2025屆遼寧省遼南協作校高一數學第二學期期末質量檢測試題含解析

2025屆遼寧省遼南協作校高一數學第二學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在平面直角坐標系中，為坐標原點，為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉至，則點的坐標為（）A． B． C． D．2．設集合,則（）A． B． C． D．3．在直角梯形中，，為的中點，若，則A．1 B． C． D．4．已知等差數列的前項和為，若，則（）A．18 B．13 C．9 D．75．己知函數（，，，）的圖象（部分）如圖所示，則的解析式是（）A． B．C． D．6．已知的三個內角所對的邊分別為，滿足，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形7．在中，內角所對的邊分別是．已知，，，則A． B． C． D．8．在中，角的對邊分別是，若，且三邊成等比數列，則的值為（）A． B． C．1 D．29．已知一個三角形的三邊是連續(xù)的三個自然數，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最小角的余弦值是（）A． B．C． D．10．數列的通項公式，其前項和為，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設等比數列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．12．中，內角、、所對的邊分別是、、，已知，且，，則的面積為_____.13．已知函數f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______14．已知等比數列的公比為，關于的不等式有下列說法：①當吋，不等式的解集②當吋，不等式的解集為③當>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.15．設為實數，為不超過實數的最大整數，如，.記，則的取值范圍為，現定義無窮數列如下：，當時，；當時，，若，則________.16．化簡：______.（要求將結果寫成最簡形式）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，且.（1）求常數及的最大值；（2）當時，求的單調遞增區(qū)間.18．已知為坐標原點，，，若.（Ⅰ）求函數的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）當時，若方程有根，求的取值范圍.19．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫單位：有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數據，得到下面的頻數分布表：最高氣溫天數216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）20．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置21．已知等比數列的前項和為，且成等差數列，（1）求數列的公比；（2）若，求數列的通項公式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由題意利用任意角的三角函數的定義，誘導公式，求得點的坐標．【詳解】為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉至，則點的橫坐標為，點的縱坐標為，故點的坐標為.故選C.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，誘導公式，考查基本的運算求解能力．2、B【解析】試題分析：由已知得，，故，選B．考點：集合的運算．3、B【解析】

連接，因為為中點，得到，可求出，從而可得出結果.【詳解】連接，因為為中點，,.故選B【點睛】本題主要考查平面向量基本定理的應用，熟記平面向量基本定理即可，屬于?？碱}型.4、B【解析】

利用等差數列通項公式、前項和列方程組，求出，．由此能求出．【詳解】解：等差數列的前項和為，，，，解得，．．故選：．【點睛】本題考查等差數列第7項的值的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、C【解析】

根據圖象可知，利用正弦型函數可求得；根據最大值和最小值可確定，利用及可求得，從而得到函數解析式.【詳解】由圖象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本題正確選項：【點睛】本題考查根據圖象求解三角函數解析式的問題，關鍵是能夠明確由最大值和最小值確定；由周期確定；通常通過最值點來進行求解，屬于?？碱}型.6、D【解析】

先利用同角三角函數基本關系得，結合正余弦定理得進而得B,再利用化簡得,得A值進而得C,則形狀可求【詳解】由題即，由正弦定理及余弦定理得即故整理得，故故為頂角為的等腰三角形故選D【點睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀，注意內角和定理，三角恒等變換的應用，是中檔題7、B【解析】

由已知三邊，利用余弦定理可得，結合，為銳角，可得，利用三角形內角和定理即可求的值．【詳解】在中，，，，由余弦定理可得：，，故為銳角，可得，，故選．【點睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形內角和定理的應用．8、C【解析】

先利用正弦定理邊角互化思想得出，再利余弦定理以及條件得出可得出是等邊三角形，于此可得出的值．【詳解】，由正弦定理邊角互化的思想得，，，，則.、、成等比數列，則，由余弦定理得，化簡得，，則是等邊三角形，，故選C．【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，考查余弦定理的應用，解題時應根據等式結構以及已知元素類型合理選擇正弦定理與余弦定理求解，考查計算能力，屬于中等題．9、B【解析】

設的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，由二倍角公式，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出關于的方程，求出的值，可得出的值.【詳解】設的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，，所以，，即，即，將，代入得，解得，，，則，故選B.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解題時根據對稱思想設邊長可簡化計算，另外就是充分利用二倍角公式進行轉化是解本題的關鍵，綜合性較強.10、B【解析】

依據為周期函數，得到，并項求和，即可求出的值?！驹斀狻恳驗闉橹芷诤瘮?，周期為4，所以，，故選B?！军c睛】本題主要考查數列求和方法——并項求和法的應用，以及三角函數的周期性，分論討論思想，意在考查學生的推理論證和計算能力。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：設等比數列的公比為，由得，，解得.所以，于是當或時，取得最大值.考點：等比數列及其應用12、【解析】

由正弦定理邊角互化思想結合兩角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】，由邊角互化思想得，即，，由余弦定理得，，所以，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積公式的應用，解題時要結合三角形已知元素類型合理選擇正弦、余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.13、－1【解析】

分n為偶數和奇數求得數列的奇數項和偶數項均為等差數列，然后利用分組求和得答案．【詳解】若n為偶數，則an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶數項為首項為a2＝﹣5，公差為﹣4的等差數列；若n為奇數，則an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇數項為首項為a1＝3，公差為4的等差數列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案為：1．【點睛】本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數列前n項和的求法，是中檔題．14、③【解析】

利用等比數列的通項公式，解不等式后可得結論．【詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當或時解為，當或時，解為，時，解為；若，則，當或時解為，當或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【點睛】本題考查等比數列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數分正負，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應的一元二次方程是否有實數解分類（本題已經有兩解，不需要這個分類）．15、【解析】

根據已知條件，計算數列的前幾項，觀察得出無窮數列呈周期性變化，即可求出的值?！驹斀狻慨敃r，，，，，……，無窮數列周期性變化，周期為2，所以?！军c睛】本題主要考查學生的數學抽象能力，通過取整函數得到數列，觀察數列的特征，求數列中的某項值。16、【解析】

結合誘導公式化簡，再結合兩角差正弦公式分析即可【詳解】故答案為：【點睛】本題考查三角函數的化簡，誘導公式的使用，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）遞增區(qū)間為.【解析】

（1）由二倍角公式降冪，再由求出，然后由兩角和的余弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合余弦函數單調性可得最大值；（2）由（1）結合余弦函數性質可得增區(qū)間．【詳解】（1），由得，，即.∴，當時，即時，.（2）由，得，又，所以，所以遞增區(qū)間為.【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的余弦公式，考查余弦函數的性質．三角函數問題一般都要由三角恒等變換化為一個角的一個三角函數形式，然后利用正弦函數或余弦函數性質求解．18、(1)的單調減區(qū)間為;(2).【解析】試題分析：（1）根據向量點積的坐標運算得到，根據正弦函數的單調性得到單調遞減區(qū)間；（2）將式子變形為.有解，轉化為值域問題．解析：（Ⅰ）∵，，∴其單調遞減區(qū)間滿足，，所以的單調減區(qū)間為.（Ⅱ）∵當時，方程有根，∴.∵，∴，∴，∴，∴.點睛：這個題目考查了，向量點積運算，三角函數的化一公式，，正弦函數的單調性問題，三角函數的值域和圖像問題．第二問還要用到了方程的零點的問題．一般函數的零點和方程的根，圖象的交點是同一個問題，可以互相轉化．19、（1）；（2）460元.【解析】

（1）根據表中的數據，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【詳解】（1）根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數為，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率．（2）當溫度大于等于時，需求量為500瓶，利潤為：元，當溫度在時，需求量為300瓶，利潤為：元，當溫度低于時，需求量為200瓶，利潤為：元，平均利潤為【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及概率的實際應用，其中解答中認真審題，熟練應用古典概型及其概率的計算公式，以及平均利潤的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．20、（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則從而設平面PCD的法向量則即不妨取則．所以平面PCD的一個法向量為．設直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．（2）設則設則而所以．由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PC