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第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1線性微分方程的建立及求解2.2傳遞函數(shù)定義、性質(zhì)、典型元件及典型環(huán)節(jié)傳函2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及信號流圖組成、繪制、梅遜公式
2.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)開環(huán)傳函、閉環(huán)傳函引言
要對自動控制系統(tǒng)進行定量(精確)地分析和設(shè)計,首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型:描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。數(shù)學(xué)表達式:代數(shù)方程、微分方程靜態(tài)數(shù)學(xué)模型:系統(tǒng)變量之間與時間無關(guān)的靜態(tài)關(guān)系動態(tài)數(shù)學(xué)模型:系統(tǒng)變量對時間的變化率,反映系統(tǒng)的動態(tài)特性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的類型時域(t)模型微分方程z域(z)模型脈沖傳函頻域(ω)模型頻率特性復(fù)域(s)模型傳遞函數(shù)§2.1.1
建模方法:分析法、實驗法§2.1控制系統(tǒng)的微分方程黑匣子輸入(充分激勵)輸出(測量結(jié)果)
具體方法:最小二乘(曲線擬合)法、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法、模糊模型法等。模型驗證:將實際輸出與模型的計算輸出進行比較,系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近。
實驗法(黑箱法、辨識法、逼近法):人為施加某種測試信號,記錄基本輸出響應(yīng),根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識出數(shù)學(xué)模型。
分析法-根據(jù)系統(tǒng)運動規(guī)律(定律、經(jīng)驗公式)和結(jié)構(gòu)參數(shù),推導(dǎo)系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系。
建模(微分方程)步驟:第二步:聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達式,消去中間變量,得到描述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。第三步:標準化。左“出”=右“入”,且各微分項均按降冪排列。見P19公式(2-8)所示。第一步:明確系統(tǒng)輸入、輸出量,列寫各組成環(huán)節(jié)輸出與輸入的數(shù)學(xué)表達式。根據(jù)系統(tǒng)遵循的物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。解:明確輸入量,輸出量第一步:環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達式第二步:消去中間變量i+-urucRC圖2.1RC濾波電路該電路為一階系統(tǒng)[例2.1]
如圖2.1所示,寫出RC濾波電路的微分方程?!纠?.2】如圖2.2所示,寫出RLC振蕩器電路的微分方程。解:+-urucRC圖2.2RLC振蕩器電路Li解方程組得RLC振蕩器電路的微分方程為:該電路為二階系統(tǒng)§2.1.1線性定常微分方程的求解
一般求解線性定常系統(tǒng)微分方程有以下兩種常用方法,如下圖所示。數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時,f(t)連續(xù),則f(t)的拉氏變換存在,表示為:拉氏變換函數(shù)(象函數(shù))原函數(shù)衰減因子,其中:τ-時間常數(shù)s=-σ+jω為拉氏變換算子,其中:σ-衰減系數(shù)ω-振蕩頻率(rad/s)⑵拉氏變換基本定理
線性定理
位移定理延遲定理終值定理
微積分定理d/dts將F(s)化成下列因式分解形式:⑶拉氏反變換定義表達式:f(t)=L-1[F(s)]方法:簡單函數(shù)-直接查表;復(fù)雜函數(shù)-部分分式展開,再查表?!鬎(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點時,可展開為◆F(s)中具有不同的極點時,可展開為待定系數(shù)◆F(s)含有多重極點時,可展開為§2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化
——微小偏差法(略)2.3.1傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì)
定義:零初始條件下,系統(tǒng)(元件、環(huán)節(jié))輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)n階線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述:定義表達式為:C(s)=G(s)R(s)§2.3傳遞函數(shù)※
三種表達式
(1)一般表達式式中:c(t)是系統(tǒng)輸出量,r(t)是系統(tǒng)輸入量;各系數(shù)均是常數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零,即零初始條件,則對上式中各項分別求拉氏變換,可得到系統(tǒng)傳函的一般表達式:
(2)時間常數(shù)表達式K*—零、極點(根軌跡)增益;-zi、-pl—零點和極點值。K—增益;τi、Tl—對應(yīng)環(huán)節(jié)時間常數(shù)。
(3)零極點(根軌跡)表達式
基本性質(zhì):性質(zhì)1傳遞函數(shù)的概念只適于線性定常系統(tǒng)。性質(zhì)2傳遞函數(shù)是一種動態(tài)數(shù)學(xué)模型,取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),與輸入量的形式(幅度與大?。o關(guān),也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息
。性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系,但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù),這就是系統(tǒng)的相似性。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,因此不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律。
若系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s),r(t)=δ(t),即:R(s)=1
則:C(s)=G(s)R(s)=G(s)=L[g(t)]傳遞函數(shù)是復(fù)變量的有理真分式,即n≥m,具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。對于實際系統(tǒng)來說,且所有系數(shù)均為實數(shù)。這是因為在物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)中,總是有慣性且能源有限的緣故。性質(zhì)7系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)是其單位脈沖響應(yīng)g(t)的拉氏變換
單位脈沖響應(yīng)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入δ(t)時的輸出響應(yīng)。2.2.2
典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)
任何一個復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的;而環(huán)節(jié)則是由各種不同的元件組成。
常用的電路元件如下:-z2/z1運放A1/Cs電容CLs電感LR電阻R傳遞函數(shù)微分方程常用元件為元件對應(yīng)的復(fù)阻抗比例環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)(m個)積分環(huán)節(jié)(ν個)慣性環(huán)節(jié)(q個)振蕩環(huán)節(jié)(n-v-q)個1.比例環(huán)節(jié)(P調(diào)節(jié)器)特點:輸出與輸入量成比例,無失真和時間延遲。實例:線性電位器、運算放大器、傳動齒輪、線性傳感器等。K—比例系數(shù)(增益)2.積分環(huán)節(jié)(I調(diào)節(jié)器)特點:輸出量與輸入量的積分成正比例,當輸入消失,輸出具有記憶功能,一般用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,提高控制精度。實例:一階水槽,電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù),模擬計算機中的積分器等。3.微分環(huán)節(jié)理想微分(D調(diào)節(jié)器):一階微分(比例微分或PD調(diào)節(jié)器):特點:輸出量正比于輸入量變化的速度,具有超前控制的作用,一般用于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。4.慣性環(huán)節(jié)式中,T-時間常數(shù)特點:含一個儲能元件,對突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn),即有延遲。實例:RC濾波電路網(wǎng)絡(luò),一階水槽(流水),直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。特點:環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件,并可進行能量交換,其輸出出現(xiàn)振蕩。實例:RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)??煽毓柚绷鏖]環(huán)調(diào)速系統(tǒng)也是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。5.振蕩環(huán)節(jié)式中ζ——阻尼比;T——時間常數(shù)
ωn——無阻尼自然振蕩角頻率(rad/s)6.延時(滯后)環(huán)節(jié)特點:輸出量能準確復(fù)現(xiàn)輸入量,但須延遲一固定的時間間隔。實例:管道壓力、流量、皮帶運輸?shù)任锢砹康目刂?,其?shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。式中:τ——延遲時間常數(shù)說明:實際的控制系統(tǒng)都含有滯后環(huán)節(jié),只是一般延遲時間常數(shù)較小,可忽略不計。常見的典型電路§2.3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及系統(tǒng)傳函2.3.1控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成(2)比較點(匯合點、綜合點、運算點):“”兩個或兩個以上的輸入信號進行加減運算的元件。“+”表示相加,“-”表示相減?!?”號可省略不寫。(1)傳函方框:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。傳函方框+比較點+引出點G(s)R(s)C(s)(3)引出點(分支點、測量點):表示信號測量或引出的位置圖2.7引出點示意圖)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意:同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣。X1X1+X2X2圖2.6比較點示意圖示意圖X1X1-X2+X2-X3X3注意:進行相加減的量,必須具有相同的量綱。2.3.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(1)前向通道:E(s)→C(s)
前向通道傳函:G1(s)G2(s)H(s)C(s)圖2.8
典型的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖控制對象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖定義幾個重要概念及傳函以R(s)單獨作用(D(s)=0)為例。(2)
反饋通道:C(s)→B(s)
反饋通道傳函:H(s)=1時稱為單位反饋。(3)開環(huán)通道:E(s)→B(s)
開環(huán)通道傳函(簡稱開環(huán)傳函):(4)閉環(huán)傳函
——兩種輸入信號對輸出響應(yīng)的傳函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可簡化為其中:G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道傳函1+開環(huán)傳函
控制傳函:假定D(s)=0,
R(s)
Cr(s)
典型控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可等效為G2(s)H(s)Cd(s)D(s)G1(s)其中:G(s)=G1(s)G2(s)系統(tǒng)總相應(yīng)為:C(s)=Cr(s)+Cd(s)
擾動傳函:假定R(s)=0,D(s)
Cd(s)
本節(jié)結(jié)束!2.3.3
控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制一般步驟確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量由輸入到輸出列寫各組成環(huán)節(jié)(元件)的微分方程根據(jù)信號流向由輸入到輸出連接各環(huán)節(jié)(元件)的傳函方框圖列寫各環(huán)節(jié)(元件)的拉氏變換方程并繪制對應(yīng)的傳函方框圖方程中的“加、減”運算對應(yīng)“比較環(huán)節(jié)”;乘法運算對應(yīng)傳函方框[例1]
繪制雙RC濾波器電路的結(jié)構(gòu)圖。+-Ui(s)Uo(s)R11/C2s圖2.11RC濾波電路R21/C1sAI1I2解:網(wǎng)絡(luò)復(fù)阻抗方程如下:據(jù)此繪制雙RC濾波器電路的結(jié)構(gòu)圖如下:1Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)圖2.12雙RC濾波器電路結(jié)構(gòu)圖23I2(s)Uo(s)ABC§2.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡化計算等效變換原則:在變換前后,被變換的支路或回路傳函乘積保持不變。
關(guān)鍵:解除交叉的回路。
方法:通過移動比較點或引出點,使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變成大環(huán)套小環(huán)或環(huán)路并列的形式;移動時,通過在被變換的支路上乘或除某個傳函來保持等效。
注意:只能將相同的“點”移到一起,然后通過換位解除交叉。必須注意,比較點和引出點之間不能換位。
簡化:根據(jù)環(huán)節(jié)方框的連接方式(串聯(lián)、并聯(lián)和反饋)進行簡化計算。結(jié)構(gòu)圖中傳函方框的三種連接形式及其計算串聯(lián)并聯(lián)反饋用方塊圖的等效法則,求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解:這是一個具有交叉反饋的多回路系統(tǒng)。求解方法是:先移動比較點或引出點解開交叉,然后逐步計算。【例2.2】【例2.3】將雙RC串聯(lián)濾波電路的結(jié)構(gòu)圖簡化?!?.5信號流圖及梅森公式定義:信號流圖是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)路。是結(jié)構(gòu)圖的簡化表達形式。
組成:節(jié)點+支路+增益(1)節(jié)點:代表系統(tǒng)中的變量。分三類:
源點:輸入節(jié)點,只有輸出。
匯點(阱點):輸出節(jié)點,只有輸入。
混合節(jié)點:有輸入也有輸出。(2)支路:連接兩個節(jié)點的定向線段。表示輸出信號對輸入信號的函數(shù)關(guān)系,相當于一個乘法器。(3)增益:表示相鄰兩個節(jié)點變量之間的關(guān)系。信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系源點阱點混合節(jié)點支路增益輸入變量R(s)輸出變量C(s)比較點、引出點和中間變量傳函方框帶極性的傳函信號流圖結(jié)構(gòu)圖P28:術(shù)語(1)~(4);性質(zhì)(1)~(4)值得注意:(1)不接觸回路——回路之間沒有任何公共部分,即去掉一個回路,另一個將不閉合。(2)混合節(jié)點——可通過引出單位傳輸(增益為1)的支路變成輸出節(jié)點。(3)對于給定的系統(tǒng),信號流圖不唯一。
繪制(由結(jié)構(gòu)圖繪制)
【P30例2.7】123456123456【P30例2.7】
梅森公式其中:G(s)—
系統(tǒng)總傳輸增益(閉環(huán)傳函)特征多項式△=1-∑L1+∑L2-∑L3+……L1—各單獨回路增益L2—所有兩兩互不接觸回路增益乘積L3—所有三個互不接觸回路增益乘積回路傳函乘積沒有共同的部分(傳函和信號線)求法:去掉第k條前向通路后所求的△Pk—從R(s)到C(s)的第k條前向通道增益△k
—第k條前向通道的余子式在△中,去掉與第k條前向通道相接觸的回路對應(yīng)的項后剩余的部分。梅森公式例1R(s)C(s)L1=–G1
H1L2=–G3
H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1
G4(s)
H1(s)H3(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)Δ=1-(L1+L2+L3+L4+L5)+(L1L2+L3L4)L1L2=(G1H1)(-G
2H2)L1=G1H1L2
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