常用邏輯用語（十年高考）-2024高考數(shù)學

1.2常用邏輯用語

考點一充分條件與必要條件

1.(2022浙江,4,4分)設(shè)*￡&則二足冗=1”是“cos廣0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A根據(jù)sin尤=1解得，此時cosx=cos(卷+2/m)=cos］=0.根據(jù)cosx=0解得x=^+kn,k

CZ,此時sinx=sin(］+Mi)=±l.故"sinx=l"是"cosmO”的充分不必要條件，故選A.

2.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,貝！J“ec=bc”是“a=b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B解題指導:利用平面向量的數(shù)量積定義分別判斷命題“若asbc,則a=bn與“若a=b,則a-c=b-cn

的真假性即可.

解析若c與向量a,6都垂直,則由ac=Z>c不一定能得到a=b\

若a=b,則由平面向量的數(shù)量積的定義知ec=bc成立,故ua-c=b-c"是"a=〃’的必要不充分條件.故選B.

方法總結(jié)：(1)充分條件、必要條件的判斷方法：

①定義法:根據(jù)“若0,則4”與“若公則p”的真假性進行判斷；

②集合法:根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.

(2)要判斷一個命題是假命題,只需舉出一個反例即可.但要判斷一個命題是真命題,必須通過嚴格的推理論

證.

3.(2021北京,3,4分)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為［0,1］,則''函數(shù)/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/(x)在［0,1］

上的最大值為『(1)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A若/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,則/⑺在［0,1］上的最大值為了⑴；若/⑴在［0,1］上的最大值為了⑴，

則找x)未必在［0,1］上單調(diào)遞增,如圖.故選A.

4.(2022北京,6,4分)設(shè)｛斯｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則”｛〃〃｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當

〃>No時,?！?gt;0”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d(d/)),則a〃=ai+(〃-l)d.

若｛涮為遞增數(shù)列，則d>0,

由an=ai+(〃-1)d可構(gòu)造函數(shù)/(x)=xd+a［-d,令f(x)=0,得％二士”，

若a\>d,則x<0,取No=l,即有n>l時,/(〃)>/⑴>0成立；

若ai<d,則x>0,取M=［等卜」［誓］表示不超過號的最大正整數(shù).，此時n>No,必有

/(?)"(M)=/(［等］+1)>f(等)=0.

綜上,存在正整數(shù)No,當n>No時,a?>0,：.充分性成立.

易知。“是關(guān)于n的一次函數(shù),若存在正整數(shù)No,當n>No時,a?>0,則一次函數(shù)為增函數(shù)，，心0,

工必要性成立.故選C.

5.(2019天津文,3,5分)設(shè)xdR,貝！J,,0<x<5"是的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

當0<x<2時，必有0<x<5;

反之,不成立.

所以，"0〈x〈5"是的必要而不充分條件.

一題多解因為{x1|xT|<1}={X|0<X<2}呈{x|0<x<5},

所以"0<x<5"是的必要而不充分條件.

6.（2018天津理4,文3,5分設(shè)xdR,則“卜-我"是V<1"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷.

由卜-張海山短，解得0<x<l.

由x3<l得x<l.當0〈x〈l時能得到x<l一定成立;當x<l時,0<x<l不一定成立.所以"卜-||<^"是"x3<lz,

的充分而不必要條件.

方法總結(jié)（1）充分、必要條件的判斷.解決此類問題應(yīng)分三步:①確定條件是什么,結(jié)論是什么;②嘗試從條

件推結(jié)論,從結(jié)論推條件;③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系.

⑵探究某結(jié)論成立的充要、充分、必要條件.解答此類題目，可先從結(jié)論出發(fā),求出使結(jié)論成立的必要條件,

然后驗證得到的必要條件是否滿足充分性.

7.（2017北京理,6,5分）設(shè)m,n為非零向量,則"存在負數(shù)入使得m=An"是"m?n<0"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A由存在負數(shù)入使得m=入n,可得m、n共線且反向,夾角為180。,則m?n=-1m||n|〈0,故充分性成立.

由m?n〈0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故必要性不成立.故選A.

8.（2017天津理,4,5分）設(shè)則*-"黨"是&n吟'的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A本題考查不等式的解法及充分必要條件的判斷.

斗』」〈U〈建，

I121121212126

1_/77Tir\

sin0<-<^>0e(2kn——,2kir+-I,k^Z,

2\66/

M)式2祈一q,2kn+?kGZ,

"陪"是"sin吟’的充分而不必要條件.

9.(2016天津理,5,5分)設(shè)以｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則"q〈0"是"對任意的正整數(shù)n,azn-i+a2n〈0”

的()

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C若對任意的正整數(shù)n,a2?-i+a2?<0,則ai+a2〈0,又aDO,所以azCO,所以q=9〈0.若q〈0,可取q=-l,ai=l,

?1

則ai+a2=l-l=0,不滿足對任意的正整數(shù)n,a2n-l+a2n<0.所以“q〈0"是"對任意的正整數(shù)n,a2n-l+a2n<0”的必要

而不充分條件.故選C.

評析本題以等比數(shù)列為載體，考查了充分條件、必要條件的判定方法，屬中檔題.

10.(2015重慶理,4,5分)“x〉l"是"logz(x+2)〈0"的()

2

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B當x>l時,X+2>3>1,又y=log工x是減函數(shù)，

2

「.logi(x+2)<logil=0,貝[]x>l=>logi(x+2)〈0;當logi(x+2)<0日寸,x+2>l,x>-l,貝!]logi(x+2)<0=>/x>l.故

22222

"X>1〃是Tog[(x+2)〈0"的充分而不必要條件.選B.

2

11,(2015天津理4,5分)設(shè)虻丑則-2"是"|x-2|〈l"的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A因為等價于-l〈x-2〈l,即l〈x〈3,由于(1,2)氣(1,3),所以"Kx<2"是42|〈1"的充分

而不必要條件，故選A.

12.(2015湖南理,2,5分)設(shè)A,B是兩個集合,則"AnB=A"是"AcB"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C若AAB=A，任取xdA,則xCACB,

??.xGB,故AUB;若AUB,任取xCA,都有x￡B,

.-.xGAnB,.-.Ac(AnB),又AnBaA顯然成立,.-.AnB=A.

綜上，"ACB=A"是"AUB”的充要條件，故選C.

13.(2015陜西理，6,5分)"sina=cosa"是"cos2a=0"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A由sina=cosa,得cos2a=cosza-sin2a=0,即充分性成立.

由cos2a=0,得sina=±cosa,即必要性不成立.故選A.

14.(2014課標H文,3,5分)函數(shù)f(x)在x=x0處導數(shù)存在.若p:f'(xo)=o；q:x=x。是f(x)的極值點則()

A.p是q的充分必要條件

B.P是q的充分條件,但不是q的必要條件

C.P是q的必要條件,但不是q的充分條件

D.P既不是q的充分條件,也不是q的必要條件

答案c；f(x)在x=Xo處可導，，若x=Xo是f(x)的極值點則f'(Xo)=0,；.q=p，故p是q的必要條件;反之，

以f(x)=x"為例，f'(0)=0,但x=0不是極值點,；.p=/q,故P不是q的充分條件.故選C.

15.(2014安徽理,2,5分)“x〈0"是"ln(x+l)<0"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B5&+1)<0=06+1〈10-16〈0=*〈0;而乂〈0=/-：16〈0,故選巳

16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虛數(shù)單位a,beR,則"a=b=l"是"(a+b)=2i"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A當a=b=l時，有(1+)=2。即充分性成立.當(a+bi)'=2i時，有aJb2+2abi=2i,得卜，R一解得

iab=1,

a=b=l或a=b=-l,即必要性不成立,故選A.

評析本題考查復數(shù)的運算,復數(shù)相等的概念,充分條件與必要條件的判定,屬于容易題.

17.(2014北京理,5,5分)設(shè)｛a,｝是公比為q的等比數(shù)列.則"q>l"是"｛竭為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案D若q〉l,則當&=-1時,a尸q二以｝為遞減數(shù)列，所以"q〉l"=/"｛aj為遞增數(shù)列"；若區(qū)｝為遞

增數(shù)列，則當時,即"｛aj為遞增數(shù)列""/"q〉l".故選D.

考點二全稱量詞與存在量詞

1.(2015浙江理,4,5分)命題"VnGN*,f(n)WN*且f(n)Wn"的否定形式是()

A.VnGN*,f(n)在N*且f(n)>n

B.Vn￡N*,f(n)1N*或f(n)>n

C.3n0GN*,f(n0)4N*且f(n0)>n0

D.3no￡N*,f(n0)知*或f(n0)>n0

答案D"(^^”且六口)^!!〃的否定為"f(n*N*或f(n)>n",全稱命題的否定為特稱命題，故選D.