重慶康德2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試高考模擬調(diào)研卷（二）數(shù)學(xué)試題(含答案與解析)

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)(二)

數(shù)學(xué)測(cè)試卷共4頁，滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A=ae/?|Vxe(1,+oo),x+l-i------->6Z>,B={x||x-l|<5},則

X1I

A.H，2]B.[-4,4]C.[2,6]D.[4,6]

V123

2.雙曲線——±_=2(A=0)的漸近線方程為

4

3一4

B.y=+—xD.y=+—x

"433

3.已知正方形A5CD的邊長為2,石為AB中點(diǎn),2BF=FC,貝UEDEF=

1￡2

B.-D.-

323

4

力-

4.(x+2I展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

A.-2B.0C.2D.6

5.若復(fù)數(shù)z=a+次(a,Z?eR)滿足z"z(tieN*,n>2)，則稱復(fù)數(shù)z的循環(huán)常數(shù)為〃----的最小

2--2

循環(huán)常數(shù)為

A.2B.3C.4D.6

6.已知5sina+2cos尸=A/T5,5cosa+2sin/?=5,則cos(2a+24)=

74r24

A.——B.-D.—

255片25

2X+13

7.已知函數(shù)/(x)=,且/(log2x)=-,貝If10gd

乙I乙乙17

12

B.-C.1D.

3

/]\2024z]、2023

4[2022]

8.已知——，則a,b,c的大小關(guān)系為

2024J

A.a>b>cB.a>c>bC.Z?>a>4D.c>b>a

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的

得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某班主任為了解本班學(xué)生上學(xué)時(shí)間，抽取了12名學(xué)生早晨從家到學(xué)校的時(shí)長，得到如下數(shù)據(jù)(單位：分):

第1頁共10頁

20,18,23,27,32,21,26,23,12,17,19,20,則下列說法正確的是

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是20.5B.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是23

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是21.5D.這組數(shù)據(jù)的極差是20

10.已知函數(shù)/(X)=5譏|2%|+卜052厘，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是

A.7(%)是偶函數(shù)B.7(%)的圖象關(guān)于直線XF對(duì)稱

C./(%)的最小正周期為萬D./(%)的值域?yàn)椋郇D1,行］

11.已知平行六面體ABC?！狝BCIR的所有棱長均為1,NRM)=NAAD=NAAB=60°,則下列說法正

確的有

A.直線耳。與直線Bq夾角的余弦值為—B.直線AC1，平面43。

6

C.四面體ABC］。外接球的表面積為—D.點(diǎn)及到平面43。的距離為—

82

12.如凰在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°，過點(diǎn)3的光線經(jīng)AC邊上點(diǎn)M反射到A3上的點(diǎn)。，

若CDLBM,則下列結(jié)論正確的有

A.M為AC中點(diǎn)B.DM±AB

C.^ACD^xhABMD.BD=2DA

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某班在一次聯(lián)歡會(huì)中進(jìn)行一項(xiàng)抽獎(jiǎng)游戲，規(guī)則如下：先在2種方法中隨機(jī)選擇一個(gè)，第一種方法，連續(xù)拋

擲3次質(zhì)地均勻的硬幣，如3次擲出相同面，則為一等獎(jiǎng)，如有2次相同，則為二等獎(jiǎng)，其余為三等獎(jiǎng);

第二種方法，從標(biāo)有1,2,3數(shù)字的質(zhì)地大小相同的3個(gè)小球中有放回地抽取3次，如3次抽取數(shù)字都相同,

為一等獎(jiǎng)，如有2次相同，為二等獎(jiǎng)，其余為三等獎(jiǎng)。則在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，獲得一等獎(jiǎng)的概率為.

22

14.已知橢圓C:}=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F2,直線/經(jīng)過外且垂直于x軸，I

與C相交于M,N兩點(diǎn).若LMNF1是周長為12的正三角形,則b

3

15.已知函數(shù)/(%)滿足：①/(%)的圖象過點(diǎn)(］,8)；②/(%)是偶函數(shù)；③對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)為,馬,

/■(玉—々)之/的.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù),⑺=.

16.己知直四棱柱ABC。-ABCQi的底面是邊長為4的菱形，440=60°,側(cè)棱長為26,點(diǎn)E為

BBt的中點(diǎn)，點(diǎn)A/在直四棱柱.ABC?！谋砻嫔线\(yùn)動(dòng)，且|￡M|=2,則石M的中點(diǎn)N

的軌跡的長度為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

第2頁共10頁

在/.ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。，"c,已知A=C,且平面向量/n=(s譏=cos5),滿足

ml.n.

(1)求角B的大?。?/p>

⑵若邊的中線長為.求一ABC的面積.

18.(12分)

籃球世界杯于2023年9月10日在菲律賓馬尼拉圓滿結(jié)束，德國男籃憑借出色表現(xiàn)連續(xù)擊敗美國、塞爾維亞

奪得冠軍，德國也成為阿根廷、西班牙之后又一支在足球、籃球世界大賽中都奪得冠軍的國家。重慶市某中學(xué)對(duì)

學(xué)生對(duì)于籃球的喜愛情況進(jìn)行調(diào)查，將每周打籃球或觀看籃球比賽超過5小時(shí)的學(xué)生稱為“籃球迷，；否則稱為“非

2

籃球迷從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，抽取的女生人數(shù)是男生人數(shù)的一；抽取的男生中“非籃球迷”人

3

22

數(shù)是“籃球迷”入數(shù)的一。抽取的女生中“籃球迷”人數(shù)是“非籃球迷”人數(shù)的一.

33

籃球迷非籃球迷總計(jì)

男生

女生

總計(jì)

(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“籃球迷”與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)現(xiàn)從抽取的男生中，按是否為“籃球迷”比例采用分層抽樣的方法抽取5人參加籃球知識(shí)闖關(guān)比賽，已知

21

其中“籃球迷“非籃球迷”獨(dú)立闖關(guān)成功的概率分別為一，-;在恰有兩人闖關(guān)成功的條件下，求有“籃球迷”

33

闖關(guān)成功的概率.

參考數(shù)據(jù)與公式：

a0.100.050.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

n(ad-be)"

,其中〃=a+b+c+d.

(a+))(c+d)(a+c)(6+d)

19.(12分)

第3頁共10頁

TT

已知四棱錐P—A3CE＞的底面是直角梯形，DALDC,ZBCD=-,AB=1,PD1底面ABCD,

4

M為邊PC上的點(diǎn)，PD=AD，且創(chuàng)/平面？A。.

⑴若/點(diǎn)為尸C的中點(diǎn)，求四棱錐P—ABCD的體積；

(2)若,1PCD的面積為3,求直線與平面尸5。的夾角的正弦值.

20.(12分)

2

已知數(shù)列｛??｝,也｝滿足an-3n=bn+3n,bn+l=2bn-l,a2=23.

(1)求｛〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵求｛a“｝的前”項(xiàng)和S”.

21.(12分)

已知拋物線。：爐=2py(p>0),過焦點(diǎn)E的直線/與拋物線。交于A,3兩點(diǎn)，|A3|的最小值為4.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸是拋物線上異于A,B的任意一點(diǎn)，直線y=-l分別與直線PA,PB交于點(diǎn)N;是否存在

y軸上的定點(diǎn)。，使得QM1_QV恒成立？若存在，求出所有符合條件的定點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由。

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=lux,g(^x)=-^ax2.

(1)若方程=有2個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若方程/(x)=g'(x)有2個(gè)實(shí)數(shù)根.為々&<々),且不等式/+*〈甘/對(duì)任意丘(0,2］恒成立，求正

數(shù)4的取值范圍(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

第4頁共10頁

數(shù)學(xué)（二）參考答案

一、選擇題

1-8,BCBACCAD

8題提示：對(duì)a,b,c取對(duì)數(shù)，歷a=—2024/〃2022,歷6=—2023歷2023,/〃c=—2022歷2024,考察函

數(shù)/(x)=(x—2023)加(x+2023)，貝尸(無)=ln(x+2023)+^~^>0(%之一1),所以/(%)為

x+2023

增函數(shù),/(一1)</(0)</(1),所以/“a</"b</〃c,所以a<Z><c

二、選擇題

9.ACD10.AD11.ABC12.AD

11題提示：設(shè)AB=a,AD=bAAi=c,貝ijBXD=BXBBA+AD=—c—a-\-b

g=BC+CG=b+c所以直線8。1與直線BC］夾角的余弦值為

cos6=|〈cos5iZ5,5di〉卜逅所以A正確,B選項(xiàng)，

116

AQ=a+b+c9BD=b-a,AB=a-c經(jīng)計(jì)算，ACrBD=0,ACi-^3=0所以直線

AC1，平面ABD,正確；C選項(xiàng)，如圖，A^B=BD=A^D=1,CXAX=CXB=CXD=A/3在平面

2J7

\BD,內(nèi)射影為等邊三角形48。中心。],外接球球心。在CO]上，由一解得外接球

半徑為絆所以球的表面積為平正確；D選項(xiàng)，點(diǎn)⑸到平面ABD

j的距離

o8

IBS-ACJ、后

d=L_T=—錯(cuò)誤,故選ABC.

可3

12題提示：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB為軸，

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)4（1,0）,3（?！梗?B'（0,-l）,M（a,0）,0<a<l

直線A8:x+y=18'N:y=Lx—l

a

（2〃]—1）71—ci,,1—d1.1,,,人

■Dp-\k=---,kxk=——x（）=-l,a=彳故A正確；

++CD2aCDBM2aa2

D正確；左°”=2,故B錯(cuò)誤;由DM不垂直AB,/CBMw/DBM

所以NACDwNABM，所以上人。。與一ABM不相似,C錯(cuò)誤，故選AD.

三、填空題

[3

13.—14.7615,4|r|（答案合理即可）16,271

16題提示.點(diǎn)E是定點(diǎn)，則的中點(diǎn)N的軌跡的長度是點(diǎn)M的軌跡的長度的一半；c

由ABAD=60°知NA3C=120。；點(diǎn)E到側(cè)面CDjG、側(cè)面ADD.A,的距離為./葉

45足60°=2逐,故平面?！辏?、平面ADD,上沒有滿足條件|EM|=2的點(diǎn)”;j./一

若點(diǎn)/在底面ABCD上，則\BM\=y/EM2-EB2=當(dāng)=1,則點(diǎn)M的軌跡為：以B

為圓心，半徑廠=1的g圓，軌跡長度為gx2〃xl=g;同理若點(diǎn)M在底面A與G。上時(shí)軌跡長

度也為與；若點(diǎn)"在側(cè)面43與4上，則點(diǎn)”的軌跡為：以E為圓心，半徑廠=2的g圓，軌跡

第5頁共10頁

長度為

]4萬4〃

§x2乃x2=日-;同理：若點(diǎn)M在側(cè)面BCG用上時(shí)，軌跡長度也為y；

27r47r

綜上所述：點(diǎn)V的軌跡的長度為一x2+—x2=4〃故點(diǎn)N的軌跡的長度2乃.

33

四、解答題

17.（10分）

解:（1）因?yàn)楦?，所以mn=sinA+cosB-0,,gpcosB=—sinA；...........（2分）因?yàn)?/p>

ABe（0,TT），所以sz九4>0,故cos3=—sz九4<0，故Be]/萬:Ae10弓）....（4分）由

n,A（4"）4n4冗

cosB=-sinA=cosAd——知B-A-\——;

I2j2

n2開

結(jié)合A=C、A+B+C=7r知A=C=-,B=................（6分）

63

⑵記BC的中點(diǎn)為。，設(shè)BD=CD=xJIJAB=2蒼

在△ABD中，由余弦定理：AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB=>7%2=28,

解得：x=2;...............（8分）

所以AB=BC=4,5ARr=—BABOsinB=—x4x4xsin^-=4^/3

，-223

所以4ABC的面積為473..........（10分）

18.（12分）

解:⑴列聯(lián)表:（2分）

籃球迷非籃球迷總計(jì)

男生362460

女生162440

總計(jì)5248100

提出零假設(shè)40:是否為“籃球迷”與性別無關(guān)聯(lián)；

,n(ad-bc)100(36x24—24x16)250

則爐=——'—>———-=—--------------->-=—H3.846<6.635..............(5分)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x48x5213

依據(jù)小概率值1=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)認(rèn)為零假設(shè)“°不成立；則“°成立，故沒有把

握認(rèn)為是否為籃球迷”與性別有關(guān)聯(lián)............................(6分)

(2)根據(jù)按比例的分層抽樣：抽取的“籃球迷”人數(shù)為3人，“非籃球迷”人數(shù)為2人；.......(7分)

記“恰有兩人闖關(guān)成功”為事件A、”有“籃球迷”闖關(guān)成功”為事件B；

（9分）

（11分）

/、P（AB）72

由條件概率的公式得P（B\A）=\/=—;

、7P（A）73

故在恰有兩人闖關(guān)成功的條件下，有‘‘籃球迷”闖關(guān)成功的概率為二......Q2分)

第6頁共10頁

19.（12分）

解⑴取中點(diǎn)N，則由M為PC中點(diǎn)知兒W//CD//AB;

故M,N,AB四點(diǎn)共面;..........（2分）

由瀏///平面PAD,平面，平面腦\46c平面PA。=AN

得BMIIAN，故為平行四邊形，故跖V=AB；

由MN.CD得AB=gcD=l,故CD=2;（4分）

由DA±DC,ZBCD=^得PD=AD=（2-l）tan^=l;

故匕-MC0=gsABmP°=gxgx（l+2）xlxl=g.........................................（6分）

（2）以。為原點(diǎn)，DA.DC、DP分別為X軸、Y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系?！獙Oz

71

設(shè)PD=AD=a，則CD=l+〃tan—=l+Q

4

故Spg=g〃（〃+l）=3,解得〃=2;..................（7分）

故D（0,0,0）,A（2,0,0）,5（2,LO）,C（0,3,0）,尸（0,0,2）;

由5M//平面PAD知%=兀=1，故M（0,LJ故而=（一2,0,：）；DP=（0,0,2）,￡>B=（2,1,0）;

、DDP=2z=0

設(shè)平面PBD的法向量”=（zx,y,z），則4；

n-DB=2%+y=0

取x=l,則?=（1,-2,0）;............................................（10分）

記直線BM與平面PBD的夾角為8，則sin0=|cos〈n,BM）\=幽=一=—765

|n[\BM\f-2>/1365

/丁

故直線與平面的夾角的正弦值為』后............................（12分）

65

20.（12分）

解:（1）由ax-3n-bn+3rr,a2-23,得b2=5;.................................................................................................（2分）

因?yàn)?+1=2%—1，所以偽=3,且2+1—1=2（2—1）,故也+1｝是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，所以

2―1=2",所以2=2"+1........................................................................................................................（5分）

3

（2）由（1）知an=2"+3"?+3"+1=2n+（“+1）3_n,..........................................................................（8分）

故Sn=（2+22++2"）+23-13+33-23++（H+1）3-H3

2（1—2"）33

='12'+（“+]）_]=2"M+（“+]）—3（12分）

第7頁共10頁

21.（12分）

解：⑴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為R0,泉直線/的方程為y=kx+g

2

>履+2得產(chǎn)_2夕依―//=0,設(shè)a（X],xj,3（%,%）,

聯(lián)立《

f=2py

x+x0-2pk

由韋達(dá)定理：<['="；…（2分）

則|AB|=%+%+p=M%+/）+2p=（2A+2）p；故當(dāng)k=0時(shí),L=2P=4，P=2;

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y（4分）

⑵由⑴知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐=分；故A卜1x+x=4k

，且《9

-A；?………（6分）設(shè)

4%1%2=-4

晨23;

P[X。'ZX。）’則“PA4140

再一見

/4、

元。玉一4

令y=-1.得：%,即Mx°x「，一1同理可得N

x+%!

o1%%>一”

若存在y軸上的定點(diǎn)。，使得QM±QN恒成立,

‘-4、

貝1J設(shè)。（0,m）貝=,—1—m.ON—

（西+々）

7

24%（%1+%）+16

故QMQNf4/々一4+（-l-/n）2=（l+/n2）+X°^2r02

%+石x0+x2

=（1+/+-￥—16^+16=

XQ+4AXQ—4

所以，定點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,1）或（0,—3

22.（12分）

解：（1）令/z（x）=/（x）-^（x）=lnx-^ax2,

義域（0,+8）；

第8t

當(dāng)a<0時(shí)，〃(X)>0在(0,”)上恒成立,y=/z(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，至多有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，令“(X)=0得％=+；

當(dāng)時(shí),"")>,h(x)在區(qū)間

0<*<40I0,^|上單調(diào)遞增;

<y/aJ

7=,+°°］上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>

1、211

故以龍)的極大值也是最大值為h句口〒——.

4aJa

724a2

1111

因?yàn)榱?龍)有2個(gè)零點(diǎn)，所以人—In—7=—>0,解得0<〃<一;

4a

7y/a2e

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是fo,1

(4分)

(2)^^(x)=f(x)-g\x)=lwc-ax，則y=0(%)有2個(gè)零點(diǎn)不x2;

ln五

InX]=axx兩式相減得：〃二山七一=\⑸分)

即《In.

lnx2=ax2,%一%2%一%2

八山/\lux./、1-lnx

0(x)=In%一〃x=0o0(%)=-a=0;考察函數(shù)(p(x)=-----a,(p(x)=——