高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 一元二次方程（練習(xí)）（解析版）

第07講一元二次方程

目錄

題型過關(guān)練N

題型01識別一元二次方程題型15由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值值

題型03一元二次方程的一般形式題型16由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值代換求代數(shù)式的值

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型17由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)

題型06己知一元二次方程的一個根，求另式的值

一個根題型18與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問題

題型07選用合適的方法解一元二次方程題型19構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值

題型08錯看或錯解一元二次方程問題題型20根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜

題型09配方法的應(yīng)用合應(yīng)用

題型10判斷不含字母的一元二次方程根的題型21分裂（傳播）問題

情況題型22碰面（循環(huán)）問題

題型11判斷含字母的一元二次方程根的情題型23增長率問題

況題型24營銷問題

題型12由方程根的情況確定字母的值或取題型25與圖形有有關(guān)的問題

值范圍

題型13應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況

題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問題

真題實(shí)戰(zhàn)練N

重難創(chuàng)新練

題型過關(guān)練

題型01識別一元二次方程

1.（2023瀘縣一診）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x2=5%—1B.x+-=2

X

C.（x-3）（x+1）=x2—5D.3%—y=5

【答案】A

【分析】利用一元二次方程的定義，即可找出結(jié)論.

【詳解】解：A.方程2-=5X一1是一元二次方程，選項(xiàng)A符合題意；

B.方程x+工=2是分式方程，選項(xiàng)B不符合題意；

X

C.原方程整理得2%-2=0,該方程為一元一次方程，選項(xiàng)C不符合題意；

D.3x-y=5是二元一次方程，選項(xiàng)D不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方

程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

2.（202.無為市一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A./一2x+：=0B.y=2x2-3x-l

C.x2—1=0D.y2—%+3=0

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、分母含未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、含2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意：

C、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；

D、含2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整

式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值

1.（2022上?湖南長沙?九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程（m-3）x2+x-7n=0是一元二次方程，則〃?的

取值范圍是（）

A.znW3B.m=3C.m>3D.mHO

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，求解即可.

【詳解】解：由題意，得怯3和,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的概念，一般地，形如“+bx+c=O,a,b,c是常數(shù)，且辦0的方程是一

元二次方程.

2.（2023?山東青島?統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程》同一1-3無+2=0是一元二次方程，則。的值為.

【答案】±3

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出|a|-1=2,再求出a即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程”1一3%+2=0是一元二次方程，

/.|a|-1=2,

解得：a=±3.

故答案為：±3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，是一元二次方程必須同時滿足三個條件：①時整式方程，即等

號兩邊都是整式：②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3.（2022西咸新區(qū)五模）若方程（瓶一1）/+標(biāo)X=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍

是—.

【答案】m#l且m>0

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】???方程（m-l）x2+后x=1是關(guān)于x的一元二次方程，

m-1/0且m>0,

且m>0.

故答案是：n#l且mNO.

【點(diǎn)睛】考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程

叫一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵.

題型03一元二次方程的一般形式

1.（2023株洲市三模）一元二次方程2/+I=3X的二次項(xiàng)系數(shù)是2,則一次項(xiàng)系數(shù)是（）

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次項(xiàng)系數(shù)即可.

【詳解】解：2x2+l=3x,

2x2—3x+1=0,

所以一次項(xiàng)系數(shù)是-3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：

一元二次方程的一般形式是a/+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，aHO）.

2.（2022上?福建泉州?九年級晉江市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程2y2-7=3y的二次項(xiàng)系

數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.2,-3,-7B.2,-7,-3C.2,-7,3D.-2,-3,7

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步驟對選項(xiàng)進(jìn)行判

斷即可.一元二次方程的一般形式是：a/+bx+c=O（?,b,c是常數(shù)且在0）特別要注意。翔的條

件.這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn).在一般形式中a/叫二次項(xiàng)，反叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中

a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).

【詳解】解：一元二次方程2y2-7=3y化為一般形式為：2y2-3y—7=0,

二二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2,-3,-7,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式。/+以+?=0是解題的

關(guān)鍵.

3.（2022上?廣西柳州?九年級統(tǒng)考期中）一元二次方程-（3%-2）=8的一般形式是.

【答案】x2-3x-6=0

【分析】根據(jù)去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的步驟求解即可.

【詳解】解：X2-（3X-2）=8,

x2—3x+2=S,

x2—3x-6=0,

故答案為：x2-3x-6=0.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，即a/+bx+c=0（aK0）.其中“是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一

次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值

1.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a-1）辦+。2=1的一個根為o.則。

【答案】」

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的意義，得到a2=l,a-lw0,求解即可.

【詳解】???關(guān)于x的一元二次方程（a-I）/-以+/=1的一個根為0

???=1,?！?工（J

???Q=-1

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值

1.（2022?浙江金華?統(tǒng)考一模）己知a是方程2/一3%一5=0的一個解，則一4a2+6a的值為（）

A.10B.-10C.2D.-40

【答案】B

【分析】將。代入方程得到2a2-3a=5,再將其整體代入所求代數(shù)式即可得解.

【詳解】；a是方程的一個解，

...有2a2-3a-5=0,即，2a2-3a=5,

-4a2+6a=-2(2a2—3a)=-2x5=-10,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，此類題的特點(diǎn)是利用方程的解的定義找到相等關(guān)系，再將

其整體代入所求代數(shù)式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求。值再代入計算，此方法耗時費(fèi)力不可

取.

2.(2022上.福建泉州.九年級期末)已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程/+「8=0的根，則/+d+8a-1的值為

()

A.62B.63C.64D.65

【答案】B

【分析】把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對代數(shù)式進(jìn)行化簡求值.

【詳解】；a是一元二次方程/+》一8=0的一個根，

.,.a2+a-8=0

.".a2+a=8

：.a4+a3+8a-1=a2(a2+a)+8a-1=8a2+8a-1=8(a2+a)-1=64-1=63

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到關(guān)于。的等式，利用等式對代數(shù)式

進(jìn)行化簡并求出代數(shù)式的值.

3.(2020.江蘇泰州.統(tǒng)考一模)已知，〃?，〃是一元二次方程/+x—2021=0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式

m2+2m+n的值等于_.

【答案】2020

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到，”2+,”=2021,則,/+2加+”=2021+,〃+〃，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得

到m+n=-l,然后利用整體代入的方法計算.

【詳解】解：???〃，是一元二次方程f+『2021=0的實(shí)數(shù)根，

w2+/n-2021=0,

/.m2+/n=2021,

m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n,

"：m,〃是一元二次方程/+x-2021=0的兩個實(shí)數(shù)根，

，nr+2m+n=2021-1=2020.

故答案為:2020.

【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若X/,X2是一元二次方程/+法+C=0（在0）的兩根時，X/+X2=±

a

X2=~.也考查了一元二次方程的解.

IXa

題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根

1.（202卜山東濟(jì)南?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程/+a=0的一個根是2,則另一個根

是.

【答案】-3

【分析】由題意可把戶2代入一元二次方程進(jìn)行求解a的值，然后再進(jìn)行求解方程的另一個根.

【詳解】解：由題意把42代入一元二次方程％2+x-a=0得：

22+2-a=0,解得：a=6,

原方程為/+%—6=0,

解方程得：Xj=2,X2=-3,

二方程的另一個根為-3；

故答案為-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關(guān)鍵.

2.（2020高州市一模）已知x=1是方程M+bx-2=0的一個根，則方程的另一個根是.

【答案】x=—2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)另外一個根為X,

由根與系數(shù)的關(guān)系可知：1x=-2,即％=—2.

故答案為：x=—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系.若

_xx

Xi1%2是一元二次方程a/+bx+c=0（a于0）的兩根時，+x2=-i2-

3.（2022?北京順義.統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程nix?-（2巾-1）芯+巾一2=0有兩個不相等的

實(shí)數(shù)根.

（1）求m的取值范圍；

(2)若方程有一個根是0,求方程的另一個根.

【答案】(l)m>-7且mW0

4

(2)另一個根為I

【分析】(1)由一元二次方程定義和根的判別式與根之間的關(guān)系，列不等式組求解即可.

(2)將戶0代入原方程，求出相，再解方程即可.

【詳解】(1)解：Ym/—(2m—l)x+m—2=0是一元二次方程，

mW0,

.??一元二次方程tn/—(2m-l)x4-m-2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)，

.??△=b2-4ac>0,

即：［—(2.TTI-1)產(chǎn)一4?71(771—2)>0,

整理得：4m+l>0,

m>--,

4

綜上所述：且mHO.

4

(2)?.?方程有一個根是0,

將40代入方程得：m-2=0,

??771=2,

則原方程為：2/-3x=0,

O

解得：%1=0,%2=-,

...方程的另一個根為I.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系：A>0O方程有兩個

不相等的實(shí)數(shù)根，A=0=方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，AVO0方程沒有實(shí)數(shù)根，A200方程有實(shí)數(shù)

根.熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系是解題關(guān)鍵，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0是易錯點(diǎn).

4.(2022?北京海淀??？家荒?關(guān)于x的一元二次方程支2-2%+3巾一2=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)若方程有一根為4,求方程的另一根.

【答案】(l)mW1

(2)-2

【分析】(1)由方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于〃?的一元一次不等式，解之即可得出"?的取值

范圍；

(2)將x=4代入原方程求出m值，再將〃?的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出

方程的另一個根.

(1)

解：?.?關(guān)于x的一元二次方程M-2x+3m-2=0有實(shí)數(shù)根，

，其根的判別式A>0,即(-2)2-4(3m-2)>0,

解得：m<l.

(2)

解：將x=4代入/-2x+3m-2=0,得：42-2x4+3m-2=0,

解得：m=—2,

???該?兀二次方程為/—2x—8=0.

即(x-4)(x+2)=0,

??X1=4,%2=-2,

.?.方程的另一根為-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解以及解一元二次方程.(1)掌握“當(dāng)一

元二次方程有實(shí)數(shù)根時，根的判別式4=爐-4這20”是關(guān)鍵；(2)理解一元二次方程的解的定義和解

一元二次方程的方法是關(guān)鍵.

題型07選用合適的方法解一元二次方程

1.(2023?河南周口?統(tǒng)考一模)計算：解方程：5x(2x-1)-2(2%-1)=0.

【答案】Xt=p%2=|

【分析】方程去括號，因式分解求解即可.

【詳解】解：去括號，得：10x2-9x-2=0,

因式分解，得：(2x-l)(5x-2)=0,

解得：/=%x2=|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，按照解方程的步驟求解即可.

57.(2023?山東淄博?統(tǒng)考二模)請分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x2+2x-l=0.

【答案】Xi=魚—1,芯2=—V2—1

【分析】用配方法解方程，首先移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程的

左右兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可使左邊變形成完全平方式，右邊是常數(shù)，直接開方即可求

解；用公式法解方程，首先找出方程中二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)b及常數(shù)項(xiàng)C,計算出根的判別式，由根

的判別式大于0,得到方程有解，將“，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.

【詳解】解：配方法，

移項(xiàng)得/+2x=1,

配方得：x2+2x+1=1+1,即(x+I)2=2

開方得：x+1=±V2

解得：%!=V2-1,x2=—V2—1；

公式法：

Va=1,b=2,c=—1,

：.b2-4ac=22-4x1x(-1)=8>0,

.-2+2V2.777

?.%=--—=-1±V2,

="

:.Xi=V2_1,x2V2-1.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程一公式法和配方法，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.

2.(2023?江西吉安??？寄M預(yù)測)解方程：

(1)(2%+1)2=0—3)2；

(2)3x2-9x4-4=0.

【答案】(1)%1=|，應(yīng)=一4

9+V339-V33

(2^=—,x2=-

【分析】(1)先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可；

(2)利用公式法解方程即可.

【詳解】(1)解：V(2x+I)2=(x-3)2,

?*.(2x+l)2—(%—3)2=0,

/.(2%+1+%—3)(2%+1—%+3)=0,即(3x—2)(%+4)=0,

3%—2=0或％+4=0,

解得/=|，%2=-4；

(2)解：V3X2-9X+4=0,

a=3,b=—9,c=4,

AA=爐一4ac=(-9)2—4x3x4=33>0,

2

?.?x_=-b±y/b-4ac_=9±\f33，

2a6

解得的=空亙，M=上咨.

6o

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?青海?統(tǒng)考一模)提出問題

為解方程("2-2尸—11(/-2)+18=0,我們可以將/一2視為一個整體，然后可設(shè)/-2=y,則

(%2-2)2=y2,于是原方程可轉(zhuǎn)化為y?-iiy+18=0,解此方程，得%=2,%=9.

當(dāng)y1=2時，%2—2=2,x2--4,.'.x=±2；

當(dāng)丫2=9時，x2—2=9,x2=11,'.x=+V1T.

——

原方程的解為與—2,x2—2,%3=VT1.x4=V11.

以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

解決問題

(1)運(yùn)用上述換元法解方程一一3/一4=0.

延伸拓展

(2)已知實(shí)數(shù)如"滿足(m+3n)(m+3n—2)=2m+6n—4,求4m+12n-3的值.

【答案】(1)Xi=-2,x2=2；(2)5

【分析】(1)根據(jù)材料提示，利用換元法解方程即可求解；

(2)按整式的乘法，先展開，再合并同類項(xiàng)，利用完全平方公式以及材料中換元法解方程即可求解.

【詳解】解：解決問題：(|)設(shè)/=以

，原方程變形為a?—3a-4=0,解得，%=-1,a2=4,

當(dāng)a=-l時，x2>0*-1.故舍去；

2

當(dāng)a=4時,x=4,解得，xx=-2,x2=2；

綜上所示，原方程的解為巧=-2,X2=2.

延伸拓展：(2)(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n—4

(m+3n)(m+3n-2)=m2+6mn+9n2-2m—6n,

原式變形為m2+6mn+9n2-47n—12n+4=0,

/.(m+3n)2—4(m+3n)+4=0,設(shè)?n4-3n=P,

.?.p2-4P+4=o,則(p-2)2=0,解得，P=2,即?n+3九=2,

V4m+12n—3=4(m+3n)-3,

/.4m+12n—3=4(m+3n)—3=4x2—3=5

/.4m+12n-3=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程的運(yùn)用，掌握整體思想，換元思想解方程，完全平方公式的變形是解題的關(guān)

鍵.

題型08錯看或錯解一元二次方程問題

1.(2023?河南信陽?校考三模)小明在解方程——3x+2=0時，發(fā)現(xiàn)用配方法和公式法計算量都比較

大，因此他又想到了另外一種方法，快速解出了答案：

方法如下：

X2—3%4-2=0

%2—2x-x+2=0第①步

x2—2x=x—2第②步

x(x-2)=%-2第③步

%=1第④步

老師看到后，夸小明很聰明，方法很好，但是有一步做錯了，請問小明出錯的步驟為(填序號).

【答案】④

【分析】由武%-2)=%-2,(%-1)(工-2)=0,解得％=1或%=2,進(jìn)而判斷作答即可.

【詳解】解：x(x-2)=%-2,

(%—1)(%—2)=0,

解得％=1或%=2,

???第④步錯誤，

故答案為：④.

【點(diǎn)睛】本題考查了解?元二次方程.解題的關(guān)鍵在于正確的解?元二次方程.

2.(2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模)以下是圓圓解方程的具體過程：(無一3)2=20—3)的具體過程，方程兩邊

同除以Q-3),得％-3=2,移項(xiàng)，得％=5,試問圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正

確的解答過程.

【答案】錯誤，見解析

【分析】利用因式分解法解方程可判斷圓圓的解答過程是否有錯誤.

【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤；正確的解答過程為：

移項(xiàng)得,x[x-3)-2a-3)=0,

利用因式分解法整理：-因式-2)=0,

解得：X-3=0或X-2=0,

所以Xi=3或%2=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

3.(2023?福建泉州?統(tǒng)考一模)小明在解方程X2—5x=-3的過程中出現(xiàn)了錯誤，其解答如下：

解："a=1,b=-5>c=-3,...............第一步

b2-4ac=(-5)2-4x1x(-3)=37..............第二步

(1)問：小明的解答是從第步開始出錯的；

(2)請寫出本題正確的解答.

【答案】⑴一

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)等式的性質(zhì)，移項(xiàng)需要改變移動的項(xiàng)的符號可得出答案;

(2)先移項(xiàng)，再利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：?.?移項(xiàng)需要變號，

c-3,

故答案為：一；

(2)解：x2-5x+3=0,

???a=1>b=-5,c=3.

b2-4ac=(-5)2-4x1x3=13,

.丫=-(-5)土TH

5+V135-V13

AX1=-2-，%2=-2--

【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，等式的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型09配方法的應(yīng)用

1.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考一模）已知y2-2x+4=0,則/+y?+2x的最小值是（）

A.8B.-8C.-9D.9

【答案】A

【分析】由已知得y2=2x-4,注意x的取值范圍，代入/+y2+2x再配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求

解.

【詳解】解：；y2-2x+4=0,

：.y2=2x-4,且2x-4>0即x>2,

二x2+y2+2%=x2+2x-4+2x

=x2+4x+4-8

=（x+2）2-8,

V（x+2）2>0,x>2

當(dāng)x=2時，/+y2+2%的最小值是8,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握完全平方公式及確定x的取值范

圍是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2021?安徽馬鞍山?統(tǒng)考二模）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且6+c=5-4a+3a2,c-b=1-2a+a?,則

a,瓦c之間的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】先根據(jù)已知等式求出b=a2-a+2,c=2a2-3a+3,再利用完全平方公式判斷出c——a的

符號，由此即可得出答案.

【詳解】■-b+c=5-4a+3a2,c-b=1—2a+a2,

b=a2—a+2,c=2a2-3a+3,

■■■b—a=a2-a+2—a,

=M—2Q+2,

=(a-l)2+l>0,

a<b,

又?.?c—b=1—2Q+M=(Q—i)2zo,

???b<cf

?-a<b<c,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.

3.(2023?浙江臺州?統(tǒng)考一模)已知點(diǎn)4(a,b)在一次函數(shù)y=2%-1圖象上，則層+8+3的最小值

為.

【答案】1

【分析】將點(diǎn)力(。/)代入一次函數(shù)解析式得出，b=2a-l,代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解.

【詳解】解：??,點(diǎn)A(a,b)在一次函數(shù)y=2x-l圖象上,

6=2a-1

?\Q2+b+3=a?+2Q—1+3

=彥+2Q+1+1

=(a4-l)24-1>1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了?次函數(shù)的性質(zhì)，配方法的應(yīng)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考一模)設(shè)x,y都是實(shí)數(shù)，請?zhí)骄肯铝袉栴}，

(1)嘗試：①當(dāng)％=—2,y=l時，v%2+y2=5,2xy=-4,%2+y2>2xy.

②當(dāng)％=1,y=2時，vx2+y2=5,2xy=4,:.%2+y2>2xy.

③當(dāng)x=2,y=2.5時，v%2+y2=10.25,2xy=10,A%2+y2>2xy.

④當(dāng)久=3,y=3時，v%24-y2=18,2xy=18,???x2+y22xy.

(2)歸納：/+y2與2%y有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

(3)運(yùn)用：求代數(shù)式爐+妥的最小值.

【答案】⑴二

(2)x2+y2>2xy,理由見解析；

（3）代數(shù)式/+2的最小值為8.

【分析】（1）求得/+V=18,2xy=18,得到/+y2=2xy；

（2）結(jié)合完全平方的非負(fù)性即可解答；

（3）利用歸納的結(jié)論即可求解.

【詳解】（1）解：當(dāng)％=3,y=3時，vx2+y2=18,2xy=18,

???x2+y2=2xy,

故答案為：=；

（2）解：x2+y2>2xy,理由如下，

V%2—2xy4-y2=（x—y）2>0,

Ax2+y2>2xy；

（3）解：Vx2+y2>2xy,

Ax2+^>2x23=8,

代數(shù)式/+之的最小值為8.

X2

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用完全平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況

1.（2023殷都區(qū)一模）一元二次方程/-3X+1=0的根的情況（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)判別式A=爐—4ac即可判斷求解.

【詳解】解：由題意可知：a=l,b=-3,c=1,

/.A=b2—4ac=（-3）2—4xlxl=5>0,

.??方程/—3x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式：當(dāng)4=》2一4知>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

A=b2_4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=62一4砒<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.（2023秦皇島開發(fā)區(qū)一模）不解方程，判別方程2^-3缶=3的根的情況（）

A.只有一個實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D.無實(shí)數(shù)根

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式△>()時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，A=0時，方程有兩個相等

的實(shí)數(shù)根，A<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而確定根的情況即可.

【詳解】解：：2/-3&%=3,

.?.泊-3缶-3=0,

VA=(-3V2)2-4x2x(-3)=18+24=42>0,

，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式判斷根的情況，熟練地掌握該知識是解決問題的關(guān)鍵.

題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況

1.(2022?河南商丘?統(tǒng)考三模)關(guān)于x的方程2/一皿一3=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)根的判別式的判斷方程根的數(shù)量即可.

【詳解】解：△=(一m)2—4x2x(-3)=m2+24>0,

故方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)?元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的數(shù)量，能夠熟練應(yīng)用根的判別

式是解決本題的關(guān)鍵.

2(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)若16〃?+2V0,則關(guān)于x的方程(2/n+l)x+/n-1=0的根的情況是

()

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個實(shí)數(shù)根

C.有兩個相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】先計算出m的范圍，判斷出方程為二次方程，再計算判別式的范圍即可得出答案.

【詳解】解：由已知16〃任2<0,解得m<-±即方程為二次方程，

8

判別式A=[—（2m+l）]2—47n（m-1）=4m2+4m+1—4m2+4m=8m+1,

Vm<_?

/.8m+1V0,

二關(guān)于X的方程沒有實(shí)數(shù)根；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查一次不等式的解法，二次方程根的判斷，熟悉公式準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?云南玉溪?統(tǒng)考一模）對于任意的實(shí)數(shù)機(jī)，關(guān)于x的方程%2一MX-^=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】B

【分析】判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=〃一4牝的值的符號即可.

【詳解】解：：〃=1,b=-m,c=--

.,.△=y-4俏=/+2>0

???方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）

△>（）0方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=（）=方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△<（）=方程沒有實(shí)數(shù)根，

是解決問題的關(guān)鍵.

題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍

1.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程產(chǎn)+2x+m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的

值可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，可得A=4-47n>0,解出，〃的取值范圍即可進(jìn)行判

斷.

【詳解】解：根據(jù)題意，得A=4-4m>0,

解得m<1,

V0<1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的情況，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?山東泰安?統(tǒng)考中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程kM-(2k-l)x+k-2=0有兩個不相等

的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.k>—B.k<—

44

C.卜>一三且上彳0D.卜<三且/(:。0

44

【答案】C

【分析】由一元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)物0;由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>()”,解這兩

個不等式即可得到k的取值范圍.

【詳解】解：由題可得：13-1)]”4隊(duì)-2)>0,

解得：k>—；且k*0；

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能

讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式(組)的解集等，本題對學(xué)

生的計算能力有一定的要求.

3.(2023武鳴區(qū)二模)關(guān)于久的一元二次方程(k+1)/一2%+1=0有兩個實(shí)數(shù)根，貝妹的取值范圍是

()

A.fc>0B.k<0C.卜<0且A不一1D.k<0.1k*-1

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程a/+bx+c=0(a*0)根的判別式△=b2-4ac>0,

進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：根據(jù)一元二次方程一元：次方程(卜+1)/-2%+1=0有兩個實(shí)數(shù)根，A=b2-4ac=4-

4(k+1)>0,

解得：k<0,

根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)k+1*0,可得：k力-1.

故選D.

【點(diǎn)睛】考查一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)根的判別式△=b2-4ac,

當(dāng)A=爐—4ac>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)A=川一4ac=。時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=從一4叫<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根.

題型13應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況

1.(2023?北京昌平?統(tǒng)考二模)關(guān)于x的一元二次方程/-kx+k-1=0.

(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若方程有一個根小于0,求k的取值范圍.

【答案】(1)見解析

(2)fc<1

【分析】(1)先求出判別式，利用配方法△=1—4k+4=(k-2)2變?yōu)橥耆椒绞郊纯桑?/p>

(2)利用求根公式，先求一元二次方程含火的根，讓其一根小于0,求出范圍即可.

【詳解】(1)解：A=(-fc)2-4xlx(/c-l),

=k2—4k+4,

=("2)2>0,

二方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)解：?；X=

2x1

.丫_k±(R-2)

2

*,?%1=1,%2=k-19

■:方程有一根小于0,

k-1V0,

Afc<1.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問題，掌握根的判別式的用途，會用根的判別式解決

方程根的情況，會利用求根公式解方程，會用條件利用不等式，會解不等式是關(guān)鍵.

2.(2021上?北京?九年級北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí))己知關(guān)于x的一元二次方程/-mx+m-1=

0.

(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若方程有一個根小于-4,求m的取值范圍.

【答案】(1)見解析

(2)m<-3

【分析】(I)計算方程根的判別式，判斷其符號即可；

(2)求方程兩根，結(jié)合條件則可求得〃?的取值范圍.

【詳解】(1)解：b2-4ac=(-m)2-4x1x(m-1)=(?n-2)2

???(m-2)2>0

...方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)解：原方程可化為：

(x-l)(x—m+1)=0

???x—1=0或久—m+1=0

解得：x1=1,x2=m—1

由題意可得：m-1<-4

解得：m<—3

【點(diǎn)睛】本題主要考查?元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

3.(2020?湖北孝感?中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程/—(2卜+1萬+：1-2=0.

(1)求證：無論化為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個實(shí)數(shù)根與，血滿足與-亞=3,求k的值.

【答案】(1)見解析(2)0,-2

【分析】(1)根據(jù)根的判別式即可求證出答案；

(2)可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得k與的勺、犯的關(guān)系式，進(jìn)一步可以求出答案.

【詳解】(1)證明：V4=(2k+I)2-4XQ/c2_2)=2k2+4fc+9=2(/c+l)2+7,

?.,無論k為何實(shí)數(shù)，2(k+l)2N0,

：.A=2(k+1)2+7>0,

無論々為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：

+工2=2k+1,xrx2=-2,

'/—x2=3?

2

/.(xx—X2)=9，

2

/.(%i+x2)—4/％2=9,

.,.(2fc+l)2-4xgfc2-2)=9,化簡得：k2+2k=0,

解得k=0,-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握概念和運(yùn)算技巧即可解題.

4.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模)已知關(guān)于x的一元二次方程/一(僅—1)%+m-2=0

(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根.

(2)若該方程兩個實(shí)數(shù)根的差為3,求機(jī)的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)0或6

【分析】(1)由，—(m—l)x+m—2=0,可知Q=1,b=—(m—1),c=m—2?根據(jù)△=b2-4ac=

[-(m—l)]2-4(m—2)=(m—3)2>0,證明即可；

(2)由/—(m-1)%+m-2=0,可得/+亞=-g=小一1，%i,x2=^=m—2,由該方程兩個實(shí)數(shù)

根的差為3可得(右-%2)2=9,即(%i-t2)2=(%i+冷)？-4五1?%2，-I)2-4(m-2)=9,計算

求解即可.

【詳解】(1)證明：x2—(m—l)x+m—2=0,

a=1,b=—(m—1),c=m—2,

/.△=b2—4ac=[—(m—l)]2—4(m—2)=(m—3)2>0,

?,.該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)解：Vx2—(m—l)x+m—2=0,

??_b._Cn

==m

..Xj+%2=--=—1,-X2a~

?該方程兩個實(shí)數(shù)根的差為3,

2

(xj—x2)=9,

22

■:01-X2)=(%1+X2)-4%1?x2，

:.(m—l)2—4(m—2)=9,

解得？n=0或m=6,

二加的值為0或6.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形.解

題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

5.（2023?北京大興?統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程/一（m+4）x+4m=0.

（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程有一個根小于1,求〃?的取值范圍.

【答案】（1）見解析

（2）771<1

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得A=（m-4）2>0,由此可證出方程總有兩個實(shí)數(shù)

根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出%=4,x2=m,根據(jù)方程有一根小于1,即可得出m的取

值范圍.

【詳解】（1）解：???△=[-0n+4）]2-4x4m

=m2—8m+16

=（771-4）2>0

.?.方程總有兩個實(shí)數(shù)根.

（2）解：由求根公式，得

（m+4）±（m—4）

苫二2

=

/.Xj=4,x2

依題意可得L

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、公式法解一元二次方程，利用公式法解?元二次方程表示出方程的兩個

根，熟練掌握當(dāng)△20時，方程有兩個實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.

題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問題

1.（2023?河南信陽?統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：。助=處一/）2,例如1回2=1x2—22=2—4=一2,則方

程2團(tuán)x=5的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.只有一個實(shí)數(shù)根

【答案】C

【分析】先根據(jù)定義得到關(guān)于X的一元二次方程，然后計算一元二次方程的判別式即可得解.

【詳解】方程2回x=5化為=5,

一元二次方程化為一般式為/-2x+5=0,

A=(-2)2-4x1x5=-16<0,

???方程沒有實(shí)數(shù)根.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的方程應(yīng)用，熟練掌握所給定義的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式的計算及應(yīng)

用是解題關(guān)鍵.

3.(2022?河北?校聯(lián)考一模)新定義運(yùn)算：a^\b=a2-ab+b,例如2回1=2?-2x1+1=3,則方程

X02=5的根的情況為()

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有一個實(shí)數(shù)根C.有兩個相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義，列出方程/-2尢+2=5,再利用一元二次方程根的判別式，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：x2-2x+2=5,

整理得：一一2%-3=0,

/.A=(-2)2-4X(-3)>0,

方程x團(tuán)2=5有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程a/+bx+c=0(ar0),當(dāng)

A=b2_4ac>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=62-4此=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

^=b2-4ac<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模)對于實(shí)數(shù)a,6定義新運(yùn)算：a^ib=ab2-b,若關(guān)于x的方程1回x=k有兩

個不相等的實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍為.

【答案】/c>-i/-；<fc

【分析】根據(jù)新定義得到--x-k=0,再把方程化為一般式，然后根據(jù)根的判別式的意義得到A=

(-1)2-4x1x(一k)=1+4k>0,再解不等式即可.

【詳解】解：,.,。助=ab?-b,

2

/.10x=x—x=kf

整理得/一%-卜=0,

=(-1)2-4x1x(-fc)=1+4/c>0,

解得k>一;.

4

故答案為：k>

4

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+以+c=0(a70)的根與A=b2-4ac有如下關(guān)

系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程無

實(shí)數(shù)根.

題型15由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值

1.(2021?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題)關(guān)于X的方程*7-1=0的兩根分別為X/、X2則X/+X2-X/X2的值

為一

【答案】2.

【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到+x2=1,X1?x2=-1,然后利用整體代入的方法計算即可.

【詳解】解：?.?關(guān)于X的方程/-X-1=0的兩根分別為X/、必

+%2=1，%]?=-1，

/.X/+X2-X/*X2=1-(-1)=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若X1/2為一元二次方程。/+6%+。=0(。中0)的兩個根，則有

%1+%2=-，匕?&=，熟記知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.(2021.江西?中考真題)已知修