求出x,從而求得DQ、BQ

的長，據(jù)此可判斷③，證OP=CQ=逅二根據(jù)求解可

22

判斷④.

【解答】解：???△PBC是等邊三角形，四邊形ABC。是正方形，

，/PCB=NCPB=60°,ZPCD=30°,BC=PC=CD,

:.NCPD=NCDP=15",

則NBPO=NBPC+NCPO=135°,故①正確；

'：ZCBD=ZCDB=45°,

:.NDBP=NDPB=135°,

又,：NPDB=NBDH,

:./\BDPs/\HDB,故②正確:

如圖，過點Q作QELCQ于E,

由CE+DE=CD知x+Jjx=1,

解得x=返工，

2__

,:BD=M，

：.BQ=BD-DQ=yf2-2/12^=2/22/1,

則。Q：8。=1W1：色/Ri逅Hl：2,故③錯誤；

22

VZCDP=75°,ZCDe=45°,

：.ZPDQ=30°,

又；NCP￡>=75°,

：.ZDPQ=ZDQP=15°,

：.DP=DQ=^~^,

2

：.SABDP=LBD?PDsinNBDP=LxL=遍一,故④正確；

22224

故選：D.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形和

正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定等知識點.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）

11.（4分）（2019?遂寧）2018年10月24日，我國又一項世界級工程--港珠澳大橋正式

建成通車，它全長55000米，用科學(xué)記數(shù)法表示為5.5X104米.

【考點】II：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】512：整式.

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n

的值是易錯點，由于55000有5位，所以可以確定"=5-1=4.

【解答】解:55000=5.5X104,

故答案為5.5Xlot

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與〃值是關(guān)鍵.

12.（4分）（2019?遂寧）若關(guān)于x的方程，-2x+Z=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值

范圍為k<l.

【考點】AA：根的判別式.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】利用根的判別式進(jìn)行計算，令△>?即可得到關(guān)于火的不等式，解答即可.

【解答】解：???關(guān)于x的方程,-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△>0,

即4-4&>0,

Y1.

故答案為：k<l.

【點評】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

（1）△>（）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=（）=方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△<（）=方程沒有實數(shù)根.

13.（4分）（2019?遂寧）某校擬招聘一批優(yōu)秀教師，其中某位教師筆試、試講、面試三輪

測試得分分別為92分、85分、90分，綜合成績筆試占40%,試講占40%,面試占20%,

則該名教師的綜合成績?yōu)?8.8分.

【考點】W2：加權(quán)平均數(shù).

【專題】11：計算題；542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法求值即可.

【解答】解：由題意，則該名教師的綜合成績?yōu)椋?/p>

92X40%+85X40%+90X20%

=36.8+34+18

=88.8

故答案為:88.8

【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù).掌握加權(quán)平均數(shù)的算法是解決本題的關(guān)鍵.

14.(4分)(2019?遂寧)閱讀材料：定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為產(chǎn)=-1,這

個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如〃+歷。為實數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中。叫這個復(fù)數(shù)的

實部，b叫這個復(fù)數(shù)的虛部.它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.

例如計算：(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)/=10-z；

(2-/)(3+z)=6-3i+2i-產(chǎn)=6-(-1)=7-z；

(4+i)(4-i)=16-1=16-(-1)=17；

(2+/)2=4+4/+?=4+4I-l=3+4z

根據(jù)以上信息，完成下面計算：

(1+2儲(2-/)+(2-/)2=77.

【考點】2C：實數(shù)的運算.

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用完全平方公式以及多項式乘法分別化簡得出答案.

【解答】解：(l+2i)(2-i)+(2-i)2=2-i+4i-2產(chǎn)+4+產(chǎn)-4i

=6-i-i

=6-z+1

=7-z.

故答案為：7-i.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確運用相關(guān)計算法則是解題關(guān)鍵.

15.(4分)(2019?遂寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0A8C的頂點O落在坐標(biāo)原點，

點A、點C分別位于x軸，y軸的正半軸，G為線段OA上一點，將aOCG沿CG翻折，

O點恰好落在對角線AC上的點尸處，反比例函數(shù),丫=以經(jīng)過點8.二次函數(shù)尸如2+公+。

x

(aWO)的圖象經(jīng)過C(0,3)、G、A三點，則該二次函數(shù)的解析式為y=H一

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H5：二次函數(shù)圖

象上點的坐標(biāo)特征；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；H9：二次函數(shù)的三種形式；LB：

矩形的性質(zhì)；PB：翻折變換(折疊問題).

【專題】153：代數(shù)幾何綜合題；33：函數(shù)思想.

【分析】點C(0,3),反比例函數(shù)經(jīng)過點8,則點8(4,3),由勾股定理得：(4

X

-X)2=4+/,故點G(W,0),將點C、G、A坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解.

2

【解答】解：點C(0,3),反比例函數(shù)線過點B,則點8(4,3),

x

則OC=3,04=4,

：.AC=5,

設(shè)0G=PG=x,則GA=4-x,PA=AC-CP^AC-0C=5-3=2,

由勾股定理得：(4-x)2=4+7,

解得：x=—,故點G(―,0),

22

(1

fc=3Qa-y

q3

將點C、G、A坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：弓a^b+c=0,解得：11，

42b--

14a+4b+c=0c=3

故答案為：y—Xr2-Al,r+3.

-24

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到矩形基本性質(zhì)、反比例函數(shù)基本性質(zhì)

與應(yīng)用，其中用勾股定理求OG的長度，是本題解題的關(guān)鍵.

三、計算或解答題(本大題共1()小題，滿分9()分)

16.(7分)(2019?遂寧)計算：(-1)2019+(-2)+(3.14-n)°-4cos30°+|2-

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)幕；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)第；T5：特殊角的三角函數(shù)

值.

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用負(fù)指數(shù)事的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得

出答案.

【解答】解：原式=-1+1+1-4X返+2技2

42

=-1+1-+1-273+2^3-2

4

=_工

4,

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

’3x<5x+6

17.（7分）（2019?遂寧）解不等式組：x+1'x-l，把它的解集在數(shù)軸上表示出來，并

>2

寫出其整數(shù)解.

【考點】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組；CC：一元一次

不等式組的整數(shù)解.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式

的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.解集的規(guī)律:

同大取大；同小取??；大小小大中間找：大大小小找不到.

（3x<5x+6①

解不等式①，x>-3,

解不等式②，xW2,

-3<xW2,

解集在數(shù)軸上表示如下:

.?.X的整數(shù)解為-2,-1,0,1,2.

【點評】本題考查了不等式的解集，正確理解數(shù)軸上不等式解集的意義是解題的關(guān)鍵.

222

18.（7分）（2019?遂寧）先化簡，再求值：旦二2ab+b.+a-ab-其中小。滿

22

a-b&a+b

足（.a-2）~+Vb+T-0-

【考點】IF：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；23：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根：6D：分式的化

簡求值.

【專題】513：分式.

【分析】先化簡分式，然后將隊人的值代入計算即可.

2

【解答】解：原式=7Qf<?，a

(a+b)(a-b)a(a-b)a+b

=1.2

a+ba+b

=_1

a+b

???〃，匕滿足(4-2)2+Vb+l=0-

.,.a-2—0,0+1=0,

a—2,b--1,

原式=——=-1.

2-1

【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(9分)(2019?遂寧)如圖，在四邊形ABCO中，AD//BC,延長BC到E,使CE=BC,

連接AE交8于點F,點F是CD的中點.求證：

(1)AADF^AECF.

(2)四邊形A8CC是平行四邊形.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；555：多邊形與平行四邊形.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到根據(jù)線段中點的定義得到。尸=CE

根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到A￡>=EC,等量代換得到A￡>=BC,根據(jù)平行四邊形的

判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)???AoaBC,

：.ZDAF=ZE,

;點尸是CZ)的中點，

：.DF=CF,

"ZDAF=ZE

在△AD尸與△ECF中，，ZAFD=ZEFC>

,DF=CF

A/\ADF^/\ECF（A4S）；

（2）,:△ADWLECF,

：.AD=EC,

,:CE=BC,

：.AD=BC,

'：AD//BC,

四邊形ABC。是平行四邊形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平

行雙絞線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

20.（9分）（2019?遂寧）汛期即將來臨，為保證市民的生命和財產(chǎn)安全，市政府決定對一

段長200米且橫斷面為梯形的大壩用土石進(jìn)行加固.如圖，加固前大壩背水坡坡面從A

至8共有30級階梯，平均每級階梯高30c〃?，斜坡A8的坡度i=l：1；加固后，壩頂寬

度增加2米，斜坡EF的坡度i=l：遍，問工程完工后，共需土石多少立方米？（計算

土石方時忽略階梯，結(jié)果保留根號）

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】過4作于“，過E作于G,于是得到四邊形EG//A是矩形,

求得EG=A”，GH=AE=2,得到求得BG=BH-HG=,得

22

到FG=2逗，根據(jù)梯形的面積公式求得梯形ABFE的面積乘以大壩的長度即可得到結(jié)

2

論.

【解答】解：過A作AH_L8c于H,過E作E//_L8C于G,

則四邊形EG/M是矩形，

：.EG=AH,GH=AE=2,

?.?斜坡AB的坡度i=l：1,

：.AH=BH=30X3Q=900cm=9米,

：.BG=BH-HG=1,

；斜坡EF的坡度i=l：娓,

:.FG=9后,

:.BF=FG-BG=9遙-7,

二S梯形ABFE=L（2+9遙-7）X9=81近-45,

22

共需土石為'I75x200=100（81遙-45）立方米.

【點評】此題考查了坡度坡角問題.此題難度適中，注意構(gòu)造直角三角形，并借助于解

直角三角形的知識求解是關(guān)鍵.

21.（9分）（2019?遂寧）仙桃是遂寧市某地的特色時令水果.仙桃一上市，水果店的老板

用2400元購進(jìn)一批仙桃，很快售完；老板乂用3700元購進(jìn)第二批仙桃，所購件數(shù)是第

一批的W倍，但進(jìn)價比第一批每件多了5元.

2

（1）第一批仙桃每件進(jìn)價是多少元？

（2）老板以每件225元的價格銷售第二批仙桃，售出80%后，為了盡快售完，剩下的決

定打折促銷.要使得第二批仙桃的銷售利潤不少于440元，剩余的仙桃每件售價至少打

幾折？（利潤=售價-進(jìn)價）

【考點】B7：分式方程的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)第一批仙桃每件進(jìn)價是x元，則第二批每件進(jìn)價是（x+5）元，再根據(jù)等

量關(guān)系：第二批仙桃所購件數(shù)是第一批的3倍，列方程解答；

2

（2）設(shè)剩余的仙桃每件售價y元，由利潤=售價-進(jìn)價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于

440元，可列不等式求解.

【解答】解：（1）設(shè)第一批仙桃每件進(jìn)價x元，則獨6x2_=之也，

x2x+5

解得x=180.

經(jīng)檢驗，x=180是原方程的根.

答：第一批仙桃每件進(jìn)價為180元;

（2）設(shè)剩余的仙桃每件售價打），折.

貝I」：WOOX225X8O%+/T°2_X225義（1-80%）X0,lv-3700^440,

180+5180+5

解得y26.

答：剩余的仙桃每件售價至少打6折.

【點評】本題考查分式方程、一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量作為等量關(guān)系列

出方程，根據(jù)利潤作為不等關(guān)系列出不等式求解.

22.（10分）（2019?遂寧）我市某校為了讓學(xué)生的課余生活豐富多彩，開展了以下課外活動:

代號活動類型

4經(jīng)典誦讀與寫作

B數(shù)學(xué)興趣與培優(yōu)

C英語閱讀與寫作

D藝體類

E其他

為了解學(xué)生的選擇情況，現(xiàn)從該校隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（參與問卷調(diào)查的

每名學(xué)生只能選擇其中一項），并根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)

計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息回答下列問題（要求寫出簡要的解答過程）.

（1）此次共調(diào)此了200名學(xué)生.

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整.

（3）“數(shù)學(xué)興趣與培優(yōu)”所在扇形的圓心角的度數(shù)為108。.

（4）若該校共有2000名學(xué)生，請估計該校喜歡A、B、C三類活動的學(xué)生共有多少人？

（5）學(xué)校將從喜歡“A”類活動的學(xué)生中選取4位同學(xué)（其中女生2名，男生2名）參

加校園“金話筒”朗誦初賽，并最終確定兩名同學(xué)參加決賽，請用列表或畫樹狀圖的方

法，求出剛好一男一女參加決賽的概率.

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖：W2：加權(quán)平均數(shù);

X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）由A類型人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；

（2）總?cè)藬?shù)乘以D的百分比求得其人數(shù)，再根據(jù)各類型人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求得B的

人數(shù)，據(jù)此可補全圖形；

（3）用360。乘以B類型人數(shù)所占比例；

（4）總?cè)藬?shù)乘以前三項人數(shù)之和所占比例即可得；

（5）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果與挑選的兩位

學(xué)生恰好是一男一女的情況，再利用概率公式求解即可求得答案

【解答】解：（1）此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為40?20%=200（人），

故答案為：200；

（2）。類型人數(shù)為200X25%=50（人），

B類型人數(shù)為200-（40+30+50+20）=60（人），

（3）“數(shù)學(xué)興趣與培優(yōu)”所在扇形的圓心角的度數(shù)為360°X型_=108°,

200

故答案為：108°；

（4）估計該校喜歡A、B、C三類活動的學(xué)生共有2000義4°+60+30=]3oo（人）；

200

(5)畫樹狀圖如下:

男男女女

/|\/1\/IX/Z

男女女男女女男男女男男女，

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中一男一女的有8種結(jié)果，

剛好一男一女參加決賽的概率國-=2.

123

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率、頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖.用到的

知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.(10分)(2019?遂寧)如圖，一次函數(shù))，=x-3的圖象與反比例函數(shù)1-K(AW0)的

x

圖象交于點4與點-4).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若動點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(不與點A重合)，連接OP,且過點P作y

軸的平行線交直線AB于點C,連接OC,若△POC的面積為3,求出點P的坐標(biāo).

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)先求出點8的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法將B代入反比例函數(shù)解析式中即

可求出其表達(dá)式；

(2)設(shè)點尸的坐標(biāo)為4)(%>()),用m表示出△POC的面積，從而列出關(guān)于

m

的方程，解方程即可.

【解答】解：(1)將8(a,-4)代入一次函數(shù)y=x-3中得：a=-1

：.B(-1,-4)

將8(-1,-4)代入反比例函數(shù))——(ZW0)中得：％=4

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為），=4;

X

（2）如圖:

設(shè)點P的坐標(biāo)為（相，-1）（m>0）,則C（相，機-3）

ID

：.PC=\^--（W-3）I，點。到直線PC的距離為相

ID

二△尸0C的面積=LnX|_l-（w-3）1=3

2m

解得：m=5或-2或1或2

;點P不與點A重合，且4（4,1）

又；，*>0

.*./?=5或1或2

??.點P的坐標(biāo)為（5,里）或（1,4）或（2,2）.

5

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)

的表達(dá)式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形面積.本題屬于中考?？碱}型.

24.（10分）（2019?遂寧）如圖，AABC內(nèi)接于。0,直徑交8c于點E,延長AO至點

F,使。尸=20。，連接尸C并延長交過點A的切線于點G,且滿足4G〃BC,連接OC,

若cos/8AC=~^~,BC=6.

3

（1）求證：NCOD=NBAC；

（2）求。。的半徑OC；

（3）求證：CF是。。的切線.

G

OEIDF

【考點】M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到NGAF=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到A￡，BC,根據(jù)

圓周角定理即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)OE=x,0C=3x,得到CE=3,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

(3)由DF=20D,得到。/=3OD=3OC,求得°E=℃=1,推出△COES/\FOE,

0C-0F-3

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到NOC尸=NOEC=90°,于是得到C尸是。。的切線.

【解答】解：(1)：AG是。。的切線，A。是。。的直徑，

AZGAF=90°,

'：AG//BC,

J.AEVBC,

：.CE=BE,

:.NBAC=2NEAC,

,：ZCOE^2ZCAE,

：.ZCOD^ZBAC；

(2)'：ACOD=ABAC,

.?.COS/8AC=COSNCOE=^=L

0C3

，設(shè)OE=JGOC=3x,

VBC=6,

???CE=3,

VCE±AD,

J.O^+CET^OC1,

：.XZ+32^9X2,

/.x=—(負(fù)值舍去)，

8

，0C=3x=空，

8

的半徑0c為空；

8

（3）'：DF=WD,

：.OF=3OD=3OC,

.QE_QC_1；

??慶而污

■:NC0E=NF0C,

：./\COE^/\FOE,

：.ZOCF=ZDEC=9Q＜，,

.??CF是。。的切線.

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平

行線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

25.（12分）（2019?遂寧）如圖，頂點為P（3,3）的二次函數(shù)圖象與x軸交于點A（6,0）,

點B在該圖象上，OB交其對稱軸/于點點M、N關(guān)于點尸對稱，連接BN、ON.

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式.

（2）若點8在對稱軸/右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動，請解答下列問題：

①連接OP,當(dāng)OP=LMN時，請判斷△NOB的形狀，并求出此時點B的坐標(biāo).

2

②求證：NBNM=NONM.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】153：代數(shù)幾何綜合題；521：一次方程（組）及應(yīng)用；533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；

535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；554：等腰三角形與直角三角形；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱;

55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】（1）由于已知二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，故可設(shè)頂點式，再把點A代入求〃即求得二

次函數(shù)關(guān)系式.

(2)設(shè)點B橫坐標(biāo)為從用人表示直線0B的k值即得到直線0B解析式，把x=3代入

即用6表示點M坐標(biāo).根據(jù)M、N關(guān)于點尸對稱，求得MP=NP=LWN,且能用6表

2

示點N坐標(biāo).①由OP=1MN,可列得關(guān)于b的方程，求解即得到點8、N坐標(biāo).求0於、

2

0爐、B7V2的值得到082+0爐=BM,判斷△NOB是等腰直角三角形.②有點8、N坐

標(biāo)求直線BN解析式(含。)，令y=0求得直線8N與x軸交點。的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)C為。。

中點即直線NC垂直平分。。，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得M9=N0,由等腰三角形三線合一

得NBNM=NONM,得證.

【解答】解：(1):二次函數(shù)頂點為P(3,3)

.?.設(shè)頂點式y(tǒng)=。(x-3)2+3

?.?二次函數(shù)圖象過點A(6,0)

(6-3)%+3=0,解得：a---

3

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-L(x-3)2+3=-1^2+2X

33

(2)設(shè)8(b,-(b>3)

3

直線08解析式為：y=(-14?+2)x

3

?：OB交對稱軸/于點M

，當(dāng)XM=3時，,M=(-L+2)X3=-b+6

3

：.M(3,-b+6)

??,點M、N關(guān)于點P對稱

：.NP=MP=3-(-h+6)=h-3,

???)W=3+6-3=6,即N(3,b)

@VOP="N

2

：.OP=MP

:^32+32=b-3

解得：b=3+3加

，-Lh1+2b=-Lx(3+3&)2+2X(3+3&)=-3

33

：.B(3+3亞，-3),N(3,3+3V2)

AOB2=(3+3V2)2+(-3)2=36+18&,0^^^+(3+3&)2=36+1872-B#=

(3+35/2-3)2+(-3-3-3&)2=72+36加

：.OB=ON,OB^+Ol/=BN1

.?.△NOB是等腰直角三角形，此時點B坐標(biāo)為(3+3a,-3).

②證明：如圖，設(shè)直線8N與x軸交于點。

,；B(6,-l^+2b\N(3,b)

3

設(shè)直線BN解析式為y^kx+d

'12f1

kb+d-yb+2b解得：k/b

.3k+d=b[d=2b

直線BM-h)x+2b

3

當(dāng)y=0時，-^-bx+2b=0,解得：x=6

3

：.D(6,0)

VC(3,0),NC_Lx軸

，NC垂直平分OD

：.ND=NO

：.NBNM=NONM

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，勾

股定理逆定理，一元一次方程的解法，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).第

(2)題設(shè)點3橫坐標(biāo)為b后，即把6當(dāng)常數(shù)進(jìn)行求直線解析式和點坐標(biāo)的運算，較多字

母的運算過程要抓清楚常量和變量.

考點卡片

1.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都

必須等于0.

2.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成“X10”的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：aXIO",其中

〃為正整數(shù).]

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)〃.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負(fù)號.

3.平方根

（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于小這個數(shù)就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

（2）求一個數(shù)。的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為“?”，負(fù)的平方根表示為“-

正數(shù)a的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),

0的立方根是0.

4.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即，=小那么這個正數(shù)

x叫做，，的算術(shù)平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)。的算術(shù)平方根。有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根。本

身是非負(fù)數(shù).

（3）求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

5.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

（1）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負(fù)性.

（2）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也

是非負(fù)數(shù)列出不等式求解.非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值

問題.

6.實數(shù)的性質(zhì)

（1）在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實數(shù)”的絕對值就是在數(shù)軸上這

個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離.

（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕

對值是0.

（3）實數(shù)a的絕對值可表示為同={a（a20）-a（a<0）,就是說實數(shù)。的絕對值一定是

一個非負(fù)數(shù)，即間20.并且有若|x|=a（a20）,則x=±a.

實數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若〃與〃互為倒數(shù)，則必=1；反之，若必=1,則〃與

6互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù).

7.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進(jìn)行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、某的運算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度.

8.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)：

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達(dá)到化簡多項式的目的：

（3）“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

9.幕的乘方與積的乘方

（1）易的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（1"）n=amn（m,〃是正整數(shù)）

注意：①嘉的乘方的底數(shù)指的是基的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是基的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)幕的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的辱相乘.

是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結(jié)果.

10.整式的除法

整式的除法：

（1）單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)基分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式

里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式.

關(guān)注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)幕相除;

③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式.

（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.

說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式.多項式除以單項式的結(jié)果仍是

一—個多項式.

11.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

12.零指數(shù)幕

零指數(shù)累：“°=1(aWO)

由『5=1,可推出“°=1(e0)

注意：0°^1.

13.負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

負(fù)整數(shù)指數(shù)累：a"=lap(a#0,p為正整數(shù))

注意：①aWO；

②計算負(fù)整數(shù)指數(shù)事時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義計算，避免出現(xiàn)(-3)一2=(-

3)X(-2)的錯誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒