八年級下冊 專題. 平行四邊形的性質(zhì)與判定【十一大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）13

專題18.1平行四邊形的性質(zhì)與判定【十一大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 2【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 3【題型3平行四邊形的性質(zhì)的其他應(yīng)用】 4【題型4判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 6【題型5添一個條件成為四邊形】 7【題型6數(shù)圖形中四邊形的個數(shù)】 8【題型7求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】 9【題型8證明四邊形是平行四邊形】 10【題型9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】 12【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】 13【題型11平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】 14【知識點1平行四邊形的性質(zhì)】性質(zhì)數(shù)學(xué)語言圖示邊平行四邊形的對邊相等四邊形ABCD是平行四邊形，角平行四邊形的對角相等四邊形是平行四邊形，對角線平行四邊形的對角線互相平分四邊形ABCD是平行四邊形，【拓展延伸】（1）證明平行四邊形的性質(zhì)時，一般通過作對角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解答.（2）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了理論依據(jù).（3）平行四邊形的每條對角線都將平行四邊形分成兩個全等的三角形.（4）平行四邊形被兩條對角線分成的四個小三角形的面積相等，每個小三角形的面積都等于平行四邊形面積的14；相鄰兩個三角形周長之差的絕對值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對值【規(guī)律方法】（1）平行四邊形的鄰角互補；（2）若一條直線經(jīng)過平行四邊形兩條對角線的交點，則該直線平分平行四邊形的周長和面積.【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求解】【例1】（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，點E、點G分別是OC、AB的中點，連接BE、GE，若∠ABE=42°，則∠AEG的度數(shù)為（

）A．42° B．45° C．46° D．48°【變式1-1】（2024上·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，點O是□ABCD的對稱中心，AD>AB，E，F(xiàn)是AB邊的三等分點；G，H是BC邊的三等分點．若S1，S2分別表示△EOF和△GOH【變式1-2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級校考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC⊥BC，AB=10，

A．73 B．6 C．7 D．58【變式1-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(-2,3)，B(-3,0)，C(3,0)，將平行四邊形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)90°后，點D的對應(yīng)點【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)證明】【例2】（2023下·安徽宿州·八年級?？计谀┤鐖D，平行四邊形ABCD中，CG⊥AB于點G,∠ABF=45°，點F在CD上，BF

(1)若BG=1,BC=(2)求證：△BCG(3)求證：CD-【變式2-1】（2023下·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O

(1)△AEO(2)BE=【變式2-2】（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB,F是AD的中點，作CE⊥AB于點E①∠DFC②∠DFE③CF=④S【變式2-3】（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為對角線AC上一點，連接DE、BF，若∠ADE與∠CBF的平分線DG、BG交于AC上一點G，連接EG．（1）如圖1，點B、G、D在同一直線上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的長；（2）如圖2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求證：AD＝BF+DE．【題型3平行四邊形的性質(zhì)的其他應(yīng)用】【例3】（2023下·廣東廣州·八年級執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┤鐖D，王老師用四根木棒搭成了平行四邊形的框架，量得AB=10cm，AD=8cm，固定AB．逆時針轉(zhuǎn)動AD，在轉(zhuǎn)動過程中，關(guān)于平行四邊形

A．甲說的對 B．乙說的對 C．甲、乙說的都對 D．甲、乙說的都不對【變式3-1】（2023下·八年級課時練習(xí)）如圖，A，B兩點被大山阻隔，為了改善山區(qū)的交通，現(xiàn)擬開鑿一個貫穿A，B的隧道，修建一條高速公路．請你設(shè)計出一個方案，利用平移的有關(guān)知識測量出A，B之間的距離和隧道開鑿的方向．【變式3-2】（2023下·全國·八年級專題練習(xí)）已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）．【變式3-3】（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）在所給的9×9方格中，每個小正方形的邊長都是1，按要求畫平行四邊形，使它的四個頂點以及對角線交點都在方格的頂點上．（1）在圖甲中畫一個平行四邊形，使它的周長是整數(shù)．（2）在圖乙中畫一個平行四邊形，使它的周長是無理數(shù)．【知識點2平行四邊形的判定】判定方法數(shù)學(xué)語言圖形邊兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形ABCD是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形ABCD是平行四邊形.對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.【題型4判斷能否構(gòu)成平行四邊形】【例4】（2023下·湖北武漢·八年級校考期中）在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O點，給出五組條件：?①AB=DC，AD②AB=CD，AB∥③AB∥CD，AD∥④OA=OC，OB=⑤AB=CD，AD能判定此四邊形是平行四邊形的有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）下列四邊形中分別標(biāo)注了部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，則不能判斷該四邊形是平行四邊形的是（

）A．

B．

C．

D．【變式4-2】（2023上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）在△ABC中，點D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC，點F是DE延長線上一點，不能判斷四邊形BCFD

A．BD∥CF B．DF=BC C．【變式4-3】（2023上·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）?ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE【題型5添一個條件成為四邊形】【例5】（2023下·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上，且BE=DF，AE∥CF，請再添加一個條件（不要在圖中再增加其它線段和字母），能證明四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的想法.你所添加的條件：；證明：【變式5-1】（2023下·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，如果AB=DC，當(dāng)ABDC時，四邊形ABCD是平行四邊形．【變式5-2】（2023下·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F(xiàn)．請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形【變式5-3】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AB=8cm，DC=10cm，E是DC上一點，且DE=3，P從A點出發(fā)以1cm/s的速度向B點運動，同時Q從D點出發(fā)以2cm/s的速度向C點運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t=【題型6數(shù)圖形中四邊形的個數(shù)】【例6】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，則圖中的平行四邊形（不包括四邊形ABCD）的個數(shù)共有（

）A．9個 B．8個 C．6個 D．4個【變式6-1】（2023下·重慶江津·八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點，以這些點為頂點的平行四邊形有個．

【變式6-2】（2023下·浙江杭州·八年級期末）如圖，點A，B，C在同一直線上，點D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,A．4 B．5 C．3 D．6【變式6-3】（2023下·八年級課時練習(xí)）如圖，在圖（1）中，A1、B1、C1分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點，且A1C1∥AC，A1B1∥AB，B1C1∥BC，在圖（2）中，A2、B2、C2分別是△A1B1C1的邊B1C1、C1A1、A1B1上的點，且A2C2∥A1C1，A2B2∥A1B1，B2C2∥B1C1，…，按此規(guī)律，則第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)共有個．【題型7求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】【例7】（2023下·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點P，使PA＋PB最小，若存在求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）如圖2，點C坐標(biāo)為(4，1)，點D由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點D運動幾秒時，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點P在x軸上，點Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P以及對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．【變式7-1】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）以不共線的三點A、B、C為頂點的平行四邊形共有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【變式7-2】（2023下·浙江杭州·八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)分別是O0,0,A-3,0【變式7-3】（2023上·遼寧大連·八年級?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A3，0，點B0，4，把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得△A'BO(1)如圖1，若α=90°，則點O'的坐標(biāo)為，點A'的坐標(biāo)為，AA(2)如圖2，若α=120°，求點O(3)在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點D，使A、B、O'、D四個點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點D【題型8證明四邊形是平行四邊形】【例8】（2023下·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，直線y=kx+8k≠0經(jīng)過點C2，4，與x軸交于點A，與y軸交于點B．線段CD平行于x軸，交直線(1)求直線AB的解析式；(2)求證：四邊形OCDA是平行四邊形；(3)點P為直線AC上一點，連接OP、PD，當(dāng)S△POD=2【變式8-1】（2023下·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠A=∠D

(1)求證：△AOB(2)作△BDC關(guān)于直線BC的對稱圖形△BEC，求證：四邊形【變式8-2】（2023下·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點E在對角線BD上，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：在BC的左側(cè)作∠BCF

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在BC左側(cè)作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對角線BD交于點(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED與△∵∠DAE∴△AED∴AE=CF，③∴180°-∠AED=180°-∠CFB∴④．∴四邊形AECF為平行四邊形．【變式8-3】（2023下·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）已知：△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，點A對應(yīng)點E，點C對應(yīng)點F，以AC為邊作等邊△ACD（A，C，D按順時針排列），連接AE，DF(1)如圖1所示，若點D，點A在BC兩側(cè)，當(dāng)a=150°①請直接寫出∠DAE②用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎觯壕€段EF與AD之間的關(guān)系；EF所在直線與AB之間的關(guān)系；(2)如圖2所示，若點D在△ABC內(nèi)部，請判斷四邊形AEFD【題型9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】【例9】（2023下·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的面積為5，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，連接EA，DA，當(dāng)∠BAC

【變式9-1】（2023下·吉林長春·八年級長春市解放大路學(xué)校?？计谥校┤鐖D①，P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(不在直線AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D為AC邊中點，操作：以PA、PB為鄰邊作?PAMB，連接PD并延長到點

(1)探究：判斷ME與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)應(yīng)用：如圖②，當(dāng)點P，M，E在同一條直線上，且M為PD中點時，平行四邊形【變式9-2】（2023下·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD(1)連接BF、DE，判斷四邊形DEBF的形狀并說明理由．(2)若AE=6，BE=2，△BOF的面積為2(3)若BD⊥AD，∠A=45°，EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當(dāng)【變式9-3】（2023下·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠A=30°，動點P從點B出發(fā)，沿BA方向以每秒4個單位的速度向終點A運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB方向運動，當(dāng)點P到達A點時，點Q也停止運動，以BP，BQ為鄰邊作平行四邊形BPDQ，PD，QD分別交AC于點E(1)BQ=______(含t的代數(shù)式表示)(2)如圖2，連接AD，PF，PQ，當(dāng)AD∥PQ時，求(3)如圖3，連接PF，PQ，D點關(guān)于直線PF的對稱點為D'點，若D'落在△PQB的內(nèi)部(不包括邊界)時，則【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】【例10】（2023下·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E(1)求證：BE=(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：四邊形ACED(3)若BF⊥AE，∠BEA=60°，【變式10-1】（2023上·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABE和△CDF是平行四邊形ABCD外的兩個三角形，且求證：四邊形AECF是平行四邊形．

【變式10-2】（2023上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F．(1)當(dāng)點D是BC邊的中點時，如圖①，求證：EF＝CD．(2)如圖②，當(dāng)點D是BC邊上的任意一點時（除B、C外），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【變式10-3】（2023上·北京海淀·八年級清華附中?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，

(1)用等式表示AP'與BP(2)當(dāng)∠APB①直接寫出∠P'AP②若M為AB的中點，連接PM，依題意補全圖形，用等式表示PM與PP'【題型11平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】【例11】（2023上·浙江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A，B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是圖中的（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）（

）

B．

C．

D．

【變