2024年高考數(shù)學(xué)雙曲線(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題講義

雙曲線(xiàn)的應(yīng)用問(wèn)題

一、單選題

1.雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)工發(fā)出的光線(xiàn)

經(jīng)雙曲線(xiàn)鏡面反射，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)耳我國(guó)首

先研制成功的“雙曲線(xiàn)新聞燈”，就是利用了雙曲線(xiàn)的這個(gè)光學(xué)性

質(zhì).某“雙曲線(xiàn)燈”的軸截面是雙曲線(xiàn)一部分，如圖②，其方程為

22

土方=1,4月為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)工發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲

3

線(xiàn)上的點(diǎn)A和點(diǎn)3反射后，滿(mǎn)足NBAD=90°,tanZABC=,則該雙

曲線(xiàn)的離心率為（）

2.設(shè)函數(shù)尸仆）的圖象由方程,+日=1確定，對(duì)于函數(shù)"%）給

出下列命題：

Pi:eR,為W々，恒有/（、）一〃*2）＜0成立；

y=的圖象上存在一點(diǎn)p,使得P到原點(diǎn)的距離小于亞;

A：對(duì)于X/xwH,2/（尤）+尤＞0恒成立；

則下列正確的是（）

A.PiB.C.「P”P(pán)3D.

3.如圖是等軸雙曲線(xiàn)形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面5m,水面寬AB=30m.

若水面下降5m,則水面寬是（）（結(jié)果精確到01m）（參考數(shù)值：

72?1.41,V?土2.24,6a2.65）

A.43.8mB.44.8mC.52.3mD.53.0m

4.人利用雙耳可以判定聲源在什么方位，聽(tīng)覺(jué)的這種特性叫做雙

耳定位效應(yīng)（簡(jiǎn)稱(chēng)雙耳效應(yīng)）.根據(jù)雙耳的時(shí)差，可以確定聲源產(chǎn)

必在以雙耳為左右焦點(diǎn)的一條雙曲線(xiàn)上.又若聲源P所在的雙曲

線(xiàn)與它的漸近線(xiàn)趨近，此時(shí)聲源P對(duì)于測(cè)聽(tīng)者的方向偏角明就近

似地由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與虛軸所在直線(xiàn)的夾角來(lái)確定.一般地，

甲測(cè)聽(tīng)者的左右兩耳相距約為20所,聲源尸的聲波傳及甲的左、

右兩耳的時(shí)間差為3x10%,聲速為334m/s,則聲源P對(duì)于甲的方向

偏角&的正弦值約為（）

A.0.004B.0.04C.0.005D.0.05

5.雙曲線(xiàn)定位法是通過(guò)測(cè)定待定點(diǎn)到至少三個(gè)已知點(diǎn)的兩個(gè)距離

差所進(jìn)行的一種無(wú)線(xiàn)電定位.通過(guò)船（待定點(diǎn)）接收到三個(gè)發(fā)射臺(tái)

的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，兩個(gè)距離差即可形成兩條位置

雙曲線(xiàn)，兩者相交便可確定船位.我們來(lái)看一種簡(jiǎn)單的“特殊”狀況;

如圖所示，已知三個(gè)發(fā)射臺(tái)分別為A,B,C且剛好三點(diǎn)共線(xiàn)，已

知AB=34海里，AC=20海里，現(xiàn)以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直

線(xiàn)為x軸建系.現(xiàn)根據(jù)船尸接收到C點(diǎn)與A點(diǎn)發(fā)出的電磁波的時(shí)間

差計(jì)算出距離差，得知船P在雙曲線(xiàn)仁五-f=1的左支上，若

3664

船P上接到A臺(tái)發(fā)射的電磁波比B臺(tái)電磁波早1852M（已知電磁波

在空氣中的傳播速度約為0.3km4is,1海里=1.852km）,則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)（單位：海里）為（）

D.（45,±160）

6.如圖，A,3兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)y=j上，分別經(jīng)過(guò)A,3兩點(diǎn)向坐標(biāo)

軸作垂線(xiàn)段，已知陰影部分的面積S為1,則面積S1+S2等于（）

7.一個(gè)工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線(xiàn)的一部分，它的方程是

丁―f=1?目1,10],在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球（規(guī)則的球體），要

求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）

B.2

C.3D.2.5

8.在xQy平面上，將等軸雙曲線(xiàn)必-丁=1的右支和它的兩條漸近

線(xiàn)、以及兩條直線(xiàn)y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D,則。繞丁軸

旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體的體積為（）（提示:祖瞄原理）

43

A.BC,—乃D,—萬(wàn)

34

9.直線(xiàn)y=，+2與曲線(xiàn)手-平=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

10.某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正

西、正北兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀(guān)測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)

間比其它兩觀(guān)測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀(guān)測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是1020〃?.

則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（）處.（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度

為340m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）

A.西偏北45。方向，距離680M"B.東偏南45。方向，距離

680而7?

C.西偏北45。方向，距離680■九D.東偏南45。方向，距離680672

22

11.有一凸透鏡其剖面圖（如圖）是由橢圓點(diǎn)+方=1和雙曲線(xiàn)

22

三-斗=1(?！导印?)的實(shí)線(xiàn)部分組成，已知兩曲線(xiàn)有共同焦點(diǎn)M、

mn

N；A、B分別在左右兩部分實(shí)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則AJ'"周長(zhǎng)的最小值

為：

A.2(a-m)B.(a—m)

C.2(b-ri)D.2(a+m)

二、填空題

22

12.在X0y平面上，將雙曲線(xiàn)的一支巳=1(x>0)及其漸近線(xiàn)

916

4

y=和直線(xiàn)y=0、y=4圍成的封閉圖形記為如圖中陰影部

分，記。繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Q,過(guò)(0,y)(0WyW4)作Q

的水平截面，計(jì)算截面面積，利用祖瞄原理得出Q體積為

13.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?)J(i,+°°),其圖象上任一點(diǎn)PXy)

滿(mǎn)足必-產(chǎn)=1,則給出以下四個(gè)命題：

①函數(shù)y=一定是偶函數(shù)；②函數(shù)y=/(x)可能是奇函數(shù)；

③函數(shù)y=/（x）在（1,也）單調(diào)遞增；④若y=/（x）是偶函數(shù)，其值域

為（0,+oo）

其中正確的序號(hào)為.（把所有正確的序號(hào)都填上）

三、雙空題

14.在平面直角坐標(biāo)系％2y中，點(diǎn)M不與點(diǎn)0重合，稱(chēng)射線(xiàn)

與圓Y+/=1的交點(diǎn)N為點(diǎn)M的“中心投影點(diǎn)”.

⑴點(diǎn)M（l,百）的“中心投影點(diǎn)”為；

2

（2）曲線(xiàn)Y—q=i上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)，，構(gòu)成的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度

是______,

參考答案

1.C

【分析】連接耳4耳3,已知條件為4AB=90。，tanNAB耳=1,設(shè)h用=7〃,

由雙曲線(xiàn)定義表示出|轉(zhuǎn)用已知正切值求出忸用，再由雙曲線(xiàn)定義

得|跖|,這樣可由勾股定理求出加(用”表示)，然后在工中，應(yīng)

用勾股定理得出區(qū)。的關(guān)系，求得離心率.

【解析】易知耳AD共線(xiàn),耳3,C共線(xiàn),如圖，設(shè)|秋|=%|人閶=〃,

則m—n—2a,

33

由tanZABC二—得，tanZABT^^-,AB=ZF2AD=9Q°

加344

所以tan/A34=洞=.\AB\=-m,則忸閭=融河―仙園=§根，

所以\BFl|=2?+忸F,|=2a+：根-〃=4a+；根,

由|A7^「+|AB「=忸￡「得.=(4a+g㈤之，因?yàn)闄C(jī)＞0,故解得根=3a,

貝lj〃=3Q_2Q=Q,

在△A/g中，m2+H2=(2c)2,即9a2+/=402,所以e=$=叵.

a2

故選：c.

B

C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，解題關(guān)鍵是求出的關(guān)系,

解題方法是利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)及已知條件得出人明的性質(zhì)，從而在

這個(gè)三角形中把M胤，|4月結(jié)合雙曲線(xiàn)定義用。表示，然后再用勾股定理

求得出的關(guān)系式.

2.C

【分析】分類(lèi)討論去絕對(duì)值可得函數(shù)"X)的圖象，根據(jù)圖象以及橢圓

和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得答案.

【解析】當(dāng)轉(zhuǎn)。心。時(shí)，方程乎+乎=1化為亍+5=l(x20,y20)表

示橢圓的一部分；

當(dāng)x>0,y<0時(shí)，方程？1+”=1化為(一二=i(x>0,y<0)表示雙曲線(xiàn)

4242

的一部分；

當(dāng)x<0,y>0時(shí)，方程?1+竺=1化為二一g=i(x<0,y>0)表示雙曲線(xiàn)

4224

的一部分；

所以函數(shù)y=的圖象如圖所示：

［：Vxpx2e7?,x尸乙,恒有〈0成立,等價(jià)于函數(shù)〃x)在

R上為單調(diào)遞減函數(shù)，由圖可知，命題耳正確;

鳥(niǎo)：y=/(x)的圖象上存在一點(diǎn)p,使得P到原點(diǎn)的距離小于0.

22_

根據(jù)橢圓性質(zhì)可知，橢圓?+]=1短軸端點(diǎn)(0,偽到原點(diǎn)的距離最小

為0,根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知，雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)(2,0)到原點(diǎn)的距離的

最小為2,故函數(shù)y=/(x)的圖象上不存在一點(diǎn)P,使得P到原點(diǎn)的距

離小萬(wàn)，命題E不正確；

鳥(niǎo)：對(duì)于X/xwH,2/(尤)+x>0恒成立等價(jià)于對(duì)于X/xeH,

i22

從圖象可知，直線(xiàn)產(chǎn)-[x的斜率大于雙曲線(xiàn)一=1的漸近線(xiàn)

”一等x的斜率，所以直線(xiàn)y=—；x與曲線(xiàn)]—；=1(%>0?<0)有交點(diǎn),

故命題G不正確.

所以々入鳥(niǎo)\，八月、」《V6不正確，「Ev6正確.

故選：c

【點(diǎn)評(píng)】分類(lèi)討論去絕對(duì)值，作出方程坐+2￥=1所確定的圖象，

利用圖象求解是解題關(guān)鍵.

3.B

22

【分析】設(shè)出雙曲線(xiàn)方程二=1(?！?),寫(xiě)出點(diǎn)5(15,-a-5),代入

aa

雙曲線(xiàn)方程即可求解.

【解析】如圖：建系，

因?yàn)楣皹蚴堑容S雙曲線(xiàn)，

22

則設(shè)雙曲線(xiàn)方程二-二=1(。〉0),c(o.-?),

aa

又因?yàn)閨蝴=30,皿=5,則5(15,-a-5),

將3代入雙曲線(xiàn)方程，可得與=1,

aa

22

解得。=20,即呆呆1，

當(dāng)水面下降5m,縱坐標(biāo)以=-"1。，

代入雙曲線(xiàn)方程可得.=1。行,

:.\MN\=2XN=2^~^.

故選：B

4.D

【分析】由已知求出為、焦距2c,利用您4,可得sin。'J廬可

smaa11+—

\a

得答案.

【解析】設(shè)兩耳所在雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,虛軸長(zhǎng)為23

71b

貝Ij2a=3x1()-5x334=00100257),2c=0.2(/w),由題意tana

~~a

a2a0.01002

所以您q=0.0501~0.05

smac2c0.2

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求出點(diǎn)P所在的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

-^--^=l(x>15),將方程與巨匚—片=1聯(lián)立，求解即可.

225643664

【解析】設(shè)由船P到3臺(tái)和到A臺(tái)的距離差確定的雙曲線(xiàn)方程為

22

了一鏟=1(尤叫，

因?yàn)榇琍上接到A臺(tái)發(fā)射的電磁波比3臺(tái)電磁波早1852口,

則船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差為附-附=2a=I?：?誓3=30海里,

I.OJZ

故。=15,又c=17,故。=8,

故由船P到3臺(tái)和到A臺(tái)的距離差所確定的雙曲線(xiàn)為

22

————=l(x>15),

22564''

(X-27)2y2/\

-----------=l(x<21)

36641)

聯(lián)立225

工人=l(x〉15)

〔22564''

解得^^,±320、

7)

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義、圓錐曲線(xiàn)在生活中的應(yīng)用，考查

了理解轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.C

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，可以直接結(jié)論.

【解析】丁A,3兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)y=3上

X

.0.面積S|+$2等于3+3-2x1=4.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.

7.A

【分析】根據(jù)清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部的軸截面圖，只需圓與雙

曲線(xiàn)的頂點(diǎn)相交，聯(lián)立圓與雙曲線(xiàn)方程，得到關(guān)于丁的一元二次方程,

要滿(mǎn)足方程的根不能大于1,即可求解.

【解析】清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部時(shí)，軸截面如下圖所示，

圓心在雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，并與雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)相交，

設(shè)半徑為廠(chǎng)，圓心為(0,7+1),

圓方程為：/+6-=，代入雙曲線(xiàn)方程必一必=1,

得y2_(r+l)y+r=0,;.y=l,y=r,

要使清潔球到達(dá)底部，r<l.

故選:A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線(xiàn)方程的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵要把實(shí)際問(wèn)題抽象

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于較難題.

8.A

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性將幾何體分為上下兩部分，由已知中過(guò)

（O,y）（OW"l）作幾何體的水平截面，計(jì)算截面面積，利用祖迪原理得

出幾何體的體積即可.

【解析】雙曲線(xiàn)必-/=1的漸近線(xiàn)方程為y=±~

記。繞丁軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Q,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分為上下兩部分,

過(guò)（0,y）（0wyW1）作幾何體上半部分的水平截面，

則截面面積S=?（爐-力==，

利用祖瞄原理得Q的體積相當(dāng)于底面面積為〃高為2的圓柱的體積,

Q的體積V*=nx2=2兀,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，也考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單

幾何性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，是中檔題.

9.B

【分析】作出曲線(xiàn)(羋=1的圖像，利用k，+2是y2+x2=2的切線(xiàn),

漸近線(xiàn)方程為V=土x,即可得出結(jié)論.

22

【解析】當(dāng)XNO時(shí)，曲線(xiàn)方程為5=1,圖形為雙曲線(xiàn)在y軸的右半

部分；當(dāng)x<0時(shí)，曲線(xiàn)方程為y2+x2=2,圖形為圓在y軸的左半部分；

如圖所示，因?yàn)閥=x+2是y2+x2=2的切線(xiàn)，漸近線(xiàn)方程為y=±x,所以

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.

10.A

y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀(guān)測(cè)點(diǎn),

則4—1020,0)，3(1020,0)，0(0,1020。

設(shè)P(x,y)為巨響為生點(diǎn)，由4C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|網(wǎng)=附|,故

P在A(yíng)C的垂直平分線(xiàn)P0上，尸。的方程為丁=-。因3點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)

到爆炸聲，故，閥-如=340x4=1360由雙曲線(xiàn)定義知p點(diǎn)在以AB為

22

焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)T-2=1上，依題意得

ab

a=680,c=1020,z.b°=c2-a2=10202-6802=5義3402,故雙曲線(xiàn)方程為

22

高一將，…代入上式，得

±68075,.|PB|>|PA|-680A/5,y=6806,即P(—680/680石)，

故PO=680函.

故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北45。距中心680折加處.

故選A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)由題設(shè)條件作出圖形,

利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵..

11.A

【解析】由題得：設(shè)周長(zhǎng)為/

\BM\+\BN\=2a

=^/=|AB|+|BN|+|yUV|=\AB\+2a-\BM\+\AM\-2m

\AM\-\AN\=2m

\AB\+\AM\>\BM\=>l>2a-2m

當(dāng)且僅當(dāng)M、A、B共線(xiàn)時(shí)，周

長(zhǎng)的最小

【點(diǎn)評(píng)】考察橢圓和雙曲線(xiàn)的綜合，根據(jù)題意要得周長(zhǎng)得最小值，首

先要將周長(zhǎng)得表達(dá)式寫(xiě)出，根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)得性質(zhì)得AB、BN、

AM、AN的關(guān)系將其替換到周長(zhǎng)中，然后根據(jù)三