三次方程的公式解

三次方程的公式解歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開始的，它是文藝復(fù)興時期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕．主要包括三、四次方程求解與符號代數(shù)的引人這兩個方面．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》被翻譯成拉丁文后，開始在歐洲傳播，不過，直到15世紀(jì)，人們還以為三、四次方程與化圓為方問題一樣難以解決。第一個突破是波倫亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授費羅（S．Ferro，1465—1526）大約在1515年作出的，他發(fā)現(xiàn)了形如x3

mx

n（m，n

0）的三次方程的代數(shù)解法．按當(dāng)時的風(fēng)氣，學(xué)者們不公開自己的研究成果，費羅將自己的解法秘密傳給他的學(xué)生費奧(A.M.Fior)．1535年，意大利另一位數(shù)學(xué)家塔塔利亞(NiccoloFontana,1499~1557，綽號Tartaglia意為口吃者)也宣稱自己可以解形如x3

mx2

n(m,n

0)的三次方程．懷疑之余，費奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對方提出的30個三次方程．比賽在米蘭大教堂公開舉行，結(jié)果是，塔塔利亞很快解出形如x3

mx2

n和x3

mx

n(m,n

0)兩類型的所有三次方程，而費奧僅能解出后一類型的方程．塔塔利亞獲勝而歸，卻依然保守解法的秘訣．后經(jīng)一位教書行醫(yī)于米蘭的學(xué)者卡爾丹(G.Cardano,1501~1576)的再三請求，在后者發(fā)誓保密的情況下，塔塔利亞將解法傳給了卡爾丹．不久，卡爾丹違背諾言而在1545年出版的著作《大法》(ArsMagna)中公布了這些解法.《大法》所載三次方程x3

px

q(p,q

0)的解法，實質(zhì)是考慮恒等式(a

b)3

3ab(a

b)

a3

b3，若選取a和b，使3ab

p，a3

b3

q，（*）由（*）不難解出a和b：于是得到a

b就是所求的x，后人稱之為卡爾丹公式．卡爾丹還對形如x3

px

q（p，q

0）的方程給出了解的公式：x

a

b，其中

對于帶有二次項的三次方程，通過變換總可以將二次項消去，從而變成卡爾丹能解的類型．三次方程解決后不久，1540年意大利數(shù)學(xué)家達(dá)科伊(T.daCoi)向卡爾丹提出一個四次方程的問題，卡爾丹未能解決，但由其學(xué)生費拉里(L.Ferrari,1522~1565)解決了，其解法也被卡爾丹寫進(jìn)《大法》中．該解法是先通過變換將一般四次方程ax4

bx3

cx2

dx

e

0簡化為y4

py2

qy

r

0（這總可以做到），由此進(jìn)一步得到

y4

2py2

p2

py2

qy

r

p2，于是，對于任意的z，有(y2

p

z)2

py2

qy

p2

r

2z(y2

p)

z2

(p

2z)y2

qy

(p2

r

2pz

z2)再選擇適當(dāng)?shù)膠，使上式右邊成為完全平方式，實際上使4(p

2z)(p2

r

2pz

z2)

q2

0即可．這樣就變?yōu)閦的三次方程．費拉里所討論的四次方程類型主要有以下幾種：x4

ax3

bx2

c，

x4

ax3

b，

x4

ax3

bx

c，

x4

ax

b．現(xiàn)在看來，說卡爾丹完全是剽竊，顯然有失公正，因為他在書中已注明三次方程解法是塔氏告訴他的，而且塔氏也沒有給出證明．卡爾丹不僅將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程，而且補充了幾何證明．書中對三次方程求解中的所謂“不可約”情形感到困惑（不可約情形就是判別式()2

()3

0），實質(zhì)上已邂逅復(fù)數(shù)．2q3p在卡氏去世前4年的1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利(R.Bombelli,約1526~1573)在其所著教科書《代數(shù)》中引進(jìn)了虛數(shù)，用以解決三次方程不可約情況，并以dimRq11表示．卡爾丹已認(rèn)識到復(fù)根是成對出現(xiàn)的(這一推測后來被牛頓在其《普遍算術(shù)》中所證明)，并且三次方程有三個根，四次方程有四個根．在此基礎(chǔ)上，荷蘭人吉拉德(A.Girard,1593~1632)于《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》(1629)中又作了進(jìn)一步的推斷：對于n次多項式方程，如果把不可能的(復(fù)數(shù))根考慮在內(nèi)，并包括重根，則應(yīng)有n個根，這就是著名的“代數(shù)基本定理”．不過，吉拉德沒有給出證明．卡爾丹還發(fā)現(xiàn)了三次方程的三根之和等于x2項的系數(shù)的相反數(shù)，每兩根乘積之和等于x項的系數(shù)，等等，這種根與系數(shù)的關(guān)系問題后來由韋達(dá)、牛頓和格列高里（J．Gregory，1638—1675）等人作出系統(tǒng)闡述．在法國，數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Vieta,1540~1603)寫了《分析引論》(InArtemAnalyticemIsagoge,1591)、《論方程的整理與修正》(1615)與《有效的數(shù)值解法》(1600)等方程論著作，其中包括給出代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項式分解因式解法．1637年，笛卡兒首次應(yīng)用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個二次方程求解．今天所說的因式分解定理，最早由笛卡兒在其《幾何學(xué)》中提出，他說：f(x)能為(x

a)整除，當(dāng)且僅當(dāng)a是f(x)

0的一個根．笛卡兒在《幾何學(xué)》中也未加證明地敘述了n次多項式方程應(yīng)