2024年1月北京西城區(qū)八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題及答案

北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

八年級數(shù)學(xué)2024.1

試卷滿分：100分，考試時間：100分鐘

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

下面各題均有四個選項(xiàng)，其中只有：個是符合題意的.

1.下列二次根式中，最簡二次根式是（,.）.

A.B.V18C/—D.A/907

2.2024年9月14日，意大利物理學(xué)家馬爾科?德拉戈收到來自激光干涉引力波天文臺（LIG0）的系統(tǒng)自

動提示郵件，一股宇宙深處的引力波到達(dá)地球，在位于美國華盛頓和烈文斯頓的兩個LIGO探測器上

產(chǎn)生了4*10"8米的空間畸變（如圖中的引力波信號圖像所

示），也被稱作“時空中的漣漪”，人類第一次探測到了引力波

的存在，“天空和以前不同了……你也聽得到了這次引力波

的信號顯著性極其大，探測結(jié)果只有三百五十萬分之一的誤差.

三百五十萬分之一約為0.0000002857.將0.0000002857

用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）.

A.2.857x10*B.2.857xlO-7C.2.857x10’D.0.2857x10-6

3.以下圖形中，不懸軸對稱圖形的是（）.

4.如圖，在△ABC中，ZB=ZC=60°,點(diǎn)。在AB邊上，DELAB,并與

AC邊交于點(diǎn)E.假如4。=1,BC=6,那么CE等于（).

A.5B.4

C.3D.2

5.下列各式正確的是（).

1B.X6x~2=x~3=，

A.x6-x-2=x^2

112X

…f-1

D./T

y3

r2-l

6.化簡~■正確的是（）.

x-1

AX2-l（X-1）21

A.-----=-------=----B,…

X-1X-1X-1X—1X—1

c.==-]）_+]nX2-1（X+1）（A：-1）1

D.-------=------------------=-------

x-1x-1X~1X~1x+1

7.在△AB。與△AC。中，ZBAD=ZCAD,且8點(diǎn)，C點(diǎn)在邊兩側(cè)，則不肯定能使△A3。和△AC。

全等的條件是（）.

A.BD=CDB.ZB=ZC

C.AB=ACD.ZBDA=ZCDA

8.下列推斷錯誤的是（）.

A.當(dāng)時，分式士有意義B.當(dāng)a=—3時，分式乂坦有意義

a才一9

c.當(dāng)a=-J■時，分式券■的值為0D.當(dāng)°=1時，分式生二1的值為1

2aa

9.如圖，是△ABC的角平分線，ZC=20°,AB+BD^AC,

將△ABD沿AD所在直線翻折，點(diǎn)B在AC邊上的落點(diǎn)記為

點(diǎn)E,那么ZAED等于（）.

A.80°B.60°C.40°D.30°

10.在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：

畫一個Rt^ABC,使NB=90。，它的兩條邊分別等于兩條已知線段.

小劉和小趙同學(xué)先畫出了/MBN=90。之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如下圖所示.

小劉同學(xué)小趙同學(xué)

那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（）.

A.SAS,HLB.HL,SASC.SAS,AASD.AAS,HL

二、填空題（本題共18分，每小題3分）

11.（71-3）°=.

12.假如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x的取值范圍是.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（-5,1）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

14.中國新聞網(wǎng)報(bào)道：2024年北京冬奧會的配套設(shè)施——“京張高鐵”（北京至張家口高速鐵路）將

于2024年底全線通車，屆時，北京至張家口高鐵將實(shí)現(xiàn)1小時直達(dá).目前，北京至張家口的列車?yán)?/p>

程約200千米，列車的平均時速為v千米/時，那么北京至張家口“京張高鐵”運(yùn)行的時間比現(xiàn)在列

車運(yùn)行的時間少小時.（用含v的式子表示）

15.如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形組成），

其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形,

使它與陰影部分合起來所構(gòu)成的完整圖形是一個軸對稱圖形.（1）畫出其中

一種涂色方式并畫出此時的對稱軸；（2）滿意題意的涂色方式有種.

16.對于實(shí)數(shù)p,我們規(guī)定：用<p>表示不小于0的最小整數(shù)，例如：<4>=4,<y[3>=2.現(xiàn)對72進(jìn)行如

下操作：

第一次第二次第三次“

72--------><^72>=9--------><^9>=3--------><^3>=2.即對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.類似地：.

（1）對36只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?；

（2）只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的全部正整數(shù)中，最大的是.

三、解答題（本題共52分）

17.（本題6分，每小題3分）

分解因式：（1）a3b-5a2b2；（2）3^2-12^+12.

解：解：

18.（本題6分）

?！?a—1?a—4

化簡并求值:其中a=—l.

a2+2〃+4Ja+2

19.（本題6分）

解方程：」2+—1L=—7

X—1X+1X—1

解：

20.（本題6分）

小華在學(xué)習(xí)二次根式時遇到如下計(jì)算題，他是這樣做的:

請你先把他在第一步中出現(xiàn)的其它錯誤圈畫出來（不必改正），再完成此題的解答過程.

解：

21.（本題6分）

如圖，△B4。和△P2Q是等邊三角形，連接AB,OQ.

求證：AB=OQ.

證明：

Q

22.（本題6分）

閱讀下列材料:

小銘和小雨在學(xué)習(xí)過程中有如下一^殳對話:

小銘：“我知道一?般當(dāng)機(jī)初時，/+〃彳機(jī)+/.可是我見到有這樣一^個奇妙的等式:

（斗2+"g=@+（”與2（其中a,b為隨意實(shí)數(shù)，且厚0）.你信任它成立嗎？”

bbbb

小雨：“我可以先給a,b取幾組特別值驗(yàn)證一下看看.”

完成下列任務(wù)：

（1）請選擇兩組你喜愛的、合適的。，。的值，分別代入閱讀材料中的等式，寫出代入后得到的詳

細(xì)等式并驗(yàn)證它們是否成立（在相應(yīng)方框內(nèi)打勾）；

①當(dāng)a=，b-時，等式（□成立；口不成立）；

②當(dāng)〃=,b=時，等式（口成立；口不成立）.

（2）對于隨意實(shí)數(shù)a,b（以0）,通過計(jì)算說明（勺？+j=q+（4）2是否成立.

bbbb

解:

23.（本題5分）

閱讀下列材料：

為了了解學(xué)校初二年級學(xué)生的閱讀狀況，小廉所在實(shí)踐小組的同學(xué)們設(shè)計(jì)了相應(yīng)的調(diào)查問卷，

他們共發(fā)放問卷300張，收回有效問卷290張，并利用統(tǒng)計(jì)表整理了每一個問題的數(shù)據(jù)，繪制了統(tǒng)

計(jì)圖.他們的調(diào)查問卷中，有關(guān)“閱讀載體的選擇”和''閱讀過書的類型”兩個問題的統(tǒng)計(jì)狀況如下

表所示.

表1：

您的最主要閱讀載體（限選一種）

A.手機(jī)B.電腦C.電子書D.紙質(zhì)書E.其他

45307513010

表2：

您閱讀過書的類型（可多選）

A.歷史傳記類B.社會哲學(xué)類C.科普科技類D.文學(xué)名著類

23635185290

E.報(bào)刊雜志類F.網(wǎng)絡(luò)小說類G.漫畫類H.其他—

21685196160

依據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)依據(jù)表1中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖對其進(jìn)行數(shù)據(jù)的描述；

(2)通過表2中統(tǒng)計(jì)出的數(shù)據(jù)你能得到哪些結(jié)論？請你說出其中的一條即可.

解：⑴(2)

24.先閱讀以下材料，再從24.1、24.2兩題中任選一題作答(若兩題都做以第一題為準(zhǔn)).24.1題5分(此

時卷面滿分100分)，24.2題7分(卷面總分不超過100分).

閱讀材料：

我們曾經(jīng)解決過如下的問題："如圖1，點(diǎn)分別在直線4B同

側(cè)，如何在直線AB上找到一個點(diǎn)P,使得PM+PN最?。俊?/p>

我們可以經(jīng)過以下步驟解決這個問題：

(1)畫草圖(或目標(biāo)圖)分析思路:在直線4B上任取一點(diǎn)P',連接

P'M,PW,根據(jù)題目需要，作點(diǎn)M關(guān)于直線48的對稱點(diǎn)將

p'M+PW轉(zhuǎn)化為P'M'+P'N,"化曲為直"尋找P'M'+P'N的

最小值；

(2)設(shè)計(jì)畫圖步驟；

(3)回答結(jié)論并驗(yàn)證.

請先在以下相應(yīng)方框內(nèi)打勾，再解答相應(yīng)題目.

我選擇口24.1;口242“

24.1解決下列兩個問題:

(1)如圖2,在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直且平分

BC,點(diǎn)P在直線所上，干脆寫出B4+PB的最小值，回答

PA+PB取最小值時點(diǎn)P的位置并在圖中標(biāo)出來；

解：必+PB的最小值為,朋+PB取最小值時點(diǎn)尸的

位置是;

(2)如圖3,點(diǎn)M,N分別在直線兩側(cè)，在直線A3

上找一點(diǎn)尸，使得=要求畫圖，并簡.N

要敘述確定點(diǎn)P位置的步驟.(無需尺規(guī)作圖，保留

畫圖痕跡，無需證明)

解：確定點(diǎn)P位置的簡要步驟：AB

M

圖3

24.2借鑒閱讀材料中解決問題的三個步驟完成以下尺規(guī)作圖:

已知三條線段丸，祖，c,求作△A2C,使其2C邊上的高,中線AB=c.

m

（1）請先畫草圖（畫出一個即可），并敘述簡要的作圖思路（即實(shí)現(xiàn)目標(biāo)圖的大致作圖步驟）;

（4分）

解：草圖（目標(biāo)示意圖）區(qū)

（2）完成尺規(guī)作圖（不要求寫作法，作出一個滿意條件的三角形即可）.（3分）

作圖區(qū)

25.（本題6分）

在等邊△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，DE=DA（如圖1）.

（1）求證：ZBAD=ZEDC；

（2）點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為M,連接。M,AM.

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②小姚通過視察、試驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)。運(yùn)動的過程中，始終有D4=AM.小姚把這個猜想與

同學(xué)們進(jìn)行溝通，通過探討，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1:要證明D4=AM,只需證△ADM是等邊三角形；

想法2:連接CM,只需證明△ABO絲ZvlCAf即可.

請你參考上面的想法，幫助小姚證明（一種方法即可）.

（2）①補(bǔ)全圖形.圖1

②證明：

北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

八年級數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2024.1

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

題號12345678910

答案ABDBDCABCA

二、填空題（本題共18分，每小題3分）

11.1.12.X>3.13.（5,1）.14.（―-1）.

V

15.（1）見圖1（涂色1分，畫對稱軸1分）；（2）3（1分）.

圖1

16.(1)3(2分)；(2)256(1分).

三、解答題(本題共52分)

17.(本題6分，每小題3分)

解：(1)a3b-5a2b2=a2b(a-5b)；.............................3分

(2)3a2-12a+12

=3(〃一4a+4)...........................................................................4分

=3(a—2)2..................................................................................6分

18.(本題6分)

Q—2tz—1jQ—4

“2+2〃a?+4〃+4Ja+2

。-2ci—1a+2

x-------

a(a+2)(4+2)2a-4

a—2ci—1

3分

Q(a-4)(a+2)(〃一4)

(a—2)(〃+2)—a(a—1)

a(a+2)(a-4)

a-4

4分

a(a+2)(a—4)

"+2cl

當(dāng)〃=-1時，—7-=-----2-----------=-1?...............................................6分

a2+2a(-1)2+2x(-1)

19.(本題6分)

解：方程兩邊同乘(％—1)(%+1),得2(%+1)+(%—1)=7......................................2分

去括號，得2%+2+%—1=7...................................................................3分

移項(xiàng)，合并，得3%=6......................................................................4分

系數(shù)化1,得x=2............................................................................5分

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根.6分

所以原方程的解為x=2.

20.(本題6分)

2分

解：原式='+(26)2-2、26*應(yīng)+(應(yīng)『

4分

3L

=-+12-476+2....................................5分

2

1/-

=15—4v6.......................................6分

2

21.(本題6分)

證明：如圖2.A

?「△B4O和△P8Q是等邊三角形，

/.PA=PO,PB=PQ,AOPA=60°,AQPB=60°.P(^^\-----

：.^OPA=AQPB.\/

Z.OPA-Z3=ZQPB-Z3.\/

乙1=乙2...........................1分\/

在△E4B和△P。。中，Q

PA=PO,圖2

<Z1=Z2,........................................4分

PB=PQ,

：./XPAB^/XPOQ.....................................5分

AB=OQ........................................6分

22.(本題6分)

(1)例如：

9191

①當(dāng)a=J_,6=工時，等式(§)2+§=]+(?2成立；............................1分

②當(dāng)°=工，b=工時，等式(|尸+|=|+(|)2成立.............................2分

.a2b-a_a2b-a_(^+b(b-a)_a2-ab-^-b2

??3分

bbb2bb1b1

ab-aQb2-2ab+a2a2-ab+b2

25分

bbbb2b1

所以等式(￡)2+號=/+(T)2成立.....................................6分

bbbb

23.（本題5分）

解：（1）例如：（畫出一種即可）

（2）結(jié)論略.5分

24.1（本題5分）

解：⑴4（1分），直線EF與AC邊的交點(diǎn)（1分），

標(biāo)圖1分（圖略）.........3分

（2）先畫點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)射線M0'

與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（見圖3）

.....................................5分

注：畫圖1分，回答1分.

24.2（本題7分）

⑴解:草