甘肅省隴南市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

甘肅省隴南市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在長方體ABC?！狝4GA中，AB=1,ADf,A4,=百，則直線。2與平面ABC1所成角的余弦值為（）

A后RV3「屈nV10

A.?-------15?-------L?---------\J?----------

2355

2.一個(gè)正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）

C.8D.6

X2y2

已知可、生分別為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，過耳的直線/交于、兩點(diǎn)，。

3.不一記=1a>0,Z?>0C43

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。|A6|=|B6則C的離心率為（）

A.2B.75C.V6D.幣

4.已知加，”是兩條不重合的直線，/力是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若加I。，加/3,n//a,n///3,則aI/

B.若m"n,m±a,nL/3,則aB

C.若加_L〃，mua,n<^/3,則

D.若加_L〃，ma,nL/3,則

5.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xC[-3,-2]時(shí)，/(工)=-X-2,貝(]()

A./(5Z/2—cos—1B.f(sin3)<f(cos3)

D.f(2020)>/(2019)

6.集合4={%|%2一3%?0},3={x[y=lg(2-x)},則Ac>=()

A.{x|0<%<2}B.{x|l<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<2}

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，p是以歹為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段0尸上的點(diǎn)，且歸網(wǎng)=2|物|,

則直線0M的斜率的最大值為()

A.且B.-C.—D.1

332

8.點(diǎn)A瓦。是單位圓。上不同的三點(diǎn)，線段0C與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若

OC=mOA+nOB,(m>0,n>0),m+n=2,則NA03的最小值為()

9.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是：

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè)，這二者具有相生關(guān)系的概率是()

A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8

10.已知集合4=卜|沈,1},3={%|3工<1},則A&5)=()

A.{x|x<0}B.{x|0^!k1}C.{x}-l,,x<0}D.{x|x.-1)

11.小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)送到小張家，小張離開家去工作的時(shí)間在早上

7.00-8:00之間.用4表示事件：“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為無，小張離開家的時(shí)間為V,

(x，y)看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率尸(4)等于()

5237

A.—B.—C.—D.一

8558

12.已知直線y=A(x-1)與拋物線C：爐=公交于A,5兩點(diǎn)，直線y=24(x-2)與拋物線。：產(chǎn)二航交于跖N

兩點(diǎn)，設(shè)2=|4為則()

A.-16B.4-16C.-12<1<0D.2=-12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.將函數(shù)/(%)=sinx的圖象向右平移三個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=g(x)函數(shù)的圖象，則函數(shù)y=/(x)?g(x)的最大值

為.

14.已知Jj尤36fc=〃，則（x+y+l）”展開式中12y的系數(shù)為—

15.若復(fù)數(shù)z=l—3i（i是虛數(shù)單位），貝!Jz&-10）=

16.已知關(guān)于x的方程。|5吊了|+；=5m%在區(qū)間［0,2%］上恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

TT

17.（12分）如圖，四棱錐E—ABC。中，平面A5CD，平面BCE,若NBCE=—,四邊形ABC。是平行四邊形,

（I）求證：AB=AD；

（II）若點(diǎn)尸在線段AE上，且EC//平面BDF,ZBCD=60°,BC=CE,求二面角A—5尸一。的余弦值.

18.（12分）在AABC中，M為BC邊上一點(diǎn),ZBAM=45°,cosZAMC=—.

5

（1）求sin5；

（2）若河。=工3M，AC=4,求MC.

2

19.（12分）某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量二（單位：億元）對年銷售額二（單

位:億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①----②--一二.一，其中---------

均為常數(shù)，3為自然對數(shù)的底數(shù).

年的將皴/億元

80

75?

70

65?

60?

—or*IO:.1.5...2.0...2.5...3.0.年.研.發(fā).資.金/億元

現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量-和年銷售額-的數(shù)據(jù)，-并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,

一二一二—一4…???14

得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.令二_=二"匚、=二.二1=.二::,經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù):

n二￡（口二-二）；—產(chǎn)

Z-J二■」

倒二。460

￡（匚工-二）口-二）

y（0---二y（c-z）j

J一=

二?」.三.」二■」

2/5MQJM

（1）設(shè):-「和■一的相關(guān)系數(shù)為和:--的相關(guān)系數(shù)為一.,請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的

模型；

（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立-關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額二需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量二是多少億元？

附：①相關(guān)系數(shù)「二，回歸直線=--中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

②參考數(shù)據(jù)：3g=4X兩?9.4868'次'

20.（12分）如圖，在棱長為2夜的正方形ABC。中，E,歹分別為CD,BC邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)以所為折痕將點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)P的位置，使得P-EF-A為直二面角.

（1）證明：EF±PA；

（2）求P￡＞與面A&F所成角的正弦值.

21.（12分）我們稱〃（〃eN*）元有序?qū)崝?shù)組（西，/，…，/）為〃維向量，EIM為該向量的范數(shù).已知〃維

Z=1

向量a=（4光2，，尤〃），其中％e{T,O』，，=1，2,".記范數(shù)為奇數(shù)的〃維向量。的個(gè)數(shù)為4,這4個(gè)向量

的范數(shù)之和為紇.

（1）求A2和當(dāng)?shù)闹?

（2）當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，求4，紇（用〃表示）.

22.（10分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心

肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)

男5

女10

合計(jì)50

3

已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？請說明你的理由；

（2）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有2位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對身

體的傷害，現(xiàn)從不患心肺疾病的5位男性中，選出3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求所選的3人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)

的概率.

下面的臨界值表供參考：

P[K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(參考公式K2=-------————------,其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、c

【解析】

在長方體中A3//G。],得。2與平面A3G交于0,過。做DOLAD]于。，可證00,平面,可得

ZD2A為所求解的角，解及AAD2,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長方體中AB//CQ,平面ABQ即為平面ABCQ],

過。做。。，4口于。，QAB,平面A41A。，

。。匚平面明口口二人呂上。。,?^ADj=D,

.-.DO±平面ABCR，,NDD[A為DDt與平面ABC,所成角，

在RtAADD],DR=A4,=y/3,AD=-\/2,.,.AD{=y/5)

小八八DD、拒屈

cos/DD]A-----——產(chǎn)-----

AD,7559

???直線DR與平面ABQ所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2

所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

作出圖象，取A3中點(diǎn)E,連接Eg,設(shè)尸iA=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到。2=7層，進(jìn)而得

到e的值

【詳解】

解：取中點(diǎn)E,連接E7%則由已知可得尸2,FiA=AE=E3,

設(shè)歹14=》,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BFi-BFi=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,則EF2=2j^a,

由勾股定理可得(4a)2+(273?)2=(2c)2,

所以必,

則e=2=療

a

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)

鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.

4、B

【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】

A選項(xiàng)，若根a,m廿,n//a,n//p,則a/或a與夕相交；故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，若加〃”，,則〃_La,又“_L/?,%夕是兩個(gè)不重合的平面，則尸，故B正確；

C選項(xiàng)，若加J_〃，mua,則“ua或"〃a或"與a相交，又”u〃，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，則e尸或a

與夕相交；故C錯(cuò)；

D選項(xiàng)，若相ma,則或冏〃&或〃與c相交，又n1/3,a,尸是兩個(gè)不重合的平面，則a/3或a與

夕相交；故D錯(cuò)；

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于?？碱}型.

5、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及xGL3,-2］的解析式，可作出函數(shù)/(%)在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)(x),得/(X)是周期函數(shù)且周期為2,

先作出/(x)在xd［-3,-2］時(shí)的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，

并結(jié)合/(X)是偶函數(shù)作出/(%)在R上的圖象如下，

-4-3-2-IO1234

選項(xiàng)A,0<sin—=—<避^=cos—<1,

6226

所以小，吟)</卜。5小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,因?yàn)?-V3V所以0<S%3〈'2V—cos3V1,

42

所以f(s加3)</(-cos3),即f(s加3)</(cos3),選項(xiàng)B正確;

選項(xiàng)c,sin—=-—,CO5—=--,l>-5Z/2—>-CO5—>0

323233

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,/(2020)=/(0)</(I)=/(2019),選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

6、A

【解析】

解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運(yùn)算即可.

【詳解】

由f―3x<0可得所以A={x|0<x<3},由2—%>0可得尤<2,所以8={x|%<2},所以

Ar\B=[^<x<2],故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.

7、C

【解析】

試題分析：設(shè)「(，”,為)，由題意e(稱,0),顯然％<0時(shí)不符合題意，故%>0,則

OM=OF+FM=OF+^FP=OF+^(OP-OF)=^OP+^OF=+可得：

A廠

,322vl廠

k°M=p=%2P邛當(dāng)且僅當(dāng)為2=2'2,為=0'時(shí)取等號,故選C.

6p+3Py0

考點(diǎn)：L拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2.均值不等式.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔

題.解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件「陰=2|畫|,利用向量的運(yùn)算可知〃(看+孑,個(gè))，寫出直線的斜率，

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題.

8、D

【解析】

由題意得1=爪2+〃2+2相〃?€?/406，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

將0C=mOA+nOB平方得1=m~+rr+2mncosZAOB，

1-I—m2—n21—(m+n)2+2mn331

cosZAOB=+1<-+1=-

2mn2mn2mnm+n2

2x()2

2

(當(dāng)且僅當(dāng)m=n=l時(shí)等號成立)，

0<ZAOB<7i,

.?.NAOB的最小值為?，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

9、B

【解析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.

【詳解】

從五行中任取兩個(gè)，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10種,

其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5種，所以所求的概率為2=工=0.5.

102

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10>D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補(bǔ)集，然后求A(a5)

【詳解】

A={x|-掇kl},B={x|x<0},所以A..-1}.

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.

【詳解】

解：事件A發(fā)生，需滿足即事件A應(yīng)位于五邊形BCD所內(nèi)

1-lxlxl7

P（A）=—2J2=&

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得|4耳=4+.,|A@=4+4

R，然后計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

y=Kx-l）000、°

聯(lián)立，2_4-kX_（2左2+4）%+左2=0

2k~+4=2+J

貝!I西+々=

k2

因?yàn)橹本€y=左(％—1)經(jīng)過c的焦點(diǎn),

-

所以|A3|—+%2-I2=4+.

同理可得|兇叫=8+1，

所以;1=4—16=—12

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題，運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)g(x)函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理/(x)g(x)的表達(dá)式，進(jìn)而

由三角函數(shù)值域求得最大值.

【詳解】

將函數(shù)/⑺=Sinx的圖象向右平移q個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=g(x)=sin函數(shù)的圖象,

=sinxflsinx-^cosXlsin^-^sinxcosx

貝！ly=/(x)g(x)=sinx

(22J22

1匕嗎―3人心」—卑cos2x+?in2x］」—。匹—1

222242122J4213)

所以，當(dāng)cos—f=-1函數(shù)最大，最大值為!+:=,

I3)424

3

故答案為：-

【點(diǎn)睛】

本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值，屬于簡單題.

14、1.

【解析】

由題意求定積分得到〃的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，求出展開式中/y的系數(shù).

【詳解】

042

,已知=—=4=〃，貝!J(x+y+1)"=(x+y+l)4,

24..■■

它表示4個(gè)因式(x+y+1)的乘積.

故其中有2個(gè)因式取X,一個(gè)因式取，，剩下的一個(gè)因式取1,可得必,的項(xiàng).

故展開式中x2y的系數(shù)?C：=12.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題.

15、35

【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

z=l+3i，z(z-10)=(l-3z)(l+3z-10)=30z.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.

16,

22

【解析】

先換元，令/=5垣％,將原方程轉(zhuǎn)化為aW+g=/,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可

求出.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于X的方程a|sinX|+g=sinX在區(qū)間［0,2/r］上恰有兩個(gè)解，令f=sinx,所以方程a卜|+；=。在

1

t——

1—2-o<r<l

t----

re(-1,0)1(0,1)上只有一解，即有。=/=?t

1,

1

—2--l<r<0

1-t

］_

直線k°與好1在1,0)(0,1)的圖像有一個(gè)交點(diǎn),

綜上實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-士3二1）.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（I）見解析（II）立

7

【解析】

（I）推導(dǎo)出BC_LCE,從而EC_L平面A3CD,進(jìn)而EC_LBZ>,再由得平面

AEC,從而進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

（II）設(shè)AC與3。的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出ECUFG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)00,則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O

且與CE平行的直線為x軸，以3c為y軸，前為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【詳解】

TT

（I）證明：NBCE=—,即3C_LCE,

2

因?yàn)槠矫鍭BCD±平面BCE,

所以EC,平面A5CD,

所以EC_L瓦），

因?yàn)開LA石，

所以班），平面AEC,

所以BDLAC,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是平行四邊形，

所以四邊形ABC。是菱形，

故AB=AD；

解法一：（II）設(shè)AC與的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面產(chǎn)，

平面AECI平面BD尸于尸G,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是AC中點(diǎn)，

所以歹是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)?8=60°,

取的中點(diǎn)為。，連接OD,

則8八BC,

因?yàn)槠矫鍭BCD±平面BCE,

所以8,面

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。且與CE平行的直線為x軸，以所在直線為V軸，以O(shè)D所在直線為工軸建立空間直角

坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則5（0,-1,0）,A（0,-2,A/3）,0（0,0,⑹,F1,—；當(dāng)，BF=1,1,^,

22

I2?）<7

BA=（0,-l,V3）,BD=（0,l,73）,

設(shè)平面ABF的法向量々=（%,%,4）,

1用_

則,占+,必+5馬一n,取為二卜代,6,1）,

％+64=0

同理可得平面DBF的法向量”=（0,百,-1）,

設(shè)平面ABF與平面DBF的夾角為0,

因?yàn)閮z8，用=麗=昉=亍，

所以二面角A—5尸—￡>的余弦值為立.

7

z

y

解法二：(II)設(shè)AC與3D的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面應(yīng)＞尸，平面AECI平面BDF于FG,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是4C中點(diǎn)，

所以尸是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)锳C±FG,

所以AC，平面應(yīng)＞尸，

所以ACLBF,

取BF中點(diǎn)H,連接G"、AH,

因?yàn)槭珿=3G,

所以GHLBF,

故BE,平面AHG,

所以產(chǎn)，即NAHG是二面角A—5尸—O的平面角,

不妨設(shè)AB=2,

因?yàn)锳G=JLGH=—,

2

在RfAAGH中，tanZAHG=y[6,

所以cosNA〃G=立，所以二面角A—5尸—O的余弦值為立

77

E

【點(diǎn)睛】

本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.

18、(1)巫；(2)4

10

【解析】

(1)B=ZAMC-ZBAM,利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；

(2)設(shè)=在中，用正弦定理將用比表示，在AAGVf中用一次余弦定理即可解決.

【詳解】

(1)VcosZAMC=—,

5

：.sinZAMC^^-,

5

所以，sinB=sin(ZAMC-ZBAM)

-sinZAA/CcosZBAM—cosZAMC-sinZBAM

2y[5y/2V5A/2Vid

一^2

(2)MC=-BM,

2

設(shè)MC=x,BM—2x,

qq-BMAM

在AAW中，由正弦定理得，------=-----,

sin45°sinB

2xAM

:,亞一屈,

lo-

AC2=AM2+MC2-2AM-MCcosZAMC，

.42426V5

??4——x2+x2—2----x?x---

555

MC=x=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.

19、(1)模型二__一.一的擬合程度更好；(2)(i):=:二二一；.;(?)二4億元.

【解析】

(1)由相關(guān)系數(shù)求出兩個(gè)系數(shù)，比較大小可得；

(2)(i)先建立一關(guān)于二的線性回歸方程，從而得出二關(guān)于二的回歸方程;

(ii)把--丁代入⑴中的回歸方程可得-值.

【詳解】

本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識，考查統(tǒng)計(jì)與概率思

想、分類與整合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.

解：(1),

1~_r~~JS~

12

則二：I二，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型二二十一的擬合程度更好

(2)(i)先建立.關(guān)于二的線性回歸方程.

—

由口.—得wi-n+riL即

由于u；?,

13J-口乂口ff-砌.4

口=奪二最

二=匚-匚二=420-0.018x20=3M

所以…關(guān)于二的線性回歸方程為二="二-;「，

所以In：=0Q2二+3.84,則n=產(chǎn)0—.

(ii)下一年銷售額二需達(dá)到90億元，即二二；1，

代入_A.工?-得，…L；］：「

又施之所以“t?S3+l>!'

所以

所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是,；:億元

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理

論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏

輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性

20、(1)證明見詳解；(2)逅

6

【解析】

(1)在折疊前的正方形A3C。中，作出對角線AC,BD,由正方形性質(zhì)知AC，5。，又EFHBD,則AC,即于

點(diǎn)H,則由直二面角可知面A3EFD,故PHLEF.又AHLEF,則面？AH,故命題得證；

(2)作出線面角在直角三角形中求解該角的正弦值.

【詳解】

解：(1)證明：在正方形A3C。中，連結(jié)AC交所于

因?yàn)锳C±BD,EFnBD,故可得AC±EF,

又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系，

且AH,C〃u平面八田，

.,.EF,面枚

又B4u面B4",所以

(2)因?yàn)镻—石尸―A為直二面角，故平面平面AER,

又其交線為EF，且PH±EF,PH<=平面PEF,

故可得PH，底面ABF,

連結(jié)￡>//,則NFD〃即為與面AB廠所成角，連結(jié)加)交AH于。,

在RtAODH中,

DH=yjDCP+OH-=>/5>PH=CH=1

在HfAPHD中

DP=^DH2+PH2=屈，

PH1_V6

sinZPDH=

1)P~46~~6~

所以PD與面ABF所成角的正弦值為逅.

6

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，利用定義求線面角，屬于中檔題.

B-1

21、(1)4=4,B2=4.(2)A=^2^>n=?-(3"-1)

【解析】

(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對都寫出來，再做和；(2)用組合數(shù)表示4和紇，再由公式

5-左)C=“3或比：="《二：將組合數(shù)進(jìn)行化簡，得出最終結(jié)果.

【詳解】

解：⑴范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：(—1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),

它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故4=4,為=4.

(2)當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，在向量。=(占,%，％3，一，毛)的"個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以

可按照含0個(gè)數(shù)為：1,3,…，1進(jìn)行討論：。的"個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或-1,共有C「2"T個(gè)，每

個(gè)。的范數(shù)為〃-1;

。的“個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或-1,共有C；-2L3個(gè)，每個(gè)。的范數(shù)為〃—3；

。的〃個(gè)坐標(biāo)中含〃-1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或-1,

共有C；，2個(gè)，每個(gè)。的范數(shù)為1；所以

3n3

An