高三下學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷-帶參考答案與解析

第頁(yè)高三下學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷-帶參考答案與解析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一選擇題：本大題共8小題每小題5分共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則中元素個(gè)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定義求解即可.【詳解】由題意得顯然元素個(gè)數(shù)為3故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可得.【詳解】由可得則.故選：B3.已知，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)投影向量公式求解即可.【詳解】由題意向量在向量方向上的投影向量為.故選：A4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記載有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有俸糧三百零五石令五等官（正一品?從一品?正二品?從二品?正三品）依品遞差十三石分之問(wèn)各若干？”其大意是現(xiàn)有俸糧305石分給正一品?從一品?正二品?從二品?正三品這5位官員依照品級(jí)遞減13石分這些俸糧問(wèn)每個(gè)人各分得多少俸糧？在這個(gè)問(wèn)題中正二品分得的俸糧是（）A.35石 B.48石 C.61石 D.74石【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的定義結(jié)合求和公式得出正一品的俸糧數(shù)進(jìn)而得出正二品分得的俸糧數(shù).【詳解】正一品?從一品?正二品?從二品?正三品這5位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列由題意是以為公差的等差數(shù)列且解得．故正二品分得俸糧的數(shù)量為（石）．故選：C5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】實(shí)數(shù)由得因此當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.故選：B6.定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性求解即可.【詳解】由題意得函數(shù)是奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱另知函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱故關(guān)于對(duì)稱故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角余弦的和差公式結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】由題意得又，則解得故則故選：C8.在平面直角坐標(biāo)系中已知為圓上兩點(diǎn)點(diǎn)且，則線段長(zhǎng)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】易知以為鄰邊作平行四邊形為矩形由平面向量可證明再由可得其取值范圍.【詳解】以為鄰邊作平行四邊形由可得四邊形為矩形如下圖所示：可得解得即即點(diǎn)軌跡是以為圓心半徑為的圓易知所以線段的長(zhǎng)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本意關(guān)鍵在于利用平面向量證明求得再結(jié)合圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值問(wèn)題求得結(jié)果.二選擇題：本大題共3小題每小題6分共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分部分選對(duì)的得部分分有選錯(cuò)的得0分．9.某學(xué)校為了解高三學(xué)生的體重情況采用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三名學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為的樣本．其中男生平均體重為千克方差為女生平均體重為千克方差為男女人數(shù)之比為下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本為該學(xué)校高三的學(xué)生 B.每一位學(xué)生被抽中的可能性為C.該校高三學(xué)生平均體重千克 D.該校高三學(xué)生體重的方差為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)樣本以及總體的定義可判斷A錯(cuò)誤利用抽樣比可判斷B正確利用男生女生的平均體重和方差可分別計(jì)算出樣本的平均值和方差由此估計(jì)總體均值及方差可判斷CD正確.【詳解】由分層抽樣方式可得總體為該學(xué)校高三的學(xué)生樣本是抽取的名學(xué)生即A錯(cuò)誤由抽樣比為可得每一位學(xué)生被抽中的可能性為即B正確由男生女生體重以及男女人數(shù)之比為可得抽取樣本學(xué)生平均體重為因此可由樣本估計(jì)總體求得該校高三學(xué)生平均體重千克即C正確由男女生樣本方差可求得總體樣本方差為由樣本方差為可估計(jì)該校高三學(xué)生體重的方差為即D正確故選：BCD10.已知函數(shù)下列選項(xiàng)正確的有（）A.若的最小正周期，則B.當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象向右平移后得到的圖象C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】利用周期公式可判斷A正確由平移規(guī)則可求判斷B錯(cuò)誤由余弦函數(shù)圖像性質(zhì)可得解不等式可判斷C正確根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可求得即可得的取值范圍是可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A若的最小正周期可得可得即A正確對(duì)于B當(dāng)時(shí)可得的圖象向右平移后得到即B錯(cuò)誤對(duì)于C由可知若在區(qū)間上單調(diào)遞增可得因此需滿足解得顯然當(dāng)時(shí)符合題意即可得所以C正確對(duì)于D當(dāng)時(shí)若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)可得解得即的取值范圍是所以D錯(cuò)誤故選：AC11.已知正方體的棱長(zhǎng)為點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)含邊界若平面，則下列說(shuō)法正確的有（）A.點(diǎn)的軌跡為一條線段 B.三棱錐的體積為定值C.的取值范圍是 D.直線與所成角的余弦值的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：通過(guò)證明面面可得點(diǎn)的軌跡對(duì)于B：根據(jù)到平面的距離為定值來(lái)判斷對(duì)于C：利用面積法來(lái)判斷對(duì)于D：建立空間直角坐標(biāo)系求出線線角的余弦然后求最小值即可.【詳解】對(duì)于A：取的中點(diǎn)分別為由正方體的性質(zhì)易得又面面面面所以面面又面所以面面又平面點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)含邊界所以點(diǎn)的軌跡為線段A正確對(duì)于B：的面積為定值因?yàn)槠矫嫠渣c(diǎn)到平面的距離為定值，則點(diǎn)到平面的距離為定值所以為定值B正確對(duì)于C：所以點(diǎn)到的距離C錯(cuò)誤對(duì)于D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)又所以所以令，則所以當(dāng)即時(shí)取最大值，則取最小值即直線與所成角的余弦值的最小值為D正確.故選：ABD.三填空題：本大題共3小題每小題5分共15分．把答案填在答題卡的橫線上．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用展開(kāi)式求出所有含的項(xiàng)即可得出系數(shù)為.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知展開(kāi)式中含有的項(xiàng)為所以可得展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：13.如圖所示一個(gè)球的內(nèi)接圓臺(tái)上下底面的半徑分別為和圓臺(tái)的高為，則該球的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】取得圓臺(tái)軸截面利用勾股定理求出外接球半徑即可得出該球的表面積.【詳解】取圓臺(tái)軸截面如下圖所示：易知設(shè)外接球的半徑為利用勾股定理可得且即可得解得所以該球的表面積為故答案為：14.已知離散型隨機(jī)事件發(fā)生的概率若事件分別表示不發(fā)生和至少有一個(gè)發(fā)生，則________________．【答案】①.②.##0.5【解析】【分析】根據(jù)題意由概率的乘法公式可得進(jìn)而求出由條件概率公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，則又由，則（B）則由于表示至少有一個(gè)發(fā)生，則同時(shí)表示至少有一個(gè)不發(fā)生，則有則又．故答案為：．四解答題：本大題共5小題共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．15.已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為其外接圓半徑滿足．（1）求的大?。?）若求的面積．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理和正弦定理求得即可求得（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得再結(jié)合余弦定理求得利用面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】在銳角中．又A為銳角.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得．16.如圖在多面體中四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形平面平面．（1）求證：（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得進(jìn)而可得再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與判定證明即可（2）以A為原點(diǎn)的方向?yàn)閤yz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系再根據(jù)面面角的向量方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樗裕驗(yàn)樗杂傻茫驗(yàn)樗裕驗(yàn)樗裕驗(yàn)槠矫嫫矫鍭BCD平面平面平面ADFE所以平面ABCD．因?yàn)槠矫鍭BCD所以連接AC在正方形ABCD中因?yàn)锳FAC相交且AF平面AFC所以平面AFC．因?yàn)槠矫鍭FC所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知ABADAF兩兩垂直以A為原點(diǎn)的方向?yàn)閤yz軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為由得：令，則得．設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為由得：令，則得．．設(shè)平面BDF與平面BCF所成角為由圖可知為銳角即所以平面BDF與平面BCF所成角的余弦值為．17.已知圓和定點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)線段的垂直平分線交于點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線E．（1）求曲線的方程（2）設(shè)過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)M在軸上方）設(shè)直線AM與BN的斜率分別為求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）畫(huà)出圖形由垂直平分線以及圓半徑性質(zhì)可得P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓再根據(jù)橢圓定義及焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)出直線的方程并于橢圓聯(lián)立寫(xiě)出的表達(dá)式并利用韋達(dá)定理代入整理變形可求得.【小問(wèn)1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以圓心半徑為6由題意得如下圖所示：可得即可知P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)曲線E的方程為則所以即曲線E的方程為【小問(wèn)2詳解】如下圖所示：易知分別為橢圓的左右頂點(diǎn)可設(shè)l的方程是設(shè)聯(lián)立得，則．可得可得為定值．18.某手游公司開(kāi)發(fā)了一款學(xué)習(xí)類的闖關(guān)益智游戲每一關(guān)的難度分別有ⅠⅡⅢ三級(jí)并且下一關(guān)的難度與上一關(guān)的難度有關(guān)若上一關(guān)的難度是Ⅰ或者Ⅱ，則下一關(guān)的難度依次是ⅠⅡⅢ的概率分別為若上一關(guān)的難度是Ⅲ，則下一關(guān)的難度依次是ⅠⅡⅢ的概率分別為已知第關(guān)的難度為Ⅰ．（1）求第關(guān)的難度為Ⅲ的概率（2）用表示第關(guān)的難度為Ⅲ的概率求（3）設(shè)記且對(duì)任意恒成立求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)各關(guān)難度等級(jí)利用獨(dú)立事件乘法概率公式計(jì)算可得結(jié)果（2）利用遞推關(guān)系式可證明為等比數(shù)列可得通項(xiàng)公式（3）易知利用裂項(xiàng)相消可求得再由函數(shù)單調(diào)性可得即可得出的最大值為.【小問(wèn)1詳解】由第關(guān)的難度為Ⅰ可知第2關(guān)的難度依次是ⅠⅡⅢ的概率分別為第3關(guān)的難度是Ⅲ的概率為【小問(wèn)2詳解】由題意可得表示第n關(guān)的難度為Ⅲ的概率表示第關(guān)的難度為Ⅲ的概率則整理可得根據(jù)題意得所以是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列可得即．【小問(wèn)3詳解】由（2）知可得因此易知單調(diào)遞增所以對(duì)任意恒成立只需滿足即的最大值為．19.設(shè)函數(shù)．（1）若求函數(shù)圖象在處的切線方程（2）若在處取得極小值求的單調(diào)區(qū)間（3）若恰有三個(gè)零點(diǎn)求的取值范圍．【答案】（1）（2）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為和（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程（2）求導(dǎo)對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解得到或分和三種情況結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到時(shí)滿足要求從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（3）轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不為2的實(shí)數(shù)根構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得到其單調(diào)性和值域情況從而得到且求出答案.【小問(wèn)1詳解】時(shí)切線斜率又切線方程為：即．【小問(wèn)2詳解】令得或．①當(dāng)即時(shí)令得令得或所以在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間和上單調(diào)遞增所以在處取得極小值此時(shí)符合題意②當(dāng)即時(shí)所以在區(qū)間R上單調(diào)遞增所以處不取極值此時(shí)不符合題意③當(dāng)即時(shí)令得令得或所以在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間和上單調(diào)遞增所以在處取得極大值此時(shí)不符合題意．綜上所述單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為和．【小問(wèn)3詳解】